Tema 0: Modelos Probabilísticos de Distribución de Datos (PDF)

Tema 0 Modelos probabilísticos de distribución de datos más utilizados en psicología. Contenidos 1. Distribuciones de probabilidad discretas 1.1. El proceso de Bernouilli y la distribución binomial. 1.2. El proceso y la distribución de Poisson. 2. Distribuciones de probabilidad continuas 2.1. La d...

Tema 0 Modelos probabilísticos de distribución de datos más utilizados en psicología. Contenidos 1. Distribuciones de probabilidad discretas 1.1. El proceso de Bernouilli y la distribución binomial. 1.2. El proceso y la distribución de Poisson. 2. Distribuciones de probabilidad continuas 2.1. La distribución normal. 2.2. La distribución chi-cuadrado de Pearson 2.3. La distribución t de Student 2.4. La distribución F de Snedecor o de Fisher Conceptos importantes • Experimento aleatorio: Experiencia que se puede repetir infinidad de veces en las mismas condiciones y tiene resultados (sucesos) bien definidos en un espacio muestral • Variable aleatoria: Atribución de números a cada suceso resultado del experimento aleatorio. Cada uno de los valores tiene una probabilidad asignada • Función de probabilidad: función matemática que relaciona cada suceso con su probabilidad P(x  xi ) • Función distribución: función matemática que relaciona los sucesos acumulados con su probabilidad P(x  x ) i • Serán discretas o continuas dependiendo de los valores que pueda tomar la variable • En esta asignatura será importante conocer la distribución de probabilidad de determinados estadísticos DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS El proceso de Bernoulli Y La distribución Binomial El proceso de Bernouilli Experimento aleatorio en el que se dan las siguientes condiciones: Sólo existen dos posibles resultados, que son sucesos mutuamente excluyentes. A uno de los sucesos se le considerará como éxito y al otro como fracaso. - Cada uno de estos sucesos tendrá una probabilidad asociada p para el éxito y q =(1- p) para el fracaso. Estas probabilidades permanecen constantes independientemente del número de experimentos o ensayos que se realicen. - El resultado obtenido en cada ensayo es independiente de lo sucedido en el ensayo anterior. Por tanto, se trata de un proceso estable y sin memoria La distribución binomial Se construye a partir de la repetición del experimento de Bernoulli Repetimos el experimento N veces para una determinada p(éxito) 40 50 30 35 25 45 30 Porcentaje Porcentaje 35 30 25 20 20 25 Porcentaje 40 20 15 15 10 15 10 10 5 5 5 0 0 0 1 2 3 4 5 0 0 6 Binomial: N=10; p=0,1 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 Binomial: N=10; p=0,3 Binomial:N=10; p=0,2 30 30 25 25 20 Porcentaje Porcentaje 20 15 10 15 10 5 5 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Binomial: N=10; p=0,4 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Binomial: N=10; p=0,5 Representaciones gráficas de la distribución binomial, para N = 10 y diferentes probabilidades; desde 0,1 a 0,5 8 El proceso y la distribución de Poisson DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS La distribución Normal Propiedades de la distribución normal N(,) Es simétrica respecto a su media.  Tiene dos puntos de inflexión a una desviación típica a derecha a izquierda de la media. Tiene un máximo en su punto medio. Es asintótica al eje de abcisas El área total bajo la curva es igual a la unidad. La distribución normal La distribución normal es diferente para cada posible par de valores de media y varianza. De hecho lo que existe es una familia de distribuciones, que dependerá de los parámetros que definen a la distribución, y que genéricamente se simboliza como N(,). Distribuciones con distinta media e igual variabilidad La distribución normal Si trabajamos en puntuaciones típicas tendremos siempre una distribución normal de media cero y desviación típica 1 que suele notarse como N(0,1) y se suele denominar curva estándar o típica N(100,15) Puntuaciones típicas y curva normal Transformación de escala z X   x Z -3 -2 -1 0 1 2 3 X 55 70 85 100 115 130 145 N(0,1) En esta imagen α = media β = Desv Típica A partir de la curva N(0,1) podemos saber el número de casos acumulados desde una puntuación concreta N(200,70) 50% Proporción de casos acumulados hasta la media, correspondiente a la Z = 0 (50%) N(200,70) 93,32% 305 Z = 1,5 Proporción acumulada hasta la puntuación 305, correspondiente a la Z = 1,5 (93,32%) La distribución Chi‐cuadrado Una variable que es el resultado de la suma de los cuadrados de n variables normales tipificadas N(0,1) e independientes sigue una distribución Chi‐cuadrado (2) con n grados de libertad. Su expresión es: χ  z z z ...z 2 n 2 1 2 2 2 3 2 n f(x) f(x) Chi-cuadrado con 5 g.l. f(x) f(x) Chi-cuadrado con 1 g.l. Evolución de la distribución chi‐ cuadrado a medida que aumenta el nº de grados de libertad. Se observa que con 100 grados de libertad la distribución se aproxima a la normal Chi-cuadrado con 20 g.l. f(x) f(x) Chi-cuadrado con 15 g.l. Chi-cuadrado con 30 g.l. Chi-cuadrado con 100 g.l. La distribución t de Student Cuando una variable se genera como el cociente entre una variable normal tipificada z y la raíz cuadrada del cociente entre una variable 2 con n grados de libertad y ese número de grados de libertad. Su expresión es: t  z χ n2 n f(x) 5 5 5 5 5 5 f(x) 7 6, 7 5, 7 4, 7 3, 7 2, 7 1, 5 5 5 5 5 5 5 ,7 5 -,2 5 ,2 -1 ,2 -2 ,2 -3 ,2 -4 ,2 -5 ,2 -6 ,2 -7 t 10 g.l. t 5 g.l. 40 3, 00 3, 60 2, 20 2, 80 1, 40 1, 00 1, 0 ,6 0 ,2 0 -,2 0 -,6 0 ,0 -1 0 ,4 -1 0 ,8 -1 0 ,2 -2 0 ,6 -2 0 ,0 -3 0 ,4 -3 35 4, 5 0 4, 5 7 3, 5 4 3, 5 1 3, 5 8 2, 5 5 2, 25 2, 5 9 1, 5 6 1,35 1, 5 0 1, 5 ,7 5 ,4 5 ,1 5 -,15 -,45 -,705 , -1,35 -1 65 , -1 95 , -1,25 -2 55 , -2,85 -2 15 , -3,45 -3 75 , -3 05 , -4,35 -4 t 40 g.l. t 25 g.l. 5,8 3,8 6,8 4,8 2,8 ,8 -1,3 1,8 -,3 -2,3 -4,3 -6,3 -3,3 -5,3 -7,3 Evolución de la Distribución t hacia la Normal f(x) f(x) La distribución F de Snedecor Una variable que se define como el cociente entre una variable n2 partido por sus grados de libertad y una variable m2 partido por sus grados de libertad, seguirá una distribución F. Su expresión es: χ 2n Fn,m  χ 2 m n m f(x) f(x) F con 25 y 25 g.l. F con 5 y 5 g.l. f(x) f(x) Evolución de la distribución F hacia la normal F con 50 y 50 g.l. F con 500 y 500 g.l. La distribución F de Snedecor Tablas de probabilidad de la Distribución F: Área a la izquierda de un determinado valor de F P(F≤fv1,v2) = 0,95