Analysis 1 PDF Past Paper

https://matse.paddel.xyz/spicker Analysis 1 Patrick Gustav Blaneck, Felix Racz Letzte Änderung: 13. Juni 2021 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen...

https://matse.paddel.xyz/spicker Analysis 1 Patrick Gustav Blaneck, Felix Racz Letzte Änderung: 13. Juni 2021 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 3 1.1 Funktionen............................................ 3 1.2 Polynome............................................ 3 1.3 Gebrochen rationale Funktionen............................... 4 1.4 Gleichungen und Ungleichungen............................... 6 1.5 Komplexe Analysis....................................... 6 2 Folgen und Reihen 8 2.1 Grundlagen........................................... 8 2.2 Binomialkoeffizienten und der binomische Lehrsatz.................... 8 3 Konvergenz von Folgen, Reihen und Funktionen 9 3.1 Grundlagen........................................... 9 3.2 Konvergenz von Folgen.................................... 10 3.3 Unendliche Reihen....................................... 12 3.4 Potenzreihen........................................... 15 3.5 Grenzwerte von Funktionen.................................. 17 4 Differentialrechnung 24 4.1 Tangentengleichung...................................... 24 4.2 Ableitungsregeln........................................ 25 4.3 Lokale Extrema......................................... 26 4.4 Mittelwertsatz.......................................... 26 4.5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Potenzreihen.................... 26 4.6 Monotonie............................................ 27 4.7 Die Grenzwerte von de L’Hospital.............................. 27 4.8 Krümmungseigenschaften................................... 27 4.9 Die Taylorreihe......................................... 28 5 Integration 30 5.1 Flächenberechnung....................................... 30 5.2 Integration zur Berechnung von Flächen zwischen mehreren Funktionen....... 31 5.3 Längenberechnung....................................... 33 1  5.4 Mantelflächenberechnung................................... 33 5.5 Rotationsvolumenberechnung................................. 33 5.6 Differentiation von Integralen mit variablen Grenzen................... 33 5.7 Parameterintegrale....................................... 34 5.8 Uneigentliche Integrale..................................... 35 5.9 Absolute Konvergenz...................................... 35 5.10 Weitere Konvergenzkriterien................................. 35 5.11 Das Integralkriterium zur Konvergenz von Reihen..................... 36 Index 37 Beispiele 39 2 1 Grundlagen 1.1 Funktionen Definition: Injektivität Definition: Surjektivität Definition: Bijektivität f ( x ) = f ( x 0 ) =⇒ x = x 0 ∀y, ∃ x : y = f ( x ) ∀y, ∃!x : y = f ( x ) Algorithmus: Beweisen der Injektivität 1. Behauptung: f ( x ) = f ( x 0 ) 2. Umformen auf eine Aussage der Form x = x 0 Algorithmus: Beweisen der Surjektivität 1. Aufstellen der Umkehrfunktion 2. Zeigen, dass diese Umkehrfunktion auf dem gesamten Definitionsbereich definiert ist Algorithmus: Beweisen der Bijektivität 1. Injektivität beweisen 2. Surjektivität beweisen 1.2 Polynome Definition: Polynom Eine Funktion p( x ) = ∑in=0 ai xi mit ai , x ∈ R (C), an 6= 0 heißt Polynom vom Grad n. Bonus: Abspalten von Linearfaktoren Bonus: Faktorisierung Sei x0 eine Nullstelle eines Polynoms p( x ), Sind x1 ,... , xn Nullstellen eines Polynoms dann ist p( x ), so ist p ( x ) = q ( x ) · ( x − x0 ). p ( x ) = a n · ( x − x1 ) ·... · ( x − x n ) Dabei ist ( x − x0 ) ein abgespaltener Line- die Faktorisierung von p( x ). arfaktor und q(n) das entsprechend redu- p( x ) zierte Polynom mit q(n) = x− x0. 3 Polynome vom Grad 2 Algorithmus: pq-Formel Algorithmus: Mitternachtsformel 1. Polynom derq Form x2 + px + q = 0 1. Polynom der √ Form ax2 + bx + c = 0 2 p 2. x1,2 = − 2 ± p
2 −q 2. x1,2 = −b± 2ab −4ac 2 Bonus: Besonderheiten bei x ∈ C Ist xi eine Nullstelle des Polynoms p( x ) mit reellen Koeffizienten, dann ist auch xi eine Nullstelle von p( x ). 1.3 Gebrochen rationale Funktionen Definition: Gebrochen rationale Funktionen Seien pm ( x ) und pn ( x ) Polynome vom Grad m bzw. n, dann heißt pm ( x ) f (x) = pn ( x ) gebrochen rationale Funktion. Im Fall m < n heißt die Funktion echt gebrochen rational, sonst unecht gebrochen rational. Algorithmus: Polynomdivision p (x) Gegeben ist unecht gebrochen rationale Funktion f ( x ) = pmn (x) 1. Dividiere die größten Exponenten aus beiden Polynomen 2. Mutipliziere Ergebnis mit Divisor zurück 3. Subtrahiere Ergebnis vom Dividenden 4. Wiederhole, bis: Ergebnis 0 ist, oder Grad des Ergebnisses kleiner ist als Grad des Divisors (ergibt Rest) 4 Algorithmus: Hornerschema Gegeben ist Polynom pm ( x ) und ein Wert x0 Vorbereitung: Erstelle eine Tabelle mit m + 2 Spalten und 3 Zeilen Erste Zelle frei lassen und dann Koeffizienten am , am−1 ,... , a0 in die erste Zeile schreiben In die erste Zelle der