Algebra Lineare: Applicazioni e Proprietà

Algebra Lineare

• Un'applicazione $f: E \rightarrow F$ è lineare se soddisfa due condizioni fondamentali:
  • $f(x + y) = f(x) + f(y)$ per ogni $x, y \in E$
  • $f(\lambda x) = \lambda f(x)$ per ogni $x \in E$ e per ogni $\lambda \in \mathbb{K}$

Proprietà delle applicazioni lineari

• Se $f: E \rightarrow F$ è un'applicazione lineare:
  • $f(0_E) = 0_F$, l'immagine del vettore nullo di E è il vettore nullo di F.
  • $f(-x) = -f(x)$ per ogni $x \in E$
  • $f(\sum_{i=1}^{n} x_i) = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)$ per ogni $x_1,..., x_n \in E$
  • $f(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i f(x_i)$ per ogni $x_1,..., x_n \in E$ e per ogni $\lambda_1,..., \lambda_n \in \mathbb{K}$.

Terminologia

• Un'applicazione lineare è anche chiamata morfismo.
• Se $E = F$, si parla di endomorfismo.
• Un'applicazione lineare biettiva è chiamata isomorfismo; se $E = F$, si parla di automorfismo.

Teorema fondamentale

• Sia $f: E \rightarrow F$ un'applicazione lineare:
  • $\operatorname{Ker}(f) = {x \in E \mid f(x) = 0_F}$ è un sottospazio vettoriale di $E$.
  • $\operatorname{Im}(f) = {f(x) \mid x \in E}$ è un sottospazio vettoriale di $F$.

Rang

• Il rango di $f$, indicato con $\operatorname{rg}(f)$, è la dimensione dell'immagine di $f$: $\operatorname{rg}(f) = \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(f))$.

Teorema del rango

• Se $f: E \rightarrow F$ è lineare e $E$ ha dimensione finita, allora $\operatorname{dim}(E) = \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(f)) + \operatorname{rg}(f)$.

Proiettori

• Un operatore $p \in \mathcal{L}(E)$ è un proiettore se $p \circ p = p$, cioè $p^2 = p$.

Proprietà dei proiettori

• Se $p \in \mathcal{L}(E)$ è un proiettore:
  • $E = \operatorname{Ker}(p) \oplus \operatorname{Im}(p)$
  • $\operatorname{Im}(p) = {x \in E \mid p(x) = x}$

Simmetrie

• Un operatore $s \in \mathcal{L}(E)$ è una simmetria se $s \circ s = id_E$, cioè $s^2 = id_E$.

Proprietà delle simmetrie

• Se $s \in \mathcal{L}(E)$ è una simmetria:
  • $E = \operatorname{Ker}(s - id_E) \oplus \operatorname{Ker}(s + id_E)$
  • $s$ è la simmetria rispetto a $\operatorname{Ker}(s - id_E)$ parallelamente a $\operatorname{Ker}(s + id_E)$.

Ingegneria delle Reazioni Chimiche

Distribuzione dei Tempi di Residenza (RTD)

• RTD caratterizza il mixing che si verifica in un reattore chimico.
• Studi con traccianti sono eseguiti per ottenere l'RTD.

Tracciante

• Specie chimica inerte e facilmente rilevabile.

Input a Impulso

• $C(t) = M \delta(t)$, dove $M$ è la quantità di tracciante iniettato.

Input a Gradino

• $C(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \ C_0 & t \ge 0 \end{cases}$

Esempio: Tracciante Inerte

• Un test con tracciante a impulso su un reattore fornisce i seguenti dati:

Determinare:

• La distribuzione dei tempi di uscita, $E(t)$
• La frazione di materiale uscente dal reattore che ha trascorso tra 3 e 6 minuti nel reattore.
• La frazione di materiale che ha trascorso meno di 3 minuti nel reattore.
• La frazione di materiale che ha trascorso più di 6 minuti nel reattore.
• Il tempo di residenza medio, $t_m$
• La varianza, $\sigma^2$

Statistica Descrittiva

Definizione

• Si occupa di raccogliere, organizzare, analizzare e interpretare dati per descrivere le caratteristiche di un insieme di dati.
• Serve a riassumere e presentare informazioni in modo chiaro e conciso, facilitandone la comprensione e l'analisi.

