Arbres et Arborescences en Informatique
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Questions and Answers

Qu'est-ce qu'un arbre en théorie des graphes?

Un arbre est un graphe connexe sans cycle et ayant au moins deux sommets.

Que représente le nombre cyclomatique d'un graphe?

Le nombre cyclomatique d'un graphe représente la dimension de la base des cycles (cycles indépendants).

Quel est le lien entre un arbre et un graphe partiel?

Un graphe connexe admet un graphe partiel qui est un arbre si et seulement si le graphe connexe est un arbre.

Qu'est-ce qu'une arborescence?

<p>Une arborescence est un arbre muni d'une racine xo et pour tout sommet x1 dans l'arborescence, il existe un chemin allant de xo à x1.</p> Signup and view all the answers

Expliquez la différence entre une arborescence et un arbre.

<p>Une arborescence est un type spécial d'arbre avec une racine définie, tandis qu'un arbre est une structure plus générale sans racine spécifiée.</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Nombre cyclomatique

La dimension de la base des cycles (cycles indépendants) d'un graphe.

Nombre cocyclomatique

La dimension de la base des cocycles (cocycles indépendants) d'un graphe.

Arbre

Un graphe connexe sans cycle et ayant au moins deux sommets.

Forêt

Un ensemble d'arbres, c'est-à-dire un graphe non connexe et sans cycle.

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Sommet pendant

Un sommet d'un arbre qui n'est adjacent qu'à un seul autre sommet.

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Arbre partiel

Graphe partiel d'un graphe G qui est un arbre.

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Propriété d'un arbre

Un graphe qui est connexe et sans cycle.

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Propriété d'un arbre

Un graphe sans cycle et ayant (n-1) arêtes.

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Propriété d'un arbre

Un graphe connexe et ayant (n-1) arêtes.

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Propriété d'un arbre

Un graphe sans cycle et en ajoutant une arête entre deux sommets non adjacents, on crée un cycle et un seul.

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Propriété d'un arbre

Un graphe connexe et en supprimant une arête quelconque, il n'est plus connexe.

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Propriété d'un arbre

Tout couple de sommets est relié par une chaîne et une seule.

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Arborescence

Un arbre avec un noeud désigné comme la racine.

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Racine

Un sommet d'un graphe orienté d'où tout autre sommet peut être atteint par un chemin.

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Graphe quasi-fortement connexe

Graphe où, pour tout couple de sommets, il existe un sommet d'où partent à la fois un chemin allant vers le premier sommet et un chemin allant vers le second.

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Arborescence

Un graphe orienté qui est un arbre avec une racine et où chaque sommet autre que la racine est l'extrémité finale d'un seul arc.

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Graphe fortement connexe

Un graphe qui est fortement connexe est donc quasi-fortement connexe.

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Valeur totale d'un arbre partiel

La somme des coûts de toutes les arêtes de l'arbre partiel.

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Recherche d'un arbre partiel de valeur minimale

Trouver l'arbre partiel d'un graphe dont la valeur totale est minimale.

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Système fondamental de cycles indépendants

Un ensemble de cycles indépendants qui couvre toutes les arêtes d'un graphe.

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Système fondamental de cycles indépendants

Un graphe qui couvre toutes les arêtes d'un graphe avec un seul cycle par arête.

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Détermination du nombre d'arbres partiels

Calcul du nombre d'arbres partiels possibles d'un graphe.

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Matrice booléenne

Matrice représentant les relations entre les sommets d'un graphe.

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Fonction ordinale

Une fonction qui attribue un niveau à chaque sommet d'un graphe sans circuit.

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Niveaux

Sous-ensembles de sommets d'un graphe sans circuit, regroupés par leur niveau dans la fonction ordinale.

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Méthode de détermination de la fonction ordinale

Attribuer un niveau à chaque sommet d'un graphe sans circuit, en fonction de son positionnement par rapport à la racine.

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Fonction ordinale inverse

Fonction inverse de la fonction ordinale.

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Contre-exemple : graphe avec cycle

Un graphe avec un cycle.

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Fonction ordinale d'une arborescence

Fonction ordinale d'un graphe sans circuit, où la racine est au niveau No.

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Study Notes

Arbres et Arborescences

  • Arbres et arborescences sont des structures fondamentales utilisées dans de nombreux domaines, y compris l'informatique, la science sociale, la statistique et l'intelligence artificielle.
  • Le nombre cyclomatique (a(G)) mesure la dimension de la base des cycles indépendants dans un graphe G. Il est calculé comme a(G) = m - n + p, où m est le nombre d'arêtes, n le nombre de sommets et p le nombre de composantes connexes du graphe.
  • Le nombre cocyclomatique (β(G)) mesure la dimension de la base des cocycles indépendants. Il est calculé comme β(G) = n - p.
  • Un arbre est un graphe connexe sans cycle avec au moins deux sommets. Il peut avoir des arêtes ou des arcs.
  • Une forêt est un graphe non connexe sans cycle. C'est un ensemble d'arbres.
  • Un arbre partiel est un graphe partiel d'un graphe connexe qui est un arbre.
  • L'algorithme de Kruskal est une méthode pour trouver un arbre couvrant de poids minimum dans un graphe.
  • L'algorithme de Sollin est une autre méthode pour trouver un arbre couvrant de poids minimum.
  • Une arborescence est un graphe orienté avec une racine. Tout autre sommet dans le graphe peut être atteint par un chemin depuis la racine.
  • Une racine est un sommet dans un graphe dont tout autre sommet est accessible via un chemin.
  • La fonction ordinale d'un graphe sans cycle est une méthode de détermination des niveaux successifs de sommets dans un graphe.

Algorithme de recherche d'un arbre partiel de valeur minimale

  • Le problème est de trouver un arbre partiel dans un graphe avec une valeur totale minimale.
  • La valeur minimale est sur l'ensemble de tous les arbres possibles du graphe.
  • Cette valeur totale est la valeur totale du graphe partiel obtenu après avoir calculé la somme des couts de ses arêtes.

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Théorie des Graphes - THG - Chapitre 3 : Arbres et Arborescences - PDF

Description

Ce quiz explore les concepts d'arbres et d'arborescences, des structures de données essentielles en informatique. Vous découvrirez également le nombre cyclomatique et cocyclomatique, ainsi que des algorithmes comme ceux de Kruskal et Sollin. Testez vos connaissances sur ces fondements mathématiques et algorithmiques.

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