الجبر الخطي: المعادلات الخطية

الجبر الخطي والهندسة المتجهة I

الفصل الأول: أنظمة المعادلات الخطية

1.1 مقدمة

• المعادلة الخطية في n من المتغيرات $x_1, x_2,..., x_n$ هي معادلة على الصورة: $a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n = b$ حيث $a_1, a_2,..., a_n$ و b ثوابت حقيقية.
• نظام من m معادلة خطية في n مجهول عبارة عن مجموعة من m معادلة خطية على الشكل: $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1$ $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2$ $...$ $a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m$ حيث تكون $a_{ij}$ و $b_i$ ثوابت حقيقية.
• حل نظام المعادلات الخطية هو مجموعة من الأعداد الحقيقية $(s_1, s_2,..., s_n)$ التي تحقق كل معادلة في النظام عند استبدال $x_1 = s_1, x_2 = s_2,..., x_n = s_n$.

1.2 حل نظام المعادلات الخطية

1.2.1 العمليات الأولية

• العمليات التالية لا تغير مجموعة حلول نظام المعادلات الخطية:
• ضرب معادلة بثابت غير صفري.
• تبديل معادلتين.
• إضافة مضاعف معادلة إلى معادلة أخرى.

1.2.2 إيجاد الشكل الصفّي لنظام المعادلات الخطية

• يقال أن نظام المعادلات الخطية متدرج إذا:
• المعامل الأول غير الصفري لكل معادلة (عند القراءة من اليسار إلى اليمين) هو 1. يسمى هذا المعامل بالمحور.
• يقع محور كل معادلة على يمين محور المعادلة السابقة.
• المعادلات التي لا تحتوي على مجاهيل (إن وجدت) تقع في الجزء السفلي من النظام.
• نظام المعادلات الخطية يسمى متدرج مخفض إذا:
• هو متدرج.
• كل محور هو العنصر الوحيد غير الصفري في عموده.

1.2.3 حل نظام المعادلات الخطية المتدرج المخفض

• يتم حل نظام المعادلات الخطية المتدرج المخفض عن طريق التعبير عن المتغيرات المقابلة للمحاور من حيث المتغيرات الأخرى (إن وجدت). تسمى هذه الأخيرة بالمتغيرات الحرة.

1.3 التفسير الهندسي

• في المستوى، تمثل المعادلة الخطية خطًا مستقيمًا.
• في الفضاء، تمثل المعادلة الخطية مستوى.
• تتوافق مجموعة حلول نظام المعادلات الخطية مع تقاطع الأشكال الهندسية التي تمثلها كل معادلة.

1.4 تمارين

(قائمة التمارين)

المصفوفات

مقدمة

• المصفوفات هي أداة مهمة في العديد من مجالات الرياضيات والمعلوماتية والفيزياء.
• تُستخدم لتمثيل أنظمة المعادلات الخطية، والتطبيقات الخطية، والأشياء الرياضية الأخرى.

تعريف

• المصفوفة عبارة عن ترتيب مستطيل للأرقام مرتبة في صفوف وأعمدة. تسمى المصفوفة التي تحتوي على $m$ صفوف و $n$ أعمدة بمصفوفة $m \times n$.

• مثال:*

    $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ هي مصفوفة $2 \times 3$.
  

مصفوفات خاصة

• المصفوفة المربعة: المصفوفة التي تحتوي على نفس عدد الصفوف والأعمدة ($m = n$).
• المصفوفة الصفرية: المصفوفة التي تكون جميع عناصرها أصفارًا.
• مصفوفة الوحدة: مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر الموجودة على القطر الرئيسي عبارة عن واحد وجميع العناصر الأخرى أصفارًا.

عمليات المصفوفات

الجمع والطرح

• يمكن جمع مصفوفتين أو طرحهما إذا كان لهما نفس عدد الصفوف والأعمدة. يتم الجمع أو الطرح عنصرًا بعنصر.

• مثال:*

  $\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \ 10 & 12 \end{pmatrix}$

الضرب في عدد ثابت

• يمكن ضرب المصفوفة في عدد ثابت بضرب كل عنصر في المصفوفة في العدد الثابت.

• مثال:*

  $2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot1 & 2\cdot2 \ 2\cdot3 & 2\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \ 6 & 8 \end{pmatrix}$

ضرب المصفوفات

• يمكن ضرب مصفوفتين $A$ و $B$ إذا كان عدد أعمدة $A$ مساويًا لعدد صفوف $B$. والنتيجة هي مصفوفة يتم حساب عناصرها عن طريق الضرب القياسي لصفوف $A$ وأعمدة $B$.

