חוקים לוגיים

חוקים לוגיים

• חוק זהות:

  • לכל ביטוי לוגי ( P ): ( P \equiv P ), כלומר ביטוי שווה לעצמו.

• חוק לא סותר:

  • ביטוי לא יכול להיות נכון ולא נכון בו זמנית: ( \neg P \equiv \text{false} ) כאשר ( P ) נכון.

• חוק השלישי הסולידי:

  • לכל ביטוי לוגי ( P ): ( P ) חייב להיות נכון או לא נכון, ואין מצב ביניים.

• חוק דה מורגן:

  • ( \neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q )
  • ( \neg (P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q )

• חוק הסימטריה:

  • אם ( P \equiv Q ), אז ( Q \equiv P ).

• חוק ההעברה:

  • אם ( P \equiv Q ) ו-( Q \equiv R ), אז ( P \equiv R ).

• חוק השתיים:

  • ( P \lor \neg P \equiv \text{true} ) (כל ביטוי או שלילי שלו).

• חוק ההתפלגות:

  • ( P \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor (P \land R) )
  • ( P \lor (Q \land R) \equiv (P \lor Q) \land (P \lor R) )

• חוק החזרה:

  • ( (P \land P) \equiv P ) ו-( (P \lor P) \equiv P ).

• חוק השולל:

  • ביטוי לוגי שמשלל את עצמו: ( P \land \neg P \equiv \text{false} ).

שימוש בחוקים לוגיים

• פישוט ביטויים: חוקים לוגיים משמשים לפשט ביטויים לוגיים מורכבים.
• הוכחות לוגיות: חוקים לוגיים בסיסיים חיוניים להוכחת תוצאות ולוגיקה פורמלית.
• אימות טענות: ניתן להשתמש בחוקים כדי לבדוק את תוקפן של טענות לוגיות.

חוקים לוגיים

• חוק זהות:

  • ביטוי לוגי ( P ) שווה לעצמו: ( P \equiv P ).

• חוק לא סותר:

  • ביטוי לא יכול להיות נכון ולא נכון בו זמנית: אם ( P ) נכון, אז ( \neg P \equiv \text{false} ).

• חוק השלישי הסולידי:

  • ביטוי לוגי ( P ) חייב להיות נכון או לא נכון, ללא מצב ביניים.

• חוק דה מורגן:

  • קובע את הקשרים בין פעולות לוגיות:
    • ( \neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q )
    • ( \neg (P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q ).

• חוק הסימטריה:

  • אם ( P \equiv Q ) אז ( Q \equiv P ).

• חוק ההעברה:

  • אם ( P \equiv Q ) ו-( Q \equiv R ), אז ( P \equiv R ).

• חוק השתיים:

  • ביטוי לוגי או שלילי שלו תמיד נכון: ( P \lor \neg P \equiv \text{true} ).

• חוק ההתפלגות:

  • מאפשר חלוקה של ביטויים מורכבים:
    • ( P \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor (P \land R) )
    • ( P \lor (Q \land R) \equiv (P \lor Q) \land (P \lor R) ).

• חוק החזרה:

  • ביטוי החוזר על עצמו: ( (P \land P) \equiv P ) ו-( (P \lor P) \equiv P ).

• חוק השולל:

  • ביטוי לוגי שמבצע שלילה עצמית: ( P \land \neg P \equiv \text{false} ).

שימוש בחוקים לוגיים

• פישוט ביטויים: חוקים לוגיים מייעלים את תהליך הפשטת ביטויים לוגיים מורכבים.

• הוכחות לוגיות: חוקים לוגיים חיוניים להוכחת תוצאות בלוגיקה פורמלית.

• אימות טענות: שימוש בחוקים לוגיים מאפשר לבדוק את תוקפן של טענות ולוגיות.

