Algoritmanalys och datastrukturer

Vågegenskaper

• Vågor genereras av oscillerande källor.
• Dessa oscillationer färdas bort från källan.
• Oscillationer kan fortplanta sig genom ett medium (t.ex. luft, vatten) eller i vakuum (d.v.s. inga partiklar), beroende på vågtypen.

Vågfunktioner

• För att beskriva egenskaperna hos vandringsvågor måste följande nyckelord definieras:
  • Våglängd (m) är avståndet mellan en punkt på en våg och samma punkt på nästa cykel av vågen, t.ex. två toppar eller två dalar.
  • Amplitud A (m) är magnituden av den maximala förskjutningen som uppnås av en oscillation i vågen.
  • Period T(s) är den tid det tar för en fullständig oscillation vid en punkt på vågen.
  • Frekvens f (Hz) är antalet fullständiga vågcykler per sekund.
  • Våghastighet c (m/s) är hastigheten på vågens rörelse.

Vågtyper

• Två distinkta vågtyper:
  • Longitudinella vågor - medelpartiklarna vibrerar parallellt med våghastighetens riktning (ljudvågor).
  • Transversella vågor - partiklarna i mediet vibrerar i räta vinklar mot vågens hastighetsriktning (elektromagnetiska vågor och ljusvågor).
• Mekaniska vågor behöver ett medium, t.ex. ljud och vatten.
• Elektromagnetiska vågor behöver inget medium, t.ex. ljus.
• Partiklar vibrerar i fasta positioner, endast energin överförs och alla punkter längs en våg har samma vibrationsmönster.

Vågekvationen

• Vågekvationen kopplar samman våghastighet, frekvens och våglängd
• v = fλ
  • v = våghastighet (m/s)
  • f = frekvens (Hz)
  • λ = våglängd (m)
• Vågekvationen visar att för en våg med konstant hastighet:
  • När våglängden ökar minskar frekvensen.
  • När våglängden minskar ökar frekvensen.

Grafer över transversella och longitudinella vågor

Det finns två vanliga grafer över transversella vågor; förskjutning mot avstånd och förskjutning mot tid

• Liknande eftersom de producerar en sinusformad kurva
• Olika eftersom förskjutningen mot avstånd visar förskjutningen av en punkt på vågen, men förskjutningen mot tid visar vågen själv som rör sig längs en linje
• I grafen för förskjutning mot avstånd anges rörelse uppåt från mittlinjen som ett positivt tecken och rörelse nedåt som ett negativt tecken.
• Amplituden och våglängden kan hittas
• I grafen för förskjutning mot tid.
  • Tidsperioden kan avläsas direkt.
  • Det innebär att frekvensen kan hittas indirekt som f = 1/T
• För att bestämma nästa position för en punkt på vågen
  • Rita en fullständig våg efter den tid som förflutit genom att titta på rörelseriktningen
  • Varje punkt oscillerar vinkelrätt mot vågen och förblir därför på den normala linjen oavsett var vågen korsar den - Att plotta förskjutning mot avstånd ger också en sinusformad graf. Den kan användas för att visa var komprimerande och sällsynta företeelser finns.

Diffraktion

• Detta är spridningen av vågor när de färdas genom en öppning eller runt ett hörn.
• Diffraktionen beror på storleken på öppningen eller hindret.
  • Ju smalare öppning, desto mer sprids vågorna.
  • Ju bredare öppning, desto mindre sprids vågorna.
• Frekvens, våglängd och hastighet ändras inte; endast formen ändras
• Huygens utvecklade en modell för vågutbredning som antydde att varje punkt på en vågfront kan betraktas som en punktkälla för sekundära vågor (som han kallade vågelement).
  • Detta leder till ett diagram som kallas Huygens konstruktion, som visar att nya vågfronter tangerar de sekundära vågelementen. Tangenterna skapar kurvan för den nya vågfronten som antingen kommer ut genom öppningen eller runt hindret
• När en våg möter ett hinder bildas ett diffraktionsmönster runt kanterna, med en "skugga" skapad bakom hindret dit ingen del av vågen når.

