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1 UAA 2 : Les suites A. Introduction La figure 1.1 montre un morceau du pavement de la Cathédrale de Sienne. Le motif qui occupe le centre est constitué d’un carré contenant un deuxième carré qui en contient un troisième, lequel en contient lui-même un quatrième. La suite s’arrête là, mais on peu...

1 UAA 2 : Les suites A. Introduction La figure 1.1 montre un morceau du pavement de la Cathédrale de Sienne. Le motif qui occupe le centre est constitué d’un carré contenant un deuxième carré qui en contient un troisième, lequel en contient lui-même un quatrième. La suite s’arrête là, mais on peut la prolonger sans peine comme le montre la figure 1.2. Bien entendu, on est vite arrêté car les carrés deviennent si petits qu’ils se fondent dans le trait du crayon. Mais qu’est-ce qui empêche de continuer en imagination toujours et encore ? L’univers familier nous montre sans cesse des phénomènes qui se répètent selon une loi à chaque coup : la succession des jours, des années, les marées, les battements d’un cœur, la croissance annuelle d’un arbre, les rebonds d’une balle, les versements d’un intérêt sur un capital,… Certains de ces phénomènes ne se produisent pas tels quels indéfiniment. Ainsi, si un jeune bouleau croît de 10% chaque année, il ne maintiendra pas ce rythme. Par contre, d’autres phénomènes semblent vouloir se répéter sans cesse : par exemple, l’énumération des nombres naturels : 1, 2, 3, 4, 5, …, 1 000 000, 1 000 001, … Dans ce chapitre, nous étudions des phénomènes répétitifs de ce genre, qui attirent l’esprit vers l’infiniment grand ou vers l’infiniment petit. Ils occupent une place importante en mathématiques, sous le nom de suites. UAA 2 : suites  2 B. Comment définir une suite ? Activités 1) Transmission d’un message codé Considérons des suites de signaux électriques qui expriment des messages. Ces suites sont composées à partir de deux signaux de base : l’un dure une milliseconde et l’autre dure deux millisecondes. Représentons-les respectivement par un point (.) et par un trait (-). Si n représente un nombre entier de millisecondes, combien de messages différents peut-on transmettre durant ce temps n ? Complète le tableau suivant : Nombre de millisecondes Messages différents Nombre de messages 1 F1 = 2 F2 = 3 F3 = 4 F4 = 5 F5 = n Fn = UAA 2 : suites  3 L’expression Fn que nous avons obtenue ne nous permet pas d’accéder directement au nombre de messages qui correspondent à n secondes. Nous ne pouvons calculer ce nombre que de proche en proche. Une telle formule est appelée formule de récurrence. Elle permet de calculer tous les éléments de la suite dès qu’on connaît les deux premiers : F1 et F2 donnent F3 ; F2 et F3 donnent F4 et ainsi de suite. Remarquons que le nombre de messages croît plus rapidement que n. Une suite comme Fn, dont chaque terme s’obtient en additionnant les deux précédents s’appelle la suite de Fibonacci. 2) Plier quelques fois un papier On plie une feuille de papier de 0,1 mm d’épaisseur en deux, puis en quatre, puis en huit et ainsi soixante fois. Serait-il possible d’atteindre ainsi une épaisseur qui dépasse 2m, 20m, 1km, la distance terre-soleil (149 597 910 km) ? Complète le tableau : Nombre de pliages Epaisseur (en mm) 0 0,1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 20 60 n UAA 2 : suites  4 Conclusion : Notons u1 = 0,1 u2 = 0,2 u3 = 0,4 …. les termes de cette suite Le nième terme de la suite sera donc un.En d’autres mots, un occupe la nième place ou le nième rang. Définis cette suite par une formule de récurrence : Trouve une formule pour un. Cette formule qui donne le nième terme de la suite s’appelle le terme général de la suite. Les termes de cette suite peuvent dépasser n’importe quel nombre aussi grand soit- il. Nous convenons de traduire ce phénomène par l’expression : la suite 0,1. 2n-1 tend vers l’infini et nous utiliserons la notation : lim 0,1. 2 n −1 = + n → + Synthèse : On rencontre des suites de nombres, lorsqu’on décrit un processus (numérique, géométrique,…) qui se déroule par étapes. A chaque étape, on associe un nombre. Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels. C’est une fonction de N ou N0 dans R qui, à chaque numéro de place, fait correspondre le nombre réel situé à cette place. Les éléments d’une suite s’appellent les termes de la suite La suite peut être définie par récurrence : on donne le ou les premiers termes puis une formule qui permet de trouver le nième terme à partir des précédents. La suite peut être définie par son terme général c’est-à-dire une formule qui donne le nième terme. Une suite est croissante lorsque chaque terme est plus grand ou égal au précédent. Une suite est strictement croissante lorsque chaque terme est strictement plus grand que les précédents. Une suite est décroissante lorsque chaque terme est plus petit ou égal au précédent. Une suite est strictement décroissante lorsque chaque terme est strictement plus petit que les précédents. UAA 2 : suites  5 Remarque : les suites des deux activités sont des suites strictement croissantes. Exercices 1. Pour chaque suite, calcule les cinq premiers termes. Indique si les suites sont croissantes, décroissantes ou ni l’une ni l’autre −n u =3 a)un = 2 + 1 b) { 1 un = 2. un−1 − 1 𝑢1 = 5 c) un =2n² d) { 𝑢𝑛 = 1 − 3. 𝑢𝑛−1 e) un = (-2)n C. Suites arithmétiques Activités 1) La suite des nombres naturels impairs est une suite arithmétique car pour passer de chaque terme au suivant, il suffit d’ajouter un même nombre appelé la raison (ici, r = 2) 1 3 5 7 9 11 13 … Peux-tu trouver le 15ème terme ? 2) Peut-on calculer plus vite qu’une calculatrice la somme des nombres naturels de 1 à 1000 ? UAA 2 : suites  6 3) Peux-tu trouver une formule pour calculer la somme des n premiers nombres naturels consécutifs ? Définition Une suite est arithmétique si pour passer de chaque terme au suivant, on ajoute toujours un même nombre appelé la raison (notée r) un = un-1 + r Formules Le terme général s’obtient par la formule un = u1 + (n-1).r n La somme des n premiers termes consécutifs de la suite u1 + u2 +….+ un =  u i i =1 notée Sn est donnée par la formule S n = (u1 + u n ) n 2 Démonstrations 1) u2 = u1 + r définition d’une suite arithmétique u3 = u2 + r = (u1 + r) + r = u1 + 2r u4 = u3 + r = (u1 +2r) + r = u1 + 3r ……. 2) Sn = u1 + u2 + u3 + ……….. + un-1 + un Sn = un + un-1 + un-3 + ……….. + u2 + u1 ------------------------------------------------ 2.Sn = (u1 + un) + (u2 + un-1) + (u3 + un-2) + ……….+ (un-1 + u2 ) + (un + u1) 2. Sn = (u1 + un) + (u1+ r + un - r) + (u1 + 2r + un – 2r) + ….+ (un -r + u1 + r ) + (un + u1) 2. Sn = (u1 + un) + (u1 + un ) + (u1 + un ) + …………………+ (un + u1 ) + (un + u1) 2. Sn = n. (u1 + un) Donc S n = n (u1 + u n ) CQFD 2 UAA 2 : suites  7 Exercices 2. Détermine les cinq premiers termes d’une suite arithmétique dont le premier terme est 3 et le quatrième est 17. 3. Détermine le réel x pour que les trois réels 2x-1, x+2 et 1-3x soient trois nombres consécutifs d’une suite arithmétique. 4. On considère la suite arithmétique telle que u4 = 5 et u10 = 53 a) détermine la raison de cette suite ; b) détermine u1 ; c) détermine un ; d) détermine le rang occupé par 165 dans cette suite ; e) calcule la somme des 10 premiers termes de cette suite ; f) calcule u11 + u12 + u13 +... + u 32. 5. Calcule le rang (ou la place) du nombre 46,9 dans la suite arithmétique de premier terme u1 = 7 et de raison = 1,9. 6. Calcule le nombre de termes d’une suite arithmétique de premier terme 17, de raison 3 et dont la somme des termes est égale à 1150. 7. Un charpentier désire construire une échelle avec 9 échelons dont la longueur décroît uniformément de 48 cm à la base jusqu’à 36 cm au sommet. a) Détermine la longueur des 7 échelons intermédiaires. b) Détermine la longueur totale de bois nécessaire pour fabriquer les 9 échelons. 8. Dans une grande surface, le préposé a empilé des boîtes de conserves identiques de la manière suivante : a) Combien y a-t-il de boîtes dans la douzième rangée ? La première rangée est la rangée supérieure) b) Combien y a-t-il de boîtes au total dans les douze rangées supérieures ? c) Avec 800 boîtes, peut-on réaliser un tel échafaudage en utilisant toutes les boîtes et en ayant des rangées complètes ? 9. Vrai ou faux ? Justifie. a) Dans une suite arithmétique, u12 est toujours le double de u6 b) Dans une suite arithmétique, un est la demi-somme de un-1 et un+1 c) Une suite arithmétique est toujours croissante UAA 2 : suites  8 10. Représente dans un repère les six premiers termes des suites arithmétiques suivantes : a) le premier terme est 1 et la raison est 1,2 b) le premier terme est 10 et la raison est - 1,5 D. Suites géométriques Activités 1) La suite des puissances naturelles de 2 est une suite géométrique car pour passer de chaque terme au suivant, il suffit de multiplier par un même nombre (ici, on multiplie par 2) 1 2 4 8 16 32 …. Peux-tu calculer le terme général de cette suite puis trouve le nombre qui occupe la 15ème place ? 