الأعداد الأولية ونظرية الأعداد

• هذا النص يتناول موضوع الأعداد الأولية وتوزيعها، ونظرية الحسابات الأولية، ونظرية إقليدس المتعلقة بوجود عدد لانهائي من الأعداد الأولية. كما يقدم موجزًا عن أنواع معينة من الأعداد مثل أعداد ميرسن.

تعريف العدد الأولي

• العدد الأولي هو عدد صحيح أكبر من الواحد، عوامله الموجبة هي الواحد والعدد نفسه فقط.
• العدد الذي ليس أوليًا يسمى عدد مؤلف.
• العدد 1 لا يعتبر عددًا أوليًا في معظم المراجع، وذلك لعدم تأثيره في حاصل ضرب الأعداد الأولية.
• الصفر ليس أوليًا لأنه يقبل القسمة على جميع الأعداد الطبيعية.
• مثال: 14 ليس أوليًا لأنه يقبل القسمة على 2 و 7 ، في حين أن 17 لا يقبل القسمة إلا على 1 و 17 نفسه.
• الأعداد: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 هي بداية مجموعة الأعداد الأولية.

نظرية هامة

• إذا كان p عدداً أولياً وكان p يقسم حاصل ضرب عددين a و b، فإنه إما أن يقسم a أو يقسم b.

ملاحظات على النظرية

• في الحالة العامة، إذا كان p يقسم a فإما أن القاسم المشترك الأكبر لـ p و a هو p أو أن القاسم المشترك الأكبر لهما هو 1.
• يمكن تعميم النظرية كما يلي: إذا كان p يقسم حاصل ضرب عدة أعداد a1, a2 ... an، فإنه يقسم واحدًا على الأقل من هذه الأعداد.
• إذا كان p عددًا أوليًا وكان p يقسم حاصل ضرب عدة أعداد أولية q1, q2 ... qn، فإن p يساوي أحد هذه الأعداد.

نظريات وقواعد أساسية حول الأعداد الأولية

• كل عدد غير أولي له قاسم أولي واحد على الأقل.
• إذا كان a عددًا غير أولي، فإن أصغر قاسم له (بخلاف الواحد) يكون عددًا أوليًا.
• إذا كان a عددًا غير أولي، فإنه يقبل القسمة على عدد أولي p حيث p² ≤ a
• إذا كان العدد a ليس له قاسم أولي p ويحقق الشرط p² > a فإن a يكون عددًا أوليًا.
• العدد 113 أولي لأنه لا يقبل القسمة على أي من الأعداد الأولية التي مربعها أقل من 113 (2 و 3 و 5 و 7).
• العدد 223 أولي لأنه لا يقبل القسمة على أي من الأعداد الأولية التي مربعها أقل من 223 (حتى 17).
• جميع الأعداد الأقل من 100 والتي لا تقبل القسمة على 2 أو 3 أو 5 أو 7 هي أعداد أولية.

نظرية الحساب الأساسية

• أي عدد طبيعي أكبر من 1 يمكن التعبير عنه كحاصل ضرب لأعداد أولية، وهذا التمثيل وحيد باستثناء ترتيب هذه الأعداد.
• إذا كان 1 < n عدد طبيعي، يمكن كتابته كصورة حاصل ضرب لعدد منته من الأعداد الأولية بطريقتين مختلفتين: n = p1p2...ps و n = q1q2...qr، فيمكن إثبات أن s = r وأن الأعداد الأولية p1, p2, ..., ps هي نفسها الأعداد q1, q2, ..., qr مع اختلاف الترتيب.

الصورة القياسية

• كل عدد طبيعي n أكبر من 1 يمكن كتابته بطريقة وحيدة (إلا في الترتيب) على الصورة: n = p1k1 p2k2 ... prkr حيث p1 < p2 < ... < pr أعداد أولية و ki هي أعداد طبيعية. وتسمى هذه الصورة بالصورة القياسية لتحليل n.
• إذا كان a=p1a1p2a2...prar و b=p1b1p2b2...prbr فإن bi ≤ ai
• أصغر قيمة للأس(m1) = (a,b) وقيمه الأسس الكبيرة (M1) = max(a1,b1)
• gcd(a,b) = هو حاصل ضرب الأعداد الأولية المشتركة مرفوعة لأصغر أس.
• lcm(a,b) = هو حاصل ضرب كل الأعداد الأولية (المشتركة وغير المشتركة) مرفوعة لأكبر أس.

خوارزمية إقليدس

• في حساب القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر، استخدام خوارزمية إقليدس أسرع من حساب التحليل الأولي، خاصة في الأعداد الكبيرة.
• إذا كان التحليل الأولي متاحًا أو ممكنًا حسابه، فإن استخدامه في هذه الحالة يكون أسهل.
• في نظريات سابقة، قد نحتاج لافتراض أن بعض الأسس تساوي صفرًا لكي تكون جميع الأعداد الأولية في تحليل a هي نفسها في تحليل m.