• مثال:*

  $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{pmatrix}$

  $A \cdot B = \begin{pmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \ 43 & 50 \end{pmatrix}$

المحدد

• المحدد هي دالة تربط عددًا بمصفوفة مربعة. يوفر معلومات حول خصائص المصفوفة ويستخدم لحل أنظمة المعادلات الخطية.

طريقه الحساب

• يتم حساب المحدد لمصفوفة $2 \times 2$ كما يلي:

  $A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$

  $det(A) = ad - bc$

المصفوفة العكسية

• المصفوفة العكسية للمصفوفة المربعة $A$ هي مصفوفة $A^{-1}$ تتمتع بالخاصية $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$، حيث $I$ هي مصفوفة الوحدة. ليس لكل مصفوفة معكوس. تكون المصفوفة قابلة للعكس إذا كان محددها غير صفري.

مبدأ برنولي

• ينص مبدأ برنولي على أن الزيادة في سرعة السائل تحدث في وقت واحد مع انخفاض الضغط أو انخفاض في طاقة الوضع للسائل.

$\bf{P + 1/2 \rho V^2 + \rho gh = ثابت}$

• P* = الضغط $\bf{\rho}$ = الكثافة
• V* = السرعة
• h* = الارتفاع
• يمكن استخدام مبدأ برنولي لشرح قوة الرفع على جناح الطائرة.
• يجب أن يسافر الهواء المتدفق فوق الجزء العلوي من الجناح مسافة أبعد من الهواء المتدفق أسفل الجناح.
• يجب أن يسافر الهواء المتدفق فوق الجزء العلوي من الجناح بشكل أسرع، مما يخلق منطقة ذات ضغط منخفض.
• تدفع منطقة الضغط العالي أسفل الجناح لأعلى مقابل منطقة الضغط المنخفض فوق الجناح، مما يخلق قوة الرفع.
• تطبيقات مبدأ برنولي*
• الطائرات
• الفريسبي
• سيارات السباق
• المداخن
• مرذاذات الرش
• الجسور

قواعد الاستنتاج

• قاعدة الاستنتاج هي مخطط لبناء حجج صالحة. تسمح هذه القواعد باتخاذ خطوات منطقية آمنة عند الاستدلال من المقدمات إلى النتيجة.

  فيما يلي بعض قواعد الاستنتاج الشائعة:

• وضعية الشدة (MP)

  إذا كانت $P \rightarrow Q$ صحيحة وكانت $P$ صحيحة، إذن $Q$ صحيحة.
  
  $\qquad P \rightarrow Q$
  
  $\qquad P$
  
  $\therefore Q$
  

• وضع النفخ (MT)

  إذا كانت $P \rightarrow Q$ صحيحة وكانت $Q$ خاطئة، إذن $P$ خاطئة.
  
  $\qquad P \rightarrow Q$
  
  $\qquad \neg Q$
  
  $\therefore \neg P$
  

• القياس المنطقي الفرضي (SH)

  إذا كانت $P \rightarrow Q$ صحيحة وكانت $Q \rightarrow R$ صحيحة، إذن $P \rightarrow R$ صحيحة.
  
  $\qquad P \rightarrow Q$
  
  $\qquad Q \rightarrow R$
  
  $\therefore P \rightarrow R$
  

• القياس المنطقي الانفصالي (SD)

  إذا كانت $P \lor Q$ صحيحة وكانت $P$ خاطئة، إذن $Q$ صحيحة.
  
  $\qquad P \lor Q$
  
  $\qquad \neg P$
  
  $\therefore Q$
  

• إضافة (A)

  إذا كانت $P$ صحيحة، إذن $P \lor Q$ صحيحة.
  
  $\qquad P$
  
  $\therefore P \lor Q$
  

• تبسيط (S) إذا كانت $P \land Q$ صحيحة، إذن $P$ صحيحة.

  $\qquad   P \land Q$
  
  $\therefore P$
  

• اقتران (ج)

  إذا كانت $P$ صحيحة وكانت $Q$ صحيحة، إذن $P \land Q$ صحيحة.
  
  $\qquad P$
  
  $\qquad Q$
  
  $\therefore P \land Q$
  

• المعضلة البناءة (DC)

  إذا كان $(P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S)$ صحيحًا وكان $P \lor R$ صحيحًا، إذن $Q \lor S$ صحيح.
  
