Algoritmi de determinare a determinantului matricei

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Pentru o matrice A ∈ ℝ𝑛×𝑛, cum se calculează determinantul folosind factorizarea L-U prin triangularizare directă?

det(A) = det(L) ∙ det(U) (correct)

det(A) = det(L) + det(U)

det(A) = det(L) / det(U)

det(A) = det(L) - det(U)

În contextul factorizării L-U prin triangularizare directă, ce valoare are determinantul matricei L, unde L este o matrice inferior triunghiulară unitate?

-1

1 (correct)

Un număr diferit de zero

Dacă 𝐴 = 𝐿 ∙ 𝑈, unde U este o matrice superior triunghiulară, cum se calculează determinantul matricei U?

Produsul elementelor de pe diagonala principală a lui U. (correct)

Suma elementelor de pe diagonala principală a lui U.

Inversul produsului elementelor de pe diagonala principală a lui U.

Suma tuturor elementelor din U.

În cazul factorizării L-U prin triangularizare cu pivotare parțială (P * A = L' * U), ce factor suplimentar intervine în calculul determinantului lui A comparativ cu triangularizarea directă?

det(P^-1) (C) Signup and view all the answers

Cum se calculează determinantul matricei A, dacă factorizarea sa L-U, folosind pivotarea parțială, duce la P * A = L' * U, unde 𝑛𝑝ℓ reprezintă numărul de permutări?

det(A) = (-1)^𝑛𝑝ℓ * ∏𝑢𝑖,𝑖 (C) Signup and view all the answers

Ce condiție trebuie să îndeplinească coeficienții unei matrice pentru stabilitatea numerică a metodei iterative?

Să respecte inegalitatea | a i , j / a i ,i | < 1 pentru toți i și j, cu i ≠ j. (C) Signup and view all the answers

Care este condiția pentru ca metoda Gauss-Seidel să fie convergentă?

Matricea A să fie diagonal dominantă pe linii. (C) Signup and view all the answers

Cum este relaționată raza spectrală a metodei Gauss-Seidel cu raza spectrală a metodei Jacobi?

Raza spectrală a metodei Gauss-Seidel este aproximativ egală cu pătratul razei spectrale a metodei Jacobi. (B) Signup and view all the answers

Ce implică o rază spectrală subunitară pentru o metodă iterativă?

Convergența metodei. (B) Signup and view all the answers

Cum se compară viteza de convergență a metodei Gauss-Seidel cu cea a metodei Jacobi?

Metoda Gauss-Seidel are o viteză de convergență mai mare. (D) Signup and view all the answers

În rezolvarea ecuațiilor matriciale de tipul $AX = B$, unde $B = I_n$, care este relația corectă pentru calculul inversei $A^{-1}$ ?

$A^{-1} = X = [x_1 ; x_2 ; ... ; x_n]$ (D) Signup and view all the answers

În factorizarea $A = LU$, ce reprezintă matricele $L$ și $U$?

$L$ este o matrice inferior triunghiulară, iar $U$ este o matrice superior triunghiulară. (B) Signup and view all the answers

În algoritmul bazat pe factorizarea $LU$, ce reprezintă vectorul $e_k$ utilizat în rezolvarea sistemelor $A \cdot x_k = e_k$?

Un vector cu toate elementele egale cu 0, cu excepția elementului $k$ care este 1. (C) Signup and view all the answers

În metoda de calcul bazată pe triangularizarea cu pivotare parțială, care este rolul matricei $P$?

Permută liniile matricei $A$ pentru a reduce erorile de calcul. (D) Signup and view all the answers

În metoda iterativă pentru rezolvarea sistemelor de ecuații, care este condiția pentru ca șirul de vectori $x^{[k]}$ să conveargă la soluția corectă $x$?

$lim_{k \to \infty} ; x^{[k]} = x$ (C) Signup and view all the answers

Care este principalul dezavantaj al calculului explicit al inversei unei matrici în rezolvarea sistemelor liniare?

Necesită un număr mare de operații cu virgulă mobilă. (B) Signup and view all the answers

În contextul metodelor iterative, ce reprezintă matricea $N$ în descompunerea $A = N - P$?

