Algèbre Linéaire: Systèmes d'Équations Linéaires

Algèbre Linéaire et Géométrie Analytique I

Chapitre 1: Systèmes d'Équations Linéaires

• L'algèbre linéaire s'intéresse aux espaces vectoriels, applications linéaires et systèmes d'équations linéaires utilisés dans divers domaines tels que l'ingénierie, la physique, l'économie et l'informatique.

Définitions Clés

• Une équation linéaire est de la forme $a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b$, où $a_i$ et $b$ sont des constantes et $x_i$ sont des variables.

• Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations linéaires : $$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \ \vdots \ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $$

• Une solution est un ensemble de valeurs qui satisfait chaque équation dans le système.

• Compatible: Le système possède au moins une solution.

• Incompatible: Le système n'a aucune solution.

• Déterminé: Le système possède une unique solution.

• Indéterminé: Le système possède une infinité de solutions.

Résolution des systèmes d'équations linéaires

Méthode de substitution

• Exprimer une variable en fonction des autres, puis substituer cette expression dans les autres équations.

Méthode d'élimination de Gauss

• Transformer le système en un système équivalent plus simple en utilisant les opérations élémentaires : échange, multiplication par une constante non nulle, et addition d'un multiple d'une équation à une autre.
• Le système est transformé en une forme échelonnée ou échelonnée réduite.

Représentation matricielle

• Un système d'équations linéaires peut être représenté sous la forme $Ax = b$, où $A$ est la matrice des coefficients, $x$ est le vecteur des variables, et $b$ est le vecteur des constantes.

Exemples et Applications

• Les exemples comprennent la résolution de systèmes par substitution et élimination de Gauss et l'interprétation géométrique des solutions.
• Les applications comprennent la résolution des lois de Kirchhoff dans les circuits électriques, l'équilibre des forces en mécanique, les modèles économiques linéaires et les problèmes de graphes en informatique.

Résumé

• Les systèmes d'équations linéaires sont un outil puissant pour résoudre des problèmes divers.
• La substitution et l'élimination de Gauss sont des méthodes efficaces pour la résolution.
• La représentation matricielle offre une manière concise de manipuler les systèmes d'équations.

Trading Algorithmique

Définition

• Le trading algorithmique, également connu sous le nom d'algo-trading, trading en boîte noire ou trading automatisé, utilise un programme informatique suivant un ensemble d'instructions définies (un algorithme) pour effectuer une transaction.
• L'algorithme est basé sur le temps, le prix, la quantité et tout modèle mathématique.
• Il est largement utilisé par les banques d'investissement, les fonds de pension, les fonds communs de placement et les fonds spéculatifs.

Avantages

• Exécution des transactions aux meilleurs prix possibles.
• Réduction des coûts de transaction.
• Exécution simultanée des ordres.
• Réduction du risque d'erreurs manuelles.
• Backtesting pour vérifier la viabilité de la stratégie.

Types de stratégies de trading algorithmique

1. Stratégies de suivi de tendance : moyennes mobiles, breakout, régression linéaire.
2. Opportunités d'arbitrage : arbitrage triangulaire, arbitrage statistique, arbitrage d'indice.
3. Stratégies basées sur des modèles mathématiques : stratégies delta neutres, reversion à la moyenne, pourcentage du volume (POV).
4. Algorithmes d'exécution : VWAP (volume-weighted average price), TWAP (time-weighted average price), déficit d'implémentation.

Algèbre Linéaire (Plus en Détail)

1. Définitions

1.1. Espace vectoriel

• Ensemble $E$ muni d'une addition ($+$) et d'une multiplication scalaire ($\cdot$) respectant certains axiomes.

1.2. Sous-espace vectoriel

• Sous-ensemble $F$ d'un espace vectoriel $E$ qui est non vide, stable par addition, stable par multiplication scalaire.

