מושגי מספרים מורכבים

مفهوم الأعداد المركبة

• الأعداد المركبة هي امتداد للأعداد الحقيقية، وتُعرَّف على أنها أعداد من الشكل a + bi ، حيث a و b هما أعداد حقيقية، و i هي وحدة تخيلية تُعرَّف بـ i² = -1.
• الجزء الحقيقي من العدد المركب هو a، والجزء التخيلي هو b.
• يمكن تمثيل الأعداد المركبة على المستوى المركب، حيث يُمثّل المحور الأفقي الجزء الحقيقي، والمحور الرأسي الجزء التخيلي.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة

• الجمع: لإيجاد مجموع عددين مركبين، نجمع الأجزاء الحقيقية معًا، والأجزاء التخيلية معًا. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• الطرح: لإيجاد فرق عددين مركبين، نطرح الأجزاء الحقيقية من بعضها، والأجزاء التخيلية من بعضها. (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
• الضرب: نضرب العددين المركبين كأنهم متغيرات جبريّة مع مراعاة أن i² = -1. (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i
• القسمة: نضرب البسط والمقام في مرافق المقام. (a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)] = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)

مرافق العدد المركب

• مرافق العدد المركب a + bi هو a - bi. يُرمز له عادةً بـ (a + bi)* أو a - bi.
• نستعمله في عملية قسمة الأعداد المركبة.

القيمة المطلقة للعدد المركب

• القيمة المطلقة للعدد المركب z = a + bi هي المسافة من نقطة z إلى نقطة الأصل (0, 0) على المستوى المركب. تُحسب بواسطة الجذر التربيعي لمجموع مربعي الأجزاء الحقيقية والتخيلية. |z| = √(a² + b²)

الأعداد المركبة في شكل قطبي

• يمكن تمثيل الأعداد المركبة بنظام إحداثيات قطبي.
• r هو المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة التي تمثّل العدد المركب على المستوى المركب.
• θ هي الزاوية التي يصنعها الخط الواصل بين النقطة الأصل ونقطة العدد المركب مع المحور الموجب للأعداد الحقيقية.
• في هذا الشكل، نكتب العدد المركب z = r(cosθ + i sinθ).

بعض التطبيقات

• تُستخدم الأعداد المركبة في العديد من التطبيقات الهندسية والفيزيائية، مثل التحليل المتجهات، والهندسة الكهربائية، وميكانيكا الكم.
• تُستخدم في حل معادلات تربيعية لها جذور ليست حقيقية.
• تسهّل الأعداد المركبة تمثيل الظواهر الدورانية والمتحركة رياضياً.