מתמטיקה דיסקרטית - תורת הקבוצות

מתמטיקה דיסקרטית - תורת הקבוצות

• הגדרה: תורת הקבוצות עוסקת בחקר קבוצות, שהיא אוסף של אובייקטים נפרדים שמקיימים מאפיינים משותפים.

• קבוצה:

  • אוסף של פריטים, שנקראים איברים (כמו מספרים, אותיות, אובייקטים).
  • נכתבת עם סוגריים מסולסלים: {איבר1, איבר2, ...}.

• סוגי קבוצות:

  • קבוצה ריקה: קבוצה שאין לה איברים, מסומנת כ-∅ או {}.
  • קבוצה סופית: קבוצה עם מספר סופי של איברים.
  • קבוצה אינסופית: קבוצה עם מספר אינסופי של איברים (כמו המספרים הטבעיים).

• תכונות קבוצות:

  • שוויון קבוצות: שתי קבוצות שוות אם יש להן את אותם איברים.
  • תת-קבוצה: קבוצה A היא תת-קבוצה של קבוצה B אם כל איברי A נמצאים גם ב-B. מסומנת כ-A ⊆ B.
  • תת-קבוצה אמיתית: A ⊂ B אם A היא תת-קבוצה של B ולא שווה ל-B.

• איחוד וקבוצת חיתוך:

  • איחוד: A ∪ B היא קבוצה הכוללת את כל האיברים הנמצאים ב-A או ב-B.
  • חיתוך: A ∩ B היא קבוצה הכוללת את כל האיברים שנמצאים גם ב-A וגם ב-B.

• הפרש קבוצות:

  • A - B היא קבוצה הכוללת את כל האיברים שנמצאים ב-A ואינם נמצאים ב-B.

• קבוצת המשלים:

  • A' היא הקבוצה הכוללת את כל האיברים שאינם נמצאים ב-A, ביחס לקבוצה אוניברסלית U.

• כרטיסים (כמויות):

  • |A| מייצגת את מספר האיברים בקבוצה A.

• קבוצות דיז'קטיות:

  • קבוצות שבהן איברים נפרדים ואינם חופפים.

• מושגי יסוד:

  • פריטים: איברים בקבוצה.
  • איבר יחיד: קבוצה שמכילה איבר אחד בלבד.

• דיאגרמות וננות:

  • כלי ויזואלי לתיאור קבוצות ואופני הקשרים ביניהן (איחוד, חיתוך).

• יישומים:

  • תורת הקבוצות משמשת במתודולוגיות שונות כמו הגדרה פורמלית של מושגים, תכנות, ומודלים מתמטיים.

הגדרה ותכנים בסיסיים

• תורת הקבוצות חוקרת קבוצות, המהוות אוספים של אובייקטים בעלי מאפיינים משותפים.
• קבוצה נכתבת בסוגריים מסולסלים, לדוגמה: {איבר1, איבר2,...}.

סוגי קבוצות

• קבוצה ריקה: קבוצה ללא איברים, מסומנת כ-∅ או {}.
• קבוצה סופית: קבוצה עם מספר סופי של איברים.
• קבוצה אינסופית: קבוצה עם מספר אינסופי של איברים, לדוגמה: המספרים הטבעיים.

תכונות קבוצות

• שוויון קבוצות: שתי קבוצות נחשבות שוות אם יש להן את אותם איברים.
• תת-קבוצה: קבוצה A היא תת-קבוצה של B אם כל איברי A נמצאים גם ב-B, מסומנת כ-A ⊆ B.
• תת-קבוצה אמיתית: A ⊂ B כאשר A היא תת-קבוצה של B ואינה שווה ל-B.

פעולות על קבוצות

• איחוד: A ∪ B כוללת את כל האיברים שנמצאים ב-A או ב-B.
• חיתוך: A ∩ B כוללת את כל האיברים שנמצאים גם ב-A וגם ב-B.
• הפרש קבוצות: A - B כוללת את כל האיברים שנמצאים ב-A ואינם ב-B.
• קבוצת המשלים: A' כוללת את כל האיברים שאינם בקבוצה A ביחס לקבוצה אוניברסלית U.

כרטיסים (כמויות)

• |A| מייצגת את מספר האיברים בקבוצה A.

קבוצות דיז'קטיות

• קבוצות שבהן האיברים נפרדים ואינם חופפים, משמעותי בהגדרות מתמטיות שונות.

מושגי יסוד

• פריטים: איברים המהווים את הקבוצה.
• איבר יחיד: קבוצה המכילה איבר אחד בלבד.

דיאגרמות וננות

• כלי ויזואלי המסייע בתיאור קבוצות ובקשרים ביניהן, כמו איחוד וחיתוך קבוצות.

יישומים

• תורת הקבוצות משמשת במתודולוגיות רבות כגון הגדרות פורמליות, תכנות, ומודלים מתמטיים.

קורס זה עוסק בתורת הקבוצות, הכוללת הגדרות, סוגים ותכונות של קבוצות במתמטיקה דיסקרטית. המשתתפים ילמדו על קבוצות ריקות, קבוצות סופיות ואינסופיות, כמו גם על איחוד, חיתוך והפרש קבוצות.