Interferens och superposition av vågor

• Interferens uppstår varje gång två eller flera vågor kombineras för att producera en resulterande våg med en ny amplitud.
• Superposition betyder bokstavligen att vara placerad över något.
• När vågor interfererar och kombineras gör de det enligt superpositionsprincipen
• Om två vågfronter rör sig mot varandra kombineras de genom superposition och passerar sedan genom
• Vågfronterna kommer ut oförändrade på andra sidan
• Interferens på grund av superposition kan vara konstruktiv eller destruktiv
  • Konstruktiv interferens uppstår när den resulterande vågen har en större amplitud än någon av de enskilda vågorna.
  • Destruktiv interferens uppstår när den resulterande vågen har en mindre amplitud än de enskilda vågorna.

Koherens

• Interferens kan endast observeras om den produceras av en koherent källa.
• Vågor sägs vara koherenta om de har:
  • En konstant fasskillnad
  • Samma frekvens
• Ett koherent ljus innehåller ljusvågor som är monokromatiska och har en konstant fasskillnad
  • Monokromatiskt ljus har ljusvågor med en enda frekvens
  • Laserljus är ett exempel på en koherent ljuskälla
  • Glödlampslampa producerar inkoherent ljus

Fas- och vägskillnad

• Vågor sägs vara koherenta om de har:
  • Samma frekvens
  • En konstant fasskillnad
• Fasskillnad
  • Två punkter på en våg, eller på olika vågor, är i fas när de befinner sig på samma punkt i sin vågrörelse.
  • Vinkeln mellan deras vågrörelser är fasskillnaden
• Vägskillnad
  • Vilken typ av interferens som uppstår vid en viss punkt (dvs. konstruktiv eller destruktiv) beror på vägskillnaden för de överlappande vågorna.
  • Vägskillnad definieras som: skillnaden i avstånd som två vågor färdas från sina källor till den punkt där de möts.
  • Vägskillnad uttrycks vanligtvis i multiplar av våglängd.
    • Villkoret för konstruktiv störning är en vägskillnad på nλ.
    • Villkoret för destruktiv störning är en vägskillnad på (n + 1/2)λ.

Stationära vågor

• Stationära vågor, eller stående vågor, produceras av superpositionen av två vågor med samma frekvens och amplitud som färdas i motsatta riktningar.
• Detta uppnås vanligtvis genom en vandringsvåg och dess reflektion. Superpositionen ger ett vågmönster där topparna och dalarna inte rör sig.
• Vibrationer orsakade av stationära vågor på en sträckt sträng ger ljud
  • Detta är hur stränginstrument, som gitarrer eller fioler, fungerar.
  • Detta kan demonstreras med en oscillator som vibrerar en stränglängd under spänning fastsatt i ena änden
• När oscillatorns frekvens ändras bildas stationära vågor med olika antal minima (noder) och maxima (antinoder).
• Mikrovågor
  • En mikrovågskälla placeras i linje med en reflekterande platta och en liten detektor.
  • Reflektorn kan flyttas till och från källan för att variera det stationära vågmönstret som bildas
  • Genom att flytta detektorn kan den fånga upp minsta (noder) och största (antinoder) av det stationära vågmönstret
• Luftkolumner
  • Bildandet av stationära vågor inuti en luftkolumn kan produceras av ljudvågor
  • Det är så musikinstrument, som klarinetter och orglar, fungerar.
  • Detta kan demonstreras genom att placera ett fint pulver i luftkolumnen och en högtalare i den öppna änden.
  • Vid vissa frekvenser bildar pulvret jämnt fördelade högar längs röret, vilket visar var det är nollturbulens som ett resultat av noderna i den stationära vågen
• För att producera en stationär våg måste det finnas ett minimum (nod) i ena änden och ett maximum (antinod) i änden med högtalaren
• Noder och Antinoder
  • En stationär våg består av noder och antinoder
  • Noder är där det inte finns någon vibration
  • Antinoder är där vibrationerna är vid sin maximala amplitud
  • Noderna och antinoderna rör sig inte längs strängen. Noder är fasta och antinoder rör sig bara i vertikal riktning
  • Mellan noderna är alla punkter längs den stationära vågen i fas.

