સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ

સુરેખ બીજગણિત અને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ I

પ્રકરણ 1. સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ

1.1 પરિચય

• $n$ અજ્ઞાત ચલ $x_1, x_2,..., x_n$ સાથે $m$ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે: $$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2 \... \ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $$
• જ્યાં $a_{ij} \in \mathbb{R}$ અને $b_i \in \mathbb{R}$ આપેલ અચળાંકો છે.
• સિસ્ટમનો ઉકેલ એ $n$-tuple $(x_1, x_2,..., x_n) \in \mathbb{R}^n$ છે, જે સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે.
• સિસ્ટમ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમના તમામ ઉકેલોનો સમૂહ શોધવો.
• ઉદાહરણ: સિસ્ટમ $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \ x_1 - x_2 = 1 \end{cases} $$ નો અનન્ય ઉકેલ $(2, 1)$ છે.
• ઉદાહરણ: સિસ્ટમ $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \ 2x_1 + 2x_2 = 6 \end{cases} $$ ને અગણિત ઉકેલો છે જે $(x_1, 3 - x_1)$ સ્વરૂપના છે, જ્યાં $x_1 \in \mathbb{R}$.
• ઉદાહરણ: સિસ્ટમ $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \ x_1 + x_2 = 4 \end{cases} $$ ને કોઈ ઉકેલ નથી.

અનિશ્ચિત સંકલનના ઉપયોગો

1. વિકલિતોમાંથી વિધેયો શોધવા

• ઉદાહરણ: ધારો કે કોઈ વસ્તુનું પ્રવેગ $a(t) = 6t + 4$ છે, અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $v(0) = -6$ મીટર/સેકન્ડ અને પ્રારંભિક સ્થાન $s(0) = 9$ મીટર છે. સ્થિતિ વિધેય $s(t)$ શોધો.
• જવાબ:
  • આપણે જાણીએ છીએ કે $a(t) = v'(t)$, તેથી $v(t)$ એ $a(t)$ નું પ્રતિવિકલન છે.
  • ગણતરી: $$v(t) = \int a(t) dt = \int (6t + 4) dt = 3t^2 + 4t + C$$
  • પ્રારંભિક વેગ $v(0) = -6$ નો ઉપયોગ કરીને C નું મૂલ્ય શોધી શકાય છે:
  • ગણતરી: $$v(0) = 3(0)^2 + 4(0) + C = -6 \implies C = -6$$
  • તેથી વેગ વિધેય $v(t) = 3t^2 + 4t - 6$ છે.
  • આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $v(t) = s'(t)$, તેથી $s(t)$ એ $v(t)$ નું પ્રતિવિકલન છે.
  • ગણતરી: $$s(t) = \int v(t) dt = \int (3t^2 + 4t - 6) dt = t^3 + 2t^2 - 6t + D$$
  • પ્રારંભિક સ્થાન $s(0) = 9$ નો ઉપયોગ કરીને $D$ નું મૂલ્ય શોધી શકાય છે:
  • ગણતરી: $$s(0) = (0)^3 + 2(0)^2 - 6(0) + D = 9 \implies D = 9$$
  • તેથી સ્થિતિ વિધેય $s(t) = t^3 + 2t^2 - 6t + 9$ છે.

2. વિભાજ્ય વિકલ સમીકરણોનું નિરાકરણ

• વિભાજ્ય વિકલ સમીકરણ એ છે જેને આ સ્વરૂપમાં લખી શકાય: $$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$

• આ પ્રકારના વિકલ સમીકરણને ઉકેલવા માટે:

  1. ચલોને અલગ કરો: $$\frac{dy}{g(y)} = f(x) dx$$
  2. બંને બાજુ સંકલન કરો: $$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx$$

• ઉદાહરણ: પ્રારંભિક સ્થિતિ $y(0) = 2$ સાથે વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y^2}$ ને ઉકેલો.

• જવાબ:

  1. ચલોને અલગ કરો: $$y^2 dy = x dx$$
  2. બંને બાજુ સંકલન કરો: $$\int y^2 dy = \int x dx$$
  • ગણતરી: $$\frac{1}{3}y^3 = \frac{1}{2}x^2 + C$$
  3. $C$ શોધવા માટે પ્રારંભિક સ્થિતિનો ઉપયોગ કરો:
  • ગણતરી: $$\frac{1}{3}(2)^3 = \frac{1}{2}(0)^2 + C \implies C = \frac{8}{3}$$
  4. $y$ માટે ઉકેલો:
  • ગણતરી: $$\frac{1}{3}y^3 = \frac{1}{2}x^2 + \frac{8}{3}$$
  • ગણતરી: $$y^3 = \frac{3}{2}x^2 + 8$$
  • ગણતરી: $$y = \sqrt[3]{\frac{3}{2}x^2 + 8}$$

