Álgebra Lineal Unidad 1: Matrices

Study Notes

Las matrices son herramientas que sistematizan cálculos y almacenan información de forma compacta.
Su uso es esencial en programación, especialmente en la representación de datos en tablas organizadas (hojas de cálculo, bases de datos).
Se considera una matriz de orden m × n a un cuadro de números organizados en m filas y n columnas.

Las matrices se representan con letras mayúsculas: A, B, C, con subíndices para diferenciarlos: A₁, A₂, etc.
Para indicar el orden de una matriz se utiliza la notación o(A) = m × n.
Elementos de la matriz se denotan con letras minúsculas y subíndices: aᵢⱼ indica el elemento en la fila i y columna j.

Una matriz es rectangular si el número de filas es diferente al número de columnas; cuadrada si m = n.
El conjunto de todas las matrices rectangulares de orden m × n se denota como Mₘₙ(ℝ).
Las matrices cuadradas de orden n se indican con Mₙ(ℝ).

En una matriz cuadrada, los elementos de la diagonal principal son aᵢᵢ, donde i = j.
La traza de una matriz cuadrada A se denota tr(A) y es la suma de los elementos de su diagonal principal.

Matriz fila: Tiene una sola fila. Ejemplo: A₁ₓ₃ = (1 2 -3).
Matriz columna: Formada por una sola columna. Ejemplo: A₄ₓ₁.
Matriz triangular superior: Elementos por debajo de la diagonal principal son nulos. Condición: aᵢⱼ = 0 para i > j.
Matriz triangular inferior: Elementos por encima de la diagonal principal son nulos. Condición: aᵢⱼ = 0 para i < j.
Matriz diagonal: Es simultáneamente triangular superior e inferior; solo tiene valores en su diagonal principal.
Matriz identidad: Es una matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son todos unos, denotada como Iₙ.
Matriz nula: Todos sus elementos son nulos, sea cuadrada o rectangular.