เรื่องตัวแปรสุ่ม

ตัวแปรสุ่ม (Random variable)

• ในการทดลองสุ่ม ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มักอยู่ในรูปตัวเลขหรือตัวอักษร
• ใช้แสดงลักษณะของสมาชิกในปริภูมิตัวอย่าง
• ตัวอย่างเช่น การโยนเหรียญ 2 ครั้ง ผลลัพธ์ที่ได้คือ {HH, HT, TH, TT}
  • H แทนเหรียญที่ออกหัว, T แทนเหรียญที่ออกก้อย
  • กำหนดให้ X = จำนวนครั้งที่เหรียญออกหัวจากการโยน 2 ครั้ง ค่าที่เป็นไปได้ของ X คือ 0, 1, 2
    • X = 0 หมายถึง เหตุการณ์ {TT}
    • X = 1 หมายถึง เหตุการณ์ {TH, HT}
    • X = 2 หมายถึง เหตุการณ์ {HH}
• ตัวแปรที่มีค่าเป็นตัวเลขซึ่งถูกกำหนดโดยผลลัพธ์จากการทดลองสุ่ม เรียกว่า ตัวแปรสุ่ม
• ใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ (X, Y, Z) แทนตัวแปรสุ่ม
• ใช้ตัวอักษรตัวพิมพ์เล็ก (x, y, z) แทนค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม

ประเภทของตัวแปรสุ่ม

• ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง (Discrete random variable)
  • ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ X ต้องมีจำนวนที่แน่นอนเป็นจำนวนนับ, จำกัด หรือไม่จำกัดก็ได้
  • X แทนจำนวนสินค้ามีตำหนิจากการสุ่มสินค้า 10 ชิ้น ดังนั้น X = 0, 1, 2, ..., 10
  • X แทนจำนวนครั้งในการโยนลูกเต๋าจนกว่าจะได้แต้ม 3 ดังนั้น X = 1, 2, ...
• ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (Continuous random variable)
  • ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ X เป็นเลขจำนวนจริงในช่วงที่ต่อเนื่องกัน, มีจำนวนอนันต์และนับไม่ได้
  • กำหนดให้ X แทนน้ำหนักทารกแรกเกิดตั้งแต่ 2500 ถึง 3500 กรัม ดังนั้น 2500 ≤ X ≤ 3500
  • กำหนดให้ X แทนระยะเวลาการรอรถโดยสาร ดังนั้น X > 0

การแจกแจงความน่าจะเป็น หรือ ฟังก์ชันความน่าจะเป็น

• เป็นฟังก์ชันที่แสดงว่าตัวแปรสุ่ม X มีค่าเท่ากับค่าใดค่าหนึ่งด้วยความน่าจะเป็นเท่าใด เขียนแทนด้วย f(x)
• ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง:
  • ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง, ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X เมื่อ X=x เขียนแทนด้วย f(x) หรือ P(X=x)
  • คุณสมบัติ: - f(x) ≥ 0 สำหรับทุกค่าของ X - Σf(x) = 1 สำหรับทุกค่า x
• ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง:
  • ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X คือฟังก์ชันที่แสดงค่าความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่ค่าระหว่าง a และ b เขียนแทน P(a < X < b) -คุณสมบัติ: - f(x) ≥ 0 สำหรับทุกค่าของ X ที่เป็นจำนวนจริง - อินทิกรัลจาก -∞ ถึง ∞ ของ ฟังก์ f(x) dx = 1

หมายเหตุ

• ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่จะมีค่าใดค่าหนึ่งโดยเฉพาะ จะมีค่าเท่ากับ 0
• P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b)

ค่าคาดหวังและค่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

• กำหนดให้ X เป็นตัวแปรสุ่ม, ค่าของ X จะมีได้หลายค่าด้วยความน่าจะเป็นต่างกัน
• สามารถหาตัวแทนของตัวแปรสุ่มจากการหาค่าเฉลี่ยที่คาดว่าจะเป็น หรือ ค่าคาดหวัง (Expected Value) ก่อนทราบผลลัพธ์จริง
• ค่าที่ใช้แสดงการกระจายตัวของค่าตัวแปรสุ่มคือ ความแปรปรวน, ใช้พิจารณาการกระจายของค่าตัวแปรสุ่มแต่ละค่าว่าห่างจากค่าเฉลี่ยเท่าใด
• ค่าคาดหวัง (Expected Value) ของตัวแปรสุ่ม X เขียนแทนด้วย E(X) หรือ μx
• ความแปรปรวน (Variance) ของตัวแปรสุ่ม X เขียนแทนด้วย V(X) หรือ σx² ซึ่งมีสูตรการคำนวณดังนี้: σx²= V(X) = E[(X - μx)²] = E(X²) - μx²

