Untitled

Εισαγωγή

• Ο μετασχηματισμός Laplace (LT) είναι ένα σημαντικό εργαλείο για την επεξεργασία χρονικά εξαρτημένων διαδικασιών.
• Μεταφέρει τις διαδικασίες από το πεδίο του χρόνου τ, στο πεδίο της μιγαδικής αναλογικής συχνότητας s.
• Προσφέρει απλές αλγεβρικές λύσεις για γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές (ΓΔΕΣΣ).
• Οι εξισώσεις (ΓΔΕΣΣ) περιγράφουν γραμμικά χρονικά αμετάβλητα (ΓΧΑ) συστήματα.
• Ο μετασχηματισμός Laplace χρησιμοποιείται κυρίως για τη μελέτη συστημάτων συνεχούς χρόνου.
• Ο μετασχηματισμός Fourier χρησιμοποιείται για τη μελέτη σημάτων συνεχούς χρόνου.

Πλεονεκτήματα του Μετασχηματισμού Laplace

• Μπορεί να υπολογιστεί για περισσότερες κατηγορίες συναρτήσεων από τον μετασχηματισμό Fourier.
• Παρέχει τη δυνατότητα μελέτης συστημάτων που δεν βρίσκονται σε αρχική κατάσταση ηρεμίας.
• Ενσωματώνει κατάλληλα τις αρχικές συνθήκες.
• Η χρήση του μιγαδικού πεδίου συχνοτήτων και των πόλων/μηδενικών απλοποιεί τη μελέτη των γραμμικών συστημάτων.
• Μπορεί να περιγράψει τη μόνιμη και τη μεταβατική κατάσταση των συστημάτων.
• Ο μετασχηματισμός Fourier περιορίζεται μόνο στην περιγραφή της μόνιμης κατάστασης.

Ιδιοτιμές ΓΧΑ Συστήματος

• Μιγαδικό σήμα εισόδου x(t) = e^s₀t, όπου s₀ = σ₀ + jΩ, εφαρμόζεται σε ΓΧΑ σύστημα.
• Το ΓΧΑ σύστημα έχει κρουστική απόκριση h(t).
• Η έξοδος y(t) του συστήματος δίνεται από τον τύπο y(t) = ∫ h(τ) x(t - τ) dτ (ολοκλήρωμα από -∞ έως +∞).
• Η συνάρτηση x(t) = e^s₀t ονομάζεται ιδιοτιμή επειδή εμφανίζεται στην είσοδο και την έξοδο του συστήματος.
• Η έξοδος y(t) εκφράζεται ως το γινόμενο της εισόδου επί τη μιγαδική συνάρτηση H(s₀).
• Η συνάρτηση H(s₀) σχετίζεται με το σύστημα μέσω της κρουστικής απόκρισης h(t).
• Η συνάρτηση H(s₀) υπολογίζεται στη συχνότητα s₀.
• Για κάθε τιμή της μιγαδικής συχνότητας s, η ιδιοτιμή της εισόδου πολλαπλασιάζεται με τη συνάρτηση H(s) = ∫ h(τ) e^(-τs) dτ (ολοκλήρωμα από -∞ έως +∞).
• Η συνάρτηση H(s) καλείται μετασχηματισμός Laplace της κρουστικής απόκρισης του ΓΧΑ συστήματος.
• Η συνάρτηση H(s) ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς (transfer function).
• Η συνάρτηση Η(s) είναι ένας άπειρος συνδυασμός μιγαδικών εκθετικών συναρτήσεων.
• Οι συναρτήσεις σταθμίζονται με την κρουστική απόκριση h(t).
• Εάν το σήμα x(t) είναι σταθμισμένο άθροισμα άπειρων μιγαδικών εκθετικών συναρτήσεων, η έξοδος y(t) δίνεται από τον τύπο: y(t) = (1/2πj) ∫ X(s) [H(s₀) e^st] ds (ολοκλήρωμα από σ-j∞ έως σ+j∞).
• Όπου Υ(s) = X(s) H(s).
• Επειδή στα ΓΧΑ συστήματα η έξοδος δίνεται από τη συνέλιξη y(t) = x(t) * h(t).
• Ο μετασχηματισμός Laplace δίνει έναν ισοδύναμο τρόπο υπολογισμού της εξόδου του ΓΧΑ συστήματος.
• Μετατρέπει την υπολογιστικά δύσκολη πράξη της συνέλιξης σε απλό πολλαπλασιασμό των μιγαδικών συναρτήσεων X(s) και H(s).
• Η ανάλυση δεν ισχύει για μη-γραμμικά ή χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα.

