अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय

अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय (Implicit Function Theorem)

• मान लीजिए कि $F: \mathbb{R}^{n+k} \to \mathbb{R}^k$, $F \in C^1$, और $F(x_0, y_0) = 0$ है।
• मान लीजिए कि $M = (x, y) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^k$ है।
• मान लीजिए कि $\det(\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0)) \neq 0$ है।
• तो $\mathbb{R}^n$ में $x_0$ का एक पड़ोस $U$ और एक $C^1$ फ़ंक्शन $g: U \to \mathbb{R}^k$ है, जैसे कि $g(x_0) = y_0$ और $F(x, g(x)) = 0$ सभी $x \in U$ के लिए।
• साथ ही, $g'(x) = -(\frac{\partial F}{\partial y})^{-1} \frac{\partial F}{\partial x}$।

प्रमाण

• $G(x, y) = (x, F(x, y))$ परिभाषित करें। तो $G: \mathbb{R}^{n+k} \to \mathbb{R}^{n+k}$।

$G'(x, y) = \begin{bmatrix} I & 0 \ \frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} \end{bmatrix}$

• $\det(G'(x_0, y_0)) = \det(I) \cdot \det(\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0)) \neq 0$।

• इसलिए, व्युत्क्रम फ़ंक्शन प्रमेय द्वारा $G$, $(x_0, y_0)$ के पास स्थानीय रूप से उलटा है।

• मान लीजिए कि $G^{-1}(x, z) = (x, h(x, z))$ है।

• तब $G(G^{-1}(x, z)) = (x, F(x, h(x, z))) = (x, z)$।

• इसलिए, $F(x, h(x, z)) = z$।

• मान लीजिए कि $U$, $x_0$ का एक पड़ोस है और $V$, $y_0$ का एक पड़ोस है, जैसे कि सभी $x \in U$ के लिए, एक अद्वितीय $y \in V$ मौजूद है, जैसे कि $F(x, y) = 0$। तब हम $g(x) = h(x, 0)$ परिभाषित कर सकते हैं।

• तब $F(x, g(x)) = F(x, h(x, 0)) = 0$।

• हमारे पास $G(x, g(x)) = (x, F(x, g(x))) = (x, 0)$ है।

• इसलिए, $(x, g(x)) = G^{-1}(x, 0)$।

• $x$ के संबंध में अंतर करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\begin{bmatrix} I \ g'(x) \end{bmatrix} = (G^{-1})'(x, 0) \begin{bmatrix} I \ 0 \end{bmatrix} = (G'(x_0, y_0))^{-1} \begin{bmatrix} I \ 0 \end{bmatrix}$

$G'(x_0, y_0)^{-1} = \begin{bmatrix} I & 0 \ \frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} I & 0 \ -(\frac{\partial F}{\partial y})^{-1} \frac{\partial F}{\partial x} & (\frac{\partial F}{\partial y})^{-1} \end{bmatrix}$

• इसलिए, $\begin{bmatrix} I \ g'(x) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I \ -(\frac{\partial F}{\partial y})^{-1} \frac{\partial F}{\partial x} \end{bmatrix}$।
• इसलिए, $g'(x) = -(\frac{\partial F}{\partial y})^{-1} \frac{\partial F}{\partial x}$।

उदाहरण

• $(0, 1)$ के पास $x^2 + y^2 = 1$।
• मान लीजिए कि $F(x, y) = x^2 + y^2 - 1$ है। तब $F(0, 1) = 0$।
• $\frac{\partial F}{\partial y} = 2y$, $\frac{\partial F}{\partial y}(0, 1) = 2 \neq 0$।
• तब $g(x) = \sqrt{1 - x^2}$ और $g'(x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$।
• $\frac{\partial F}{\partial x} = 2x$, तो $-(\frac{\partial F}{\partial y})^{-1} \frac{\partial F}{\partial x} = -\frac{1}{2y} \cdot 2x = -\frac{x}{y} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$।

लैग्रेंज मल्टीप्लायर (Lagrange Multipliers)

• मान लीजिए कि $f, g_1,..., g_k: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, $C^1$ फ़ंक्शन हैं।
• हम शर्तों $g_1(x) =... = g_k(x) = 0$ के अधीन $f(x)$ को अधिकतम करना चाहते हैं।
• मान लीजिए कि $S = {x \in \mathbb{R}^n : g_1(x) =... = g_k(x) = 0}$ है।
• मान लीजिए कि $x_0$, $S$ पर $f$ का एक स्थानीय अधिकतम है।

प्रमाण

• सामान्यता खोए बिना, मान लीजिए कि $G'(x_0)$ के पहले $k$ स्तंभ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

• मान लीजिए कि $x = (u, v)$ जहां $u \in \mathbb{R}^k$ और $v \in \mathbb{R}^{n-k}$ है। तब $\frac{\partial G}{\partial u}(x_0)$ उलटा है।

• अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय द्वारा, एक $h: \mathbb{R}^{n-k} \to \mathbb{R}^k$ मौजूद है जैसे कि $G(h(v), v) = 0$ सभी $v$ के लिए $v_0$ के पास, और $h(v_0) = u_0$।

• तब $f(h(v), v)$ का $v_0$ पर एक स्थानीय अधिकतम होता है, इसलिए $\frac{\partial}{\partial v} f(h(v), v)|_{v = v_0} = 0$।

• $\frac{\partial}{\partial v} f(h(v), v) = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial h}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial v} = 0$ पर $v = v_0$।

• साथ ही, $G(h(v), v) = 0$, तो $\frac{\partial G}{\partial u} \frac{\partial h}{\partial v} + \frac{\partial G}{\partial v} = 0$।

• इसलिए, $\frac{\partial h}{\partial v} = -(\frac{\partial G}{\partial u})^{-1} \frac{\partial G}{\partial v}$।

• इसलिए, $\frac{\partial f}{\partial u} (-(\frac{\partial G}{\partial u})^{-1} \frac{\partial G}{\partial v}) + \frac{\partial f}{\partial v} = 0$।

• $\frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial u} (\frac{\partial G}{\partial u})^{-1} \frac{\partial G}{\partial v}$।

• मान लीजिए कि $\lambda = (\lambda_1,..., \lambda_k) = \frac{\partial f}{\partial u} (\frac{\partial G}{\partial u})^{-1}$।

• तब $\frac{\partial f}{\partial v} = \lambda \frac{\partial G}{\partial v}$, तो $\nabla f = \lambda \nabla G$।

• दूसरे शब्दों में, सभी $i$ के लिए $\frac{\partial f}{\partial x_i} = \sum_{j=1}^k \lambda_j \frac{\partial g_j}{\partial x_i}$। ये $\lambda_i$ लैग्रेंज मल्टीप्लायर कहलाते हैं।