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Questions and Answers
Quel est le domaine de définition de la fonction $f(x) = x + ext{sqrt}(x^2 + 2x)$ ?
Quel est le domaine de définition de la fonction $f(x) = x + ext{sqrt}(x^2 + 2x)$ ?
Quelle est la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ ext{infty}$ ?
Quelle est la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ ext{infty}$ ?
Comment peut-on interpréter la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ ?
Comment peut-on interpréter la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ ?
Quelle est l'expression de la dérivée de $f$ pour $x
otin (- ext{infty}, -2] ext{ ou } [0, + ext{infty})$ ?
Quelle est l'expression de la dérivée de $f$ pour $x otin (- ext{infty}, -2] ext{ ou } [0, + ext{infty})$ ?
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Quelle est la propriété de $h(x)$ définie par la restriction de $f$ sur $[0, + ext{infty})$ ?
Quelle est la propriété de $h(x)$ définie par la restriction de $f$ sur $[0, + ext{infty})$ ?
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Quelle est l'unique solution de l'équation $f(x) = 0$ dans l'intervalle $]0, 1[$ ?
Quelle est l'unique solution de l'équation $f(x) = 0$ dans l'intervalle $]0, 1[$ ?
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Quel est le résultat de la dérivée de la fonction $f(x) = x^2 - 6x + 2$ ?
Quel est le résultat de la dérivée de la fonction $f(x) = x^2 - 6x + 2$ ?
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Quel est le résultat lorsque l'on résout l'équation $ ext{sqrt}(3x - 4) = 2$ ?
Quel est le résultat lorsque l'on résout l'équation $ ext{sqrt}(3x - 4) = 2$ ?
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Study Notes
Exercice 1
- Fonction f(x): f(x) = x + √(x² + 2x)
- Domaine de définition (Df): ]-∞, -2] U [0, +∞[
- Limite à l'infini: lim (x→+∞) f(x) = +∞ et lim (x→-∞) f(x) = -1
- Continuité sur Df: f est continue sur son domaine de définition
- Dérivabilité à droite en 0: Etudier la dérivabilité à droite en 0 et interpréter géométriquement.
- Dérivabilité à gauche en -2: Etudier la dérivabilité à gauche en -2 et interpréter géométriquement.
- Fonction dérivée f'(x): f'(x) = (√(x² + 2x) + x + 1) / √(x² + 2x) sur ]-∞, -2[ U ]0, +∞[
- Monotonie: f est strictement croissante sur [0,+∞[ et strictement décroissante sur ]-∞,-2]
- Tableau de variations: Déduire le tableau de variations de la fonction f et le construire.
- Fonction réciproque h(x): Restriction de f à [0, +∞[ et existence d'une fonction réciproque h⁻¹(x).
- Dérivée de h⁻¹(x): Calculer la dérivée de h⁻¹(x) en un point donné sans calculer la dérivée de h⁻¹(x)
- Tableau de variations de h⁻¹: Construire le tableau de variations de h⁻¹.
Exercice 2
- Résolution d'équation: Résoudre l'équation √(3x - 4) = 2 dans ℝ
- Calculs de limites: Calculer les limites suivantes : lim (x→1) (√(x + 7) - 2) / (x - 1) et lim (x→∞) (√(x³ + x + 1) - x)
- Dérivées de fonctions: Calculer les dérivées des fonctions f(x) = x² - 6x + 2 et g(x) = (x³ + 2x² - 6)⁵
Exercice 3
- Fonction f(x): f(x) = -x³ - 5x + 4 pour x ≥ 0 et f(x) = x + 2 + √(x² + 4) pour x < 0
- Continuité en 0: Montrer que la fonction f est continue en 0.
- Continuité sur [0, 1]: Déduire que f est continue sur l'intervalle [0, 1].
- Unique solution: Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle ]0, 1[.
Exercice 4
- Fonction f(x): f(x) = x³ + x - 8
- Résolution d'équation: Résoudre l'équation 2f(x) + 3f⁻¹(x) = 10 dans ℝ
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Description
Ce quiz explore la fonction f(x) = x + √(x² + 2x) en se concentrant sur son domaine de définition, sa continuité, sa dérivabilité, et sa monotonie. À travers des questions pratiques, examinez le tableau de variations et la dérivée d'une fonction réciproque associée. Idéal pour les étudiants en mathématiques avancées.