zweiten Zeile kommt x0 Anwendung (beginnend in zweiter Zelle der dritten Zeile): 1. Erster Koeffizient der ersten Zeile in die dritte Zeile 2. Multipliziere Zahl der ersten Spalte mit diesem Koeffizienten 3. Schreibe Ergebnis in zweite Zeile, unterhalb des nächsten Koeffizienten 4. Addiere Ergebnis mit diesem Koeffizienten 5. Wiederhole 2-4 bis zum Schluss Ergebnis: Wert des Polynoms pm ( x0 ) in letzter Zelle der letzten Zeile Bei Wert pm ( x0 ) = 0 steht in der letzten Zeile das Polynom nach Abspalten des Linearfaktors ( x − x0 ) Bonus: Tipps und Tricks Polynomdivision und Hornerschema funktionieren auch sehr gut mit komplexen Zahlen Bei mehreren abzuspaltenden Linearfaktoren bietet sich das Hornerschema sehr gut an Algorithmus: Partialbruchzerlegung p (x) Gegeben: Echt gebrochen rationale Funktion f ( x ) = pmn (x) 1. Berechne Nullstellen des Nennerpolynoms x0 ,... , xk ∈ R 2. Verschiedene Fälle: Relle Nullstellen: xi ist einfache Nullstelle =⇒ x−Ax1 A1 A2 Ar xi ist r-fache Nullstelle =⇒ x− x1 + ( x − x1 )2 +... + ( x − x1 )r Nichtrelle Nullstellen: Einfacher quadratischer Term =⇒ x2Ax +B + px +q 1 x + B1 r-facher quadratischer Term =⇒ xA2 + px +q + (x2A+2 xpx++B2q)2 +... + (x2A+r xpx++Brq)r 3. Koeffizientenvergleich: a) Brüche gleichnamig machen (Multipliziere beide Seiten mit Nennerpolynom) b) Potenzen von x zusammenfassen c) Gleichungssystem lösen d) Lösungen in Ansatz einsetzen Bonus: Besonderheiten in C Für Partialbrüche ohne relle Nullstellen können wir in C stets Nullstellen finden. Das Verfahren erfolgt dann analog mit komplexen Nullstellen. 5  Bonus: Tipps und Tricks Partialbruchzerlegung ist erst bei einer echt gebrochen rationale Funktion sinnvoll Ist die Funktion unecht gebrochen rational, führe zuerst eine Polynomdivision durch und zerlege dann den Rest in die Partialbrüche 1.4 Gleichungen und Ungleichungen Algorithmus: Berechnen einer Lösungsmenge bei Ungleichungen Gegeben: Ungleichung mit Bezug auf Variable x 1. Für jeden Betrag | a( x )|, eine Fallunterscheidung machen für a( x ) ≥ 0 =⇒ | a( x )| = a( x ) a( x ) < 0 =⇒ | a( x )| = − a( x ) Hier haben wir bereits eine Einschränkung für die Lösungsmenge des jeweiligen Falles gegeben! 2. Ungleichungen nach x auflösen 3. Jeder Fall i erzeugt eine Lösungsmenge Li bestehend aus umgestellter Ungleichung und Fallbedingungen 4. Lösungsmenge L = in=1 Li , wobei n die Anzahl der betrachteten Fälle ist S Bonus: Tipps und Tricks n Beträge in der Gleichung können zu 2n Fällen führen. Es kann vorkommen, dass ein Fall einer Fallunterscheidung unerreichbar ist, z.B. für x > 5 ∧ x < 1. Die Lösungsmenge L ist dann leer (L = ∅). Radizieren (Wurzelziehen) ist in Ungleichungen nur erlaubt, wenn danach der Betrag der Wurzel betrachtet wird Quadrieren einer Ungleichung ‘erzeugt’ potentiell ein falsches Ergebnis. Nach dem Quadrieren sollte man also jedes Ergebnis prüfen. Multiplikation mit negativen Zahlen sollte vermieden werden, da das Umdrehen des Ungleichheitszeichens schnell für Flüchtigkeitsfehler sorgen kann. 1.5 Komplexe Analysis Bonus: Rechenregeln für komplexe Zahlen in kartesischen Koordinaten Darstellung: z = a + i · b und w = c + i · d Addition und Subtraktion: z ± w = ( a ± c) + i · (b ± d) Multiplikation: z · w = ( ac − bd) + i · ( ad + bc) z z·w Division: w = w·w Komplex konjugiert: Vorzeichen von = wechseln: z = a − i · b √ √ Betrag: Abstand vom Ursprung: |z| = z · z = a2 + b2 6 Bonus: Rechenregeln für komplexe Zahlen in Polarkoordinaten Darstellung: z = r · (cos θ + i · sin θ ) = r · ei·θ Multiplikation: z · w = rz · rw · ei·(θz +θw ) rz Division: z w = rw · ei·(θz −θw ) Komplex konjugiert: z = (r, −θ ) = (r, 2π − θ ) Betrag: |z| = r Algorithmus: Kartesische Koordinaten → Polarkoordinaten p 1. r = |z| = x2 + y2 2. y ≥ 0 : θ = arctan xr y < 0 : θ = − arctan xr Algorithmus: Polarkoordinaten → Kartesische Koordinaten 1. x = r · cos θ 2. y = r · sin θ Algorithmus: Radizieren von komplexen Zahlen Gesucht: Lösung von zn = r · ei·θ 1. Ist zn nicht in Polarkoordinaten gegeben, so ist zunächst die Polarform zu bilden. √ 2. Bertechne rk = n r. Dieser Radius ist die Länge aller Lösungen. 3. Berechne für alle k ∈ [0, n − 1] θ + k · 2π θ k θk = = + · 2π n n n 4. Die Lösungen sind dann die n Zahlen zk = (rk , θk ) für k ∈ [0, n − 1]. 7 2 Folgen und Reihen 2.1 Grundlagen Bonus: Rechenregeln für Summen n n−l ∑ ak = ∑ ak+l k=m k=m−l n c n ∑ ak = ∑ ak + ∑ ak k=m k=m k=c n n n ∑ ak + ∑ bk = ∑ a k + bk k=m k=m k=m n n ∑ c · ak = c · ∑ ak k=m k=m Die Regeln gelten auch für unendliche Reihen. Bonus: Wichtige Summen Arithmetische Summe: n n ( n + 1) ∑k= 2 k =1 Geometrische Summe: n 1 − x n +1 x n +1 − 1 ∑ xk = 1−x = x−1 k =1 Summe der Quadratzahlen: n n(n + 1)(2n + 1) ∑ k2 = 6 k =1 Summe der Kubikzahlen: 2 n  n ( n + 1) ∑k 3 = 2 k =1 2.2 Binomialkoeffizienten und der binomische Lehrsatz Definition: Binomialkoeffizient Die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge bezeichnen wir mit (nk). Diese Zahlen heißen Binomialkoeffizienten oder Binomialzahlen. Definition: Rekursionsformel für Binomialkoeffizient Für k, n ∈ N mit k ≤ n gilt: n−1 n−1       n = + k k k−1 8  Definition: Kombinatorische Formel für Binomialkoeffizient   ( n 0 , für k > n = n! k (n−k)!