2) A partir d’un carré de 10cm de côté, construis le carré dont les sommets sont les milieux du carré donné. A l’intérieur de ce carré, on recommence le même procédé (voir figure page 1).On appelle a1 l’aire du premier carré, a2 l’aire du deuxième carré,…. Prouve qu’il s’agit d’une suite géométrique dont tu recherches le premier terme et la raison. Trouve le terme général de cette suite UAA 2 : suites  9 3) A l’intérieur d’un carré dont la diagonale mesure 2 unités, on construit une ligne brisée de la manière indiquée par la figure 1.3. Le premier segment joint A au milieu de [O,B], le deuxième va jusqu’au quart de [O,C] (le quart étant compté à partir de O) ; le troisième va jusqu’au huitième de [O,D] et ainsi de suite. On obtient une sorte de spirale. a) Quelle est la longueur du premier segment ? b) Quelle est la longueur des deuxième, troisième,…nième segments ? c) De quel type de suite s’agit-il ? d) Calcule la longueur totale des n premiers segments : Sn = Recherchons une expression compacte pour Sn 1 ( indication : calcule S n puis soustrais-la de Sn ) 2 e) Recherche la longueur de cette spirale quand n devient de plus en plus grand et tend vers l’infini puis complète : lim S n = n → + UAA 2 : suites  10 Définition Une suite est géométrique si pour passer de chaque terme au suivant, on multiplie toujours par un même nombre appelé la raison (notée q) un = un-1. q Formules Le terme général s’obtient par la formule un = u1.qn-1 n La somme des n premiers termes consécutifs de la suite u1 + u2 +….+ un =  u i i =1 1− q n notée Sn est donnée par la formule S n = u1. 1− q Démonstrations 1) u2 = u1. q définition d’une suite géométrique u3 = u2. q = (u1. q).q = u1.q² u4 = u3. q = (u1. q²).q = u1.q³ …. 2) Sn = u1 + u2 + u3 + …………………+un-1 + un q. Sn = q.u1 + q.u2 + q.u3 + …………………+ q.un-1 + q.un Or, par la définition d’une suite géométrique, ui = q.ui-1 Donc q. Sn = u2 + u3 + u4 + …………………+ un + q.un Sn – q.Sn = (u1 + u2 + u3 + ………+un-1 + un) – (u2 + u3 + u4 + ……… + un + q.un) Donc Sn.(1-q) = u1 – q.un Or un = u1. qn-1 u1 − q.(u1.q n −1 ) u1 − u1.q n 1− qn Donc Sn = = = u1. CQFD 1− q 1− q 1− q Exercices 11. Détermine les cinq premiers termes d’une suite géométrique dont le premier terme est 1 et le septième est 64. 12. Détermine le réel x pour que les trois réels 3, x+3 et 4x soient trois nombres consécutifs d’une suite géométrique. 13. On considère la suite géométrique telle que u5 = 1 et u8 = 8 a) calcule la raison ; b) calcule u1 ; c) calcule un ; d) calcule u 3 + u 4 +... + u 9. UAA 2 : suites  11 14. Une balle est lâchée d’une hauteur de 2 m. A chaque fois qu’elle touche le sol, elle rebondit jusqu’à 75% de sa hauteur précédente. a) Quelle hauteur atteint la balle après le troisième rebond ? b) Quelle hauteur atteint la balle après le nième rebond ? c) Combien de fois la balle doit-elle rebondir avant que la hauteur soit inférieure à 15 cm ? d) Quelle est la distance parcourue par la balle quand elle s’arrête au sol ? 15. Insérer cinq termes entre 2 et 31250 pour obtenir sept termes consécutifs d’une suite géométrique. 16. Représente dans un repère les six premiers termes des suites géométriques suivantes : a) le premier terme est 2 et la raison est 1,2 b) le premier terme est 8 et la raison est 0,5 17. Calcule la raison et le premier terme d’une suite géométrique sachant que u7 + u11 = 6 et u10 + u14 =48 18. Calcule en utilisant des formules sur les suites 15 a ) S = 1 + 3 + 5 + 7 +... + 37 b)  (i + 2) i =4 15 c)  2i i =1 d ) 3 4 + 35 + 3 6 +... + 315 19. Discute les propositions suivantes. Vois, pour chacune d’elle, si elle est vraie ou fausse et pourquoi. 1 1 1 1 a) La suite , , , ,... est une suite géométrique. 2 3 4 5 b) On peut prolonger la suite 6, 18, 54, … pour qu’elle soit une suite géométrique. c) Si on élève au carré tous les termes d’une suite géométrique, on a encore une suite géométrique. d) Si on divise par un même nombre non nul tous les termes d’une suite arithmétique, on a encore une suite arithmétique. e) Un jour, il y avait un nénuphar sur un étang. Le lendemain, il y en avait deux, et de même chaque jour qui passait, la surface couverte de nénuphars doublait. Au bout de 30 jours, l’étang a été recouvert. Je suis passée par là le quinzième jour et l’étang était à moitié recouvert. 20. Détermine la (ou les) valeur(s) de x pour que les trois réels x² ; 2x² - 2 ; 2x – 3 soient trois termes consécutifs d’une suite arithmétique. 