O matrice nesingulară. (B) Signup and view all the answers

Ce reprezintă substitutia 'inainte' in contextul factorizarii L-U?

Rezolvarea sistemului $L \cdot y_k = e_k$. (C) Signup and view all the answers

Care este semnificația condiției $|| x^{[s]} - x^{[s-1]} ||_{\alpha} \leq \epsilon$ impusă în procesul iterativ?

Indică momentul în care diferența dintre două aproximări succesive ale soluției este suficient de mică, sugerând convergența. (A) Signup and view all the answers

Ce reprezintă raza spectrală a matricei G, notată cu $\rho(G)$?

Valoarea absolută maximă a valorilor proprii ale matricei G. (C) Signup and view all the answers

Care este condiția necesară și suficientă pentru convergența șirului de vectori generat de metoda iterativă?

Toate valorile proprii ale matricei G să fie subunitare în modul, sau altfel spus, raza spectrală a matricei G să fie subunitară. (B) Signup and view all the answers

Ce implică o rază spectrală subunitară mai mică a matricei G pentru viteza de convergență a șirului de vectori?

Viteza de convergență este mai mare. (A) Signup and view all the answers

În contextul metodelor numerice iterative, care este o condiție suficientă pentru ca raza spectrală a matricei G să fie subunitară?

$||G||_{\infty} < 1$ (A) Signup and view all the answers

Ce reprezintă $||G||_{\infty}$ în contextul condiției suficiente pentru convergența metodei iterative?

Norma matricială infinit a matricei G. (C) Signup and view all the answers

Cum sunt definite matricile L, D și U în descompunerea $A = L + D + U$ utilizată în metoda Jacobi și Gauss-Seidel?

L este inferior triunghiulară cu diagonala principală nulă, D este diagonală cu elementele de pe diagonala principală a matricei A, iar U este superior triunghiulară cu diagonala principală nulă. (D) Signup and view all the answers

În metoda Jacobi, cum este definită matricea N și P, utilizate în formula iterativă $x^{[k+1]} = N^{-1}Px^{[k]} + N^{-1}b$?

N = D, P = -(L + U) (B) Signup and view all the answers

Care este forma explicită a iterației metodei Jacobi pentru calculul lui $x_i^{(k+1)}$?

$x_i^{(k+1)} = \frac{b_i}{a_{i,i}} - \sum_{j=1, j\neq i}^{n} \frac{a_{i,j}}{a_{i,i}} x_j^{(k)}$ (A) Signup and view all the answers

Cum este definită matricea $G_{Jacobi}$ în contextul metodei Jacobi?

$G_{Jacobi} = -D^{-1}(L+U)$ (B) Signup and view all the answers

Ce reprezintă elementul $g_{i,j}$ al matricei $G_{Jacobi}$ dacă $i \neq j$?

$g_{i,j} = - \frac{a_{i,j}}{a_{i,i}}$ (A) Signup and view all the answers

Care dintre următoarele condiții garantează convergența metodei Jacobi?

$\sum_{j=1, j\neq i}^{n} |a_{i,j}| < |a_{i,i}|$, pentru orice i de la 1 la n (B) Signup and view all the answers

Ce înseamnă că o matrice A este diagonal dominantă pe linii?

Modulul fiecărui element de pe diagonală este mai mare decât suma modulelor celorlalte elemente de pe aceeași linie. (C) Signup and view all the answers

Care este condiția esențială pentru ca metoda Jacobi să fie convergentă când matricea A este diagonal dominantă pe linii?

Metoda Jacobi este convergentă indiferent de estimația inițială a soluției. (A) Signup and view all the answers

Cum este calculat elementul $x_i^{(k+1)}$ în cadrul metodei Jacobi?

Folosind valorile $x_j^{(k)}$ de la iteratia anterioara pentru toti j diferiti de i. (A) Signup and view all the answers

În formula matricială $G_{Jacobi} = -D^{-1}(L + U)$, ce reprezintă matricea 'D'?

Matricea diagonală formată din elementele de pe diagonala principală a lui A. (C) Signup and view all the answers

Care este scopul principal al triangularizării cu pivotare parțială într-un sistem de ecuații liniare?

