الأشكال ثلاثية الأبعاد: مقدمة

• الرياضيات هي دراسة الأعداد والكميات والفضاء والتغيرات.
• الهندسة هي فرع من الرياضيات يهتم بدراسة الأشكال والأحجام والمواضع النسبية للأشياء وخصائص الفضاء.
• يمكن تقسيم الهندسة إلى عدة أنواع منها الهندسة الإقليدية والهندسة التحليلية والهندسة التفاضلية والهندسة الطوبولوجية.

الأشكال ثلاثية الأبعاد

• هي الأشكال التي لها ثلاثة أبعاد: الطول والعرض والارتفاع.
• تشغل الأشكال ثلاثية الأبعاد حيزًا في الفضاء.
• أمثلة على الأشكال ثلاثية الأبعاد: المكعب، متوازي المستطيلات، الكرة، الأسطوانة، المخروط، الهرم.

خصائص الأشكال ثلاثية الأبعاد

• الحجم: هو مقدار الحيز الذي يشغله الشكل ثلاثي الأبعاد.
• المساحة السطحية: هي مجموع مساحات جميع الأوجه التي تحد الشكل ثلاثي الأبعاد.
• الرؤوس: هي النقاط التي تلتقي فيها حواف الشكل ثلاثي الأبعاد.
• الأحرف (الحواف): هي الخطوط التي تربط بين رؤوس الشكل ثلاثي الأبعاد.
• الأوجه: هي الأسطح المستوية التي تحد الشكل ثلاثي الأبعاد.

أمثلة على الأشكال ثلاثية الأبعاد وخصائصها

• المكعب:
  • له 6 أوجه مربعة متطابقة.
  • له 12 حرفًا متساويًا في الطول.
  • له 8 رؤوس.
  • حجمه = طول الحرف × طول الحرف × طول الحرف.
  • مساحته السطحية = 6 × (طول الحرف)².
• متوازي المستطيلات:
  • له 6 أوجه مستطيلة، كل وجهين متقابلين متطابقين.
  • له 12 حرفًا.
  • له 8 رؤوس.
  • حجمه = الطول × العرض × الارتفاع.
  • مساحته السطحية = 2 × (الطول × العرض + الطول × الارتفاع + العرض × الارتفاع).
• الكرة:
  • هي مجموعة النقاط في الفضاء التي تبعد بعدًا ثابتًا عن نقطة معينة تسمى مركز الكرة.
  • ليس لها أوجه أو أحرف أو رؤوس.
  • حجمها = (4/3) × π × (نصف القطر)³.
  • مساحتها السطحية = 4 × π × (نصف القطر)².
• الأسطوانة:
  • تتكون من قاعدتين دائريتين متطابقتين وسطح منحني يصل بينهما.
  • حجمها = π × (نصف القطر)² × الارتفاع.
  • مساحتها السطحية = 2 × π × (نصف القطر)² + 2 × π × نصف القطر × الارتفاع.
• المخروط:
  • يتكون من قاعدة دائرية وسطح منحني يصل بين القاعدة ونقطة تسمى رأس المخروط.
  • حجمه = (1/3) × π × (نصف القطر)² × الارتفاع.
  • مساحته السطحية = π × (نصف القطر)² + π × نصف القطر × طول الراسم.
• الهرم:
  • يتكون من قاعدة مضلعة وأوجه مثلثية تلتقي في نقطة تسمى رأس الهرم.
  • حجمه = (1/3) × مساحة القاعدة × الارتفاع.
  • مساحته السطحية = مساحة القاعدة + مجموع مساحات الأوجه المثلثية.

العلاقات بين الأشكال ثلاثية الأبعاد

• يمكن أن تكون بعض الأشكال ثلاثية الأبعاد جزءًا من أشكال أخرى.
  • مثال: يمكن اعتبار الكرة مجموعة من الدوائر متناهية الصغر.
  • مثال: يمكن اعتبار الأسطوانة مجموعة من الدوائر المتراصة فوق بعضها البعض.
• يمكن تحويل بعض الأشكال ثلاثية الأبعاد إلى أشكال أخرى عن طريق القص أو الطي أو التمديد أو الضغط.
  • مثال: يمكن تحويل المكعب إلى متوازي مستطيلات عن طريق تمديد أحد أوجهه.
  • مثال: يمكن تحويل الأسطوانة إلى مخروط عن طريق ضغط أحد قاعدتيها إلى نقطة.

تطبيقات الأشكال ثلاثية الأبعاد

• تستخدم الأشكال ثلاثية الأبعاد في العديد من المجالات، مثل:
  • الهندسة المعمارية: تصميم المباني والمنشآت.
  • الهندسة المدنية: تصميم الطرق والجسور والسدود.
  • الهندسة الميكانيكية: تصميم الآلات والمعدات.
  • التصميم الصناعي: تصميم المنتجات الاستهلاكية.
  • الرسوم المتحركة: إنشاء شخصيات وأشياء متحركة.
  • ألعاب الفيديو: إنشاء عوالم وشخصيات ثلاثية الأبعاد.
  • الطب: إنشاء نماذج ثلاثية الأبعاد للأعضاء الداخلية للجسم.
  • العلوم: إنشاء نماذج ثلاثية الأبعاد للجزيئات والذرات.

حساب الحجوم والمساحات السطحية للأشكال ثلاثية الأبعاد

• يتطلب حساب الحجوم والمساحات السطحية للأشكال ثلاثية الأبعاد معرفة формулы المناسبة لكل شكل.
• يمكن استخدام التكامل لحساب حجوم ومساحات الأشكال المعقدة التي لا يمكن وصفها بصيغ بسيطة.
• يمكن استخدام برامج الكمبيوتر لحساب حجوم ومساحات الأشكال ثلاثية الأبعاد المعقدة بدقة عالية.

تمثيل الأشكال ثلاثية الأبعاد

• يمكن تمثيل الأشكال ثلاثية الأبعاد على الورق أو على شاشة الكمبيوتر باستخدام طرق مختلفة، مثل:
  • الرسم المنظوري: وهي طريقة لرسم الأشكال ثلاثية الأبعاد بحيث تبدو واقعية.
  • الإسقاط المتعامد: وهي طريقة لرسم الأشكال ثلاثية الأبعاد بحيث تكون جميع الخطوط متوازية.
  • النماذج ثلاثية الأبعاد الرقمية: وهي طرق لتمثيل الأشكال ثلاثية الأبعاد باستخدام الكمبيوتر، مثل نماذج الأسلاك والنماذج الصلبة ونماذج السطح.

مفاهيم إضافية

• التماثل: خاصية امتلاك الشكل لنفس الشكل بعد الدوران أو الانعكاس.
• التشابه: خاصية اشتراك شكلين في نفس الشكل ولكن بأحجام مختلفة.
• التطابق: خاصية اشتراك شكلين في نفس الشكل والحجم.
• التحويلات الهندسية: عمليات تغيير موقع أو حجم أو شكل الشكل الهندسي، مثل الإزاحة والدوران والانعكاس والتكبير والتصغير.
• التبليط (التغطية): طريقة لتغطية سطح مستوٍ أو شكل ثلاثي الأبعاد بأشكال هندسية متطابقة دون تداخل أو فراغات.