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง

• ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องที่มีฟังก์ชันความน่าจะเป็น f(x):
  • การหาค่าเฉลี่ยหรือค่าคาดหวัง: μx = E(X) = Σ [x * f(x)] for all x
  • การหาความแปรปรวน: σx² = V(X) = E[(X - μx)²] = E(X²) - μx²
    • เมื่อ: μx = E(X) = Σ [x * f(x)] for all x
    • E(X²) = Σ [x² * f(x)] for all x

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

• ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่องที่มีฟังก์ชันความน่าจะเป็น f(x):
  • การหาค่าเฉลี่ยหรือค่าคาดหวัง: μx = E(X) = อินทิกรัลจาก -∞ ถึง ∞ ของ [x * f(x) dx]
  • การหาความแปรปรวน: V(X) = อินทิกรัลจาก -∞ ถึง ∞ ของ [(x - μx)² * f(x) dx] = E(X²) - μx² หรือคำนวณจาก V(X) = อินทิกรัลจาก -∞ ถึง ∞ ของ [x² * f(x) dx] - อินทิกรัลจาก -∞ ถึง ∞ ของ [x * f(x) dx]

การแจกแจงความน่าจะเป็นที่สำคัญของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง

• การแจกแจงทวินาม (Binomial distribution)

  • มาจากการทดลองสุ่มทวินาม (Binomial experiment) ซึ่งมีลักษณะ:
    • ทำการทดลองในลักษณะเดียวกันซ้ำ ๆ กัน n ครั้ง
    • การทดลองแต่ละครั้งเป็นอิสระกัน
    • แต่ละครั้งได้ผลลัพธ์ 2 อย่าง: สิ่งที่สนใจและไม่สนใจ, สำเร็จและไม่สำเร็จ
    • ความน่าจะเป็นของการเกิดสิ่งที่สนใจในแต่ละครั้งมีค่าคงที่ คือ p (ความน่าจะเป็นของการเกิดสิ่งที่สนใจ) และ q = 1 - p (ความน่าจะเป็นของการเกิดสิ่งที่ไม่สนใจ)
  • ในการทดลองทวินาม n ครั้ง, แต่ละครั้งมีความน่าจะเป็นของการเกิดสิ่งที่สนใจเท่ากับ p
  • X คือจำนวนครั้งที่ได้สิ่งที่สนใจ ดังนั้น X มีฟังก์ชันความน่าจะเป็น:

  สูตรและการคำนวณค่าสถิติ

  • ค่าเฉลี่ย E(X) = np
  • ความแปรปรวน V(X) = npq

การแจกแจงปรกติ (Normal distribution)

• เป็นการแจกแจงที่สำคัญที่สุดในการวิเคราะห์ข้อมูลทางสถิติ
• เหตุการณ์ที่ทำการศึกษาจะต้องมีการแจกแจงที่ใกล้เคียงหรือมีการแจกแจงปรกติ
• X เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงปรกติมีค่าเฉลี่ย µ และความแปรปรวน 𝜎² เขียนแทนด้วย X~N(μ, σ²) และ X มีฟังก์ชันความน่าจะเป็น :
• ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจงปรกติ:
  • E(X) = μ
  • V(X) = σ²
• กราฟฟังก์ชันความจะเป็นมีลักษณะเป็นโค้ง กระดิ่งมีจุดศูนย์กลางที่ Mu และเรียกว่าโค้งปรกติ
• คุณสมบัติ:
  • โค้งคล้ายรูประฆังค่ำ สมมาตรมียอดจุดเดียว
  • ข้อมูลที่มีการแจกแจงปรกติจะมีค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม อยู่ตำแหน่งเดียว
  • ข้อมูลเส้นโค้งมีลักษณะสมมาตรกับ แนนอน ปลายโค้งไม่จบ
  • พื้นที่ใต้เส้นโค้งปรกติมีค่าเท่ากับ 1
  • ความกว้างหรือแคบของส้นโค้งปรกขึ้นอยู่กับความแปรผ
• หาค่าความน่าจะเป็นได้โดยการหาพื้นที่ใต้ โค้งด้วย

การแจกแจงปกติมาตรฐาน

• X ตัวแปรสุ่มมีการจัดจำแนกปรกติ

• Z = อยู่ในช่วง (–∞, ∞)

• มีฟังก์ชันความน่าจะเป็น:

  , โดยค่า Zคือ2.71828 และ π = 3.14159

• หาก Z เป็นตัวแปรสุ่ม จะมีคุณสมบัติดังนี้:

  • E(Z) = 0
  • V(Z) = 1

• ซึ่งกราฟของฟังก์ชันความน่าจะเป็นจะมีลักษณะเป็นเส้นโค้งซึ่งมีจุดตรงกลางที่เท่ากับ 0 หรือเรียกว่าโค้ง ปรกติมาตรฐาน: พื้นที่ใต้เส้นโค้ง มีคุณสมบัติดังนี้

• P(−∞ < Z < ∞) = 1

• พื้นที่ใต้เส้นโค้ง = 1

• P(−∞