Våghastighet på en sträckt sträng

• Hastigheten på en våg som färdas längs en sträng med två fasta ändar ges av:
• v = √(T/µ)
  • T= spänningen i strängen (N)
  • µ = massa per längdenhet av strängen (kg/m)
• Vid den grundläggande frekvensen, fo, för en stationär våg av längd L, är våglängden, λ = 2L
• Därför, enligt vågekvationen, är hastigheten på den stationära vågen: v = fλ = f x 2L
• Om dessa två ekvationer kombineras leder det till ekvationen för den grundläggande frekvensen (ibland kallad den första harmoniska): f = (1/2L)√(T/µ)
  • f = frekvens (Hz)
  • L = strängens längd (m)
  • T= spänningen i strängen (N)
  • µ = massa per längdenhet (kg/m)
  • Mass per längd kan beräknas genom att dela strängens massa med strängens längd

Diffraktionsgitterekvation

• Ett diffraktionsgitter är en platta på vilken det finns ett stort antal parallella, identiska och tätt åtskilda spalter. När monokromatiskt ljus infaller på ett gitter produceras ett mönster av smala ljusa ränder på en skärm.
  • Vinklarna vid vilka intensitetens maxima (konstruktiv interferens) produceras kan härledas från diffraktionsgitterekvationen.
  • d sin(θ) = nλ
    • d = avstånd mellan intilliggande spalter (m)
    • θ = vinkel mellan ordningens maxima (grader)
    • λ = ljuskällans våglängd (m)
    • n = ordningens maxima n = 0, 1, 2, 3 ...
• Frågor anger ibland linjerna per m (eller per mm, per nm etc.) på gittret som representeras av symbolen N. Därför kan d beräknas från N genom att använda ekvationen
• d = 1/N

Vinkelavstånd

• Det vinkelmässiga avståndet för varje maximum beräknas genom att ordna om gitterekvationen för att göra θ till subjektet.
• Vinkeln tas från mitten, vilket innebär att de högre ordningarna är större vinklar.
• Det vinkelmässiga avståndet mellan två vinklar hittas genom att subtrahera den mindre vinkeln från den större vinkeln.
• Det vinkelmässiga avståndet mellan den första och andra maximumen n₁ och n2 är 02-01

Ordningens maxima

• Den maximala vinkeln för att se ordningens maxima är när strålen är i räta vinklar mot diffraktionsgittret.
  • Det betyder θ = 90° och sin θ = 1
  • Den högsta ordningen av synliga maxima beräknas därför med ekvationen: n = d/λ
• Observera att eftersom n måste vara ett heltal måste värdet avrundas nedåt om det är en decimal
  • T.ex. om n beräknas som 2,7, är n = 2 den högsta synliga ordningen

Elektronernas vågnatur

Elektrondiffraktion var det första tydliga beviset för att materia kan bete sig som ljus och har vågegenskaper

• Detta demonstreras med hjälp av elektrondiffraktionsröret
  • Elektronerna accelereras i en elektronkanon till en hög potential och riktas sedan genom en tunn grafitfilm.
  • Grafits gitterstruktur fungerar som öppningarna i ett diffraktionsgitter
  • Elektronerna bryts från öppningarna mellan kolatomerna och producerar ett cirkulärt mönster på en fluorescerande skärm gjord av luminofor
• För att observera diffraktionen av elektroner måste de fokuseras genom en öppning som liknar deras storlek, t.ex. ett atomgitter
  • Grafitfilm är idealisk för detta ändamål på grund av sin kristallina struktur
    • Gapen mellan angränsande plan av atomer i kristallerna fungerar som slitsar, vilket gör att elektronvågorna sprids ut och skapar ett diffraktionsmönster
    • Diffraktionsmönstret observeras på skärmen som en serie koncentriska ringar
      • Detta fenomen liknar diffraktionsmönstret som produceras när ljus passerar genom ett diffraktionsgitter
      • Om elektronerna agerade som partiklar skulle inget mönster observeras utan i stället skulle partiklarna vara jämnt fördelade över skärmen
  • Det observeras att en större accelerationsspänning minskar diametern på en given ring, medan en lägre accelerationsspänning ökar ringarnas diameter

Refraktion och brytningsindex

• Refraktion sker när ljus passerar en gräns mellan olika transparenta medier
• Vid gränsen genomgår ljusstrålarna en förändring av riktning och hastighet.
• Ändringen av riktning orsakas av ändringen i hastighet
• När man går in i ett tätare medium saktar ljuset ner och böjs mot normalen
  • I det tätare mediet finns fler partiklar närmare varandra, vilket ger mer friktion till ljusets passage genom materialet
• När man går in i ett mindre tätt medium accelererar ljuset och det böjs bort från normalen
• När ljus passerar längs normalen (vinkelrätt) ändras inte ljusets hastighet eller riktning