આર્ટિફિશિયલ ઇન્ટેલિજન્સ માટે રેખીય બીજગણિત

પ્રકરણ 1: રેખીય બીજગણિતનો પરિચય

1.1 વેક્ટર્સ

• વ્યાખ્યા: વેક્ટર એ સંખ્યાઓની એક-પરિમાણીય શ્રેણી છે.
• ઉદાહરણ: $\begin{bmatrix} 1 \ 3 \ 7 \ 2 \end{bmatrix}$
• ક્રિયાઓ:
  • સરવાળો: $\begin{bmatrix} 1 \ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \ 4 \end{bmatrix}$
  • સ્કેલર ગુણાકાર: $2 \cdot \begin{bmatrix} 1 \ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \ 6 \end{bmatrix}$
  • ડોટ પ્રોડક્ટ: $\begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c \ d \end{bmatrix} = ac + bd$

1.2 મેટ્રિસિસ

• વ્યાખ્યા: મેટ્રિક્સ એ સંખ્યાઓની દ્વિ-પરિમાણીય શ્રેણી છે.
• ઉદાહરણ: $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$
• ક્રિયાઓ:
  • સરવાળો: $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \ 10 & 12 \end{bmatrix}$
  • સ્કેલર ગુણાકાર: $2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \ 6 & 8 \end{bmatrix}$
  • મેટ્રિક્સ ગુણાકાર: $\begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} e & f \ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae+bg & af+bh \ ce+dg & cf+dh \end{bmatrix}$

1.3 રેખીય એપ્લિકેશન્સ

• વ્યાખ્યા: રેખીય એપ્લિકેશન એ બે વેક્ટર જગ્યાઓ વચ્ચેનું એક વિધેય છે જે વેક્ટર સરવાળો અને સ્કેલર ગુણાકારની ક્રિયાઓને સાચવે છે.
• મેટ્રિક્સ રજૂઆત: દરેક રેખીય એપ્લિકેશનને મેટ્રિક્સ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે.

1.4 નિશ્ચાયક

• વ્યાખ્યા: નિશ્ચાયક એ સ્કેલર મૂલ્ય છે જે ચોરસ મેટ્રિક્સના ઘટકોમાંથી ગણી શકાય છે.
• ગુણધર્મો:
  • મેટ્રિક્સ ઉલટાવી શકાય તેવું ન હોય તો અને માત્ર તો જ નિશ્ચાયક શૂન્ય છે.
  • બે મેટ્રિક્સના ગુણાકારનો નિશ્ચાયક તેમના નિશ્ચાયકોના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
• ગણતરી: 2x2 મેટ્રિક્સ માટે: $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

1.5 આઇગનવેલ્યુઝ અને આઇગનવેક્ટર્સ

• વ્યાખ્યા: મેટ્રિક્સનો આઇગનવેક્ટર એ વેક્ટર છે જે, જ્યારે મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેની દિશા બદલાતી નથી. સંકળાયેલ આઇગનવેલ્યુ એ સ્કેલ ફેક્ટર છે જેના દ્વારા વેક્ટરને ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.
• લાક્ષણિક સમીકરણ: $Av = \lambda v$, જ્યાં $A$ એ મેટ્રિક્સ છે, $v$ એ આઇગનવેક્ટર છે, અને $\lambda$ એ આઇગનવેલ્યુ છે.

1.6 સિંગ્યુલર વેલ્યુ ડિપોઝિશન (SVD)

• વ્યાખ્યા: SVD એ વાસ્તવિક અથવા જટિલ મેટ્રિક્સનું પરિબળ છે.
• સૂત્ર: $A = U \Sigma V^T$, જ્યાં $U$ અને $V$ ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ છે, અને $\Sigma$ માં સિંગ્યુલર વેલ્યુ ધરાવતો ડાયગોનલ મેટ્રિક્સ છે.
• એપ્લિકેશન્સ: પરિમાણ ઘટાડવું, ડેટા કમ્પ્રેશન વગેરે.

1.7 મૂર-પેનરોસ સ્યુડો-ઇન્વર્સ

• વ્યાખ્યા: બિન-ચોરસ અથવા સિંગ્યુલર મેટ્રિક્સ માટે મેટ્રિક્સ ઇન્વર્સનું સામાન્યીકરણ.
• સંકેત: $A^+$
• ગુણધર્મો:
  • $AA^+A = A$
  • $A^+AA^+ = A^+$

1.8 નોર્મ્સ

• વ્યાખ્યા: નોર્મ એ એક વિધેય છે જે વેક્ટર જગ્યામાં તમામ வெக்டர்களுக்கு સખત રીતે હકારાત્મક લંબાઈ અથવા કદ સોંપે છે, સિવાય કે શૂન્ય વેક્ટર સિવાય.
• ઉદાહરણો:
  • L1 નોર્મ (મેનહટન): $||x||_1 = \sum_i |x_i|$
  • L2 નોર્મ (યુક્લિડિયન): $||x||_2 = \sqrt{\sum_i x_i^2}$
  • L∞ નોર્મ (મહત્તમ): $||x||_\infty = \max_i |x_i|$

1.9 பயிற்சிகள்

• ખ્યાલો સમજવામાં અને લાગુ કરવામાં મદદ કરવા માટે દરેક પ્રકરણના અંતમાં કસરતો આપવામાં આવશે.
• નોંધ:* આ એક સરળ પરિચય છે. દરેક વિભાગને વધુ વિગતવાર ઉદાહરણો અને એપ્લિકેશન્સ સાથે વધુ ઊંડાણથી સમજી શકાય છે.