  $\qquad (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S)$
  
  $\qquad P \lor R$
  
  $\therefore Q \lor S$
  

• مثال:*

أثبت أن $R$ مستنتج منطقيًا من المقدمات $P \rightarrow Q$ و $Q \rightarrow R$ و $P$.

لذلك، أثبتنا أن $R$ مستنتج منطقيًا من المقدمات المقدمة.

الجهاز القلبي الوعائي: الأوعية الدموية

تركيب ووظيفة الأوعية الدموية

الشرايين

• التركيب: جدران سميكة ذات 3 طبقات
• الغلالة الداخلية: الطبقة الداخلية (الظهارة الخلية البطانية)
• الغلالة الوسطانية: العضلات الملساء (تسيطر عليها الجهاز العصبي الودي)
• الغلالة الخارجية: النسيج الضام
• الوظيفة: حمل الدم بعيدًا عن القلب

الشرايينات

• التركيب: شرايين صغيرة
• الوظيفة: التحكم في تدفق الدم إلى الشعيرات الدموية

الشعيرات الدموية

• التركيب: جدران رقيقة (طبقة خلية واحدة - الخلايا البطانية )
• الوظيفة: السماح بتبادل الغازات والمغذيات والنفايات بين الدم والأنسجة

الوريدات

• التركيب: أوردة صغيرة
• الوظيفة: جمع الدم من الشعيرات الدموية

الأوردة

• التركيب: جدران أرق من الشرايين، مع 3 طبقات؛ تحتوي على صمامات
• الغلالة الداخلية
• الغلالة الوسطانية
• الغلالة الخارجية
• الوظيفة: حمل الدم مرة أخرى إلى القلب

تبادل الشعيرات الدموية

الآليات

• الانتشار: حركة المواد من التركيز العالي إلى التركيز المنخفض
• الأكسجين وثاني أكسيد الكربون والمغذيات والنفايات
• الترشيح: حركة السوائل والمواد المذابة الصغيرة من الشعيرات الدموية إلى الأنسجة
• مدفوعة بضغط الدم
• التناضح: حركة الماء من التركيز العالي إلى التركيز المنخفض
• مدفوعة بالضغط الأسموزي

طرق الدوران

الدورة الدموية الجهازية

• يحمل الدم من القلب إلى الجسم ويعود إلى القلب
• البطين الأيسر $\rightarrow$ الشريان الأبهر $\rightarrow$ الشرايين $\rightarrow$ الشرينات $\rightarrow$ الشعيرات الدموية $\rightarrow$ الوريدات $\rightarrow$ الأوردة $\rightarrow$ الوريد الأجوف العلوي والسفلي $\rightarrow$ الأذين الأيمن

الدورة الدموية الرئوية

يحمل الدم من القلب إلى الرئتين ويعود إلى القلب

• البطين الأيمن $\rightarrow$ الشريان الرئوي $\rightarrow$ الرئتين $\rightarrow$ الأوردة الرئوية $\rightarrow$ الأذين الأيسر

الدورة البابية الكبدية

• يحمل الدم من الأعضاء الهضمية إلى الكبد

ضغط الدم

تعريف

• قوة الدم على جدران الأوعية الدموية

القياس

• ضغط الدم الانقباضي: الضغط أثناء انقباض البطين
• ضغط الدم الانبساطي: الضغط أثناء استرخاء البطين
• ضغط الدم الطبيعي: 120/80 ملم زئبق

العوامل المؤثرة على ضغط الدم

• الناتج القلبي: كمية الدم التي يضخها القلب في الدقيقة الواحدة
• المقاومة المحيطية: مقاومة تدفق الدم في الأوعية الدموية
• حجم الدم: كمية الدم في الجسم
• اللزوجة: سماكة الدم

التحكم في ضغط الدم

الجهاز العصبي

• مستقبلات الضغط: كشف التغيرات في ضغط الدم
• مركز القلب والأوعية الدموية: في النخاع المستطيل
• يتحكم في معدل ضربات القلب وحجم النبضة وقطر الأوعية الدموية
• الجهاز العصبي الودي: زيادة معدل ضربات القلب وحجم النبضة وتضيق الأوعية
• الجهاز العصبي اللاودي: يقلل من معدل ضربات القلب

الهرمونات

• الأدرينالين والنورأدرينالين: زيادة معدل ضربات القلب وتضيق الأوعية
• الهرمون المضاد لإدرار البول (ADH): زيادة حجم الدم وتضيق الأوعية
• الببتيد الناتريوتيكي الأذيني (ANP): تقليل حجم الدم وتوسع الأوعية
• نظام رينين أنجيوتنسين ألدوستيرون (RAAS): زيادة حجم الدم وتضيق الأوعية

قوانين الديناميكا الحرارية

القانون الصفري

إذا كان نظامان ترموديناميكيان في حالة توازن حراري مع نظام ثالث، فإنهما يكونان في حالة توازن حراري مع بعضهما البعض.