21. Détermine la (ou les) valeur(s) de x pour que les trois réels 2x + 3 ; 5x - 4 ; 10x - 8 soient trois termes consécutifs d’une suite géométrique. UAA 2 : suites  12 E. Intérêts simples a) activités Afin d’organiser au mieux le voyage d’un groupe scolaire, l’organisateur a reçu des participants un acompte total de 5 000 €. Le voyage n’étant prévu que dans plusieurs mois, il se renseigne auprès de sa banque afin de placer à court terme cet argent. Le banquier lui propose de le placer à intérêt simple, au taux mensuel de 0,12% ; l’intérêt restera inchangé chaque mois. a) Calcule l’intérêt perçu 1) durant le premier mois de placement ; 2) durant le deuxième mois de placement ; 3) durant le douzième mois de placement ; 4) après douze mois. b) Calcule le montant disponible 1) après 1 mois ; 2) après 2 mois ; 3) après 12 mois. c) On note C0 le capital placé, i le taux d’intérêt par période et I l’intérêt perçu après n périodes. 1) Ecris la formule permettant de calculer I. 2) Ecris la formule permettant de calculer la valeur acquise Cn , c’est-à-dire le montant total disponible après n périodes. 3) C0 ; C1 ; C2 ; … ; Cn forment une suite de quel type et quelle est la raison de cette suite ? UAA 2 : suites  13 Synthèse : Comment utiliser les suites arithmétiques dans le cas d’un placement à intérêt simple ? Un capital C0, placé à intérêt simple au taux périodique i pendant n périodes, produit un intérêt I = C0. i. n La valeur acquise par un capital C0 placé à intérêt simple au taux i pendant une durée n, est désignée par Cn ; sa valeur est donnée par Cn = C0 + I = C0 + C0. i.n = C0. (1 + i. n) Exercices Pour les exercices 22 à 27, il s’agit de placement à intérêts simples 22. Détermine la valeur acquise par un capital de 8 600 € placé au taux annuel de 3% a) durant une période de 5 ans ; b) durant une période de 15 mois. 23. Un étudiant souhaite placer un montant de 1 200 € durant 4 mois afin de partir aux sports d’hiver. Parmi les 3 placements proposés ci-dessous, détermine lequel est le plus avantageux. Justifie. A : iannuel = 1,8 % B : imensuel = 0,16 % C : itrimestriel = 0,42 % 24. Calcule le capital qu’il faut placer durant 5 mois au taux mensuel de 0,25 % pour obtenir a) un intérêt de 20 € ; b) une valeur acquise de 9 720 €. 25. Une banque a comptabilisé 1,40 € d’intérêt à un client qui avait un solde débiteur de 330 € sur son compte à vue durant 12 jours. Calcule à 0,1 % près, le taux d’intérêt annuel appliqué. 26. Détermine le nombre entier de mois durant lesquels il faut placer un capital de 3 000 € au taux mensuel de 0,3 % pour percevoir au moins 40 € d’intérêt. 27. Un entrepreneur a ouvert un compte en banque en cours d’année et y a déposé un montant de 12 000 €. Le 31 décembre de la même année, l’intérêt lui est versé. En consultant en ligne l’état de son compte, il remarque qu’il dispose désormais de 12 025,25 €. Si le taux annuel d’intérêt est de 1,2 %, détermine la date d’ouverture de son compte. Indication : le jour du placement n’est pas comptabilisé mais le jour où on reprend l’argent est comptabilisé. UAA 2 : suites  14 F. Intérêts composés Activité Dans un placement à intérêts composés, l’intérêt s’ajoute au capital en fin de période de placement et, à la période suivante, l’intérêt est calculé sur le capital ainsi augmenté. Un couple envisage d’acheter un logement dans quelques années. Il dispose aujourd’hui d’un capital de 50 000 € ( notéC0 ) et décide de le placer pendant 5 ans. La banque lui propose un placement à intérêt composé au taux annuel de 3,5 %. a) Calcule C1, la valeur acquise par ce capital après 1 an. b) Calcule C2 et C3 et déduis-en une formule qui permet de calculer Cn en fonction de C0, de i et du nombre d’années de placement n. c) Détermine le montant dont le couple disposera après 5 ans. d) C0 ; C1 ; C2 ; … ; Cn forment une suite de quel type et quelle est la raison de cette suite ? Synthèse : Comment utiliser les suites géométriques dans le cas d’un placement à intérêt composé ? La valeur acquise par un capital C0, placé à intérêt composé au taux périodique i, après n périodes est désignée par Cn ; sa valeur est donnée par Cn = C0. (1 + i) n Exercices 28. On place 100 000 € à intérêts composés au taux annuel de 1,9%. Quelle somme possèdera-t-on après 1 an, 2 ans, 10 ans ? 