Algebra Class 10: Equations and Functions

Algebra

Equations and Inequalities

• Linear equations: ax + by = c, where a, b, and c are constants, and x and y are variables
• Quadratic equations: ax^2 + bx + c = 0, where a, b, and c are constants, and x is a variable
• Systems of linear equations: a set of two or more linear equations with two or more variables

Functions

• Domain: the set of input values for a function
• Range: the set of output values for a function
• Composition of functions: (f ∘ g)(x) = f(g(x)), where f and g are functions
• Inverse functions: a function that reverses the output of another function

Graphs

• Cartesian coordinates: a system of coordinates where points are represented by ordered pairs (x, y)
• Graph of a function: a visual representation of a function on a coordinate plane
• Intercepts: the points where a graph crosses the x-axis or y-axis

Complex Numbers

Definition and Operations

• Complex numbers: numbers of the form a + bi, where a and b are real numbers, and i is the imaginary unit (i = √(-1))
• Addition and subtraction: performed by combining like terms (real and imaginary parts)
• Multiplication: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
• Conjugate: the complex number obtained by changing the sign of the imaginary part (a - bi)

Properties and Identities

• Modulus (or absolute value): |a + bi| = √(a^2 + b^2)
• Argument: the angle made by a complex number with the positive real axis
• De Moivre's Theorem: (cos(x) + i sin(x))^n = cos(nx) + i sin(nx)
• Euler's Identity: e^(iπ) + 1 = 0

Algebra

Równania i Nierówności

• Równania liniowe: ax + by = c, gdzie a, b, i c są stałymi, a x i y są zmiennymi
• Równania kwadratowe: ax^2 + bx + c = 0, gdzie a, b, i c są stałymi, a x jest zmienną
• Układy równań liniowych: zestaw dwóch lub więcej równań liniowych z dwoma lub więcej zmiennymi

Funkcje

• Dziedzina: zestaw wartości wejściowych dla funkcji
• Zakres: zestaw wartości wyjściowych dla funkcji
• Kompozycja funkcji: (f ∘ g)(x) = f(g(x)), gdzie f i g są funkcjami
• Funkcje odwrotne: funkcja, która odwraca wyjście innej funkcji

Wykresy

• Układ współrzędnych kartezjańskich: system współrzędnych, gdzie punkty są reprezentowane przez pary uporządkowane (x, y)
• Wykres funkcji: wizualna reprezentacja funkcji na płaszczyźnie współrzędnych
• Przecięcia: punkty, gdzie wykres przecina oś x lub y

Liczby Zespolone

Definicja i Operacje

• Liczby zespolone: liczby postaci a + bi, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, a i jest jednostką urojona (i = √(-1))
• Dodawanie i odejmowanie: wykonywane przez łączenie podobnych wyrazów (części rzeczywiste i urojone)
• Mnożenie: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
• Sprzężenie: liczba zespolona uzyskana przez zmianę znaku części urojonej (a - bi)

Własności i Tożsamości

• Moduł (lub wartość absolutna): |a + bi| = √(a^2 + b^2)
• Argument: kąt, jaki liczba zespolona tworzy z osią dodatnią rzeczywistą
• Twierdzenie de Moivre'a: (cos(x) + i sin(x))^n = cos(nx) + i sin(nx)
• Tożsamość Eulera: e^(iπ) + 1 = 0