·k! , für k ≤ n Definition: Der binomische Lehrsatz Für beliebige a, b ∈ R und n ∈ N gilt: n  n k n−k ( a + b) = ∑ n a ·b k =0 k 3 Konvergenz von Folgen, Reihen und Funktionen 3.1 Grundlagen Definition: Schranken Gilt ∀ x ∈ A : | x | < K, so heißt die Menge A beschränkt und K Schranke. Gilt nur x ≤ K, so heißt die Menge nach oben beschränkt und K obere Schranke. Im Falle x ≥ K heißt A nach unten beschränkt und K untere Schranke. Definition: Beschränktheit Eine Menge M heißt genau dann beschränkt, wenn sie nach oiben und nach unten beschränkt ist. Definition: Supremum, Maximum Der Wert K = min {K ist obere Schranke} ∗ K ∈R heißt kleinste obere Schranke oder Supremum von A. Notation: sup A Gilt K ∈ A, so heißt K Maximum von A. Notation: max A. Definition: Infimum, Minimum Der Wert K = max {K ist untere Schranke} ∗ K ∈R heißt größte untere Schranke oder Infimum von A. Notation: inf A Gilt K ∈ A, so heißt K Minimum von A. Notation: min A. 9  Bonus: Vollständigkeitsaxiom Jede nicht-leere nach oben beschränkte Menge A hat ein Supremum, jede nicht-leere nach unten beschränkte Menge A hat ein Infimum. Definition: e-Umgebung von K in R Ue (K ) := { x ∈ R | | x − K | < e} heißt e-Umgebung von K in R. Definition: Innerer Punkt x0 ∈ A heißt innerer Punkt von A, falls eine e-Umgebung existiert, so dass Ue ( x0 ) ∈ A, also vollständig in A enthalten ist. A heißt offen, falls jeder Punkt der Menge innerer Punkt ist. Definition: Häufungspunkt (Mengen) a heißt Häufungspunkt einer Menge A, wenn ∀e > 0 in der Umgebung Ue ( a) ein Punkt x ∈ A mit x 6= a existiert. Sei x größter Häufungspunkt von A, dann heißt x = lim sup A (Limes Superior). Sei x kleinster Häufungspunkt von A, dann heißt x = lim inf A (Limes Inferior). Definition: Abgeschlossenheit A heißt abgeschlossen, wenn jeder Häufungspunkt von A in A liegt. Definition: Bolzano-Weierstrass für Mengen Jede unendliche beschränkte Menge A reeller Zahlen besitzt mindestens einen Häufungspunkt. 3.2 Konvergenz von Folgen Definition: Monotonie Eine Folge an heißt monoton wachsend, falls ∀n ∈ N : an ≤ an+1. Gilt sogar an < an+1 , so heißt die Folge streng monoton wachsend. Eine Folge an heißt monoton fallend, falls ∀n ∈ N : an ≥ an+1. Gilt sogar an > an+1 , so heißt die Folge streng monoton fallend. 10 Definition: Häufungspunkt (Folgen) a heißt Häufungspunkt einer Folge, wenn zu jeder e-Umgebung Ue ( a) unendlich viele Folgen- glieder an in Ue ( a) liegen, also ∀e > 0, ∃∞-viele an : | an − a| < e Definition: Grenzwert / Limes Eine Zahl a ∈ R oder C heißt Grenzwert oder Limes einer Zahlenfolge an , wenn ∀e > 0, ∃n0 (e), so dass für alle n ≥ n0 (e) (fast immer) gilt | an − a| < e Jeder Grenzwert ist auch ein Häufungspunkt. Definition: Konvergenz / Divergenz Eine Folge an heißt konvergent, falls ein Grenzwert existiert. Existiert dieser nicht, so heißt die Folge divergent. Eine konvergente Folge mit a = 0 heißt Nullfolge. Ist limn→∞ an = a, so ist limn→∞ ( an − a) = 0, d.h. bn = limn→∞ ( an − a) ist Nullfolge. Definition: Bolzano-Weierstrass für Folgen 1. Jede beschränkte Folge an besitzt mindestens eine konvergente Teilfolge. 2. Jede beschränkte Folge an besitzt einen kleinsten und größten Häufungspunkt mit b ≥ a a = lim inf an , b = lim sup an. 3. Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist und nur einen Häufungspunkt besitzt. Dann ist a = lim an = lim inf an = lim sup an. n→∞ Definition: Sandwich-Lemma oder Einschnürungssatz Gilt fast immer, also bis auf endliche viele n (oder auch für n ≥ n0 ) a n ≤ c n ≤ bn und limn→∞ an = a = limn→∞ bn , so ist lim cn = a. n→∞ 11  Bonus: Rechenregeln für Grenzwerte lim ( an + bn ) = a + b n→∞ lim c · an = c · a n→∞ lim an bn = a · b n→∞ an a lim = für bn 6= 0, b 6= 0 n → ∞ bn b 1 1 lim = für an 6= 0, a 6= 0 n→∞ an a Bonus: Wichtige Grenzwerte 1 lim = 0 für α > 0 n→∞ n α √ lim n a = 1 für a > 0 n→∞ lim qn = 0 für |q| < 1 n→∞ lim nk qn = 0 für |q| < 1, k ∈ N n→∞ √ n lim n=1 n→∞ n! lim =0 n→∞ nn Definition: Konvergenz monotoner Folgen Jede beschränkte monotone Folge ist konvergent. Der Grenzwert ist bei monoton fallenden Folgen inf an , bei wachsenden Folgen sup an. Definition: Eulersche Zahl 1 n