29. Pour faire face aux études de ses enfants, un père de famille souhaite disposer d’un capital de 20000 € dans 15 ans. Quel montant doit-il placer aujourd’hui à intérêts composés au taux annuel de 3% ? UAA 2 : suites  15 30. Il y a deux ans, François a placé 2000€ sur un compte d’épargne (placement à intérêts composés). Aujourd’hui, il se rend à la banque pour récupérer son capital. La banque lui remet 2205€. Quel était le taux annuel de placement ? 31. Je place 10000€ au taux annuel de 2% (placement à intérêts composés). Dans combien d’années ce capital sera-t-il strictement supérieur à 15000€ ? 32. Célestine veut placer 10000€ à intérêts composés. Une première banque lui propose un taux trimestriel de 1,4% et une seconde banque lui propose un taux annuel de 5,6%. Quel est le placement le plus intéressant ? 33. On désire constituer un capital de 10 000 € pour acheter une moto d’occasion. Pour ce faire, on verse des mensualités constantes à intérêts composés au taux de 0,3% par mois pendant une durée de 20 mois. Entre le 1 janvier 2020 et le 1 septembre 2021, on verse le même montant chaque 1er du mois. Détermine le montant de la mensualité. Le premier versement a été effectué le 01/01/20 et l’achat de la moto se fait le 02/09/21. 34. On verse 1000€ chaque année pendant 10 ans. La capitalisation des intérêts est annuelle au taux annuel de 2,5%. Calcule la valeur totale acquise par ces versements au moment du dernier versement. G. Actualisation et escompte Activités Pour l’aménagement de ses bureaux, une société a emprunté 5000€ à intérêts composés au taux annuel de 3,5%. Cette somme doit être remboursée par un versement au bout de 3 ans. a) Quelle somme la société devra-t-elle rembourser dans 3 ans ? b) Grâce à un contrat avec des investisseurs, la société est capable de rembourser sa dette 2 ans avant l’échéance. Combien doit-elle rembourser ? c) Calcule l’escompte c’est-à-dire le montant des intérêts que la société a épargné en payant plus tôt que prévu. UAA 2 : suites  16 Pour calculer la valeur actuelle d’une somme à percevoir (ou à verser) dans le futur, on effectue une opération d’actualisation. Aujourd’hui Dans le futur C-n actualisation C0 valeur actuelle valeur nominale La valeur actuelle C-n est la valeur du capital n périodes avant l’échéance. C-n = C0. (1 + i) -n où C0 est la valeur nominale i est le taux périodique n est la durée L’escompte est l’intérêt non payé. C’est la différence entre la valeur nominale et la valeur actuelle. Le taux i prend alors le nom de taux d’escompte. Exercices 35. Pour rembourser un emprunt, je dois verser 15657€ dans 5 ans. Au bout de 2 ans, j’ai une rentrée d’argent inopinée. Je décide de rembourser mon emprunt anticipativement. a) Combien dois-je payer si le taux d’escompte est de 1,1% ? b) Calcule l’escompte. 36. Un montant de 152000€ doit être remboursé dans 1 an. Quelle est la valeur actuelle de cette dette si le taux d’escompte est un taux trimestriel de 0,4% ? 37. Une société doit rembourser deux dettes. Une première de 7900€ dans 8 mois et une de 9500€ dans 1 an. Peut-elle rembourser ces deux dettes aujourd’hui si elle dispose d’un capital de 17000€ et si le taux d’escompte mensuel est de 0,15% ? H. Des quantités qui augmentent ou diminuent d’un certain pourcentage chaque période La formule des intérêts composés peut être adaptée dans le cas de quantités qui augmentent ou diminuent d’un certain pourcentage chaque période Exercices : 38. Une voiture neuve est achetée 22500€. On admet qu’elle perd 20% de sa valeur par an. Note u0 la valeur d’achat de la voiture, u1 la valeur de la voiture après 1 an, u2 la valeur de la voiture après 2 ans, …un la valeur de la voiture après n années a) Calcule u1 , u2 , un b) Après combien de temps la voiture aura-t-elle perdu la moitié de sa valeur ? UAA 2 : suites  17 39. En 1980, la population d’une ville est de 10000 habitants. On constate qu’elle augmente de 2% par an. a) Quelle sera la population en 2015 ? b) Si l’évolution continue de la même manière, quand sera-t-elle de 12000 habitants ? 40. En décembre 2017, un employé gagnant 2000 € mensuels demande une augmentation à son employeur. Celui-ci lui propose deux formules : * Une augmentation de 40 € par mois chaque 1er janvier à partir de 2018 (proposition n°1) * Une augmentation de 3% chaque 1er janvier à partir de 2018 (proposition n°2) a) Complète le tableau suivant : Année 2017 2018 2019 ----- Salaire mensuel ------ (proposition1) Salaire mensuel (proposition ------ 2) b) A quel type de suite correspond la proposition n°1 ? Donne le 1er terme et la raison. Quel sera son salaire mensuel en 2020 ? en 2030 ? Quelle sera la somme totale gagnée par l’employé entre le 1 janvier 2017 et le 31 décembre 2030 ? c) Réponds aux mêmes questions pour la proposition n°2. 