1.3. Combinaison linéaire

• Expression de la forme $\lambda_1 x_1 +... + \lambda_n x_n$, où $x_i$ sont des vecteurs et $\lambda_i$ sont des scalaires.

1.4. Espace engendré

• Ensemble de toutes les combinaisons linéaires d'une famille de vecteurs. Noté $Vect(x_1,..., x_n)$.

1.5. Famille libre

• Une combinaison linéaire nulle implique des coefficients nuls : $\lambda_1 x_1 +... + \lambda_n x_n = 0 \Rightarrow \lambda_1 =... = \lambda_n = 0$.

1.6. Famille génératrice

• L'espace engendré par la famille est égal à l'espace vectoriel entier : $Vect(x_1,..., x_n) = E$.

1.7. Base

• Famille de vecteurs à la fois libre et génératrice.

1.8. Dimension

• Nombre de vecteurs dans une base. Notée $dim(E)$.

Applications linéaires

2.1. Définition

• Application $f : E \rightarrow F$ qui conserve l'addition et la multiplication scalaire.

2.2. Noyau et Image

• Noyau : $Ker(f) = { x \in E \mid f(x) = 0 }$.
• Image : $Im(f) = { y \in F \mid \exists x \in E, f(x) = y }$.

2.3. Rang

• Dimension de son image : $rg(f) = dim(Im(f))$.

2.4. Théorème du rang

• $dim(E) = dim(Ker(f)) + rg(f)$.

Matrices

3.1. Définition

• Tableau de scalaires à $m$ lignes et $n$ colonnes.

3.2. Opérations

• Addition, multiplication scalaire, multiplication matricielle, transposition.

3.3. Matrice inverse

• Matrice $A$ inversible si $AB = BA = I$.

3.4. Déterminant

• Scalaire caractérisant l'inversibilité d'une matrice. Exemple pour une matrice 2x2: $A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}, det(A) = ad - bc$.

3.5. Valeurs propres et vecteurs propres

• Vecteur propre $x$ de $A$ tel que $Ax = \lambda x$, où $\lambda$ est une valeur propre, trouvée en résolvant $det(A - \lambda I) = 0$.

Physique Statistique

Concepts clés

• La physique statistique relie les lois de la physique au niveau microscopique aux systèmes macroscopiques.
• Elle étudie les fluctuations, transitions de phase et comportements émergents.
• Ensemble: Un grand nombre de systèmes idénticos utilisés pour calculer les valeurs moyennes.
• Microétats et Macroétats: Décrivent respectivement l'état détaillé de chaque particule et les propriétés macroscopiques générales.
• Hipótesis fondamental de la física estadística: En un système isolé en équilibre, tous les microétats accessibles sont également probables.
• Entropie: Mésure le nombre de microétats correspondants à un macroétat donné. $S = k_B \ln \Omega$.
• Température: Liée à l'énergie moyenne par particule. $\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial E})_V$.

Exemples

• Gaz ideal : $PV = NkB T$

WCAG 2.1

Principes

• Perceptible: L'information et les composants doivent pouvoir être perçus.
• Utilisable: Les composants et la navigation doivent être utilisables.
• Compréhensible: L'information doit être compréhensible.
• Robuste: Le contenu doit être compatible avec une variété de technologies, y compris les outils d'assistance.

Niveaux de Conformité

Niveau A

• Alternatives textuelles pour tout contenu non textuelles.
• Alternative pour les médias audio-video
• Contenu adaptable
• Facile à distinguer visuelement.
• Accessible par clavier
• Assez de temps prévu..
• Navigable.
• Lisible
• Comportemente prévisible
• Assistance Input

Niveau AA

• Légendes.
• Assurez-vous que la concentration n'est pas piégée à l'intérieur.
• Limites de temps réglables
• Formes multiples.
• Etiquètes et noms

Niveau AAA

• Langue des signes pour multimédia.
• Contrôle, meilleur contraste.
• Aucune exception
• Pas des pauses.