المنطق الرياضي والهندسة

المنطق الرياضي والهندسة (Mathematical Logic and Geometry)

• المثال المضاد (Counterexample): مثال يثبت أن الجملة المعطاة ليست صحيحة دائماً.
• مثال: الجملة "إذا كان الشكل رباعياً فإن كل ضلعين متقابلين متطابقان" ليست صحيحة دائمة؛ الشكل الذي يثبت ذلك هو شبه منحرف غير متطابق الضلعين.

العبارات المركبة والشرطية (Compound and Conditional Statements)

• p ∧ q (p and q): تكون صائبة فقط إذا كان كل من p و q صائبتين.
• p ∨ q (p or q): تكون خاطئة فقط إذا كان كل من p و q خاطئتين.
• p → q (if p, then q): تكون خاطئة فقط إذا كان الفرض (p) صائباً والنتيجة (q) خاطئة.
• نفي العبارة الصائبة هو عبارة خاطئة، والعكس صحيح.
• جدول صواب العبارات المركبة والشرطية يوضح متى تكون العبارات صائبة أو خاطئة بناءً على قيم p و q.

العبارات الشرطية المرتبطة (Related Conditional Statements)

• العبارة الشرطية تتكون من فرض ونتيجة.
• العكس: تبديل الفرض والنتيجة.
• المعكوس: نفي كل من الفرض والنتيجة.
• المعاكس الإيجابي: نفي كل من الفرض والنتيجة في عكس العبارة الشرطية.

النقاط والمستقيمات والمستويات (Points, Lines, and Planes)

• أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط.
• أي ثلاث نقاط مختلفة لا تقع على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط.
• أي مستقيم يحوي نقطتين على الأقل.
• كل مستوى يحوي ثلاث نقاط على الأقل ليست على استقامة واحدة.
• إذا تقاطع مستقيمان فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة.
• إذا تقاطع مستويان فإن تقاطعهما مستقيم
• المستقيمان المتخالفان لا يقعان في مستوى واحد، ولا يتقاطعان.

بعض العلاقات بين الزوايا (Some Angle Relationships)

• الزاويتان المتكاملتان: مجموع قياسهما 180 درجة.
• الزاويتان المتجاورتان على مستقيم متكاملتان.
• الزاوية المستقيمة: قياسها 180 درجة.
• الزاويتان المتتامتان: مجموع قياسهما 90 درجة.
• متممات الزاوية الواحدة لها القياس نفسه، ومكملات الزاوية الواحدة لها القياس نفسه.
• كل زاويتين متقابلتين بالرأس متساويتان في القياس (متطابقتان).
• مجموع قياسات الزوايا المتجمعة حول نقطة = 360 درجة.

الزوايا والمستقيمات المتوازية (Angles and Parallel Lines)

• إذا قطع مستقيم مستقيمين أو أكثر فإنه يكون زوايا داخلية وخارجية.
• الزوايا الداخلية: الزوايا المحصورة بين المستقيمين المتوازيين.
• الزوايا الخارجية: الزوايا التي تقع خارج المستقيمين المتوازيين.
• الزاويتان المتحالفتان زاويتان داخليتان واقعتان في جهة واحدة من القاطع.
• الزاويتان المتبادلتان داخلياً: زاويتان داخليتان غير متجاورتين تقعان في جهتين مختلفتين من القاطع.
• الزاويتان المتبادلتان خارجياً: زاويتان خارجيتان غير متجاورتين تقعان في جهتين مختلفتين من القاطع.
• الزاويتان المتناظرتان: زاويتان واقعتان في جهة واحدة من القاطع، إحداهما داخلية والأخرى خارجية وغير متجاورتين.
• المستقيم القاطع لمستقيمين متوازيين يكون 8 زوايا.
• كل زاويتين متناظرتين متطابقتان.
• كل زاويتين متبادلتين متطابقتان.
• كل زاويتين متحالفتين متكاملتان.

ميل المستقيم (Slope of a Line)

• ميل المستقيم المار بالنقطتين (x₁, y₁) و (x₂, y₂) يُحسب كالتالي: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
• إذا بدأنا بـ y₂ في البسط فإننا نبدأ بـ x₂ في المقام.