เอกลักษณ์และสมการพาราโบล่า

Choose a study mode

Play Quiz
Study Flashcards
Spaced Repetition
Chat to Lesson

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

ระยะห่างระหว่างจุด (−3, 4) และจุดกำเนิดคือเท่าใด?

  • 4
  • 7
  • 5 (correct)
  • 8

วงกลมที่มีสมการ x² + y² − 4y + 1 = 0 มีศูนย์กลางและรัศมีอยู่ที่ใด?

  • ศูนย์กลาง (0, 1) รัศมี 2
  • ศูนย์กลาง (0, -2) รัศมี 2
  • ศูนย์กลาง (0, 2) รัศมี 1 (correct)
  • ศูนย์กลาง (2, 0) รัศมี 3

สำหรับพาราโบลาที่มีสมการ y = ax² + bx + c, เมื่อ a < 0 หมายความว่าอย่างไร?

  • พาราโบลามีจุดต่ำสุด
  • พาราโบลาสัมผัสแกน x
  • พาราโบลาเปิดขึ้น
  • พาราโบลามีจุดสูงสุด (correct)

สำหรับพาราโบลายกตัวอย่าง y = x² + 6x + 5, จุดยอดคือที่ใด?

<p>(−3, −4) (C)</p> Signup and view all the answers

อสมการ b² − 4ac = 0 บ่งบอกว่า พาราโบลาสัมผัสแกน x ที่จุดใด?

<p>สัมผัสที่จุดหนึ่ง (A)</p> Signup and view all the answers

ระยะห่างจากจุด (1, 2) ถึงเส้น 2x + y − 6 = 0 คำนวณได้อย่างไร?

<p>2 (B)</p> Signup and view all the answers

พาราโบลาที่มีค่า a > 0 จะมีลักษณะอย่างไร?

<p>เปิดขึ้นและมีจุดต่ำสุด (B)</p> Signup and view all the answers

สูตรการคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุด (x1, y1) และ (x2, y2) คืออะไร?

<p>$ ext{sqrt}((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)$ (C)</p> Signup and view all the answers

การแก้ระบบสมการด้วยวิธีการใดที่ใช้ในการเปลี่ยนสมการ 2x + 3y = 7 ให้ได้ค่า y = 1?

<p>การลดระเบียบ (D)</p> Signup and view all the answers

จุดตัดของเส้นที่ได้จากสมการ 2x + 3y = 7 และ 3x + 5y = 11 คือจุดใด?

<p>(2, 1) (D)</p> Signup and view all the answers

ในการใช้วิธีแทนค่าเพื่อแก้ระบบสมการ ค่าของ x ที่ได้คือเท่าใดเมื่อ y = 1?

<p>2 (D)</p> Signup and view all the answers

วิธีใดที่สามารถใช้แก้ระบบที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองได้?

<p>การแทนค่า (B)</p> Signup and view all the answers

ในการแก้สมการ 3x + 5y = 11 โดยการแทนค่า y ที่ได้จาก 2x + 3y = 7 ค่าของ y ที่ได้มาจากการแก้สมการเชิงเส้นคือ?

<p>1 (D)</p> Signup and view all the answers

สมการเชิงเส้นสำหรับ x และ y ให้มีรูปแบบ ax + by + c = 0 มีกี่ตัวแปร?

<p>2 (A)</p> Signup and view all the answers

เหตุใดการใช้วิธีการแยกตัวแปรจึงไม่เหมาะสมสำหรับการแก้ระบบสมการนี้?

<p>สมการเป็นเชิงเส้นเท่านั้น (B)</p> Signup and view all the answers

ในการแก้กลุ่มสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ขั้นตอนแรกของวิธีการแทนค่าคืออะไร?

<p>การแยกตัวแปร (B)</p> Signup and view all the answers

สมการ $2x^2 - 9x + 10 = 0$ มีคำตอบอะไรบ้าง?

<p>5 และ 2 (C)</p> Signup and view all the answers

สมการ $x^2 + 2x + 3 = 0$ มีจำนวนคำตอบเป็นอย่างไร?