Der Grenzert limn→∞ 1 + n = e existiert und heißt eulersche Zahl. Definition: Cauchy-Konvergenz Eine Folge an heißt Cauchy-konvergent, falls ∀e > 0, ∃n0 (e) mit | an − am | < e, ∀n > m ≥ n0. 3.3 Unendliche Reihen Definition: Unendliche Reihe ∞ n ∑ ak = lim n→∞ ∑ ak k=m k=m 12 Definition: Cauchy-Reihe n ∀ε > 0, ∃n0 (ε) : ∑ ak < ε, ∀n > m ≥ n0 k = m +1 Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn die zugehörige Cauchy-Reihe konvergiert. Bonus: Konvergenz durch Nullfolge Sei ∑nk=1 ak konvergent, dann ist ak Nullfolge. Definition: Absolute Konvergenz Eine Reihe heißt absolut konvergent wenn ∑∞ k =0 | ak | konvergiert. Analog heißt eine Folge absolut konvergent wenn | an | konvergiert. Algorithmus: Teleskopsumme Eine Teleskopsumme hat man dann, wenn sich die Terme einer Summe gegenseitig auflösen. Beispiel: Teleskopsumme ! n n 1 1 1 n +1 1 1 n 1 n 1 1 1 ∑ k − k+1 = ∑ k − ∑ k = 1 + ∑k−∑k − n+1 = 1− n+1 k =1 k =1 k =2 k =2 k =2 Algorithmus: Majorantenkriterium Man sucht eine zweite Folge bk , sodass diese fast immer größer ist als die vorgegebene Folge ist. Konvergiert ∑∞ k =1 bk dann konvergiert auch die ursprüngliche Reihe. Beispiel: Majorantenkriterium Konvergiert ∑∞ k =1 1 k 2 +1 ? Ja, da k21+1 < k12 und wir wissen, dass ∑∞ 1 k =1 k2 konvergiert. Wir haben also eine konvergente Majorante. Algorithmus: Minorantenkriterium Man sucht eine zweite Folge bk , sodass diese fast immer kleiner ist als die vorgegebene Folge ist. Divergiert ∑∞ k =1 bk dann divergiert auch die ursprüngliche Reihe. Beispiel: Majorantenkriterium Konvergiert ∑∞ k =1 1 ln(k ) ? Nein, da 1k < ln1(k) (k ≥ 3) und wir wissen, dass ∑∞ k =1 1 k divergiert. Wir haben also eine divergente Minorante. 13 Algorithmus: Cauchy-Kondensatioskriterium Die Konvergenz von folgenden Reihen ist äquivalent. ∞ ∞ ∑ ak und ∑ 2k · a 2 k k =1 k =1 Beispiel: Cauchy-Kondensatioskriterium Konvergiert ∑∞ 1 k =1 k ? Die Frage ist äquivalent dazu, ob ∞ ∞ 1 ∑ 2k · 2k = ∑1 k =1 k =1 konvergiert. Das tut sie offensichtlich nicht, also konvergiert auch ∑∞ k =1 1 k nicht. Algorithmus: Wurzelkriterium Sei r = limn→∞ n | an |. Dann konvergiert ∑∞ p k =1 ak für r < 1. Für r > 1 divergiert die Reihe. Für r = 1 liefert das Kriterium keine Aussage. Beispiel: Wurzelkriterium Konvergiert die Reihe ∑∞ k =1 1 7k ? Es gilt r k 1 1 r = lim k = 1 divergiert die Reihe. Für r = 1 liefert das Kriterium keine Aussage. Beispiel: Quotientenkriterium Konvergert die Reihe ∑∞ k =1 xk k! ? Wir berechnen dann x n +1 ( n +1) ! x r = lim xn = lim =0 n→∞ n→∞ n+1 n! Die Reihe konvergiert also für alle x. 14  Algorithmus: Leibnizkriterium Das Leibnizkriterium wird für alternierende Reihen genutzt. Sei ∑∞ n k =1 (−1) · an und an eine beliebige Folge. Jetzt muss man nur drei Eigenschaften für an zeigen: 1. an muss monoton fallend sein, 2. an muss immer größer als Null sein und 3. limn→∞ an = 0. Dann konvergiert die Reihe. Beispiel: Leibnizkriterium Konvergiert die Reihe ∑∞ n 1 k=2 (−1) · ln(k ). Wir wissen, dass ln( k ) > 0 für k > 1. Außerdem wissen wir, dass der natürliche Logarithmus monoton steigend ist, also ist ln1(k) monoton fallend. Es gilt auch limn→∞ = 0. Also konvergiert die Reihe. 3.4 Potenzreihen Definition: Potenzreihe Sei x ∈ R, an ∈ R, so heißt ∞ p( x ) := ∑ an x n n =0 reelle Potenzreihe von x. Jede Potenzreihe konvergiert für x = 0. Definition: Konvergenz von Potenzreihen (Entwicklungspunkt x0 = 0) Jede Potenzreihe konvergiert für x = 0. Jede Potenzreihe konvergiert für an 1 | x | < R = lim bzw. |x| < R = n→∞ p a n +1 limn→∞ n | an | und divergiert für | x | > R. Der Rand muss oft gesondert betrachtet werden! 15 Definition: Konvergenz von Potenzreihen (Entwicklungspunkt x0 6= 0) Jede Potenzreihe p( x ) = ∑∞ n n=0 an ( x − x0 ) konvergiert für an 1 | x − x0 | < R = lim bzw. |x| < R = n→∞ p a n +1 limn→∞ n | an | und divergiert für | x − x0 | > R. Der Rand muss oft gesondert betrachtet werden! Definition: Konvergenzradius an 1 R = lim bzw. R = n→∞ p a n +1 limn→∞ n | an | heißt der Konvergenzradius der Potenzreihe. Bonus: Spezielle Potenzreihen ∞ 1 1 f (x) = 1 − c ( x − x0 ) ⇐⇒ ∑ cn · (x − x0 )n für | x − x0 | < |c| n =0 Beispiel: Potenzreihe um Entwicklungspunkt bestimmen Wir wollen die Potenzreihe um x0 = 1 der Reihe 3 f (x) = 5 + 2x bestimmen. Zunächst ist: 3 f (x) = 5 + 2x 1 = 3· 5 + 2( x − 1) + 2 1 = 3· 7 − (−2) · ( x − 1) 3 1 = · 2 7 1 − (− 7 ) · ( x − 1) 3 ∞ −2 n −2  = ·∑ · ( x − 1) für ( x − 1) < 1 7 n =0 7 7 3 ∞ −2 n   7 = ·∑ · ( x − 1)n für | x − 1| < 7 n =0 7 2 16  Definition: Exponentialfunktion Die Funktion ∞ xn exp( x ) = ∑ n! n =0 heißt Exponentialfunktion oder exponentielle Funktion. Sie konvergiert für jedes x ∈ R und ist damit wohldefiniert. 3.5 Grenzwerte von Funktionen Definition: Konvergenz von Funktionen Gilt ∀ xn , dass (falls limn→∞ xn = x0 gilt): lim f ( xn ) = L n→∞ so heißt die Funktion konvergent für x → x0 und wir schreiben lim =: lim f ( x ). n→∞ x → x0 Definition: Stetigkeit von Funktionen Gilt ∀ xn , dass (falls limn→∞ xn = x0 gilt): lim f ( xn ) = f ( x0 ) n→∞ so heißt die Funktion stetig in x0. Jede Potenzreihe ist im Inneren ihres Konvergenzradius (also nicht zwingend für die Rand- punkte) stetig. Definition: Rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert Existiert für Folgen xn mit xn > x0 ein Grenzwert L, also existiert lim f ( x ) = L =: lim f ( x ) x → x0 ∧ x > x0 x ↓ x0 so heißt der Grenzwert rechtsseitiger Grenzwert. Gilt L = f ( x0 ), so heißt die Funktion rechtsseitig stetig. Entsprechend für x < x0 : lim f ( x ) = L =: lim f ( x ). x → x0 ∧ x < x0 x ↑ x0 17 Definition: Stetigkeit Eine Funktion f ( x ) ist genau dann stetig in x0 , wenn lim f ( x0 ) = lim f ( x0 ) = f ( x0 ). x ↓ x0 x ↑ x0 Sei f : D → R heißt stetig auf D = [ a, b], falls f für jedes x0 ∈ D stetig ist. Definition: e-δ-Kriterium Eine Funktion f ( x ) heißt stetig in x0 , falls ∀e > 0, ∃δ( x0 , e) > 0, ∀ | x − x0 | < δ : | f ( x ) − f ( x0 )| < e 18 Beispiel: e-δ-Kriterium Untersuche die Stetigkeit von f ( x ) = √1 , x > 0. x f ( x ) ist stetig in x0 , wenn ∀e > 0, ∃δ( x0 , e) > 0 : ∀ | x − x0 | < δ ⇒ | f ( x ) − f ( x0 )| < e | f ( x ) − f ( x0 )| 1 1 = √ −√ x x0   √1 + √1 1 1 x x0 = √ −√ · 1 1 x x0 √ + √ x0 x 1 1 x − x0 = √1 + √1 x x0 x0 − x xx0 = √ x + x √ √0 xx0 √ ( x0 − x ) xx0 = √ √
