18 Questions
Associez les éléments suivants avec la méthode utilisée pour résoudre les formes quadratiques:
Méthode de Gauss = Résolution des formes quadratiques Base orthonormale = Transformation des composantes de x Forme quadratique = Existence d'une base pour q Relation mathématique = Expression de q en fonction de x
Faites correspondre les descriptions suivantes avec les concepts associés:
Bases orthogonales = Bases orthonormales Composantes de x = Expressions de q Dimension 2 = Cas spécifique pour q Canonique de R2 = Base standard pour q
Reliez les équations suivantes avec les expressions correctes:
q( x ) = ax12 + bx1 x2 + cx22 = Forme quadratique générale q( x ) = ( x1 + x2 )2 − ( x1 − x2 )2 = Expression simplifiée de q X1 = x1 + x2, X2 = x1 - x2 = Transformation des composantes e1 = 2 e1 + 2 e2, e2 = 2 e1 - 2 e2 = Relations dans la nouvelle base
Corrélez les valeurs suivantes avec les conditions correspondantes:
a = 0, c = 0 = Cas simplifié de q a ≠ 0 ou c ≠ 0 = Cas général de q ab = 21(a + b)2 - (a - b)2 = Relation mathématique clé q( x ) = bx1 x2 = Forme quadratique spéciale
Appariez les expressions suivantes avec le bon contexte:
(e10, e20) est une base orthonormale = Propriété de la nouvelle base q( x ) = X12 - X22 = Forme simplifiée de q X1 = x1 - x2, X2 = x1 + x2 = Transformation des composantes dans la nouvelle base P = [1 1; 1 -1] = Matrice de passage pour la nouvelle base
Associez les éléments suivants avec les actions appropriées:
Poser X1 = x1 + x2, X2 = x1 - x2 = Changement de variables Calculer (x1 + x2)² - (x1 - x2)² = Expression simplifiée de q(x) Trouver la base (e10, e20) = Construction d'une base orthonormale Utiliser la relation ab = 21(a + b)² - (a - b)² = Simplifier l'expression de q(x)
Associez les éléments suivants avec leur définition:
Forme quadratique = Une forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique Forme bilinéaire = Une fonction de deux variables qui est linéaire par rapport à chaque variable Base orthogonale = Une base dans laquelle les vecteurs sont orthogonaux deux à deux Matrice de q dans la base (e1, e2, ..., en) = La matrice représentant une forme quadratique dans une base donnée
Reliez les termes suivants avec leur signification:
Égalité de polarisation = f(x, y) = q(x + y) - q(x) - q(y) Algebre bilineaire = L'étude des espaces vectoriels munis d'une forme bilinéaire Forme bilinéaire symétrique non dégénérée = Une forme bilinéaire qui n'annule aucun vecteur de l'espace sous-jacent Base orthogonale = Une base dans laquelle les vecteurs sont orthogonaux deux à deux
Faites correspondre les expressions avec leur signification:
q(x + y) - q(x) - q(y) = f(x, y) ∑ aii xii^2 + 2 ∑ aij xi xj = q(x) a_ij = a_ji pour tout i, j = Propriété des formes symétriques g(x, y) + g(y, x) = Expression de q(x + y) - q(x) - q(y)
Associez les concepts suivants avec leur description:
Matrice de q dans la base (e1, e2, ..., en) = Représentation matricielle d'une forme quadratique dans une base donnée Forme bilinéaire symétrique associée à q = Une fonction bilinéaire symétrique liée à une forme quadratique Forme quadratique = Une fonction quadratique associée à un espace vectoriel Base orthogonale = Une base constituée de vecteurs perpendiculaires entre eux
Reliez les termes suivants avec leur signification:
