मर्यादा आणि सातत्य: व्याख्या

व्याख्या: मर्यादा आणि सातत्य

• कॅल्क्युलसमध्ये मर्यादा आणि सातत्य या मूलभूत संकल्पना आहेत.

१.१ व्याख्या

• मर्यादेची व्याख्या:

  • $\lim_{x \to a} f(x) = L$ म्हणजे x 'a' च्या जवळ जात असताना f(x) ची किंमत L च्या खूप जवळ जाते.
  • x हा a च्या बरोबर नसावा, पण a च्या दोन्ही बाजूने त्याच्या खूप जवळ असावा.

• अचूक व्याख्या:

  • प्रत्येक $\epsilon > 0$ साठी, $\delta > 0$ अस्तित्वात असावा, ज्यामुळे जर $0 < |x-a| < \delta$ असेल, तर $|f(x) - L| < \epsilon$ असले पाहिजे.
  • याचा अर्थ x, a च्या $\delta$ परिसरात असेल, तर f(x), L च्या $\epsilon$ परिसरात असेल.

१.२ एक-तर्फी मर्यादा

• डावीकडील मर्यादा:

  • $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ म्हणजे x हा a च्या डावीकडून जवळ येत आहे आणि f(x) ची किंमत L च्या जवळ जात आहे.

• उजवीकडील मर्यादा:

  • $\lim_{x \to a^+} f(x) = L$ म्हणजे x हा a च्या उजवीकडून जवळ येत आहे आणि f(x) ची किंमत L च्या जवळ जात आहे.

१.३ अनंत मर्यादा

• अनंत मर्यादा:

  • $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ म्हणजे f(x) ची किंमत खूप मोठी होत आहे, जेव्हा x हा a च्या खूप जवळ आहे, पण a च्या बरोबर नाही.

• ऋण अनंत मर्यादा:

  • $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$ म्हणजे f(x) ची किंमत खूप मोठी ऋण होत आहे, जेव्हा x हा a च्या खूप जवळ आहे, पण a च्या बरोबर नाही.

१.४ सातत्य

• सातत्याची व्याख्या:

  • फलन f हे a या संख्येत सतत असते, जर $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
  • सातत्य असण्यासाठी तीन अटी आवश्यक आहेत:
    • f(a) परिभाषित असले पाहिजे.
    • $\lim_{x \to a} f(x)$ अस्तित्वात असली पाहिजे.
    • $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

• उजवीकडून सातत्य:

  • $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ म्हणजे फलन f हे a मध्ये उजवीकडून सतत आहे.

• डावीकडून सातत्य:

  • $\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$ म्हणजे फलन f हे a मध्ये डावीकडून सतत आहे.

• अंतरावर सातत्य:

  • फलन f एका अंतरावर सतत असते जर ते अंतरातील प्रत्येक संख्येत सतत असेल.
  • अंत्यबिंदूंवर, सातत्य म्हणजे उजवीकडून किंवा डावीकडून सातत्य.