Linear Equations System 10th class

Systems of Linear Equations

Definition

• A system of linear equations is a set of two or more linear equations that must be true at the same time.
• The solution to the system is the point of intersection of the lines represented by each equation.

Types of Systems

• Independent Systems: Two or more linear equations with a unique solution.
• Dependent Systems: Two or more linear equations that are equivalent, having an infinite number of solutions.
• Inconsistent Systems: Two or more linear equations with no solution.

Methods for Solving Systems

• Substitution Method
  • Solve one equation for one variable.
  • Substitute the expression into the other equation.
  • Solve for the other variable.
• Elimination Method
  • Add or subtract the equations to eliminate one variable.
  • Solve for the remaining variable.
• Graphical Method
  • Graph each equation on the same coordinate plane.
  • The point of intersection is the solution to the system.

Applications of Systems

• Physics: Describe the motion of objects in terms of position, velocity, and acceleration.
• Economics: Model supply and demand curves to determine equilibrium prices.
• Computer Science: Use systems of linear equations to solve problems in computer graphics and game development.

Key Concepts

• Consistency: A system of linear equations is consistent if it has at least one solution.
• Inconsistency: A system of linear equations is inconsistent if it has no solution.
• Equivalent Systems: Two systems of linear equations are equivalent if they have the same solution set.

रेखीय समीकरणों के सिस्टम

परिभाषा

• रेखीय समीकरणों का सिस्टम दो या उससे अधिक रेखीय समीकरणों का संग्रह है जिनका एक साथ सही होना आवश्यक है।
• सिस्टम का हल प्रत्येक समीकरण द्वारा प्रतिनिधित्व की गई रेखाओं के कटौती बिंदु है।

सिस्टम के प्रकार

• स्वतंत्र सिस्टम: दो या अधिक रेखीय समीकरण जिनका एक अद्वितीय हल है।
• अनिर्भर सिस्टम: दो या अधिक रेखीय समीकरण जो समान हैं और जिनका अक्षय संख्या में हल हैं।
• असंगत सिस्टम: दो या अधिक रेखीय समीकरण जिनका कोई हल नहीं है।

सिस्टम को हल करने की विधियां

• प्रतिस्थापन विधि
  • एक समीकरण का एक चर के लिए हल करें।
  • दूसरे समीकरण में अभिव्यक्ति प्रतिस्थापित करें।
  • दूसरे चर का हल करें।
• विलोपन विधि
  • एक चर को हटाने के लिए समीकरण जोड़ें या घटाएं।
  • शेष चर का हल करें।
• ग्राफिकल विधि
  • प्रत्येक समीकरण का ग्राफ लगाएं।
  • कटौती बिंदु सिस्टम का हल है।

सिस्टम के अनुप्रयोग

• भौतिकी: वस्तुओं की गति का विवरण स्थिति, वेग और त्वरण के रूप में।
• अर्थशास्त्र: आपूर्ति और मांग कριο ग्राफ का उपयोग कर समतुल्य कीमत निर्धारित करें।
• कंप्यूटर विज्ञान: कंप्यूटर ग्राफिक्स और गेम विकास में सिस्टम का उपयोग कर समस्याओं का हल करें।

महत्वपूर्ण अवधारणाएं

• संगतता: एक सिस्टम को संगत कहा जाता है यदि वह कम से कम एक हल है।
• असंगतता: एक सिस्टम को असंगत कहा जाता है यदि वह कोई हल नहीं है।
• तुल्य सिस्टम: दो सिस्टम तुल्य हैं यदि वे समान हल सेट हैं।