المعادلات التفاضلية العادية

المعادلات التفاضلية (DE)

• المعادلات التفاضلية تربط بين متغير واحد أو أكثر ومشتقاتها من خلال متغير معتمد ومتغير مستقل.
• تنقسم إلى جزئين حسب عدد المتغيرات المستقلة.

المعادلات التفاضلية الاعتيادية (ODEs)

• المتغير المعتمد (y) يعتمد على متغير مستقل واحد فقط.
  • أمثلة: y'' + y' = 0, y'' + y' + y = 0

المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs)

• المتغير المعتمد يعتمد على أكثر من متغير متصل.
  • أمثلة:∂²y/∂t² + ∂²y/∂x² = 0, ∂y/∂x + ∂y/∂t = 0

رتبة المعادلة التفاضلية

• هي أعلى مشتقة في المعادلة.

درجة المعادلة التفاضلية

• هي أعلى أس لأعلى مشتقة.
  • أمثلة:
    • (d²y/dx²)² + dy/dx = 0 الرتبة 2 والدرجة 2.
    • d⁴y/dx⁴ + (d²y/dx²)² + y = 0 الرتبة 4 والدرجة 1.
    • y''''' + y''' + 2y = 0 الرتبة 4 والدرجة 1.

أنواع المعادلات التفاضلية

• تنقسم إلى: معادلات تفاضلية خطية ومعادلات تفاضلية غير خطية.

شروط المعادلة التفاضلية الخطية

• يجب أن يكون المتغير y ومشتقاته من الدرجة الأولى.
• يجب ألا يظهر y ومشتقاته في صور مثل yy', y'y', sin(y), e^y, y^n.
  • أمثلة:
    • y'' + y' + y² = 0 غير خطية لوجود y².
    • y''' + 2y'' + y = 0 خطية.
    • yy' + 2y = 0 غير خطية لوجود yy'.
    • y' + y² = 0 غير خطية لوجود y².

أنواع المعادلات (أمثلة)

• المعادلات يمكن أن تكون:
  • خطية أو غير خطية.
  • متجانسة أو غير متجانسة (بوجود حد خالٍ من المتغير y).
  • أمثلة:
    • dy/dx - x = y من الرتبة الأولى والدرجة الأولى، خطية ذات معاملات ثابتة، غير متجانسة.
    • d²y/dx² + 5dy/dx + 2y = 0 من الرتبة الثانية والدرجة الأولى، متجانسة لعدم وجود حد يخلو من y.
    • y''' + e^x = 0 رتبة ودرجة 1، غير خطية لوجود أس، متجانسة.
    • y'''' + x²yy' + ycos(x) = 1 رتبة 4، درجة 1، غير خطية وغير متجانسة (بسبب وجود حد خالٍ من y).

تعريف التجانس

• المعادلة التفاضلية تسمى متجانسة إذا لم تحتوِ على حد أو أكثر يحتوي على المتغير المستقل فقط.

• إذا احتوت على حد أو أكثر يحتوي على المتغير المستقل فقط فتكون غير متجانسة.

• أمثلة:

  • y' + 2y = x غير متجانسة.
  • y'' + 2y = 0 متجانسة.

تعريف حل المعادلة

• حل المعادلة يعني إيجاد قيمة الدالة غير المعروفة y = f(x).
• إذا كانت y = φ(x) حلاً، فيجب أن تكون قابلة للاشتقاق وتحقق المعادلة.
  • مثال: إثبات أن y = sin(x) حلاً لـ y'' + y = 0.

أنواع الحلول للمعادلة التفاضلية

• الحل العام (General Solution): يحتوي على ثابت اختياري واحد على الأقل.
• الحل الخاص (Particular Solution): يتم الحصول عليه من الحل العام بإيجاد قيم الثوابت الاختيارية، وعادة ما يحتوي على شروط لتحديد تلك الثوابت.
• الحل الشاذ (Singular Solution): لا يمكن الحصول عليه من الحل العام.
• الحل التام (Exact Solution): هو الحل الذي يمكن الحصول به على جميع حلول المعادلة التفاضلية

المعادلات التفاضلية القابلة للفصل (فصل المتغيرات)

• المعادلات التفاضلية القابلة للفصل تكتب بالصورة dy/dx = h(x)g(y).
• يمكن فصل المتغيرات كالتالي: dy/g(y) = h(x)dx
  • أو M(x)dx = N(y)dy

المعادلات الخطية من الرتبة الأولى

• الشكل العام: y' + P(x)y = Q(x)
• أو a(x)y' + P(x)y = Q(x)

خطوات الحل

1. تحويل المعادلة إلى الصورة القياسية: y' + P(x)y = Q(x).
2. إيجاد عامل التكامل: μ(x) = e^(∫P(x)dx).
3. الحل العام يعطى بالعلاقة: y = (∫μ(x)Q(x)dx + C) / μ(x).

المعادلات التفاضلية المتجانسة Homogeneous Egs

• تسمى المعادلة التفاضلية معادلة متجانسة إذا أمكن كتابتها على الشكل التالي: dy/dx = f(y/x)

خطوات الحل (أمثلة)

1. التحقق من التجانس: dy/dx = (x+y)/x
2. الفرض: v = y/x, بالتالي y = xv و dy/dx = x(dv/dx) + v.
3. التعويض في المعادلة: x(dv/dx) + v = 1 + v
4. فصل المتغيرات: x(dv/dx) = 1
   • بالنسبة إلى الطرفين 5 الحصول على الحل العام: بعد التكامل والتبسيط.
   • ملاحظة:
   • (v+ 1) dv/(1 − v) = (v² +2v+ 1)/(1− v) dx‏

المعادلات *التفاضلية التامة

• تسمى المعادلة التفاضليةM(x,y) + N(x,y) هي معادلة تفاضلية تامة اذا تحقق الشرط Μ /Sy xe* hxe = SN/ Sx.

المراحل والاثباتات

• لأيجاد الحل العام لهذه المعادلة فنفرض ما يلي: dO xe M(x,y) 20 xe N(x,y)