xx0 x0 + x x0 − x = √ √ √
xx0 x0 + x x − x0 = √ √ √
xx0 x0 + x 1 = | x − x0 | · √ √ √
xx0 x0 + x 1 < δ· √ √ √
xx0 x0 + x 1 ≤ δ· √ √ √ √ xx0 x0 + xx0 x 1 ≤ δ· √ √ xx0 x 1 ≤ δ· √ x x0 x0 Sei | x − x0 | < 2: x0 x0 x0 x0 | x − x0 | < =⇒ x0 − < x < x0 + ⇐⇒ 0 unabhängig von x0 gibt, so dass | f ( x ) − f ( x0 )| < e, ∀ | x − x0 | < δ. Jede gleichmäßig stetige Funktion ist stetig. Eine stetige Funktion f : [ a, b] → R ist gleichmäßig stetig. Definition: Lipschitz-Stetigkeit Eine Funktion f heißt lokal Lipschitz-stetig in x0 , wenn es ein L ≥ 0 und ein δ > 0 gibt, so dass | f ( x ) − f ( x0 )| ≤ L · | x − x0 | , ∀ | x − x0 | < δ. Eine Funktion f heißt Lipschitz-stetig, wenn es ein L ≥ 0, so dass | f ( x ) − f (y)| ≤ L · | x − y| , ∀ x, y ∈ [ a, b]. L heißt Lipschitz-Konstante. Ist eine Funktion Lipschitz-stetig, so ist sie auch gleichmäßig stetig. 21 Beispiel: Lipschitz-Stetigkeit √ f (x) = 2 + 3x Ist die Funktion lokal Lipschitz-stetig im Punkt x0 = 1? Berechnen Sie gegebenenfalls die Lipschitz-Konstante L in Abhängigkeit von δ. Lipschitz-Stetigkeit: ∃ L ≥ 0, ∀ x, x0 ∈ D : | f ( x ) − f ( x0 )| ≤ L · | x − x0 | | f ( x ) − f (y)| √ p = 2 + 3x − 2 + 3y √ √ p p 2 + 3x + 2 + 3y = ( 2 + 3x − 2 + 3y) · √ p 2 + 3x + 2 + 3y 2 + 3x − (2 + 3y) = √ p 2 + 3x + 2 + 3y 3( x − y ) = √ p 2 + 3x + 2 + 3y 3 = √ p · | x − y| 2 + 3x + 2 + 3y x,y∈( x0 −δ,x0 +δ) 3 < p p · | x − y| 2 + 3( x0 − δ ) + 2 + 3( x0 − δ ) 3 = p p · | x − y| 2 + 3(1 − δ ) + 2 + 3(1 − δ ) 3 = √ √ · | x − y| 2 + 3 − 3δ + 2 + 3 − 3δ 3 = √ · | x − y| 2 · 5 − 3δ Damit ist f lokal Lipschitz-stetig im Punkt x0 = 1 mit L = √3. 2· 5−3δ Definition: Zwischenwertsatz Sei f : [ a, b] → R stetig mit f ( a) = c und f (b) = d, dann gilt ∀y ∈ [min(c, d), max(c, d)], ∃ x ∈ [ a, b] : f ( x ) = y. Definition: Fixpunktsatz Ein Wert x ∗ ∈ R heißt Fixpunkt einer Funktion f ( x ), falls x ∗ = f ( x ∗ ). Sei f : [ a, b] → [c, d] stetig mit [c, d] ⊂ [ a, b] (selbstkontrahierend), dann existiert ein Fixpunkt u = f ( u ). 22 Beispiel: Fixpunktberechnung (Teil 1) Gegeben ist die Funktion x + 21 f : [0, ∞) → [0, ∞), f (x) = x+1 (a) Zeigen Sie, dass die Funktion die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes erfüllt. Stetigkeit: f ist offensichtlich stetig, da f aus stetigen Funktionen zusammengesetzt ist (und insbesondere, da ∀ x ∈ [0, ∞] : x 6= −1). Monotonieverhalten: Wir vermuten, dass die Funktion monoton steigend ist: x ≥ y =⇒ f ( x ) ≥ f (y) x + 12 y + 12 ≡ x ≥ y =⇒ ≥ x+1 y+1     1 1 ≡ x ≥ y =⇒ x+ ( y + 1) ≥ y + ( x + 1) 2 2 y 1 x 1 ≡ x ≥ y =⇒ xy + x + + ≥ xy + y + + 2 2 2 2 y x ≡ x ≥ y =⇒ x+ ≥ y+ 2 2 x y ≡ x ≥ y =⇒ x− ≥ y− 2 2 x y ≡ x ≥ y =⇒ ≥ 2 2 ≡ x ≥ y =⇒ x≥y X Damit ist f monoton steigend. Kontraktion: Zu zeigen: ∀ x ∈ [0, ∞)] : f ( x ) ∈ [0, ∞)]: 0 + 12 1 n + 21 f (0) = = ∈ [0, ∞), und lim f (n) = lim = 1 ∈ [0, ∞) 0+1 2 n→∞ n→∞ n + 1 Da beide Werte im gegebenen Definitionsbereich sind und f monoton steigend ist, ist f insgesamt selbstkontrahierend. Insgesamt sind also alle Bedingungen für den Fixpunktsatz erfüllt. 23  Beispiel: Fixpunktberechnung (Teil 2) (b) Berechnen Sie den Fixpunkt von f. f (x∗ ) = x∗ x ∗ + 21 ≡ = x∗ x∗ + 1 1 ≡ x ∗ + = x ∗ ( x ∗ + 1) 2 1 ≡ x + = ( x ∗ )2 + x ∗ ∗ 2 1 ≡ 0 = ( x ∗ )2 − r 2 r ∗ 1 ∗ 1 =⇒ x = ∨x =− 2 2 q x ∗ ∈ [0, ∞] =⇒ x ∗ = 1 2 4 Differentialrechnung 4.1 Tangentengleichung Algorithmus: Tangentengleichung Wollen wir die Gleichung der Tangente einer Funktion f ( x ) in einem Punkt x0 bestimmen, so verwenden wir den Ansatz T ( x ) = f 1 ( x ) = m · ( x − x0 ) + b. Die Tangente im Punkt x0 hat die Eigenschaften Die Steigung ist m = f 0 ( x ), Sie geht durch den Punkt ( x0 , f ( x0 )). Einsetzen der zweiten Bedingung liefert f ( x0 ) = f 1 ( x0 ) = b und damit ist die Tangentengleichung bekannt mit f 1 ( x ) = f 0 ( x0 ) · ( x − x0 ) + f ( x0 ). 24 4.2 Ableitungsregeln Definition: Faktorregel f ( x ) = c · g( x ) =⇒ f 0 ( x ) = c · g0 ( x ) Definition: Summenregel f ( x ) = g( x ) + h( x ) =⇒ f 0 ( x ) = g0 ( x ) + h0 ( x ) Definition: Produktregel f ( x ) = g( x ) · h( x ) =⇒ f 0 ( x ) = g0 ( x ) · h( x ) + g( x ) · h0 ( x ) Definition: Quotientenregel g( x ) g0 ( x ) · h( x ) − g( x ) · h0 ( x ) f (x) = =⇒ f 0 ( x ) = h( x ) [h( x )]2 Definition: Kettenregel f ( x ) = g(h( x )) =⇒ f 0 ( x ) = g0 (h( x )) · h0 ( x ) Bonus: Ableitung der Umkehrfunktion 1 1 ( f −1 )(y) = = f 0 (x) f 0 ( f −1 (y)) Bonus: Elementare Ableitungsfunktionen f (x) f 0 (x) xn n · x n −1 sin x cos x cos x − sin x 1 tan x cos2 x = tan2 x + 1 −1 cot x sin2 x ex ex ax a x · ln a 1 ln x x 25 4.3 Lokale Extrema Definition: Lokale Extrema Existiert eine Stelle x0 einer Funktion f ( x ) und eine e-Umgebung Ue ( x0 ) von x0 , so dass ∀ x ∈ Ue ( x0 ) gilt: f ( x ) ≥ f ( x0 ), so heißt x0 lokales Minimum, f ( x ) ≤ f ( x0 ), so heißt x0 lokales Maximum. Ist f differenzierbar in x0 und x0 lokales Extremum, sei gilt f 0 ( x0 ) = 0. 