Tipi di Statistica Descrittiva

• Misure di tendenza centrale: valori che rappresentano il centro di un insieme di dati (media, mediana, moda).
• Misure di dispersione: indicano il grado di variabilità (varianza, deviazione standard, range).
• Distribuzioni di frequenza: mostrano la frequenza con cui si ripetono i valori (tabelle, grafici).
• Grafici: visualizzano i dati (istogrammi, diagrammi a barre, a settori, di dispersione).

Applicazioni

• La statistica descrittiva trova applicazione in diversi settori:
  • Ricerca di mercati: analizzare sondaggi.
  • Finanza: analizzare dati economici e azionari
  • Sanità: analizzare dati clinici e dei pazienti
  • Educazione: analizzare dati sugli studenti e sulle valutazioni.
  • Scienze sociali: per l'analisi di dati provenienti da sondaggi.

Misure di Tendenza Centrale

Media

• La media è il valore medio di un insieme di dati, calcolato sommando tutti i valori e dividendo per il numero totale di valori.
• Formula: $\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} X_i}{N}$
  • $\mu$ è la media.
  • $X_i$ sono i valori dei dati.
  • $N$ è il numero totale di dati.

Mediana

• La mediana è il valore centrale in un insieme di dati ordinati.
• Se i dati sono in numero pari, è la media dei due valori centrali.
  1. Ordinare i dati dal più piccolo al più grande.
  2. Se il numero di dati è dispari, la mediana è il valore centrale.
  3. Se il numero di dati è pari, la mediana è la media dei due valori centrali.

Moda

• La moda è il valore che appare più frequentemente in un insieme di dati.
• Un insieme di dati può essere unimodale, bimodale o multimodale.
  1. Identificare il valore che si ripete di più.
  2. Se ci sono diversi valori che si ripetono con la stessa frequenza, è multimodale.

Misure di Dispersione

Varianza

• La varianza misura la dispersione dei dati rispetto alla media.
• Si calcola come il promedio dei quadrati delle differenze tra ogni valore e la media.
• Formula: $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (X_i - \mu)^2}{N}$
  • $\sigma^2$ è la varianza.
  • $X_i$ sono i valori.
  • $\mu$ è la media.
  • $N$ è il numero di dati.

Deviazione Standard

• È la radice quadrata della varianza, espressa nelle stesse unità dei dati originali.
• Misura quanto i dati si discostano dalla media.
• Formula: $\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N} (X_i - \mu)^2}{N}}$
  • $\sigma$ è la deviazione standard.
  • $X_i$ sono i valori.
  • $\mu$ è la media.
  • $N$ è il numero di dati.

Rango

• Il rango è la differenza tra il valore massimo e il valore minimo in un insieme di dati.

Distribuzioni di Frequenza

Tabelle di Frequenza

• Mostrano la frequenza assoluta, la frequenza relativa e quella accumulata di ogni valore o intervallo di valori.

Grafici di Frequenza

• Visualizzano la distribuzione dei dati (istogrammi, diagrammi a barre e a settori).
  • Gli istogrammi rappresentano la distribuzione di una variabile continua.
  • I diagrammi a barre, la distribuzione di una variabile discreta.
  • I diagrammi a settori, la proporzione di ogni valore rispetto al totale.

Grafici

• Differenti tipi di grafici permettono di rappresentare i dati

Istogrammi

• Rappresentazione grafica di frequenze di una variabile continua.
• L'asse orizzontale rappresenta i valori della variabile.
• L'asse verticale rappresenta la frequenza

Diagrammi a Barre

• Rappresentazione grafica di frequenza di una variabile discreta

Diagrammi a Settori

• Rappresentazione grafica della proporzione di ogni valore in relazione al totale

Diagrammi di Dispersione

• Rappresentazione grafica della relazione tra due variabili quantitative

Altri grafici

• Esistono altri tipi di grafici usati in statistica descrittiva
  • Diagrammi a scatola
  • Grafici a linee
  • Grafici ad area