41. Le loyer annuel d’un appartement est de 3500 euros. Il augmente de 4% tous les ans. a) Quel sera le loyer dans 5 ans ? b) Dans combien d’années le loyer dépassera-t-il 6000 euros ? c) Quelle est la somme dépensée pour une location de 10 ans ? 42. Dans un magazine scientifique, Emile lit un article sur la fonte des glaciers. L’article signale que les glaciers perdent chaque année 3% de leur volume. A la lecture de cet article, Emile en conclut que les glaciers perdent 30% de leur volume en dix ans. La déduction d’Emile est-elle correcte ? 43. Le taux de croissance de la population mondiale est actuellement de 1,75% par an. a) Sachant que la population mondiale en 1990 est P0 = 5,3 milliards, on désigne par Pn la population mondiale en l’année ( 1990+n). Détermine ce qu’était la population mondiale en l’an 2000 si le taux annuel est resté constant, puis en 2010. b) On dit que la population mondiale double tous les 40 ans actuellement ; justifie cette affirmation. UAA 2 : suites  18 I. Plan d’amortissement d’un prêt Tôt ou tard, chacun est amené à emprunter pour financer un achat plus important : maison, voiture, … Le remboursement étalé dans le temps peut se faire par des versements égaux et équidistants (par exemple, chaque mois, on rembourse le même montant) appelés annuités de remboursement. Prenons l’exemple de l’achat d’une voiture pour laquelle je dois emprunter 15000 €. Ma banque me propose un prêt au taux de 3,5% remboursable par 30 mensualités de 522,39€. Le taux est un taux annuel effectif global (noté TAEG) qui couvre le montant prêté et les frais relatifs au prêt. 1) Essayons de comprendre comment sont calculées les mensualités. a) Comme le remboursement se fait par mensualités, il faut calculer le taux mensuel équivalent au taux annuel c’est-à-dire le taux mensuel qui, pour un même placement, donne au terme d’un an, le même capital. Notons i, le taux annuel et t, le taux mensuel correspondant. Trouve le lien entre i et t : Exprime t en fonction de i : Calcule le taux t équivalent à un taux i = 3,5% b) On doit calculer la valeur de chaque mensualité au moment de l’emprunt et vérifier que le total de ces montants est de 15000€ Pour calculer la valeur d’un capital n périodes plus tard, on a la formule 𝐶𝑛 = 𝐶. (1 + 𝑡)𝑛 Pour déterminer la valeur d’un capital n périodes avant , on a la formule 𝐶−𝑛 = 𝐶. (1 + 𝑡)−𝑛 UAA 2 : suites  19 Utilisons le tableur Excel pour construire notre tableau : valeur au moment numéro de la de mensualité mensualité l'emprunt taux annuel (TAEG) 1 522,39 520,89 3,50% 2 522,39 519,40 taux mensuel 3 522,39 517,92 correspondant 4 522,39 516,43 0,29% 5 522,39 514,96 6 522,39 513,48 7 522,39 512,01 8 522,39 510,55 9 522,39 509,08 10 522,39 507,63 11 522,39 506,17 12 522,39 504,72 13 522,39 503,28 14 522,39 501,84 15 522,39 500,40 16 522,39 498,97 17 522,39 497,54 18 522,39 496,12 19 522,39 494,70 20 522,39 493,28 21 522,39 491,87 22 522,39 490,46 23 522,39 489,06 24 522,39 487,66 25 522,39 486,26 26 522,39 484,87 27 522,39 483,48 28 522,39 482,10 29 522,39 480,72 30 522,39 479,34 total 14995,19 UAA 2 : suites  20 La somme des mensualités actualisées est inférieure au montant emprunté à cause des arrondis consécutifs. En pratique, la dernière mensualité sera légèrement plus élevée pour compenser ces erreurs d’arrondi accumulées. c) La suite qui apparaît dans la troisième colonne est une suite ……………….. Donne la formule permettant de calculer la somme des mensualités : d) Cherche une formule qui permet de calculer la mensualité m en fonction du nombre n de mensualités et du taux i (TAEG) 2) Plan d’amortissement La banque va me donner un tableau d’amortissement pour le financement de ma voiture (voir tableau page suivante) Montant 15000 du prêt TAEG 3,5% Taux mensuel Durée (en 30 mois) Période Annuité Intérêt Amortissement Capital restant dû 1 2 3 …. 