Ableiten der e-Funktion: Regeln und Beispiele

Ableiten der e-Funktion: Einführung und Grundlagen

• Die Ableitung der e-Funktion e^x entspricht der Funktion selbst, also e^x.
• Das gilt speziell dann, wenn im Exponenten ein einzelnes x steht.
• Ein konstanter Faktor vor der e-Funktion bleibt bei der Ableitung erhalten; beispielsweise ist die Ableitung von 4e^x gleich 4e^x.

Kettenregel bei der e-Funktion

• Die Kettenregel muss angewendet werden, wenn sich der Exponent ändert, wie z.B. bei e^(3x).
• Die Ableitung von e^(3x) ergibt sich aus e^(3x), multipliziert mit der Ableitung des Exponenten, also 3.
• Das Resultat ist demnach 3 e^(3x).
• Die Kettenregel schreibt vor, dass die äußere Funktion abgeleitet und mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert wird.
• Für die e-Funktion ist die äußere Funktion die e-Funktion selbst, während der Exponent die innere Funktion darstellt.

Kombination verschiedener Terme

• Bei der Ableitung von Summen oder Differenzen können die einzelnen Terme unabhängig voneinander abgeleitet werden.
• Beispiel: Die Ableitung von 5e^(2x) - e^(-x) wird wie folgt berechnet:
  • Die Ableitung von 5e^(2x) ist 5 e^(2x) * 2 = 10 e^(2x).
  • Die Ableitung von - e^(-x) ist - e^(-x) * (-1) = e^(-x).
  • Die gesamte Ableitung ist also 10 e^(2x) + e^(-x).

Komplexere Exponenten

• Die Vorgehensweise bleibt auch bei komplexeren Exponenten gleich, zum Beispiel bei 2x^3 - 5x^2 + 7.
• Die Ableitung von e^(2x^3 - 5x^2 + 7) ist e^(2x^3 - 5x^2 + 7) multipliziert mit der Ableitung des Exponenten.
• Die Ableitung des Exponenten (2x^3 - 5x^2 + 7) ist 6x^2 - 10x.
• Es ist wichtig, die Ableitung des Exponenten in Klammern zu setzen, um sicherzustellen, dass die gesamte innere Ableitung mit der äußeren Ableitung multipliziert wird.

Produktregel bei e-Funktionen

• Wenn ein Produkt aus einer Funktion mit x und einer e-Funktion vorliegt, muss die Produktregel angewendet werden.
• Die Produktregel lautet: (u * v)' = u' * v + u * v'
• Beispiel: Ableitung von (3x^2 - 4) * e^(2x)
  • u = 3x^2 - 4, also ist u' = 6x
  • v = e^(2x), also ist v' = e^(2x) * 2
  • Die Ableitung ist demnach: 6x * e^(2x) + (3x^2 - 4) * 2e^(2x)

Konstanten und negative Exponenten

• Konstantenfaktoren, wie z.B. e^3, können bei der Ableitung ignoriert werden, da sie wie normale Zahlen behandelt werden.
• Bei Brüchen mit e-Funktionen im Nenner kann der Bruch umgeschrieben werden, indem man eine negative Hochzahl verwendet, z.B. 1/e^x = e^(-x).
• Die Ableitung von e^(-x) ist -e^(-x).

Wurzeln und e-Funktionen

• Wurzeln können als Potenzen geschrieben werden, z.B. √x = x^(1/2).
• Dies ermöglicht die Anwendung der üblichen Ableitungsregeln.
• Die Ableitung von √x kann entweder auswendig gelernt werden (1 / (2√x)) oder durch Ableiten von x^(1/2) hergeleitet werden.
• Beispiel: Die Ableitung von e^(√x) ist e^(√x) * (1 / (2√x)).