<p>ไม่มีคำตอบ (C)</p> Signup and view all the answers

ค่า $k$ ที่ทำให้สมการ $3x^2 + kx + 7 = 0$ มีเพียงคำตอบเดียวต้องเป็นค่าใด?

<p>$ ext{±} 84$ (A)</p> Signup and view all the answers

หากยกเลิกตัวแปร $x$ ในสมการ $x(x + 2) = x(2x + 3)$ คำตอบที่ได้จะเป็นอย่างไร?

<p>$x + 2 = 2x + 3$ (D)</p> Signup and view all the answers

เช่นถ้ากำหนด $p(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 2$ แล้ว $p(2)$ จะมีค่าเท่าไร?

<p>18 (D)</p> Signup and view all the answers

ทำไมการยกเลิกตัวแปร $x$ จึงทำให้สูญเสียคำตอบ $x = 0$?

<p>เพราะต้องมีการแบ่ง (B)</p> Signup and view all the answers

รูปแบบของเทอเร็มเศษที่กล่าวถึงคืออะไร?

<p>เศษของ $p(c)$ (A)</p> Signup and view all the answers

ในเทอเร็มแฟกเตอร์ หาก $(x - c)$ เป็นแฟกเตอร์ของ $p(x)$ จะเกิดอะไรขึ้น?

<p>$p(c) = 0$ (D)</p> Signup and view all the answers

การวิเคราะห์พฤติกรรมของฟังก์ชันในช่วงที่เพิ่มขึ้นและลดลงนั้นเป็นส่วนใดในเนื้อหาข้างต้น?

<p>การสเก็ตช์โค้ง (D)</p> Signup and view all the answers

จากหัวข้อที่กล่าวถึงในเนื้อหา การวิเคราะห์ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมพัทธ์อยู่ในหมวดหมู่ใด?

<p>การวิเคราะห์พฤติกรรมของฟังก์ชัน (D)</p> Signup and view all the answers

ฟังก์ชันใดที่ถูกนำมาศึกษาในเรื่องการมีขอบเขตและฟังก์ชันต่อเนื่อง?

<p>ฟังก์ชันต่อเนื่อง (A)</p> Signup and view all the answers

การอนุพันธ์ลำดับสูงคือเรื่องใดในเนื้อหานี้?

<p>อนุพันธ์หลายตัว (B)</p> Signup and view all the answers

การพิจารณาขอบเขตของฟังก์ชันที่ไม่มีขอบเขตอาจส่งผลต่ออะไร?

<p>พฤติกรรมที่ศูนย์ (B)</p> Signup and view all the answers

จุดใดที่ต้องใช้เทคนิคการหาค่าขอบเขตแบบข้างเดียว?

<p>จุดที่ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง (A)</p> Signup and view all the answers

ข้อใดกล่าวถึงการประยุกต์ใช้การอนุพันธ์ในการวิเคราะห์ปัญหาเศรษฐศาสตร์?

<p>การประเมินค่าขณะเปลี่ยนแปลงของปัจจัย (D)</p> Signup and view all the answers

เรื่องใดที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณอินทิเกรตอย่างถูกต้อง?

<p>คำจำกัดความของอินทิเกรต (A)</p> Signup and view all the answers

ฟังก์ชันเชิงพลศาสตร์ในหัวข้อที่เกี่ยวข้องกับการแตกต่างมีอะไรบ้าง?

<p>ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (D)</p> Signup and view all the answers

การประยุกต์ใช้การหาค่าอินทิกรัลอยู่ในส่วนใดของหัวข้อ?

<p>การหาค่าที่แน่นอน (A)</p> Signup and view all the answers

หลักการของการเปลี่ยนแปลงในแคลคูลัสคืออะไร?

<p>กฎลูกโซ่ (A)</p> Signup and view all the answers

ส่วนใดของการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันที่มีจุดสุดยอดซึ่งศึกษาความลาดชัน?

<p>การวิเคราะห์จุดสุดยอด (C)</p> Signup and view all the answers

การแยกประเภทฟังก์ชันแบบใดอยู่ในหมวดฟังก์ชันที่มีสัมประสิทธิ์?