Μαθηματικός Ορισμός του Μετασχηματισμού Laplace

• Ο αμφίπλευρος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται ως X(s) = ∫ x(t) e^(-st) dt, όπου το ολοκλήρωμα υπολογίζεται από -∞ έως +∞.
• Το s είναι μία μιγαδική ποσότητα της μορφής s = σ + jΩ.
• Για σ = 0, ο μετασχηματισμός Laplace συμπίπτει με τον μετασχηματισμό Fourier.
• Ο όρος e^(-στ) εξασφαλίζει τη σύγκλιση του ολοκληρώματος και την ύπαρξη του μετασχηματισμού Laplace ακόμα και όταν ο μετασχηματισμός Fourier δεν υπάρχει.
• Το σ ονομάζεται συντελεστής απόσβεσης (damping factor), και το Ω είναι η αναλογική συχνότητα (rad/sec).
• Οι τιμές του s για τις οποίες ο μετασχηματισμός Laplace ορίζεται ονομάζονται περιοχή σύγκλισης (region of convergence).
• Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται ως X(s) = ∫ x(t) e^(-st) dt, όπου το ολοκλήρωμα υπολογίζεται από 0 έως ∞.
• Ένας πιο ακριβής μαθηματικός ορισμός του μονόπλευρου μετασχηματισμού Laplace δίνεται ως X(s) = lim (α→0-) ∫ x(t) e^(-st) dt, το ολοκλήρωμα από α έως ∞.
• Όταν αναφερόμαστε στον μετασχηματισμό Laplace, συνήθως εννοούμε τον μονόπλευρο LT.
• Η χρήση του μονόπλευρου LT είναι πιο συχνή επειδή συνήθως αναλύουμε αιτιατά συστήματα και συστήματα που δεν βρίσκονται σε αρχική κατάσταση ηρεμίας.
• Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace δίνεται από τη σχέση: x(t) = (1/2πj) ∫ X(s) e^(st) ds, όπου s ∈ ROC (περιοχή σύγκλισης).

Σύγκριση Μονόπλευρου και Αμφίπλευρου Laplace

• Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός Laplace χρησιμοποιείται πιο συχνά επειδή αναλύει αιτιατά συστήματα που μπορεί να βρίσκονται ή όχι σε αρχική κατάσταση ηρεμίας.
• Χρησιμοποιεί την περιγραφή του αιτιατού συστήματος μέσω γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές.
• Ο αμφίπλευρος μετασχηματισμός δεν μελετά συστήματα εκτός αρχικής ηρεμίας.
• Σήματα συνεχούς χρόνου που διαφέρουν μόνο για t < 0 έχουν διαφορετικό αμφίπλευρο αλλά ίδιο μονόπλευρο μετασχηματισμό Laplace.
• Ένα αιτιατό σήμα (x(t) = 0 για t < 0) έχει μονόπλευρο μετασχηματισμό που ταυτίζεται με τον αμφίπλευρο ως προς τη συναρτησιακή αναπαράσταση και τις ιδιότητες (με ρητές αναφορές στις διαφορές).

Περιοχή Σύγκλισης του Μετασχηματισμού Laplace

• Για τον μονόπλευρο μετασχηματισμό Laplace, το σύνολο των τιμών της X(s) που συγκλίνουν απόλυτα είναι της μορφής Re{s} > α ή Re{s} ≥ α, όπου -∞ ≤ α ≤ ∞.
• Η σταθερά α είναι η τετμημένη της απόλυτης σύγκλισης και εξαρτάται από τη συνάρτηση x(t).
• Το υποσύνολο τιμών του μιγαδικού επιπέδου s για τις οποίες ο μετασχηματισμός Laplace συγκλίνει ονομάζεται περιοχή σύγκలిσης (ROC).
• Η περιοχή σύγκλισης καθορίζεται από τον όρο της διάρκειας και τη μορφή του σήματος.
• Ο προσδιορισμός γίνεται ανάλογα με το αν το σήμα έχει άπειρη ή πεπερασμένη διάρκεια, και αν είναι αριστερής, δεξιάς ή διπλής πλευράς.

Πλευρικότητα Σημάτων

• Αριστερής πλευράς: x(t) = 0 για t > t₀.
• Δεξιάς πλευράς: x(t) = 0 για t < t₀.
• Διπλής πλευράς: x(t) ≠ 0 για -∞ < t < ∞.
• Πεπερασμένης διάρκειας: x(t) = 0 για t > t₁ και t < t₂.