29 30 UAA 2 : suites  21 Utilisons Excel pour construire ce tableau. La fonction VPM permet de calculer le montant de l’annuité. capital 15000 emprunté taux TAEG 3,50% taux 0,287% mensuel durée en 30 mois période annuité Intérêts amortissement solde restant dû 1 522,56 € 43,06 479,49 € 14.520,51 € 2 522,56 € 41,69 480,87 € 14.039,63 € 3 522,56 € 40,31 482,25 € 13.557,38 € 4 522,56 € 38,92 483,64 € 13.073,75 € 5 522,56 € 37,53 485,02 € 12.588,72 € 6 522,56 € 36,14 486,42 € 12.102,31 € 7 522,56 € 34,74 487,81 € 11.614,49 € 8 522,56 € 33,34 489,21 € 11.125,28 € 9 522,56 € 31,94 490,62 € 10.634,66 € 10 522,56 € 30,53 492,03 € 10.142,63 € 11 522,56 € 29,12 493,44 € 9.649,20 € 12 522,56 € 27,70 494,86 € 9.154,34 € 13 522,56 € 26,28 496,28 € 8.658,06 € 14 522,56 € 24,86 497,70 € 8.160,36 € 15 522,56 € 23,43 499,13 € 7.661,23 € 16 522,56 € 21,99 500,56 € 7.160,67 € 17 522,56 € 20,56 502,00 € 6.658,67 € 18 522,56 € 19,12 503,44 € 6.155,23 € 19 522,56 € 17,67 504,89 € 5.650,34 € 20 522,56 € 16,22 506,34 € 5.144,00 € 21 522,56 € 14,77 507,79 € 4.636,21 € 22 522,56 € 13,31 509,25 € 4.126,97 € 23 522,56 € 11,85 510,71 € 3.616,26 € 24 522,56 € 10,38 512,18 € 3.104,08 € 25 522,56 € 8,91 513,65 € 2.590,44 € 26 522,56 € 7,44 515,12 € 2.075,31 € 27 522,56 € 5,96 516,60 € 1.558,71 € 28 522,56 € 4,47 518,08 € 1.040,63 € 29 522,56 € 2,99 519,57 € 521,06 € 30 522,56 € 1,50 521,06 € -0,00 € UAA 2 : suites  22 Exercices (un peu de tout) 44. En utilisant Excel, construis le plan d’amortissement pour un prêt de 50000€, remboursable par semestrialité constante, en 5 ans, au taux de 3% (TAEG). 45. Une suite commence par les deux termes 27 et 31. a) Continue-la sachant qu’elle est arithmétique. Quel est son dixième terme ? Et son 100ème ? Et son nième ? b) Même question dans le cas où la suite est géométrique. 46. Cherche une formule compacte qui donne a) la somme des n premiers entiers impairs ; b) la somme des n premiers cubes ; c) la somme des n premiers carrés. 47. Comment calculer an à partir de an-1 et de an+1 lorsque la suite est a) arithmétique ? b) géométrique ? 48. Un échiquier comporte 64 cases. On répartit sur les cases des pièces de 2 € de la manière suivante : sur la première case on place une pièce de 2 €, et sur chacune des autres cases on place deux pièces de plus que sur la précédente. a) Combien y a-t-il de pièces de 2 € sur la dernière case ? b) Quelle est la somme placée sur l’échiquier ? 49. Je voudrais faire creuser dans mon jardin un trou d’une certaine profondeur. Je demande un devis. Le premier décimètre creusé me coûtera 40 €. Chaque décimètre supplémentaire creusé augmente mes frais de 7,5 €. a) On désigne par Cn le coût des n premiers décimètres. Exprime Cn en fonction de n. b) Détermine par calcul la profondeur maximale du trou que je pourrai faire creuser si je dispose d’un budget de 335 €. 50. Le prix d’un article augmente de 4 € par an. Au 1er janvier 2000, sa valeur est de 40 €. a) Calcule sa valeur au 1er janvier 2001 ; au 1er janvier 2002 ; au 1er janvier 2003. b) La suite des prix obtenus est-elle une suite arithmétique ou géométrique ? Quelle est la raison de cette suite. c) Quel est le prix de l’article au 1er janvier 2008 ? d) En quelle année le prix de cet article aura-t-il doublé ? 51. Calcule la somme des nombres impairs supérieurs à 20 et inférieurs à 80. 52. Quelle est la raison d’une suite arithmétique de 5ème terme u5 = 5 et dont le 14ème terme est u14 = 5,81. Calcule la somme des 14 premiers termes. 53. Une entreprise produit 60 000 unités par an. La production baisse de 3 000 unités par an. Lorsque la production sera nulle, combien aura-t-elle produit d’unités en tout ? UAA 2 : suites  23 54. Une usine assure, en 2000, une production de 100 000 articles. Elle s’engage à augmenter sa production de 3 % par an pendant 10 ans. Quelle sera sa production en 2010 ? Combien d’articles au total ont été fabriqués de 2000 à 2010 ? J. Limite d’une suite On dit que le naturel n augmente sans cesse s’il prend toutes les valeurs successives dans N. Chercher la limite de la suite (un) quand n augmente sans cesse, c’est déterminer le comportement des éléments de cette suite si le naturel n augmente sans cesse. Cette limite est notée lim u n. n → + Activités 2n 1) On considère la suite (un) = (n  N 0 ). n +1 Complète le tableau suivant : n 1 2 3 4 9 … 99 … 999 … 9999 … 2n n +1 2n −2 n +1 2n Cette suite converge vers … puisque −2 = … devient inférieur à tout n +1 nombre strictement positif, lorsque n augmente sans cesse. 2n En d’autres mots, lim =... n →+ n + 1 Graphiquement, UAA 2 : suites  24 Choisissons un réel très petit : par exemple ε = 0,01. Montrons qu’il existe un rang N 2n dans la suite tel que quelque soit n > N, la différence − 2 < 0,01. n +1 n² 2) On considère la suite (un) = (n  N 0 ). n +1 Complète le tableau suivant : n 1 2 3 4 9 … 99 … 999 … 9999 … n² n +1 n² Cette suite tend vers … puisque devient supérieur à tout nombre positif, n +1 lorsque n augmente sans cesse. n² En d’autres mots, lim =... n → + n + 1 Graphiquement, Choisissons un réel très grand : par exemple P = 1000. Montrons qu’il existe un rang n² N dans la suite tel que quelque soit n > N, > 1000 n +1 UAA 2 : suites  25 1 − n² 3) On considère la suite (un) = (n  N 0 ). n Complète le tableau suivant : n 1 2 3 4 9 … 99 … 999 … 9999 … 1 − n² n 1 − n² Cette suite tend vers … puisque devient inférieur à tout nombre négatif, n lorsque n augmente sans cesse. 