Algèbre bilinéaire - Méthode de Gauss pour les formes quadratiques

Méthode de Gauss = Résolution des formes quadratiques Base orthonormale = Transformation des composantes de x Forme quadratique = Existence d'une base pour q Relation mathématique = Expression de q en fonction de x

Bases orthogonales = Bases orthonormales Composantes de x = Expressions de q Dimension 2 = Cas spécifique pour q Canonique de R2 = Base standard pour q

q( x ) = ax12 + bx1 x2 + cx22 = Forme quadratique générale q( x ) = ( x1 + x2 )2 − ( x1 − x2 )2 = Expression simplifiée de q X1 = x1 + x2, X2 = x1 - x2 = Transformation des composantes e1 = 2 e1 + 2 e2, e2 = 2 e1 - 2 e2 = Relations dans la nouvelle base

<p>a = 0, c = 0 = Cas simplifié de q a ≠ 0 ou c ≠ 0 = Cas général de q ab = 21(a + b)2 - (a - b)2 = Relation mathématique clé q( x ) = bx1 x2 = Forme quadratique spéciale</p> Signup and view all the answers

<p>(e10, e20) est une base orthonormale = Propriété de la nouvelle base q( x ) = X12 - X22 = Forme simplifiée de q X1 = x1 - x2, X2 = x1 + x2 = Transformation des composantes dans la nouvelle base P = [1 1; 1 -1] = Matrice de passage pour la nouvelle base</p> Signup and view all the answers

<p>Poser X1 = x1 + x2, X2 = x1 - x2 = Changement de variables Calculer (x1 + x2)² - (x1 - x2)² = Expression simplifiée de q(x) Trouver la base (e10, e20) = Construction d'une base orthonormale Utiliser la relation ab = 21(a + b)² - (a - b)² = Simplifier l'expression de q(x)</p> Signup and view all the answers

<p>Forme quadratique = Une forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique Forme bilinéaire = Une fonction de deux variables qui est linéaire par rapport à chaque variable Base orthogonale = Une base dans laquelle les vecteurs sont orthogonaux deux à deux Matrice de q dans la base (e1, e2, ..., en) = La matrice représentant une forme quadratique dans une base donnée</p> Signup and view all the answers

<p>Égalité de polarisation = f(x, y) = q(x + y) - q(x) - q(y) Algebre bilineaire = L'étude des espaces vectoriels munis d'une forme bilinéaire Forme bilinéaire symétrique non dégénérée = Une forme bilinéaire qui n'annule aucun vecteur de l'espace sous-jacent Base orthogonale = Une base dans laquelle les vecteurs sont orthogonaux deux à deux</p> Signup and view all the answers

<p>q(x + y) - q(x) - q(y) = f(x, y) ∑ aii xii^2 + 2 ∑ aij xi xj = q(x) a_ij = a_ji pour tout i, j = Propriété des formes symétriques g(x, y) + g(y, x) = Expression de q(x + y) - q(x) - q(y)</p> Signup and view all the answers

<p>Matrice de q dans la base (e1, e2, ..., en) = Représentation matricielle d'une forme quadratique dans une base donnée Forme bilinéaire symétrique associée à q = Une fonction bilinéaire symétrique liée à une forme quadratique Forme quadratique = Une fonction quadratique associée à un espace vectoriel Base orthogonale = Une base constituée de vecteurs perpendiculaires entre eux</p> Signup and view all the answers

<p>f(x, y) = [q(x + y) - q(x) - q(y)] Algebre bilineaire = Étude des espaces vectoriels munis d'une forme bilinéaire Forme bilinéaire symétrique non dégénérée = Une forme bilinéaire qui n'annule aucun vecteur de l'espace sous-jacent Base orthogonale = Base où les vecteurs sont orthogonaux deux à deux</p> Signup and view all the answers

<p>q(x + y) - q(x) - q(y) = [f(x, y)] ∑ aii xii^2 + 2 ∑ aij xi xj = [q(x)] a_ij = a_ji pour tout i, j = [Propriété des formes symétriques] g(x, y) + g(y, x) = [Expression de q(x + y) - q(x) - q(y)]</p> Signup and view all the answers

<p>Forme quadratique = q( x, y, z) = ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2 f yz Matrice de la forme quadratique dans la base canonique = A = (a d e; d b f; e f c) Forme bilinéaire symétrique non dégénérée = f est non dégénérée ⇔ det( A) 6= 0 Application Φ associée à une forme bilinéaire symétrique = Φ : E → E∗ y 7→ Φ(y) telle que ∀ x ∈ E, Φy ( x ) =&lt; x, Φ(y) &gt; = f ( x, y)</p> Signup and view all the answers

<p>Condition pour qu'une forme bilinéaire symétrique soit non dégénérée = Ker (Φ) = {0E∗ } Définition de f non dégénérée = [∀ x ∈ E, &lt; x, Φ(y) &gt;= 0] ⇒ y = 0 Signification de f non dégénérée = [∀ x ∈ E, f ( x, y) = 0] ⇒ y = 0 Relation entre f non dégénérée et la matrice associée = f est non dégénérée ⇔ det( A) 6= 0</p> Signup and view all the answers

<p>Base canonique = Matrice de la forme quadratique Base orthogonale = Théorème 12: f est non dégénérée ⇔ Ker (Φ) = {0E∗ } Base de dimension finie = Théorème 7: f est non dégénérée ⇔ det( A) 6= 0 Base bijective = f est non dégénérée ⇔ [∀ x ∈ E, &lt; x, Φ(y) &gt;= 0] ⇒ y = 0</p> Signup and view all the answers

<p>f non dégénérée implique Ker (Φ) = {0E∗ } = Vrai f non dégénérée implique ∀y ∈ E, Φ(y) = 0E∗ ⇒ y = 0 = Faux f non dégénérée implique [∀ x ∈ E, &lt; x, Φ(y) &gt;= 0] ⇒ y = 0 = Vrai f non dégénérée implique [∀ x ∈ E, f ( x, y) = 0] ⇒ y = 0 = Faux</p> Signup and view all the answers

<p>Forme quadratique = Expression de q( x, y, z) Matrice de la forme quadratique dans une base donnée = Mat( f , (e1 , e2 ,..., en )) Forme bilinéaire symétrique non dégénérée = [∀ x ∈ E, &lt; x, Φ(y) &gt;= 0] ⇒ y = 0 Application Φ associée à une forme bilinéaire symétrique dans des bases spécifiques = A = Mat(Φ, (e1 , e2 ,..., e3 ); (e1∗ , e2∗ ,..., e3∗ ))</p> Signup and view all the answers

<p>Condition pour qu'une forme bilinéaire symétrique soit non dégénérée en termes d'application linéaire associée = f est non dégénérée ⇔ Ker (Φ) = {0E∗ } Définition de f non dégénérée en termes d'équation linéaire = [∀ x ∈ E, &lt; x, Φ(y) &gt;= 0] ⇒ y = 0 Interprétation de f non dégénérée en termes d'équation bilinéaire = [∀ x ∈ E, f ( x, y) = 0] ⇒ y = 0 Relation entre une forme bilinéaire symétrique non dégénérée et sa matrice associée = f est non dégénérée ⇔ det( A) 6= 0</p> Signup and view all the answers