Πόλοι και Μηδενικά του Μετασχηματισμού Laplace

• O μετασχηματισμός Laplace ενός σήματος εκφράζεται σε ρητή μορφή ως X(s) = B(s) / A(s).
• Όπου B(s) = b₀ + b₁s + b₂s⁻² + … + bₘs⁻ᴹ και Α(s) = α₀ + α₁s + α₂s⁻² + … + αNs⁻ᴺ.
• Παραγοντοποιώντας τους όρους, το κλάσμα γράφεται: X(s) = [b₀∏(s - zₖ)] / [a₀∏(s - pₖ)], όπου k από 1 έως M και 1 έως N αντίστοιχα.
• αᵢ, i = 1,2, ..., Ν και bj, j = 1,2, ..., Μ: σταθερές (πραγματικοί αριθμοί).
• M και N: βαθμοί των πολυωνύμων (θετικοί ακέραιοι).
• Μηδενικά (zeros): οι τιμές του s που μηδενίζουν τον αριθμητή (z₁, z₂, ..., zM).
• Πόλοι (poles): οι τιμές του s που μηδενίζουν τον παρανομαστή (p₁, p₂, ..., pN).
• Ο αριθμός των μηδενικών είναι Μ και ο αριθμός των πόλων είναι Ν.
• Ο μετασχηματισμός έχει επιπλέον |Ν – Μ| μηδενικά όταν Ν < Μ.
• Όταν Μ < Ν, η ρητή συνάρτηση ονομάζεται κανονική.
• Αν Μ > Ν, μπορεί να γραφεί ως άθροισμα πολυωνύμου και ρητής συνάρτησης.
• Η αποτύπωση των πόλων και μηδενισμών σε ένα διάγραμμα ονομάζεται διάγραμμα πόλων – μηδενικών (pole-zero map).
• Η περιοχή σύγκλισης αποτελείται από τιμές του σ για τις οποίες το γινόμενο x(t)e^(-σt) είναι ολοκληρώσιμο.
• Στην περιοχή σύγκλισης δεν περιλαμβάνονται οι πόλοι.
• Στους πόλους, η συνάρτηση Laplace τείνει στο άπειρο, καθώς είναι ρίζες του παρονομαστή.
• Τα μηδενικά οδηγούν τον μετασχηματισμό σε μηδενική τιμή, χωρίς να δημιουργούν προβλήματα.
• Η περιοχή σύγκλισης είναι παράλληλη στον φανταστικό άξονα jΩ.
• Καθορίζεται μόνο από την τιμή του συντελεστή απόσβεσης σ, όχι από την συχνότητα Ω.
• Όλες οι περιοχές σύγκλισης περιέχουν άπειρες τιμές συχνότητας Ω (-∞ < Ω < ∞).
• Αν {σᵢ} είναι τα πραγματικά μέρη των πόλων του μετασχηματισμού F(s) συνάρτησης χρόνου f(t):
  • Για αιτιατή συνάρτηση f(t): Rc = {(σ,Ω): σ > max{σᵢ}, -∞ < Ω < ∞}.
  • Για αντι-αιτιατή συνάρτηση f(t): Rac = {(σ,Ω): σ < min{σᵢ}, -∞ < Ω < ∞}.
  • Για μη-αιτιατή συνάρτηση f(t): Rnc = Rc ∩ Rac.
• Ένα ΓΧΑ σύστημα είναι ευσταθές όταν όλοι οι πόλοι του μετασχηματισμού Laplace έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος.
• Σήματα χρόνου πολλαπλασιασμένα με e^(-at) εμφανίζουν πόλους στο αριστερό ημιεπίπεδο και είναι ευσταθή.
• Σήματα χρόνου πολλαπλασιασμένα με δυνάμεις του t εμφανίζουν πόλους στο δεξιό ημιεπίπεδο και είναι ασταθή.
• Σήματα που περιέχουν ημιτονοειδής όρους εμφανίζουν μιγαδικούς συζυγείς πόλους.
• Αν το πραγματικό μέρος των συζυγών πόλων είναι μηδέν, έχουμε συντηρούμενη ταλάντωση.
• Αλλιώς, η ταλάντωση είναι εκθετικά φθίνουσα ή αύξουσα.
• Σήματα με ημιτονοειδείς όρους εμφανίζουν πόλους μιγαδικούς συζυγείς.
• Εάν το πραγματικό μέρος των συζυγών πόλων είναι μηδέν, έχουμε συντηρούμενη ταλάντωση.
• Σήματα πολλαπλασιασμένα με δυνάμεις του t εμφανίζουν πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο και είναι ασταθή, καθώς τείνουν στο άπειρο.
• Ένα ΓΧΑ σύστημα είναι ευσταθές όταν όλοι οι πόλοι του έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος.

Θέση πόλων και Ευστάθεια

• Εάν το πραγματικό μέρος των συζυγών πόλων είναι μηδέν τότε έχουμε συντηρούμενη ταλάντωση (οριακή ευστάθεια).
• Αλλιώς, η ταλάντωση είναι εκθετικά φθίνουσα ή εκθετικά αύξουσα.

Ιδιότητες Περιοχής Σύγκλισης

• Ένα σήμα συνεχούς χρόνου x(t) είτε δεν θα διαθέτει καθόλου μετασχηματισμό Laplace, είτε αν διαθέτει θα εμπίπτει σε μία από τις τέσσερις περιπτώσεις:
  • Όταν το σήμα έχει πεπερασμένη διάρκεια, η περιοχή σύγκλισης είναι όλο το μιγαδικό επίπεδο.
  • Όταν το σήμα είναι συνάρτηση δεξιάς πλευράς, τότε η περιοχή σύγκλισης έχει τη μορφή σ > σR, όπου σR είναι ο πόλος με το μεγαλύτερο πραγματικό μέρος.
  • Εάν είναι συνάρτηση αριστερής πλευράς, τότε έχει τη μορφή σ < σL, όπου σL ο πόλος με το μικρότερο πραγματικό μέρος.
  • Εάν το σήμα έχει άπειρη διάρκεια, τότε η περιοχή σύγκλισης θα έχει τη μορφή σR < σ < σL.
• Οι πόλοι δεν μπορούν να βρίσκονται εντός της περιοχής σύγκλισης.