Matemáticas: Enfoque Axiomático

Enfoque Axiomático

• La teoría se compone de conceptos primitivos y definidos, y proposiciones postulados y teoremas.
• Los conceptos primitivos se definen implícitamente mediante axiomas, que describen el concepto de manera total.
• La palabra postulado es sinónimo de axioma.

Conceptos y Definiciones

• Una definición de un concepto se constituye por un nombre, proposiciones, representaciones simbólicas y gráficas (en el caso de conceptos geométricos).
• Un concepto tiene una o varias representaciones simbólicas y gráficas.

Conjuntos y Clases

• Un conjunto es una colección de objetos que tienen ciertas cualidades en común.
• Una clase es una colección de conjuntos.
• Se utilizarán letras mayúsculas del alfabeto español para representar clases.

Lenguaje y Sintaxis

• Se utilizará el signo ∈ para indicar una relación de pertenencia.
• La proposición 𝐴 ∈ 𝐵 se lee "la clase A pertenece a la clase B".
• La negación de 𝐴 ∈ 𝐵 se representa mediante 𝐴 ∉ 𝐵 y se lee "A no pertenece a B".
• Se utilizarán expresiones como "para todas las clases X" y "existe una clase X" en lugar de cuantificadores universal y existencial.

Conjuntos y Clases Propias

• Un conjunto es toda clase que pertenece a otra.
• Una clase propia es aquella que no pertenece a ningún conjunto.
• Un conjunto siempre es una clase, pero una clase no necesariamente es un conjunto.
• Se utilizarán las letras minúsculas del alfabeto español para representar clases que son conjuntos.

Igualdad entre Clases

• La igualdad entre clases se define como 𝑥 ∈ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐵 para todo conjunto x.
• Dos clases son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.
• La igualdad entre clases se representa mediante 𝐴 = 𝐵.
• La negación de 𝐴 = 𝐵 se representa mediante ¬(𝐴 = 𝐵) o 𝐴 ≠ 𝐵.

Teorema: Propiedades de la Igualdad de Clases

• La igualdad de clases es reflexiva (𝐴 = 𝐴).
• La igualdad de clases es simétrica (si 𝐴 = 𝐵, entonces 𝐵 = 𝐴).
• La igualdad de clases es transitiva (si 𝐴 = 𝐵 y 𝐵 = 𝐶, entonces 𝐴 = 𝐶).