Să descompună matricea coeficienților într-un produs de matrice triunghiulare, cu permutări de linii. (C) Signup and view all the answers

În procesul de triangularizare cu pivotare parțială, cum se alege pivotul la pasul k?

Se alege elementul cu cea mai mare valoare absolută din coloana k, începând de la elementul de pe diagonala principală în jos. (B) Signup and view all the answers

Ce reprezintă matricea de permutare de linii, 𝑃𝑘, în contextul triangularizării cu pivotare parțială?

O matrice care permută liniile matricei curente dacă este necesar, conform strategiei de pivotare. (C) Signup and view all the answers

Care este proprietatea cheie a matricei de permutare de linii 𝑃𝑘?

det($P_k$) = -1 și $P_k$ = $P_k^{-1}$ (C) Signup and view all the answers

Ce este matricea generală de permutare de linii, P, conform teoremei menționate?

Produsul tuturor matricelor de permutare ale pasilor individuali ($P_k$) (C) Signup and view all the answers

Care este relația corectă obținută în urma aplicării triangularizării cu pivotare parțială?

$P A = L' U$ (D) Signup and view all the answers

Ce proprietate au elementele matricei inferior triunghiulare unitare L'?

Elementele de sub diagonala principală sunt mai mici sau egale cu 1 în valoare absolută. (A) Signup and view all the answers

Care este rolul matricei $M_k$ în algoritmul de triangularizare cu pivotare parțială?

Transformă matricea astfel încât elementele de sub pivotul de pe coloana k devin zero. (D) Signup and view all the answers

Ce operație este realizată de $M_k P_k A_k$ în algoritmul de triangularizare cu pivotare parțială?

Aplică eliminarea Gauss pe matricea $A_k$, după permutarea liniilor. (B) Signup and view all the answers

Care este ordinea corectă a pașilor pentru rezolvarea unui sistem $A x = b$ utilizând triangularizarea cu pivotare parțială?

Factorizare LU, calcul $c = Pb$, rezolvare $L'y = c$, rezolvare $Ux = y$. (B) Signup and view all the answers

Ce reprezintă vectorul c în etapele rezolvării sistemului de ecuații liniare, după aplicarea triangularizării cu pivotare parțială?

Un vector obținut prin înmulțirea vectorului 'b' cu matricea de permutare P. (C) Signup and view all the answers

Ce metodă de rezolvare se utilizează pentru sistemul $L'y = c$?

Substituție directă. (A) Signup and view all the answers

Ce se întâmplă dacă algoritmul de triangularizare cu pivotare parțială eșuează, găsind un pivot nul sau foarte mic?

Aceasta indică faptul că primele k coloane ale matricei A sunt liniar dependente în aritmetica reală. (C) Signup and view all the answers

În cadrul descompunerii $PA=L'U$, ce matrice este utilizată pentru a realiza transformările de linie necesare pentru aducerea sistemului la o formă superior triunghiulară?

Matricea $P$ (D) Signup and view all the answers

Flashcards

Determinantul unei matrici prin descompunerea L-U

Determinantul unei matrici A poate fi calculat prin descompunerea L-U. Se foloseşte relaţia: det(A) = det(L) * det(U), unde L este o matrice triunghiulară inferioară cu unităţi pe diagonala principală, iar U este o matrice triunghiulară superioară. Determinantul unei matrici triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonala principală.

Determinantul unei matrici cu pivotare parţială

Dacă se foloseşte pivotarea parţială, descompunerea L-U se schimbă în P * A = L' * U, unde P este o matrice de permutare. Determinantul unei matrici de permutare este 1 sau -1, în funcţie de numărul de permutări.

Inversa unei matrici prin descompunerea L-U

Inversa unei matrici A, notată cu A^-1, se poate calcula prin descompunerea L-U. Se poate găsi soluţia sistemului de ecuaţii Ax = b, unde b este o matrice unitate, iar x va reprezenta inversa matricei A.

Rezolvarea sistemului de ecuaţii Ax = b pentru inversarea matricei

Pentru a calcula inversa unei matrici, se foloseşte descompunerea L-U şi se rezolvă un sistem de ecuaţii Ax = b, unde b este matricea unitate. Soluţia x va reprezenta inversa matricei A.