f(x, y) = [q(x + y) - q(x) - q(y)] Algebre bilineaire = Étude des espaces vectoriels munis d'une forme bilinéaire Forme bilinéaire symétrique non dégénérée = Une forme bilinéaire qui n'annule aucun vecteur de l'espace sous-jacent Base orthogonale = Base où les vecteurs sont orthogonaux deux à deux
Faites correspondre les expressions avec leur signification:
q(x + y) - q(x) - q(y) = [f(x, y)] ∑ aii xii^2 + 2 ∑ aij xi xj = [q(x)] a_ij = a_ji pour tout i, j = [Propriété des formes symétriques] g(x, y) + g(y, x) = [Expression de q(x + y) - q(x) - q(y)]
Associez les éléments suivants avec les définitions correspondantes :
Forme quadratique = q( x, y, z) = ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2 f yz Matrice de la forme quadratique dans la base canonique = A = (a d e; d b f; e f c) Forme bilinéaire symétrique non dégénérée = f est non dégénérée ⇔ det( A) 6= 0 Application Φ associée à une forme bilinéaire symétrique = Φ : E → E∗ y 7→ Φ(y) telle que ∀ x ∈ E, Φy ( x ) =< x, Φ(y) > = f ( x, y)
Faites correspondre les affirmations suivantes aux bonnes réponses :
Condition pour qu'une forme bilinéaire symétrique soit non dégénérée = Ker (Φ) = {0E∗ } Définition de f non dégénérée = [∀ x ∈ E, < x, Φ(y) >= 0] ⇒ y = 0 Signification de f non dégénérée = [∀ x ∈ E, f ( x, y) = 0] ⇒ y = 0 Relation entre f non dégénérée et la matrice associée = f est non dégénérée ⇔ det( A) 6= 0
Faites le lien entre les bases suivantes et les propriétés associées :
Base canonique = Matrice de la forme quadratique Base orthogonale = Théorème 12: f est non dégénérée ⇔ Ker (Φ) = {0E∗ } Base de dimension finie = Théorème 7: f est non dégénérée ⇔ det( A) 6= 0 Base bijective = f est non dégénérée ⇔ [∀ x ∈ E, < x, Φ(y) >= 0] ⇒ y = 0
Associez les énoncés suivants aux bonnes conclusions :
f non dégénérée implique Ker (Φ) = {0E∗ } = Vrai f non dégénérée implique ∀y ∈ E, Φ(y) = 0E∗ ⇒ y = 0 = Faux f non dégénérée implique [∀ x ∈ E, < x, Φ(y) >= 0] ⇒ y = 0 = Vrai f non dégénérée implique [∀ x ∈ E, f ( x, y) = 0] ⇒ y = 0 = Faux
Corréléz les éléments suivants avec les bonnes explications :
Forme quadratique = Expression de q( x, y, z) Matrice de la forme quadratique dans une base donnée = Mat( f , (e1 , e2 ,..., en )) Forme bilinéaire symétrique non dégénérée = [∀ x ∈ E, < x, Φ(y) >= 0] ⇒ y = 0 Application Φ associée à une forme bilinéaire symétrique dans des bases spécifiques = A = Mat(Φ, (e1 , e2 ,..., e3 ); (e1∗ , e2∗ ,..., e3∗ ))
Faites correspondre les énoncés suivants aux bonnes affirmations :
Condition pour qu'une forme bilinéaire symétrique soit non dégénérée en termes d'application linéaire associée = f est non dégénérée ⇔ Ker (Φ) = {0E∗ } Définition de f non dégénérée en termes d'équation linéaire = [∀ x ∈ E, < x, Φ(y) >= 0] ⇒ y = 0 Interprétation de f non dégénérée en termes d'équation bilinéaire = [∀ x ∈ E, f ( x, y) = 0] ⇒ y = 0 Relation entre une forme bilinéaire symétrique non dégénérée et sa matrice associée = f est non dégénérée ⇔ det( A) 6= 0
Explorez la résolution des formes quadratiques en utilisant la méthode de Gauss dans le cadre de l'algèbre bilinéaire. Découvrez comment trouver une base pour exprimer une forme quadratique sous sa forme canonique. Idéal pour renforcer vos compétences en algèbre linéaire et pour comprendre les concepts avancés de résolution des équations quadratiques.
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