<p>ฟังก์ชันพหุนาม (B)</p> Signup and view all the answers

การใช้สูตรในการหาค่าช่วยในการหาค่าอินทิกรัลนั้นมีอะไรเป็นสิ่งสำคัญ?

<p>ความเข้าใจในสูตร (C)</p> Signup and view all the answers

สิ่งที่สามารถทำให้การหาค่าฟังก์ชันจำกัดมีความซับซ้อนได้คืออะไร?

<p>ฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง (B)</p> Signup and view all the answers

รูปแบบใดบ้างที่ใช้สำหรับฟังก์ชันที่มีการลิขสิทธิ์ให้แตกต่าง?

<p>สูตรการเปลี่ยนแปลง (B)</p> Signup and view all the answers

การขยาย $(a + b)^2$ จะให้ผลลัพธ์เป็นอะไร?

<p>$a^2 + 2ab + b^2$ (D)</p> Signup and view all the answers

จากสมการ $(a - b)^2$ การขยายจะให้ผลลัพธ์เป็นอะไร?

<p>$a^2 - 2ab + b^2$ (C)</p> Signup and view all the answers

การขยาย $(a + b)(a - b)$ จะส่งผลให้ได้ผลลัพธ์เป็นอะไร?

<p>$a^2 - b^2$ (A)</p> Signup and view all the answers

การขยาย $x + 2$ จะมีรูปแบบที่เป็นผลลัพธ์เป็นเท่าใดเมื่อยกกำลัง 2?

<p>$x^2 + 4x + 4$ (C)</p> Signup and view all the answers

ผลลัพธ์ของการขยาย $x - rac{5}{x}$ มีค่าเป็นเท่าใด?

<p>$x^2 - 10 + rac{25}{x^2}$ (B), $x^2 - 10 + rac{25}{x^2}$ (D)</p> Signup and view all the answers

สมการ $x^2 - x - 6$ เมื่อทำการหาค่าของมันจะได้ค่าใด?

<p>$(x - 3)(x + 2)$ (A)</p> Signup and view all the answers

การย่อย $x^2 - 1$ ได้ค่าตามนี้หรือไม่?

<p>$(x - 1)(x + 1)$ (B)</p> Signup and view all the answers

ผลการคำนวณ $2x^2 y^4 ÷ x^{-1} y^2$ จะมีค่าเท่าไหร่?

<p>$2x^3 y^2$ (D)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

สมการพาราโบลา

สมการที่แสดงถึงเส้นโค้งพาราโบลา มีรูปแบบทั่วไปคือ y = ax² + bx + c โดยที่ a ≠ 0

จุดยอดพาราโบลา

จุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดของเส้นโค้งพาราโบลา

แกนสมมาตร

เส้นตรงที่แบ่งพาราโบลาออกเป็นสองส่วนที่สมมาตรกัน

ค่าสัมประสิทธิ์ a

ค่าสัมประสิทธิ์ของ x² ในสมการพาราโบลา

Signup and view all the flashcards

วิธีการสมบูรณ์กำลังสอง

เทคนิคการจัดรูปสมการพาราโบลาให้เป็นรูปมาตรฐาน (y = a(x-h)² + k)

Signup and view all the flashcards

การหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุด

สูตรใช้คำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนระนาบพิกัด

Signup and view all the flashcards

วงกลม

รูปทรงที่ทุกจุดบนเส้นรอบวงอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน

Signup and view all the flashcards

วิธีการสมบูรณ์กำลังสอง (กรณีสัมประสิทธิ์ x² ไม่เท่ากับ 1)

ใช้เพื่อเขียนสมการพาราโบลาให้เป็นรูปมาตรฐาน เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของ x² ไม่เท่ากับ 1

Signup and view all the flashcards

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นสองสมการ และมีตัวแปรสองตัวแปร

Signup and view all the flashcards

วิธีการกำจัด

วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยการคูณสมการเพื่อให้สัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งเท่ากัน แล้วนำสมการมาลบกัน