4.4 Mittelwertsatz Bonus: Satz von Rolle Ist f auf [ a, b] stetig mit f ( a) = f (b) und auf ( a, b) differenzierbar, so existiert ein x ∗ ∈ ( a, b) : f 0 ( x ∗ ) = 0. Definition: Mittelwertsatz Sei f ∈ C [ a, b] und in ( a, b) differenzierbar. Dann existiert ein x ∗ ∈ ( a, b) mit f (b) − f ( a) f 0 (x∗ ) =. b−a 4.5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Potenzreihen Definition: Stetigkeit / Differenzierbarkeit von Potenzreihen Jede Potenzreihe ist stetig im Inneren des Konvergenzbereiches. Die Potenzreihe p( x ) = ∑∞ n n=0 an ( x − x0 ) ist differenzierbar im Inneren des Konvergenzbereiches und die Ableitung 0 p ( x ) kann summandenweise berechnet werden mit: ∞ p0 ( x ) = ∑ a n · n · ( x − x 0 ) n −1 n =1 ∞ = ∑ a n +1 · ( n + 1 ) · ( x − x 0 ) n n =0 26 4.6 Monotonie Definition: Monotonie für Funktionen Eine Funktion heißt monoton wachsend auf [ a, b], falls ∀ x1 , x2 ∈ ( a, b), x1 < x2 : f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ⇐⇒ ∀ x ∈ ( a, b) : f 0 ( x ) ≥ 0. Eine Funktion heißt streng monoton wachsend auf [ a, b], falls ∀ x1 , x2 ∈ ( a, b), x1 < x2 : f ( x1 ) < f ( x2 ) ⇐⇒ ∀ x ∈ ( a, b) : f 0 ( x ) > 0. Eine Funktion heißt monoton fallend auf [ a, b], falls ∀ x1 , x2 ∈ ( a, b), x1 < x2 : f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ⇐⇒ ∀ x ∈ ( a, b) : f 0 ( x ) ≤ 0. Eine Funktion heißt streng monoton fallend auf [ a, b], falls ∀ x1 , x2 ∈ ( a, b), x1 < x2 : f ( x1 ) > f ( x2 ) ⇐⇒ ∀ x ∈ ( a, b) : f 0 ( x ) < 0. 4.7 Die Grenzwerte von de L’Hospital Definition: Regeln von de L’Hospital Seien f , g ∈ C [ a, b] und in ( a, b) differenzierbar mit f ( a) = g( a) = 0. Weiterhin gelte ∀ x ∈ ( a, b) : g0 ( x ) 6= 0 und es existiert f 0 (x) lim x→a g0 ( x ) dann existiert auch f (x) lim x→a g( x ) und es ist f (x) f 0 (x) lim = lim 0. x→a g( x ) x→a g ( x ) 4.8 Krümmungseigenschaften Definition: Krümmung Sei f ∈ C2 ( a, b) und ist ∀ x ∈ ( a, b) : f 00 ( x ) > 0, so heißt f ( x ) konvex oder linksgekrümmt. Ist ∀ x ∈ ( a, b) : f 00 ( x ) < 0 so heißt f ( x ) konkav oder rechtsgekrümmt 27  Definition: Wendepunkt Sei f ∈ C2 ( a, b) und wechselt die Funktion für x ∗ ∈ ( a, b) von einer links- zu einer rechtsge- krümmten Funktion (oder umgekehrt), so heißt x ∗ Wendepunkt der Funktion. Ist x ∗ Wendepunkt und f ∈ C2 ( a, b), so ist f 00 ( x ) = 0. 4.9 Die Taylorreihe Definition: Taylorreihe ∞ f ( n ) ( x0 ) f (x) = ∑ n! ( x − x0 ) n n =0 f 00 ( x0 ) f 000 ( x0 ) = f ( x0 ) + f 0 ( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 + ( x − x0 )3 +... 2 6 Dabei heißt x0 Entwicklungspunkt der Potenzreihe und die Reihe konvergiert für | x − x0 | < r an mit r = limn→∞ a n +1. 28 Beispiel: Taylorreihe Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritten Grades für die Funktion g( x ) = ln( x · e−2x ) an der Stelle x0 = 1. Taylorpolynom k-ten Grades einer Funktion f : k dn f ( x − x0 ) n Tk ( x ) := ∑ n ( x 0 ) · n! n=0 dx Das Taylorpolynom dritten Grades von g( x ) = ln( x · e−2x ) an der Stelle x0 = 1 ist dann gegeben durch: 3 dn g ( x − 1) n T3 ( x ) = ∑ n ( 1 ) · n! n=0 dx dg x − 1 d2 g ( x − 1)2 d3 g ( x − 1)3 = g (1) + (1) · + 2 (1) · + 3 (1) · dx 1! dx 2! dx 3! − − 2 − 1)3   ∗ 1 1 ( x 1 ) 2 ( x = ln(e−2 ) + − 2 · ( x − 1) + · + · 1 1 2 1 6 1 1 = − 2 − ( x − 1) − · ( x − 1)2 + · ( x − 1)3 2 3 1 1 = − 2 − x + 1 − · ( x2 − 2x + 1) + · ( x3 − 3x2 + 3x − 1) 2 3 x2 1 x3 1 = −1−x− +x− + − x2 + x − 2 2 3 3 x3 3x2 11 = − +x− 3 2 6 Nebenrechnungen: dg 1 d2 g −1 d3 g 2 = − 2, 2 = 2, 3 = 3 dx x dx x dx x 29 5 Integration 5.1 Flächenberechnung Definition: Stammfunktion Sei f ∈ C [ a, b]. Eine differenzierbare Funktion F ( x ) mit ∀ x ∈ [ a, b] : F 0 ( x ) = f ( x ) heißt eine Stammfunktion von f. Definition: Unbestimmtes Integral R F ( x ) = f ( x ) dx heißt das unbestimmte Integral von f. Definition: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Sei f ∈ C [ a, b], dann ist Z x Fa ( x ) = f (t) dt differenzierbar a und es gilt Fa0 ( x ) = f ( x ). Damit ist also: 0 x Z f (t) dt = Fa0 ( x ) = f ( x ). a Definition: Fläche einer Funktion Sei f ∈ C [ a, b], dann ist die Fläche der Funktion im Intervall [ a, b] gegeben mit Z b b f ( x ) dx = F (b) − F ( a) =: F ( x )| x=1 a Bonus: Potenzregel 1 Z x n dx = x n +1 + C n+1 Bonus: Faktorregel Z Z c · f ( x ) dx = c · f ( x ) dx Bonus: Summenregel Z Z Z ( f ( x ) + g( x )) dx = f ( x ) dx + g( x ) dx 30  Bonus: Partielle Integration Z Z f 0 ( x ) g( x ) dx = f ( x ) g( x ) − f ( x ) g0 ( x ) dx Entscheidend bei partieller Integration ist die Wahl von f ( x ) und g0 ( x ). Eine falsche Wahl kann unter Umständen dazu führen, dass das Integral noch komplizierter wird. Faustregel: 1. L - logarithmische Funktionen (ln, loga ,...) 