القانون الأول

التغير في الطاقة الداخلية لنظام ما يساوي الحرارة المضافة إلى النظام مطروحًا منها الشغل الذي يؤديه النظام: $\Delta U = Q - W$

القانون الثاني

تميل إنتروبيا النظام المعزول غير الموجود في حالة توازن إلى الزيادة بمرور الوقت، وتقترب من القيمة القصوى في حالة التوازن.

القانون الثالث

عندما تقترب درجة حرارة النظام من الصفر المطلق، فإن إنتروبيا النظام تقترب من الحد الأدنى أو القيمة الصفرية.

التداول الخوارزمي وعالي التردد

إدارة المخاطر

القيمة المعرضة للخطر (VaR)

• VaR هو مقياس إحصائي للخسارة المحتملة في قيمة الأصل أو المحفظة على مدى فترة محددة لفترة ثقة معينة.
• فترات الثقة المستخدمة بشكل شائع هي 95٪ و 99٪
• يجيب VaR على السؤال: "ما هي أقصى خسارة يمكن أن أتوقعها على مدى فترة محددة بمستوى ثقة معين؟"

طرق حساب VaR

1. المحاكاة التاريخية:

• تتضمن هذه الطريقة استخدام بيانات تاريخية لمحاكاة السيناريوهات المستقبلية المحتملة.
• حساب عوائد المحفظة لكل فترة تاريخية.
• فرز العوائد وتحديد العائد الذي يتوافق مع مستوى الثقة المطلوب.
• VaR هو الخسارة المحتملة المرتبطة بهذا العائد.

2. طريقة التباين التغايري:

• تفترض هذه الطريقة أن عوائد الأصول موزعة بشكل طبيعي.
• تقدير المتوسط والانحراف المعياري لعوائد المحفظة.
• استخدم التوزيع الطبيعي لتحديد الخسارة المحتملة لمستوى ثقة معين.
• VaR = $\mu - z\sigma$، حيث $\mu$ هو متوسط عائد المحفظة، و$\sigma$ هو الانحراف المعياري للمحفظة، و z هو درجة z المقابلة لمستوى الثقة المطلوب.

3. محاكاة مونت كارلو:

• تتضمن هذه الطريقة إنشاء سيناريوهات عشوائية بناءً على التوزيعات المفترضة لعوائد الأصول.
• محاكاة عدد كبير من عوائد المحفظة المحتملة.
• فرز العوائد وتحديد العائد الذي يتوافق مع مستوى الثقة المطلوب.
• VaR هو الخسارة المحتملة المرتبطة بهذا العائد.

الخسارة المتوقعة (ES)

• ES، المعروف أيضًا باسم القيمة المعرضة للخطر الشرطية (CVaR)، هو مقياس للمخاطر يحدد الخسارة المتوقعة نظرًا لأن الخسارة أكبر من مستوى VaR.

• يجيب ES على السؤال: "إذا شهدنا خسارة أكبر من VaR، فما هو الحجم المتوقع لتلك الخسارة؟"

• يوفر ES عرضًا أكثر شمولاً لخطر الذيل مقارنة بـ VaR، لأنه يأخذ في الاعتبار شدة الخسائر التي تتجاوز عتبة VaR.

  $ES = E[L | L > VaR]$

  أين:

• ES هي الخسارة المتوقعة

• $L$ هي الخسارة

• VaR هي القيمة المعرضة للخطر

مثال

• تبلغ القيمة المعرضة للخطر (VaR) لمحفظة استثمارية مليون دولار بمستوى ثقة 95٪. وهذا يعني أن هناك احتمالية بنسبة 5٪ لخسارة أكثر من مليون دولار خلال الفترة الزمنية المحددة.
• تبلغ الخسارة المتوقعة (ES) عند مستوى الثقة نفسه البالغ 95٪ 1.5 مليون دولار. وهذا يعني أنه إذا تكبدت المحفظة خسارة أكبر من VaR البالغة مليون دولار، فإن الخسارة المتوقعة هي 1.5 مليون دولار.