Analyse mathématique - Dérivabilité et variations

Une fonction f définie sur I admet un développement limité à l'ordre 1 en a s'il existe (a0, a1) ∈ R² et une fonction φ : I → R tels que : ∀x ∈ I, f(x) = a0 + (x − a)a1 + (x − a)φ(x) avec lim φ(x) = 0.

Soit f : I → R et a ∈ I. f est dérivable en a si et seulement si f admet un développement limité à l'ordre 1 en a, et ce développement limité est alors nécessairement : ∀x ∈ I, f(x) = f(a) + f'(a)(x − a) + (x − a)φ(x).

Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.

Si f est dérivable en a, alors f admet un développement limité à l'ordre 1 en a, où le coefficient du terme linéaire est la dérivée de f en a.

La fonction φ est appelée le reste du développement limité.

Le développement limité permet d'approcher la fonction f par une expression polynomiale.

Si une fonction dérivable f a un extremum local en un point a situé à l'intérieur de son domaine, alors la dérivée de f en a est nulle (f'(a) = 0).

La condition f'(a) = 0 n'implique pas nécessairement qu'il y ait un extremum local en a.

Pour trouver les extrema d'une fonction, il faut vérifier les points situés à l'intérieur du domaine et les points aux extrémités du domaine.

Les points où la dérivée est nulle (f'(x) = 0) sont appelés points critiques.

Le tableau de variation permet de visualiser les variations (croissance ou décroissance) d'une fonction.

Si f est dérivable en a et a est une extrémité du domaine, il faut également vérifier si a correspond à un extremum local de f.

Pour trouver l'extremum local d'une fonction, il faut identifier les points critiques et analyser le comportement de la fonction autour de ces points en utilisant le tableau de variation ou d'autres méthodes.

La dérivée d'une fonction permet de déterminer si la fonction est croissante, décroissante ou constante.

Une fonction f est constante sur un intervalle I si et seulement si sa dérivée f' est nulle sur I.

Une fonction f est croissante (resp. décroissante) sur un intervalle I si et seulement si sa dérivée f' est positive (resp. négative) sur I.

Si la dérivée f' est strictement positive (resp. négative) sur I, alors la fonction f est strictement croissante (resp. décroissante) sur I.

Le théorème des accroissements finis affirme que pour une fonction f continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, il existe un point c dans ]a, b[ tel que f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)

La fonction g(x) = f(x) - f(a) - K(x - a), avec K = (f(b) - f(a))/(b - a), permet d'appliquer le théorème de Rolle pour trouver un point c où la dérivée de f est égale à la pente moyenne.

Si f' > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I. La réciproque est fausse.

Le théorème de Rolle garantit l'existence d'un point c où la dérivée est nulle pour une fonction continue et dérivable qui prend la même valeur aux extrémités de l'intervalle.

Une fonction f : I → R est dite M-lipschitzienne sur I si pour tous x, y ∈ I, on a : |f(x) - f(y)| ≤ M |x - y| où M est une constante positive.

Si f' est bornée sur I par M ≥ 0, alors f est M-lipschitzienne sur I.

Une fonction f : I → R est dite contractante si elle est k-lipschitzienne avec 0 ≤ k < 1.

Si f : I → I est contractante et admet un point fixe l, alors l est unique et toute suite définie par u0 ∈ I et ∀n ∈ N, un+1 = f(un) converge vers l.

Si f : I → I est contractante, toute suite définie par récurrence u0 ∈ I et ∀n ∈ N, un+1 = f(un) converge vers le point fixe l.

Si I = [a, b], l'erreur entre le terme de la suite un et le point fixe l est majorée par k n |b - a|.

Si la dérivée d'une fonction f est strictement positive sur un intervalle, sauf en un nombre fini de points où elle s'annule, alors f est strictement croissante sur cet intervalle.

Si la dérivée d'une fonction f est strictement négative sur un intervalle, sauf en un nombre fini de points où elle s'annule, alors f est strictement décroissante sur cet intervalle.

Si une fonction f est continue sur un intervalle I et dérivable sur I sauf en un point a, et si la dérivée de f tend vers une limite finie l lorsque x tend vers a, alors f est dérivable en a et sa dérivée en a est égale à l.

Si la dérivée de f tend vers l'infini (positif ou négatif) lorsque x tend vers a, alors la courbe représentative de f admet une tangente verticale en a.

Le théorème des accroissements finis est un outil important pour étudier les variations d'une fonction.

Le théorème de la limite permet de trouver la dérivée d'une fonction en un point où elle n'est pas directement dérivable.

Les propriétés de la dérivée sont des outils importants pour étudier les variations d'une fonction et pour comprendre son comportement.

Si une fonction f est continue sur un intervalle I, dérivable sur I sauf en un point a, et que sa dérivée tend vers une limite l quand x tend vers a, alors f est dérivable en a et sa dérivée en a vaut l.

La fonction puissance d'exposant α, notée pα, est définie sur les réels strictement positifs par pα(x) = xα = eα ln(x). Cette fonction est dérivable sur R∗+ et sa dérivée est p'α(x) = αxα−1.

Si α > 0, la fonction puissance pα peut être prolongée par continuité en 0 en posant pα(0) = 0.

La fonction pα n'est pas dérivable en 0 si 0 < α < 1, et sa courbe admet une tangente verticale en 0.

La fonction pα est dérivable en 0 si α > 1, et sa dérivée en 0 vaut 0.

Si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, et si sa dérivée est bornée entre deux valeurs m et M, alors la variation de f entre a et b est bornée par m(b−a) et M(b−a).

Si une fonction f est dérivable sur I, alors sa dérivée est bornée sur I si et seulement si f est lipschitzienne sur I.