2. I - inverse Winkelfunktionen (arcsin, arccos, arctan,...) 3. A - algebraische Funktionen (x2 , 5x3 ,...) 4. T - trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan, csc,...) 5. E - Exponentialfunktionen (e x , 5a x ,...) Entsprechend des Rangs wird f ( x ) ausgewählt. Will man beispielsweise x2 cos x integrieren, so würde man x2 für f ( x ) wählen und cos x für g0 ( x ), da algebraische Funktionen höher in der Liste stehen als trigonometrische Funktionen. Bonus: Integration durch Substitution Z Z f ( x ) dx = f (φ(u)) · φ0 (u) du 5.2 Integration zur Berechnung von Flächen zwischen mehreren Funktionen Algorithmus: Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionen Wir betrachten die Fläche zwischen zwei Funktionen f ( x ) und g( x ). 1. Schnittpunkte a, b von f ( x ) und g( x ) berechnen. 2. Integriere | f ( x ) − g( x )| zwischen den Schnittpunkten: Z b | f ( x ) − g( x )| dx a Beachte: Bei mehr als zwei Schnittpunkten müssen mehrere Integrale mit den jeweiligen Grenzen addiert werden. Das Verfahren lässt sich sehr einfach auf mehrere Funktionen erweitern. 31 Bonus: Beispiel: Fläche zwischen drei Funktionen Wie groß ist der Flächeninhalt, der von den Funktionen f ( x ) = −0.25x4 + 4, g( x ) = −2x − 4, h( x ) = 2x − 4 eingeschlossen wird? g 4 h 2 −4 −2 2 4 −2 −4 f Wir sehen in der Zeichnung, dass für die Fläche A zwischen den Graphen gilt: Z 0 Z 2 A= ( f ( x ) − g( x )) dx + ( f ( x ) − h( x )) dx −2 0 Z 0   Z 2  1 4 1 4 = − x + 2x + 8 dx + − x − 2x + 8 dx −2 4 0 4  0  2 1 1 = − x5 + x2 + 8x + − x5 − x2 + 8x 20 −2 20 0   1 1 = 0 − − · (−2)5 + (−2)2 + 8 · (−2) + − · 25 + 22 + 8 · 2 − 0 20 20 8 8 = − − 4 + 16 + − − 4 + 16 5 5 52 52 = + 5 5 104 = 5 104 Damit beträgt der Flächeninhalt 5 Flächeneinheiten. 32 5.3 Längenberechnung Algorithmus: Längenberechnung eines Graphen Gegeben sind eine Funktion f ∈ C [ a, b] und die Punkte a, b. Die Länge Lba des Graphen der Funktion f ist dann gegeben mit Z bq Lba ( f ) = 1 + ( f 0 ( x ))2 dx a 5.4 Mantelflächenberechnung Algorithmus: Mantelflächenberechnung Gegeben sind eine Funktion f ∈ C [ a, b] und die Punkte a, b. Die Mantelfläche Mab des Rotationskörpers der Funktion f ist dann gegeben mit Z b q Mab ( f ) = 2π · f ( x ) · 1 + ( f 0 ( x ))2 dx a 5.5 Rotationsvolumenberechnung Algorithmus: Rotationsvolumenberechnung Gegeben sind eine Funktion f ∈ C [ a, b] und die Punkte a, b. Das Volumen Mab des Rotationskörpers der Funktion f ist dann gegeben mit Z b Vab ( f ) = π · f ( x )2 dx a 5.6 Differentiation von Integralen mit variablen Grenzen Algorithmus: Differentiation von Integralen mit variablen Grenzen Gegeben sei das Integral Z h( x ) f (t) dt. g( x ) Dann gilt: Z h( x ) 0 f (t) dt = f (h( x )) · h0 ( x ) − f ( g( x )) · g0 ( x ). g( x ) 33 5.7 Parameterintegrale Definition: Parameterintegral Sei f ( x, t) eine von zwei rellen Parametern abhängige Funktion. Die Funktionen g1 ( x ) und g2 ( x ) seien stetig auf [ a, b] und differenzierbar auf ( a, b) sowie f ( x, t) integrierbar bez. t. Dann heißt Z g2 ( x ) F(x) = f ( x, t) dt g1 ( x ) das Parameterintegral. Beispiel: Parameterintegral  Z x     1 t+1 de L’Hospital 1 x+1 0+1 lim · 2 dt = lim · ·1− ·0 x →∞ x 0 t +2 x →∞ 1 x2 + 2 0+2   x+1 = lim x →∞ x2 + 2 =0 Definition: Leibniz-Regel R g2 ( x ) Das Parameterintegral F ( x ) = g1 ( x ) f ( x, t) dt ist differenzierbar und es ist Z g2 ( x ) d f ( x, t) F 0 ( x ) = f ( x, g2 ( x )) · g20 ( x ) − f ( x, g1 ( x )) · g10 ( x ) + dt g1 ( x ) dx Beispiel: Leibniz-Regel Z x2 1 F(x) = · ln(1 + x · t) dt ( x > 0) t= x t Z x2 dF 1 = · ln(1 + x · t) dt dx t= x t   Z x2 1 1 1 1 = · ln(1 + x · x2 ) · 2x − · ln(1 + x · x ) · 1 + ·t· dt x2 x t= x t 1 + x·t  2 2 ln(1 + x3 ) ln(1 + x2 ) ln(1 + x · t) x  = − + x x x t= x 2 ln(1 + x3 ) ln(1 + x2 ) ln(1 + x · x2 ) ln(1 + x · x ) = − + − x x x x 3 ln(1 + x3 ) − 2 ln(1 + x2 ) = x 34 5.8 Uneigentliche Integrale Definition: Uneigentliche Integrale Sei f ( x ) beschränkt auf R, dann definieren wir Z ∞ Z R f ( x ) dx := lim f ( x ) dx a R→∞ a Z b Z b f ( x ) dx := lim f ( x ) dx −∞ R→∞ − R Z ∞ Z R Z c f ( x ) dx := lim f ( x ) dx + lim f ( x ) dx −∞ R→∞ c R→∞ R Definition: Konvergenz von Integralen Die Integrale heißen konvergent, wenn die Grenzwerte existieren, sonst heißen sie divergent. 5.9 Absolute Konvergenz Definition: Absolute Konvergenz von Integralen Rb Sei a f ( x ) dx ein eigentliches oder uneigentliches Integral. Konvergiert Z b | f ( x )| dx, a Rb so heißt a f ( x ) dx absolut konvergent. 