จำนวนเต็มและคุณสมบัติ

จำนวนเต็ม

• Definition: จำนวนเต็ม (integers) คือ กลุ่มของตัวเลขที่รวมทั้งจำนวนบวก จำนวนลบ และจำนวนศูนย์

• Symbol: แทนจำนวนเต็มด้วยสัญลักษณ์ ( \mathbb{Z} )

• ประเภทของจำนวนเต็ม:

  • จำนวนเต็มบวก (Positive integers): ( 1, 2, 3, \ldots )
  • จำนวนเต็มลบ (Negative integers): ( -1, -2, -3, \ldots )
  • จำนวนศูนย์ (Zero): ( 0 )

• คุณสมบัติ:

  • Closure: ผลลัพธ์ของการบวกหรือการคูณจำนวนเต็มจะเป็นจำนวนเต็มเสมอ
  • Identity Elements:
    • บวก: 0 ( ( a + 0 = a ) )
    • คูณ: 1 ( ( a \times 1 = a ) )
  • Inverse Elements:
    • บวก: จำนวนเต็มลบที่ตรงกันข้าม ( ( a + (-a) = 0 ) )
    • คูณ: ไม่มีสำหรับ 0 ( ( a \times 0 = 0 ) )

• การบวกและการลบ:

  • การบวกจำนวนเต็ม: มีผลรวมที่เป็นจำนวนเต็ม
  • การลบจำนวนเต็ม: หากลบจำนวนเต็มบวกจากจำนวนเต็ม จะได้จำนวนที่น้อยกว่า

• การคูณ:

  • ผลคูณของจำนวนเต็มจะเป็นจำนวนเต็ม
  • กฎการเปลี่ยนตำแหน่ง (Commutative property) และการรวมกลุ่ม (Associative property) ใช้ได้

• การหาร:

  • ผลหารของจำนวนเต็มอาจไม่เป็นจำนวนเต็มเสมอ (เช่น ( 1 \div 2 = 0.5 ))
  • การหารจำนวนเต็มที่ไม่ลงตัวจะให้เศษ (remainder)

• ลำดับจำนวนเต็ม:

  • จำนวนเต็มสามารถจัดเรียงในลำดับที่มีการเปรียบเทียบระหว่างค่าได้ (มากกว่า น้อยกว่า)

• การแทนค่า:

  • จำนวนเต็มสามารถแทนค่าได้ทั้งในรูปของกราฟและสมการ

• ฟังก์ชัน:

  • ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็ม เช่น ฟังก์ชันจำนวนเต็ม (floor function) และ ฟังก์ชันจำนวนเต็มที่ใกล้เคียง (ceiling function)

• การประยุกต์:

  • จำนวนเต็มมีการใช้งานในหลากหลายสาขา เช่น คณิตศาสตร์, วิทยาศาสตร์, และการเขียนโปรแกรม

จำนวนเต็ม

• จำนวนเต็มคือกลุ่มตัวเลขที่รวมจำนวนบวก, จำนวนลบ และจำนวนศูนย์
• แทนจำนวนเต็มด้วยสัญลักษณ์ ( \mathbb{Z} )

ประเภทของจำนวนเต็ม

• จำนวนเต็มบวก ได้แก่ ( 1, 2, 3, \ldots )
• จำนวนเต็มลบ ได้แก่ ( -1, -2, -3, \ldots )
• จำนวนศูนย์ คือ ( 0 )

คุณสมบัติของจำนวนเต็ม

• Closure: ผลลัพธ์จากการบวกหรือคูณจำนวนเต็มยังคงเป็นจำนวนเต็ม
• Identity Elements:
  • บวก: 0 ( ( a + 0 = a ) )
  • คูณ: 1 ( ( a \times 1 = a ) )
• Inverse Elements:
  • บวก: จำนวนเต็มลบที่ตรงกันข้าม ( ( a + (-a) = 0 ) )
  • คูณ: ไม่มีสำหรับ 0 ( ( a \times 0 = 0 ) )

การดำเนินการกับจำนวนเต็ม

• การบวก: ผลรวมของจำนวนเต็มคือจำนวนเต็ม
• การลบ: เมื่อลบจำนวนเต็มบวกจากจำนวนเต็ม จะทำให้ค่าผลลัพธ์ลดลง

การคูณ

• ผลคูณของจำนวนเต็มยังคงเป็นจำนวนเต็ม
• กฎการเปลี่ยนตำแหน่ง (Commutative property) และการรวมกลุ่ม (Associative property) ใช้ได้กับการคูณ

การหาร

• ผลหารของจำนวนเต็มอาจไม่ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็ม (เช่น ( 1 \div 2 = 0.5 ))
• การหารที่ไม่ลงตัวจะมีเศษ (remainder)

ลำดับจำนวนเต็ม

• จำนวนเต็มสามารถจัดเรียงในลำดับที่สามารถเปรียบเทียบค่าได้ (เช่น มากกว่า น้อยกว่า)

การแทนค่า

• จำนวนเต็มสามารถแทนค่าได้ทั้งในรูปของกราฟและสมการ

ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง

• ฟังก์ชันจำนวนเต็ม (floor function) และฟังก์ชันจำนวนเต็มที่ใกล้เคียง (ceiling function) มีความสำคัญ

การประยุกต์

• จำนวนเต็มมีการใช้งานในหลายสาขา ได้แก่ คณิตศาสตร์, วิทยาศาสตร์, และการเขียนโปรแกรม