הקדמה

• סקירה מהירה של מושגים בלוגיקה לצורך יצירת שפה משותפת בקורסים מתקדמים.
• הנושאים המוצגים כאן מופיעים גם בקורסים מתוקשבים במתמטיקה למדעי החברה ולוגיקה.

פסוקים וערכי אמת

• פסוק (proposition) הוא משפט המביע טענה שניתן לקבוע אם היא אמת או שקר.
• דוגמאות לפסוקים:
  • "ביולי 2011 היה ברק אובאמה נשיא ארצות הברית" - אמת.
  • "10 + 18 = 4" - שקר.
• ערכי האמת מיוצגים על ידי T (אמת) ו-F (שקר).
• לכל פסוק יש ערך אמת אחד בלבד; פסוק יכול להיות או אמת או שקר.

משתנים פסוקיים

• נעשה שימוש באותיות p, q, r, s לייצוג פסוקים.
• שימוש בשפה לוגית מורכבת מחיבור של פסוקים על ידי סימנים לוגיים.

שלילה

• שלילת פסוק פירושה: "לא p", מסומנת כ-¬p.
• שלילה משנה את ערך האמת: אם p אמת, אז ¬p שקר, ולהיפך.
• לדוגמה, שלילת הפסוק "10 + 18 = 4" היא "10 + 18 ≠ 4".

הקשרים לוגיים "וגם" ו"או"

• הקשר "וגם" מיוצג על ידי הסימן ∧.
• פסוק שמשלב שני פסוקים באמצעות "וגם" הוא אמת רק אם שני הפסוקים הם אמת.
• הקשר "או" מיוצג על ידי הסימן ∨.
• פסוק שמשלב שני פסוקים באמצעות "או" הוא אמת אם לפחות אחד מהפסוקים הוא אמת.

טאוטולוגיה וסתירה

• טאוטולוגיה היא פסוק שתמיד נכון בכל מצב.
• סתירה היא פסוק שתמיד שקרי.
• ניתן לקבוע אם פסוק הוא טאוטולוגי או סותר באמצעות לוחות אמת.

טעויות שימושיות

• חשוב להבין את הקשר שבו מועלות טענות כדי לייחס להן ערך אמת.
• טענות תלויות בהקשר כאשר המידע המסופק משתנה.

טבלאות אמת

• לוחות אמת ליחסי תלות מאפשרים לבדוק ערכי אמת של פסוקים בקשרים לוגיים שונים.
• לדוגמה, טבלה עבור הקשרים ∧ ו-∨ מפרטת את ערכי האמת האפשריים לכל צירוף.### לוגיקה בסוגי קשרים
• הסימן וגם () מציין קשר לוגי דו-מקומי הנקרא קישור (Conjunction).
• קישור זה פועל על זוג פסוקים ומחזיר אמת רק כאשר שני הפסוקים אמת.
• לוח אמת לקישור עוקב אחר הכללים הבאים:
  • p, q הם תוצאות אמת כאשר לפחות אחד מהפסוקים נכון (p ∨ q).
  • הוצג לוח אמת עם ארבע אפשרויות:
    • T, T → T
    • T, F → T
    • F, T → T
    • F, F → F

דיסיונקציה

• הסימן או () מייצג אפשרות נוספת ליצירת פסוק חדש.
• משמעותו מתבטאת בכך שאם לפחות אחד מהפסוקים נכון, התוצאה היא אמת.
• במתודולוגיות מתמטיות, דיסיונקציה נתפסת כ"דיסיונקציה כוללנית", שמאפשרת למספר אפשרויות להתקיים יחד.

קשרים לוגיים ואג'גרות פופולריות

• הקשר אם... אז... נחשב לקישור לוגי חשוב גם במתמטיקה אך קשה לקבוע על פי לוח אמת קל.
• קיים קושי בשפה המדוברת להפריד בין הקשרים השונים כאשר הם נאמרים בפועל.
• קישורים אלה אפשריים רק כאשר יש לוח אמת המאפשר בדיקה של ערכי אמת.