5.10 Weitere Konvergenzkriterien Definition: Majoranten- und Minorantenkriterium für unbeschränkte Integrationsintervalle R∞ R∞ Sei ∀ x ∈ [ a, ∞) : 0 ≤ | f ( x )| ≤ g( x ) und konvergiert a g( x ), dann konvergiert a f ( x ) dx und es gilt Z ∞ Z ∞ Z ∞ f ( x ) dx ≤ | f ( x )| dx ≤ g( x ) dx. a a a R∞ R∞ Ist ∀ x ∈ [ a, ∞) : 0 ≤ g( x ) ≤ f ( x ) und divergiert a g( x ) dx, so divergiert auch a f ( x ) dx. Definition: Majoranten- und Minorantenkriterium für unbeschränkte Integranden Rb Rb Sei ∀ x ∈ [ a, b] : 0 ≤ | f ( x )| ≤ g( x ) und konvergiert a g( x ), dann konvergiert a f ( x ) dx und es gilt Z ∞ Z b Z b f ( x ) dx ≤ | f ( x )| dx ≤ g( x ) dx. a a a Rb Rb Ist ∀ x ∈ [ a, b] : 0 ≤ g( x ) ≤ f ( x ) und divergiert a g( x ) dx, so divergiert auch a f ( x ) dx. 35 5.11 Das Integralkriterium zur Konvergenz von Reihen Definition: Integralkriterium Sei f eine auf [m − 1, ∞] monoton fallende Funktion mit ∀ x ∈ [m, ∞) : f ( x ) ≥ 0, dann ist die Reihe ∞ ∑ f (n) n=m genau dann konvergent, wenn Z ∞ f ( x ) dx m existiert. Es gilt bei Konvergenz ∞ Z ∞ ∞ Z ∞ ∑ f (n) ≤ m f ( x ) dx ≤ ∑ f (n) ≤ m −1 f ( x ) dx. n = m +1 n=m Beispiel: Integralkriterium ∞ ∞ 1 ∑ 3 n ∑ f (n) √ = n =1 n =1 f (n) ist offensichtlich auf dem Intervall [1, ∞) streng monoton fallend. R∞ Damit muss nur geprüft werden, dass das Integral n=1 f (n) dn existiert bzw. konvergiert: Z ∞ Z ∞ 1 f (n) dn = √ 3 dn n =1 n =1 n " 2 #b 3n 3 = lim b→∞ 2 n =1 2 ! 3b3 3 = lim − b→∞ 2 2 =∞ Damit divergiert das Integral und die gegebene Summe divergiert ebenfalls. 36 Index e-δ-Kriterium, 18 Hebbare Lücke, 20 e-Umgebung von K in R, 10 Hornerschema, 4 pq-Formel, 4 Häufungspunkt (Folgen), 10 Häufungspunkt (Mengen), 10 Abgeschlossenheit, 10 Ableitung der Umkehrfunktion, 25 Infimum, Minimum, 9 Absolute Konvergenz, 13 Injektivität, 3 Absolute Konvergenz von Integralen, 35 Innerer Punkt, 10 Abspalten von Linearfaktoren, 3 Integralkriterium, 36 Beispiel: Fläche zwischen drei Funktionen, 31 Integration durch Substitution, 31 Berechnen einer Lösungsmenge bei Ungleichungen, 6 Kartesische Koordinaten → Polarkoordinaten, Berechnung der Fläche zwischen zwei 7 Funktionen, 31 Kettenregel, 25 Beschränktheit, 9 Kombinatorische Formel für Besonderheiten bei x ∈ C, 4 Binomialkoeffizient, 8 Besonderheiten in C, 5 Konvergenz / Divergenz, 11 Beweisen der Bijektivität, 3 Konvergenz durch Nullfolge, 13 Beweisen der Injektivität, 3 Konvergenz monotoner Folgen, 12 Beweisen der Surjektivität, 3 Konvergenz von Funktionen, 17 Bijektivität, 3 Konvergenz von Integralen, 35 Binomialkoeffizient, 8 Konvergenz von Potenzreihen Bolzano-Weierstrass für Folgen, 11 (Entwicklungspunkt x0 = 0), 15 Bolzano-Weierstrass für Mengen, 10 Konvergenz von Potenzreihen (Entwicklungspunkt x0 6= 0), 15 Cauchy-Kondensatioskriterium, 13 Konvergenzradius, 16 Cauchy-Konvergenz, 12 Krümmung, 27 Cauchy-Reihe, 12 Leibniz-Regel, 34 Der binomische Lehrsatz, 9 Leibnizkriterium, 14 Differentiation von Integralen mit variablen Lipschitz-Stetigkeit, 21 Grenzen, 33 Lokale Extrema, 26 Elementare Ableitungsfunktionen, 25 Längenberechnung eines Graphen, 33 Eulersche Zahl, 12 Exponentialfunktion, 16 Majoranten- und Minorantenkriterium für unbeschränkte Integranden, 35 Faktorisierung, 3 Majoranten- und Minorantenkriterium für Faktorregel, 25, 30 unbeschränkte Integrationsintervalle, Fixpunktsatz, 22 35 Fläche einer Funktion, 30 Majorantenkriterium, 13 Mantelflächenberechnung, 33 Gebrochen rationale Funktionen, 4 Minorantenkriterium, 13 Gleichmäßige Stetigkeit, 20 Mittelwertsatz, 26 Grenzwert / Limes, 11 Mitternachtsformel, 4 Hauptsatz der Differential- und Monotonie, 10 Integralrechnung, 30 Monotonie für Funktionen, 27 37 Parameterintegral, 34 Schranken, 9 Partialbruchzerlegung, 5 Spezielle Potenzreihen, 16 Partielle Integration, 30 Stammfunktion, 30 Polarkoordinaten → Kartesische Koordinaten, Stetigkeit, 17 7 Stetigkeit / Differenzierbarkeit von Polynom, 3 Potenzreihen, 26 Polynomdivision, 4 Stetigkeit auf Intervallen, 20 Potenzregel, 30 Stetigkeit von Funktionen, 17 Potenzreihe, 15 Summenregel, 25, 30 Produktregel, 25 Supremum, Maximum, 9 Surjektivität, 3 Quotientenkriterium, 14 Quotientenregel, 25 Tangentengleichung, 24 Taylorreihe, 28 Radizieren von komplexen Zahlen, 7 Teleskopsumme, 13 Rechenregeln für Grenzwerte, 11 Tipps und Tricks, 5, 6 Rechenregeln für komplexe Zahlen in kartesischen Koordinaten, 6 Unbestimmtes Integral, 30 Rechenregeln für komplexe Zahlen in Uneigentliche Integrale, 35 Polarkoordinaten, 6 Unendliche Reihe, 12 Rechenregeln für Summen, 8 Unstetigkeit, 20 Rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert, 17 Vollständigkeitsaxiom, 9 Regeln von de L’Hospital, 27 Rekursionsformel für Binomialkoeffizient, 8 Wendepunkt, 27 Rotationsvolumenberechnung, 33 Wichtige Grenzwerte, 12 Wichtige Summen, 8 Sandwich-Lemma für Funktionen, 19 Wurzelkriterium, 14 Sandwich-Lemma oder Einschnürungssatz, 11 Satz von Rolle, 26 Zwischenwertsatz, 22 38 Beispiele e-δ-Kriterium, 18 Majorantenkriterium, 13 Cauchy-Kondensatioskriterium, 14 Parameterintegral, 34 Potenzreihe um Entwicklungspunkt Fixpunktberechnung (Teil 1), 22 bestimmen, 16 Fixpunktberechnung (Teil 2), 23 Quotientenkriterium, 14 Integralkriterium, 36 Taylorreihe, 28 Leibniz-Regel, 34 Teleskopsumme, 13 Leibnizkriterium, 15 Lipschitz-Stetigkeit, 21 Wurzelkriterium, 14 39