1 − n² En d’autres mots, lim =... n →+ n Graphiquement, Choisissons un réel négatif : par exemple P = -1000. Montrons qu’il existe un rang N 1 − n² dans la suite tel que quel que soit n > N, < -1000 n UAA 2 : suites  26 4) On considère la suite (un) = (− 2 ) (n  N 0 ). n −1 Complète le tableau suivant : n 1 2 3 4 5 … 10 11 … 100 101 … (− 2)n −1 Cette suite n’a pas de limite puisque les valeurs de (− 2 ) n −1 s’écartent de plus en plus de 0 ; changent alternativement de signe, lorsque n augmente sans cesse. En d’autres mots, lim (− 2) n −1 n’existe pas. n → + Graphiquement, Définitions Lorsque n augmente sans cesse, les termes successifs de la suite (u n) peuvent ▪ soit s’approcher d’un réel u, ce qui implique que la différence u n − u devient de plus en plus proche de 0 ; ▪ soit augmenter sans cesse pour devenir supérieurs à tout réel positif ; ▪ soit diminuer sans cesse pour devenir inférieurs à tout réel négatif ; ▪ ne répondre à aucune des descriptions précédentes. UAA 2 : suites  27 Dans les trois premiers cas, on parle de la limite de la suite. lim u n = u    0  N tel que  n  N alors u n − u   n → + Dans ce cas, la suite est convergente. lim u n = +   P  0 N tel que  n  N alors u n  P n → + lim u n = −   P  0 N tel que  n  N alors u n  P n → + Exercices 55. Recherche la limite des suites et prouve que cette limite est correcte en utilisant la définition  1 a ) (u n ) = 1 +   n 1  b) (u n ) =  n ² − 1 4  c) (u n ) = (1 − 2n ) Propriétés 0 lorsque 0  a  1  1) Si a est un réel et n est naturel, alors lim a =  1 n lorsque a = 1 n → + + lorsque a  1  n 1 2) Si 0  a  1, alors lim  a i =. n→+ i =0 1− a La première propriété est admise sans démonstration. Démontrons la deuxième propriété : La suite ai est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison a 𝑛 1 − 𝑎𝑛+1 ∑ 𝑎𝑖 = 1. 1−𝑎 𝑖=0 n 1 Puisque lim 𝑎𝑛 = 0 on obtient Si 0  a  1, alors lim 𝑛→ +∞ n→+ a i =0 i = 1− a. CQFD UAA 2 : suites  28 Exemples i n 1    = i =0  3  i n 1 lim    = i =0  3  n → + Exercices 56. On partage chaque côté du triangle équilatéral ABC en trois segments isométriques puis, on construit un triangle équilatéral ayant pour côté le segment du milieu et dont le troisième sommet est à l’extérieur du triangle ABC. On note F0 le triangle ABC. Soit F1 l’étoile obtenue après la première construction, F2 la figure obtenue en ajoutant des triangles équilatéraux sur les côtés de l’étoile…En poursuivant indéfiniment cette construction, on obtiendrait une figure appelée « flocon de von Koch ». a) On désigne par Pn le périmètre de la figure Fn. Montre que la suite Pn est une suite géométrique. Cette suite converge-t-elle ? b) On désigne par an l’aire de la partie du plan limitée par la figure Fn. Prouve que la suite an est convergente et calcule sa limite A. UAA 2 : suites  29 57. Le carré initial C1 a pour côté u1 = 10. A partir du carré C2, chaque carré a pour côté la moitié du carré précédent. a) Détermine, en fonction de n, le côté du carré Cn de rang n. Déduis-en son aire un. b) Calcule les distances AA1 , AA2 , AA3. D’une façon générale, détermine la distance AAn en fonction de n. c) Détermine la limite de la distance AAn lorsque n tend vers +∞. 58. On construit un cercle de rayon R, un carré inscrit dans ce cercle, un cercle inscrit dans ce carré et ainsi de suite. a) On trace quatre cercles et quatre carrés. On colorie la partie du plan comprise entre le premier cercle et le premier carré, la partie du plan comprise entre le deuxième cercle et le deuxième carré, …Détermine l’aire totale des zones colorées en fonction de R. b) Vers quelle limite tend l’aire totale des zones colorées lorsque l’on poursuit la construction indéfiniment ? 59. La spirale ci-dessous est obtenue à l’aide de segments perpendiculaires tels que la longueur ln d’un segment vaut les ¾ de la longueur du segment précédent. a) Sachant que l1 = 4, exprime ln en fonction de n. b) Détermine Ln = l1 + … + ln en fonction de n. c) Quelle est la limite de la longueur de la spirale lorsque le nombre de segments devient infini ? UAA 2 : suites