Beräkning av brytningsindex

• Brytningsindexet, n, är en materialegenskap som mäter hur mycket ljuset saktar ner när det passerar genom det.
• n = c/v
  • c = ljushastigheten i vakuum (m/s)
  • v = ljushastigheten i ett ämne (m/s)
• Ljus färdas med olika hastigheter i olika ämnen beroende på deras brytningsindex
  • Ett material med ett högt brytningsindex kallas optiskt tätt; sådana material gör att ljuset rör sig långsammare
• Eftersom ljushastigheten i ett ämne alltid är mindre än ljushastigheten i ett vakuum är värdet på n alltid större än 1.
  • Vid beräkningar kan luftens brytningsindex antas vara ungefär 1
    • Detta beror på att ljuset inte saktar ner nämnvärt när det färdas genom luft (i motsats till att färdas genom ett vakuum).

Snells lag

• Snells lag relaterar infallsvinkeln till brytningsvinkeln och ges av:
• n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂
  • n₁ = brytningsindex för material 1
  • n₂ = brytningsindex för material 2
  • θ₁ = strålens infallsvinkel i material 1(°)
  • θ₂ = strålens brytningsvinkel i material 2(°)
• Snells lag används för att hitta brytningsindexen eller vinklarna mot normalen vid en gräns
  • θ₁ och θ₂ tas alltid från normalen
    • Material 1 är alltid materialet som strålen går igenom först
    • Material 2 är alltid materialet som strålen går igenom andra gången.

Kritisk vinkel

• När infallsvinkeln ökar, ökar också brytningsvinkeln tills den når 90°.
• När brytningsvinkeln är exakt 90° bryts ljuset längs gränsen.
• Vid denna tidpunkt är infallsvinkeln känd som den kritiska vinkeln C. Denna vinkel kan hittas med hjälp av formeln:
• sin(C) = 1/n
  • θ₁ = C
  • θ₂ = 90°
  • n₁ = n
  • n₂ = 1 (luft)

Total intern reflektion

• Total intern reflektion (TIR) inträffar när: infallsvinkeln är större än den kritiska vinkeln och infallande brytningsindex n₁ är större än materialets brytningsindex vid gränsen n₂
  • Därför är de två villkoren för total intern reflektion:
    • Vinkeln, θ₁ > den kritiska vinkeln, C.
    • Brytningsindex n₁ > brytningsindex n₂ (luft)
• Två förutsättningar är nödvändiga för att total intern reflektion ska ske:
  • Ljuset måste gå från ett tätare medium till ett mindre tätt medium
  • Infallsvinkeln måste vara större än den kritiska vinkeln

Plan polarisering

• Transversala vågor kan svänga i vilket plan som helst vinkelrätt mot rörelseriktningen (och energiöverföringen).
• Sådana vågor sägs vara opolariserade
• Polarisering uppstår när partiklar bara får svänga i en av riktningarna vinkelrätt mot rörelseriktningen. När en transversell våg polariseras får dess elektriska fält bara svänga i ett fast plan vinkelrätt mot vågens rörelseriktning.
  • För elektromagnetiska vågor är det planet för de elektriska fältens svängning som definierar dess polarisationsplan.
  • En transversell våg kan vara vertikalt polariserad, horisontellt polariserad eller polariserad i vilken riktning som helst däremellan
• Eftersom longitudinella vågor svänger i samma riktning som rörelseriktningen kan polarisation av longitudinella vågor inte ske
  • Polarisationsmetoder inkluderar polarisationsfilter och reflektion från en icke-metallyta
• Polariserande filter
  • Ljusvågor kan polariseras genom att de passerar genom ett polariserande filter (även känt som en polarisator).
  • Filtret påför sitt polarisationsplan på den infallande ljusvågen.

Frågor om tidskomplexitet och datastrukturer som stackar och köer. Diskussion om binärsökning, rekursion, dynamisk programmering och sorteringsalgoritmer. Utforska prestanda och skalbarhet inom algoritmer.