מושגי מספרים מורכבים

Study Notes

مفهوم الأعداد المركبة

الأعداد المركبة هي امتداد للأعداد الحقيقية، وتُعرَّف على أنها أعداد من الشكل a + bi ، حيث a و b هما أعداد حقيقية، و i هي وحدة تخيلية تُعرَّف بـ i² = -1.
الجزء الحقيقي من العدد المركب هو a، والجزء التخيلي هو b.
يمكن تمثيل الأعداد المركبة على المستوى المركب، حيث يُمثّل المحور الأفقي الجزء الحقيقي، والمحور الرأسي الجزء التخيلي.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة

الجمع: لإيجاد مجموع عددين مركبين، نجمع الأجزاء الحقيقية معًا، والأجزاء التخيلية معًا. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
الطرح: لإيجاد فرق عددين مركبين، نطرح الأجزاء الحقيقية من بعضها، والأجزاء التخيلية من بعضها. (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
الضرب: نضرب العددين المركبين كأنهم متغيرات جبريّة مع مراعاة أن i² = -1. (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i
القسمة: نضرب البسط والمقام في مرافق المقام. (a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)] = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)

مرافق العدد المركب

مرافق العدد المركب a + bi هو a - bi. يُرمز له عادةً بـ (a + bi)* أو a - bi.
نستعمله في عملية قسمة الأعداد المركبة.

القيمة المطلقة للعدد المركب

القيمة المطلقة للعدد المركب z = a + bi هي المسافة من نقطة z إلى نقطة الأصل (0, 0) على المستوى المركب. تُحسب بواسطة الجذر التربيعي لمجموع مربعي الأجزاء الحقيقية والتخيلية. |z| = √(a² + b²)

الأعداد المركبة في شكل قطبي

يمكن تمثيل الأعداد المركبة بنظام إحداثيات قطبي.
r هو المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة التي تمثّل العدد المركب على المستوى المركب.
θ هي الزاوية التي يصنعها الخط الواصل بين النقطة الأصل ونقطة العدد المركب مع المحور الموجب للأعداد الحقيقية.
في هذا الشكل، نكتب العدد المركب z = r(cosθ + i sinθ).

بعض التطبيقات

تُستخدم الأعداد المركبة في العديد من التطبيقات الهندسية والفيزيائية، مثل التحليل المتجهات، والهندسة الكهربائية، وميكانيكا الكم.
تُستخدم في حل معادلات تربيعية لها جذور ليست حقيقية.
تسهّل الأعداد المركبة تمثيل الظواهر الدورانية والمتحركة رياضياً.

Description

בבחינה זו נבחן את המושגים של מספרים מורכבים ושל פעולות חישוביות עליהם. נלמד כיצד לבצע חיבור, חיסור, כפל וחלוקה של מספרים מורכבים בסגנון מתמטי. נסקור גם את תצוגת המספרים במישור המורכב.