مثال على الصورة القانونية لحاصل ضرب الأعداد الأولية

• العدد 144 = a يكتب كالتالي: a = 2⁴ * 3²

طريقة التحليل الأساسية

• في الأرقام الكبيرة، نستخدم طريقة التحليل الأساسية، بقسمة العدد a على أصغر عدد أولي يقبل القسمة عليه، ثم نقسم ناتج القسمة على أصغر عدد أولي يقبل القسمة عليه، وهكذا حتى نحصل على خارج قسمة يساوي الوحدة.

نظرية إقليدس حول لانهائية الأعداد الأولية

• تنص على وجود عدد لانهائي من الأعداد الأولية.
• باختصار الفكرة تقوم على أنه إذا افترضنا العكس وهو وجود عدد محدد فقط من الأعداد الأوليةP = {p1, p2, …, pk} فسنصل إلى تناقض.

نظرية حول الأعداد المؤلفة

• تنص على أنه إذا كان n عددًا صحيحًا مؤلفًا (غير أولي)، فإن n يكون له عامل أولي p بحيث p² ≤ n
• تعطي نظرية إقليدس طريقة لتكوين متتابعة لانهائية من الأعداد الطبيعية.

توزيع الأعداد الأولية

• على الرغم من وجود عدد لانهائي من الأعداد الأولية، إلا أن توزيعها داخل مجموعة الأعداد الصحيحة يظل غير منتظم ومثيرًا للفضول.
• قد يكون الفرق بين عددين أوليين صغيرًا (مثل 11 و 13 و 17 و 19) وقد يكون كبيرًا جدًا.
• الأعداد التوأم: هي الأعداد الأولية الفردية المتتالية p و p + 2.

أمثلة على الازدواج

• (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31) هي أمثلة على الأعداد التوأم

ملاحظات حول اكتشاف الأعداد التوأم الكبيرة

• في حالة الأعداد الكبيرة، يمكن اكتشاف الأعداد التوأم باستخدام أجهزة الحاسوب.
• مثال: ‎±1706595.2^(11235) و ±571305.2^(7701) هي أزواج توأم أولية كبيرة.
• هذا يوضح عدم انتظام توزيع الأعداد الأولية والأزواج التوأم.

مفهموم الأعداد المتتالية

• الأعداد الأولية المتتالية ليست فقط قريبة من بعضها البعض، ولكن أيضًا متباعدة بمعنى أنه توجد قفزات كبيرة واختيارية قد تحدث بين الأعداد المتتالية.

حقائق حول متتابعة الأعداد الصحيحة الموجبة

• في متتابعة الأعداد الصحيحة الموجبة توجد متتابعات من الأعداد المؤلفة المتتالية بطول محدود. كذلك توجد قفزات بأطوال اختيارية بين الأعداد الأولية.
• لعدد طبيعي اختياري n> 1 تكون الأعداد n!+2, n!+3,... and n!+n أعداد مؤلفة
• دالة π(x): هي دالة تعطي عدد الأعداد الأولية التي تقل أو تساوي x.

علاقة الكسر مع الاعداد الأولية

• الكسر π(n)/n: إذا كانت n عدد صحيح فإن الكسر في الأعداد الصحيحة الموجبة التي تقل عن أو تساوي n يعطى من π(n)/n
• مثال: اذا كانت n=10 فإن الكسر π(10)/10 =0.4
• 40 % من الأعداد الصحيحة الموجبة التي تقل أو تساوي 10 تكون أعداد أولية.
• إذا x قيمة كبيرة جدا تصبح قيمة π(x)/(x/lnx) تصبح قريبة من الواحد.

نظريات هامة

• نظرية العدد الأولي: limx→∞ π(x)/(x/lnx) = 1

حقائق حول الأعداد

• بالنسبة للأعداد أكبر من n بحيث تحقق الشرط p <2n هذا ما وضحه العالم برتراند

الأعداد النامة

• العدد التام (Perfect Number): هو العدد مساوي لمجموع قواسمه الصحيحة الموجبة والمختلفة عن العدد نفسه.
• لنأخذ العدد 6 على سبيل المثال، القواسم الموجبة له: 1، 2، 3 ومجموعهم 6 = 1 + 2 + 3، إذن العدد 6 عدد تام.
• العدد 28=1+2+4+7+14 هو عدد تام
• اذا عدد 2^(n-1) اولي فإن الناتج من (2^(n-1))* (2^n-1) عدد تام

الاعداد المرسين

• العدد الذي على شكل 2^n -1 يسمى عدد ميرسين ويرمز له ب MD(n).
  • في حال (MD(n عدد اولى عندها يسمى عدد ميرسين الاولى

في حال قسمة الأعداد

• إذا كان العدد على شكل n= 𝑝𝑞 عندها MD(n) ليس عدد اولي
• الأعداد الخاصة مثل الأعداد التامة وأعداد ميرسن لها تكملة في الباب التاسع.