Signup and view all the flashcards

วิธีการแทนค่า

วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยการแก้สมการหนึ่งตัวแปรในรูปของอีกตัวแปรหนึ่ง จากนั้นแทนค่าลงในอีกสมการหนึ่ง

Signup and view all the flashcards

ระบบสมการเชิงเส้นและกำลังสอง

ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นหนึ่งสมการ และสมการกำลังสองหนึ่งสมการ

Signup and view all the flashcards

สมการเชิงเส้น

สมการที่มีกำลังสูงสุดของตัวแปรเท่ากับ 1

Signup and view all the flashcards

สมการกำลังสอง

สมการที่มีกำลังสูงสุดของตัวแปรเท่ากับ 2

Signup and view all the flashcards

จุดตัดของเส้นตรง

จุดที่เส้นตรงสองเส้นตัดกัน

Signup and view all the flashcards

วิธีการแก้ระบบสมการ

วิธีการหาคำตอบของระบบสมการ

Signup and view all the flashcards

สูตรกำลังสอง

สูตรที่ใช้หาคำตอบของสมการกำลังสอง ax² + bx + c = 0 ซึ่งคือ x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Signup and view all the flashcards

คำตอบไม่มีจริง

สมการกำลังสองไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง เมื่อค่าภายในเครื่องหมายรากที่สอง (discriminant) เป็นค่าลบ

Signup and view all the flashcards

ยกเลิกตัวประกอบ x

วิธีการแก้สมการโดยหารตัวแปร x ออกจากทั้งสองข้างของสมการ แต่ต้องระวังเพราะอาจทำให้สูญเสียคำตอบ

Signup and view all the flashcards

สมการมีคำตอบเดียว

สมการกำลังสอง ax² + bx + c = 0 มีคำตอบเพียงค่าเดียว เมื่อค่าภายในเครื่องหมายรากที่สอง (discriminant) เป็นศูนย์

Signup and view all the flashcards

ทฤษฎีบทเศษเหลือ

ถ้าพหุนาม p(x) หารด้วย x – c แล้วเหลือเศษ r, แล้ว r = p(c)

Signup and view all the flashcards

ทฤษฎีบทประกอบ

ถ้า p(c) = 0, แล้ว (x – c) เป็นตัวประกอบของ p(x)

Signup and view all the flashcards

หาค่า k

หาค่าคงที่ k ที่ทำให้สมการมีคำตอบเฉพาะ

Signup and view all the flashcards

ขีดจำกัด (Limit)

ค่าที่ฟังก์ชันเข้าใกล้เมื่อตัวแปรเข้าใกล้ค่าหนึ่ง

Signup and view all the flashcards

อนุพันธ์ (Derivative)

อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน

Signup and view all the flashcards

ฟังก์ชันต่อเนื่อง (Continuous Function)

ฟังก์ชันที่กราฟไม่ขาดตอน

Signup and view all the flashcards

ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ (Absolute Extrema)

ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันในช่วงหนึ่ง

Signup and view all the flashcards

ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ (Relative Extrema)

ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันในบริเวณนั้น

Signup and view all the flashcards

ฟังก์ชันเพิ่ม (Increasing Function)

ฟังก์ชันที่ค่า y เพิ่มขึ้นเมื่อค่า x เพิ่มขึ้น

Signup and view all the flashcards

ฟังก์ชันลด (Decreasing Function)

ฟังก์ชันที่ค่า y ลดลงเมื่อค่า x เพิ่มขึ้น

Signup and view all the flashcards

อินทิกรัล (Integral)

การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้ง

Signup and view all the flashcards

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

ทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงแนวคิดของการหาอนุพันธ์และอินทิเกรตเข้าด้วยกัน

Signup and view all the flashcards

อินทิเกรตไม่จำกัดเขต

การหาฟังก์ชันที่อนุพันธ์แล้วได้ฟังก์ชันที่กำหนดให้

Signup and view all the flashcards

การประยุกต์ใช้อินทิเกรต

การใช้แนวคิดของอินทิเกรตเพื่อแก้ปัญหาในสาขาต่างๆ เช่น ฟิสิกส์, เศรษฐศาสตร์

Signup and view all the flashcards

มุมในตรีโกณมิติ

การวัดการหมุนของรังสีรอบจุดอ้างอิง โดยมีหน่วยเป็นเรเดียนหรือองศา

Signup and view all the flashcards

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับมุมและอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

Signup and view all the flashcards

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

Signup and view all the flashcards

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

ฟังก์ชันที่มีตัวแปรอยู่ในเลขชี้กำลัง

Signup and view all the flashcards

ฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

Signup and view all the flashcards

เอกลักษณ์ทางพีชคณิต คืออะไร?