אם ורק אם

• הקישור אם ורק אם (p  q) נמדד לפי התאמה של ערכי האמת של הפסקאות.
• לוח אמת מסביר שהקישור הוא אמת כאשר שני ערכי האמת תואמים, שכאן מתקבל לוח אמת עם ערכים:
  • T, T → T
  • T, F → F
  • F, T → F
  • F, F → T

ייצוג פורמלי

• ה"הצדקה" (Formalization) משמשת לייצוג טעויות משפת הדיבור בצורה פורמלית בלוגיקה.
• נדרש לתרגם ביטויים טבעיים לפסקאות שיכולות להתפרש בלוגיקה פורמלית.

דוגמאות לקשרים לוגיים

• דוגמאות רבות מצביעות על השפעת הקשרים הלוגיים על הבנת ההיגיון הפנימית של טענות.
• כאשר הקשרים 'אם' ו'וגם' מוחלפים בדוגמאות למצבים שונים, ניתן לערוך שיחות ולנתח מצבים בשפה מתקדמת יותר בלוגיקה.### פסוקים לוגיים
• פסוקים פורמאליים מיוצגים בעזרת משתנים כמו p, q, r, s.
• דוגמאות לפסוקים:
  • קרנף פרש כנפיים ועף לשמים: p.
  • קרנף פרש כנפיים אבל לא עף: q.
  • אם הקרנף עף לשמים, אז הוא פרש כנפיים: r.
  • לפחות אחד מבעלי החיים פרש כנפיים: s.
  • אם העורב עף לשמים והקרנף לא, אז העורב פרש כנפיים והקרנף לא.
  • לא נכון שהקרנף עף לשמים אם ורק אם העורב לא פרש כנפיים ולא עף לשמים.

פסוקים פורמאליים

• פסוק פורמאלי מורכב מכיל לפחות קישור לוגי אחד.
• לוחות אמת מציגים את ערכי האמת של פסוקים מורכבים בהתאם לערכי המשתנים.
• פסוק פורמאלי יכול להיות טאוטולוגיה (ערך אמת תמיד) או סתירה (ערך שקר תמיד).

טאוטולוגיה וסתירה

• טאוטולוגיה: עמודת ערכי האמת מכילה רק T.
• סתירה: עמודת ערכי האמת מכילה רק F.
• דוגמאות:
  • (p ∨ q) כמייצג טאוטולוגיה.
  • (p ∧ q) ∧ (p ∧ ¬q) כמייצג סתירה.

תהליך חישוב ערך האמת

• כדי לקבוע ערך אמת לפסוק פורמאלי, יש לבצע שימוש בלוחות אמת.
• פסוק שמורכב מ-n משתנים ניתן לייצוג כקישור לוגי n-מקומי.
• דוגמאות לשימושים שונים בלוחות אמת בהתאם להקשרים שונים.

אופן הצגת לוחות אמת

• לוח אמת מורחב מציג את כל הדרכים להקצות ערכי אמת למשתנים.
• עמודות החישוב ואופן ההגעה לתוצאה לא נחשבות כחלק מהלוח, אלא מדריך לחישוב.

שקילות בפסוקים

• פסוקים שנחשבים שקולים הם שיש להם את אותו לוח אמת.
• ניתן לבחון שקילות על ידי השוואת לוחות אמת של פסוקים שונים.

הגדרות נוספות

• פסוק פורמאלי הוא ביטוי מתמטי המפרט את יחס ההיגיון שבו.
• שום לוח אמת לא נכתבים עבור פסוקים בשפה טבעית בלבד, אלא רק לפסוקים פורמאליים.

בואו לגלות את עקרונות החוקים הלוגיים. במבחן זה נבחן את חוקי הלוגיקה הבסיסיים, כולל חוק זהות, חוק לא סותר וחוק דה מורגן. האם אתם מוכנים לבדוק את הידע שלכם בלוגיקה?