ตัวแปรสุ่ม (Random Variable)

ตัวแปรสุ่ม (Random Variable)

• ตัวแปรสุ่มใช้ตัวเลขหรือตัวอักษรแทนผลลัพธ์ของการทดลองสุ่ม เพื่อแสดงลักษณะสมาชิกในปริภูมิตัวอย่าง
• ตัวอย่าง: การโยนเหรียญ 2 ครั้ง, ผลลัพธ์ {HH, HT, TH, TT} สามารถแทนด้วยตัวเลข
  • X = 0 หมายถึง {TT} (ไม่มีหัว)
  • X = 1 หมายถึง {TH, HT} (หนึ่งหัว)
  • X = 2 หมายถึง {HH} (สองหัว)
• ตัวแปรสุ่มคือตัวแปรที่มีค่าเป็นตัวเลข ซึ่งถูกกำหนดโดยผลลัพธ์จากการทดลองสุ่ม
• ใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ (X, Y, Z) แทนตัวแปรสุ่ม
• ใช้ตัวอักษรตัวพิมพ์เล็ก (x, y, z) แทนค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม

ประเภทของตัวแปรสุ่ม

• ตัวแปรสุ่มแบ่งเป็น 2 ประเภท: ไม่ต่อเนื่อง (Discrete) และต่อเนื่อง (Continuous)

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง (Discrete Random Variable)

• ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ X จะต้องมีจำนวนที่แน่นอนเป็นจำนวนนับได้ จำกัดหรือไม่จำกัดก็ตาม
• X แทนจำนวนสินค้าที่มีตำหนิจากการสุ่มสินค้า 10 ชิ้น, ค่าของ X คือ 0, 1, 2, ..., 10
• X แทนจำนวนครั้งในการโยนลูกเต๋าจนกระทั่งหงายแต้ม 3, ค่าของ X คือ 1, 2, ...

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (Continuous Random Variable)

• ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ X จะเป็นเลขจำนวนจริงในช่วงที่ต่อเนื่องกัน
• ค่าที่เป็นไปได้จะต้องมีจำนวนอนันต์และนับไม่ได้
• X แทนน้ำหนักทารกแรกเกิดตั้งแต่ 2500 ถึง 3500 กรัม, ค่าของ X อยู่ในช่วง 2500 ≤ X ≤ 3500
• X แทนระยะเวลาการรอรถโดยสาร, ค่าของ X คือ X > 0

การแจกแจงความน่าจะเป็น (Probability Function)

• เป็นฟังก์ชันที่แสดงว่าตัวแปรสุ่ม X มีค่าเท่ากับค่าใดค่าหนึ่งด้วยความน่าจะเป็นเท่าใด
• เขียนแทนด้วย f(x)
• ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง (Discrete)
  • ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง, ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X เมื่อ X = x เขียนแทนด้วย f(x) หรือ P(X = x)
  • คุณสมบัติ:
    • f(x) ≥ 0 (สำหรับทุกค่าของ X)
    • Σ f(x) = 1 (ผลรวมความน่าจะเป็นทุกค่าเท่ากับ 1)
• ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (Continuous)
  • ฟังก์ชันที่แสดงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X คือฟังก์ชันที่แสดงค่าความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่ค่าระหว่าง 2 ค่า คือ a และ b เขียนแทนด้วย P(a < X < b)
  • คุณสมบัติ: - f(x) ≥ 0 สำหรับทุกค่าของ X ที่เป็นจำนวนจริง - ∫ f(x)dx = 1 (อินทิเกรตของ f(x) จาก -∞ ถึง ∞ เท่ากับ 1)

ค่าคาดหวังและค่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

• ค่าคาดหวัง [E(X) หรือ μχ] คือค่าเฉลี่ยที่คาดว่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม
• ความแปรปรวน [V(X) หรือ σ²] คือค่าที่แสดงถึงการกระจายตัวของค่าตัวแปรสุ่ม
• สูตรการคำนวณ: σ² = V(X) = E(X – μx)² = E(X²) – μx²
• สำหรับตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง:
  • ค่าเฉลี่ย: μχ = E(X) = Σ xf(x)
  • ความแปรปรวน: σ² = V(X) = E(X – μx)² = E(X²) – μx²
    • โดยที่ μχ = E(X) = Σ xf(x) และ E(X²) =Σ x²f(x)
• สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง:
  • ค่าเฉลี่ย: μχ = E(X) = ∫ xf(x)dx
  • ความแปรปรวน: V(X) = E(X – μx)² = ∫ (x – μx)²f(x)dx หรือ V(X) = E(X²) – μx² = ∫x²f(x)dx - ∫xf(x)dx

การแจกแจงความน่าจะเป็นที่สำคัญ (ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง)

การแจกแจงทวินาม (Binomial Distribution)

• มาจากการทดลองสุ่มทวินาม (Binomial experiment) ที่มีลักษณะดังนี้:

  • ทำซ้ำๆ กัน n ครั้ง
  • แต่ละครั้งเป็นอิสระกัน
  • แต่ละครั้งผลลัพธ์เป็นไปได้ 2 อย่าง (สิ่งที่สนใจ/ไม่สนใจ สำเร็จ/ไม่สำเร็จ)
  • ความน่าจะเป็นของการเกิดสิ่งที่สนใจแต่ละครั้งเท่ากับ p (คงที่)
    • ความน่าจะเป็นของการเกิดสิ่งที่ไม่สนใจแต่ละครั้งเท่ากับ 1 − p = q

• นิยาม: ในการทดลองทวินาม n ครั้ง แต่ละครั้งพบว่าความน่าจะเป็นของการเกิดสิ่งที่สนใจเท่ากับ p, และความน่าจะเป็นของการเกิดสิ่งที่ไม่สนใจเท่ากับ q = 1 - p ให้ X เป็นจำนวนครั้งที่ได้สิ่งที่สนใจ ดังนั้น X มีฟังก์ชันความน่าจะเป็นดังนี้ (เมื่อ X = x): f(x) = (n เลือก x) * p^x * q^(n-x) เมื่อ x = 0, 1, 2, , n (0 เมื่อ X เป็นค่าอื่น ๆ) โดยที่ (n เลือก x) = n! / (x! * (n-x)!)