เอกลักษณ์ทางพีชคณิต คือ สมการที่เป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปร เช่น (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Signup and view all the flashcards

(a + b)2 เท่ากับอะไร?

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Signup and view all the flashcards

(a - b)2 เท่ากับอะไร?

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Signup and view all the flashcards

(a + b)(a - b) เท่ากับอะไร?

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Signup and view all the flashcards

การกระจาย (Expand)

การกระจาย คือ การนำสัญลักษณ์ (เช่น บวก ลบ คูณ หาร) ที่อยู่นอกวงเล็บไปคูณกับแต่ละพจน์ที่อยู่ในวงเล็บ

Signup and view all the flashcards

การทำให้ง่าย (Simplify)

การทำให้ง่าย คือ การลดรูปพจน์ที่ซับซ้อนให้เหลือพจน์ที่ง่ายที่สุด โดยการใช้กฎของพีชคณิต

Signup and view all the flashcards

x2 − x − 6 เท่ากับอะไร?

x2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2)

Signup and view all the flashcards

x2 − 6x + 9 เท่ากับอะไร?

x2 − 6x + 9 = (x − 3)2

Signup and view all the flashcards

Study Notes

Algebraic Identities and Expressions

  • Identities: Equalities that hold true for all real numbers.
  • (a + b)² = a² + 2ab + b²
  • (a - b)² = a² - 2ab + b²
  • (a + b)(a - b) = a² - b²
  • Note: (a + b)² ≠ a² + b² unless a = 0 or b = 0

Expanding Expressions

  • Example 1: (√x + 2)² = x + 4√x + 4
  • Example 2: (√x - 5/√x)² = x - 10 + 25/x
  • Example 3: (√(x² + 1) + √7)(√(x² + 1) - √7) = (x² + 1) - 7 = x² - 6
  • Important: Don't overlook the order of operations (PEMDAS/BODMAS)!

Simplifying Expressions

  • Example 1: (x² - x - 6)/(x² - 6x + 9) = (x - 3)(x + 2)/(x - 3)² = (x + 2)/(x - 3) , x ≠ 3
  • Example 2: x⁻² / (x² - 1)
  • Example 3: (2/(x + 2x + 1)) - (2/(x - x - 2))
  • Example 4: (x⁻¹ - y⁻¹)/6 = (x⁻¹ - y⁻¹)/6
  • Example 5: (x/(x + √(x + 1)))

Parabolas

  • Equation: y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
  • Intersection with x-axis:
    • b² - 4ac > 0: Two distinct points
    • b² - 4ac = 0: Touches x-axis (one point)
    • b² - 4ac < 0: Does not intersect x-axis
  • Parabola direction:
    • a > 0: Opens upward, lowest point (vertex)
    • a < 0: Opens downward, highest point (vertex)
  • Completing the square: Method to find vertex and axis of symmetry

Systems of Equations

  • Linear-quadratic systems: Substitution method is common.
  • Examples:      Solve linear-quadratic systems
  • Cancellation: Be aware of losing solutions when canceling a common factor- make sure all factors are accounted for.

Equations Solving

  • Quadratic Formula: Used to solve quadratic equations (ax² + bx + c = 0).
  • Example: Solve 2x² - 9x + 10 = 0.
  • Solutions: x = 5/2 and x = 2 Example: Solve x² + 2√2x + 3 = 0 ?
  • No real solutions: Equation (2) x² + 2x + 3 = 0 has no real solution
  • Important: Check for hidden solutions when simplifying involving variables.

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Quiz Team

Related Documents

Basic Calculus PDF

More Like This

Use Quizgecko on...
Browser
Browser