מתמטיקה דיסקרטית - תורת הקבוצות

מתמטיקה דיסקרטית - תורת הקבוצות

• הגדרה: תורת הקבוצות עוסקת בחקר קבוצות, שהיא אוסף של אובייקטים נפרדים שמקיימים מאפיינים משותפים.

• קבוצה:

  • אוסף של פריטים, שנקראים איברים (כמו מספרים, אותיות, אובייקטים).
  • נכתבת עם סוגריים מסולסלים: {איבר1, איבר2, ...}.

• סוגי קבוצות:

  • קבוצה ריקה: קבוצה שאין לה איברים, מסומנת כ-∅ או {}.
  • קבוצה סופית: קבוצה עם מספר סופי של איברים.
  • קבוצה אינסופית: קבוצה עם מספר אינסופי של איברים (כמו המספרים הטבעיים).

• תכונות קבוצות:

  • שוויון קבוצות: שתי קבוצות שוות אם יש להן את אותם איברים.
  • תת-קבוצה: קבוצה A היא תת-קבוצה של קבוצה B אם כל איברי A נמצאים גם ב-B. מסומנת כ-A ⊆ B.
  • תת-קבוצה אמיתית: A ⊂ B אם A היא תת-קבוצה של B ולא שווה ל-B.

• איחוד וקבוצת חיתוך:

  • איחוד: A ∪ B היא קבוצה הכוללת את כל האיברים הנמצאים ב-A או ב-B.
  • חיתוך: A ∩ B היא קבוצה הכוללת את כל האיברים שנמצאים גם ב-A וגם ב-B.

• הפרש קבוצות:

  • A - B היא קבוצה הכוללת את כל האיברים שנמצאים ב-A ואינם נמצאים ב-B.

• קבוצת המשלים:

  • A' היא הקבוצה הכוללת את כל האיברים שאינם נמצאים ב-A, ביחס לקבוצה אוניברסלית U.

• כרטיסים (כמויות):

  • |A| מייצגת את מספר האיברים בקבוצה A.

• קבוצות דיז'קטיות:

  • קבוצות שבהן איברים נפרדים ואינם חופפים.

• מושגי יסוד:

  • פריטים: איברים בקבוצה.
  • איבר יחיד: קבוצה שמכילה איבר אחד בלבד.

• דיאגרמות וננות:

  • כלי ויזואלי לתיאור קבוצות ואופני הקשרים ביניהן (איחוד, חיתוך).

• יישומים:

  • תורת הקבוצות משמשת במתודולוגיות שונות כמו הגדרה פורמלית של מושגים, תכנות, ומודלים מתמטיים.

הגדרה ותכנים בסיסיים

• תורת הקבוצות חוקרת קבוצות, המהוות אוספים של אובייקטים בעלי מאפיינים משותפים.
• קבוצה נכתבת בסוגריים מסולסלים, לדוגמה: {איבר1, איבר2,...}.

סוגי קבוצות

• קבוצה ריקה: קבוצה ללא איברים, מסומנת כ-∅ או {}.
• קבוצה סופית: קבוצה עם מספר סופי של איברים.
• קבוצה אינסופית: קבוצה עם מספר אינסופי של איברים, לדוגמה: המספרים הטבעיים.

תכונות קבוצות

• שוויון קבוצות: שתי קבוצות נחשבות שוות אם יש להן את אותם איברים.
• תת-קבוצה: קבוצה A היא תת-קבוצה של B אם כל איברי A נמצאים גם ב-B, מסומנת כ-A ⊆ B.
• תת-קבוצה אמיתית: A ⊂ B כאשר A היא תת-קבוצה של B ואינה שווה ל-B.

פעולות על קבוצות

• איחוד: A ∪ B כוללת את כל האיברים שנמצאים ב-A או ב-B.
• חיתוך: A ∩ B כוללת את כל האיברים שנמצאים גם ב-A וגם ב-B.
• הפרש קבוצות: A - B כוללת את כל האיברים שנמצאים ב-A ואינם ב-B.
• קבוצת המשלים: A' כוללת את כל האיברים שאינם בקבוצה A ביחס לקבוצה אוניברסלית U.

כרטיסים (כמויות)

• |A| מייצגת את מספר האיברים בקבוצה A.

קבוצות דיז'קטיות

• קבוצות שבהן האיברים נפרדים ואינם חופפים, משמעותי בהגדרות מתמטיות שונות.

מושגי יסוד

• פריטים: איברים המהווים את הקבוצה.
• איבר יחיד: קבוצה המכילה איבר אחד בלבד.

דיאגרמות וננות

• כלי ויזואלי המסייע בתיאור קבוצות ובקשרים ביניהן, כמו איחוד וחיתוך קבוצות.

יישומים

• תורת הקבוצות משמשת במתודולוגיות רבות כגון הגדרות פורמליות, תכנות, ומודלים מתמטיים.