• ค่าเฉลี่ย: E(X) = np

• ความแปรปรวน: V(X) = npq

• ตัวอย่าง: หลอดทดลองใช้การไม่ได้ 10%, สุ่มมา 3 หลอด: ให้ X แทนจำนวนหลอดทดลอง; x = 0,1,2,3; p = 0.1, q = 0.9

  • ความน่าจะเป็นที่ไม่มีหลอดเสียเลย: P(X = 0) =0.729

การแจกแจงปรกติ (Normal Distribution)

• เป็นการแจกแจงที่สำคัญที่สุดในการวิเคราะห์ข้อมูลทางสถิติ
  • เหตุการณ์ที่ทำการศึกษาจะต้องมีการแจกแจงที่ใกล้เคียง
• นิยาม: X เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงปรกติ มีค่าเฉลี่ย µ และความแปรปรวน σ² แทนด้วยสัญลักษณ์ X~N(μ, σ²) f(x) = 1 / (σ√(2π)) * e^(-((x-μ)² / (2σ²))) เมื่อ -∞ < x < ∞ โดย e = 2.7182... และ π = 3.14159...
• คุณสมบัติที่สำคัญ
  • โค้งมีลักษณะเป็นรูประฆังคว่ำที่สมมาตร โดยมีจุดยอดเพียงจุดเดียว
  • มีค่าเฉลี่ย มัธยฐาน, และฐานนิยมอยู่ในตำแหน่งเดียวกัน
  • ปลายทั้งสองข้างปลายโค้งไม่จรดกับแกนนอน
  • พื้นที่ใต้เส้นโค้งปรกติจะมีค่าเท่ากับ 1
  • ความกว้างหรือแคบของเส้นโค้งปรกติขึ้นอยู่กับความแปรปรวน -ค่าเฉลี่ย E(X) = μ -ความแปรปรวน V(X) = σ²

การแจกแจงปรกติมาตรฐาน (Standard Normal Distribution)

• X เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงปรกติมีค่าเฉลี่ย และความแปรปรวน Z = (Χ-μ)/σ เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงปรกติมาตรฐานมีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 1 หรือเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Z~N(0, 1) มีฟังก์ชันความน่าจะเป็นดังนี้

โดย e = 2.71828 และ π = 3.14159 ค่าเฉลี่ย E(Z) =0 V(Z) =1 ซึ่งกราฟของฟังก์ชัน จะมีลักษณะเป็นเส้นโค้ง ซึ่งมีจุดตรงกลางที่เท่ากับ หรือเรียกว่า โค้งปรกติมาตรฐาน

• พื้นที่ใต้เส้นโค้งปรกติมาตรฐานจะแบ่งพื้นที่ทั้งหมดออกเป็น 2 ส่วนเท่า ๆ กันที่ตำแหน่งค่า Z = 0 P(? <Z< ?) = 1 (พื้นที่ใต้โด้ง มีค่าเท่ากับ 1) P(? <Z< 0) = P(0 <Z< ?) = 0.5 P(Z < -a) = P(Z > a)

การแจกแจงที (T Distribution)

• เส้นโค้งทีจะมีลักษณะคล้ายกับเส้นโค้งปรกติมาตรฐาน
• โค้งความถี่เป็นรูประฆังคว่ำและสมมาตรกันรอบค่าเฉลี่ยซึ่งมีค่าเป็นศูนย์
• มีความโด่งน้อยกว่าเส้นโค้งปรกติมาตรฐาน ตารางที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงที โดยทำการเปิดตารางที่ 2 ใช้สำหรับหาค่า tadf ซึ่งเรียกว่า
• ค่าวิกฤตของการแจกแจงทีที่องศาเสรี df ใด ๆ โดย P(T tadf) เป็นการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งทีทางด้านขวามือเท่ากับ P (T tadfdf) =28
• ให้X เป็นตัวแปรสุ่ม มีการแจกแจงปรกติ = 5 และ 02=4และZเป็นตัวแปรสุ่มทีมีการแจกแจงปรกติมาตรฐาน จงหาค่าต่อ ไปนี้ P(Z<0) P(Z4 a =2.748

การแจกแจงไคสแควร์ (Chisquare distribution )

• เส้นโด้งไคสแควร์ จะมีลักษณะเม้ขวาขึ้น กับองศาเสรี df ใดๆ ถ่าองศาเสรี เข้าไกล้ค่าอนันต์ เล้นโด้งจะเข้า ใกล้เส้นโภังปรกต โดยที่พื้นที่ใต้เล้นโด้งไคสแควร์ทั้งหมด จะมีค่าเท่ากับ 1

การแจกแจงเอฟ

F distribution เส้นโค้ง เอฟ จะมีลักษณะเบ้ ขว่า ขั้นกับกองศาเสริ P ( F >f) = 0.05ที องศาเสริ =5และ =19