Skript T1 LA Kapitel 1.pdf

# Vorlesungsskript: Lineare Algebra T1 ## Wintersemester 2024/25 - Dozent: Lukas Fußangel - Hochschule Konstanz Technik Wirtschaft und Gestaltung (HTWG) - Kurs im Rahmen des Studienkollegs # Inhaltsverzeichnis ## 1. Grundlagen - 1.1 Mengen - 1.1.1 Grundlegende Definitionen - 1.1.2 Wicht...

# Vorlesungsskript: Lineare Algebra T1 ## Wintersemester 2024/25 - Dozent: Lukas Fußangel - Hochschule Konstanz Technik Wirtschaft und Gestaltung (HTWG) - Kurs im Rahmen des Studienkollegs # Inhaltsverzeichnis ## 1. Grundlagen - 1.1 Mengen - 1.1.1 Grundlegende Definitionen - 1.1.2 Wichtige Mengenoperationen - 1.2 Die reellen Zahlen - 1.2.1 Teilmengen und Intervalle reeller Zahlen ## 2. Vektorrechnung - 2.1 Grundlagen - 2.2 Vektoroperationen - 2.3 Lineare Unabhängigkeit und Basen - 2.4 Skalarprodukt - 2.5 Kreuzprodukt - 2.6 Weitere Themen der Vektorrechnung ## 3. Lineare Gleichungssysteme - 3.1 Der Gaußsche Algorithmus - 3.1.1 Matrixdarstellung eines linearen Gleichungssystems - 3.1.2 Schritte des Gaußverfahrens - 3.2 Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerks ## 4. Analytische Geometrie - 4.1 Geraden - 4.1.1 Geraden im R² - 4.1.2 Geraden im R³ - 4.2 Ebenen - 4.2.1 Gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden # Einleitung Dieses Vorlesungsskript besteht aus den Inhalten des Kurses "Lineare Algebra T1" im Studienkolleg der Hochschule Konstanz. Das Material entspricht dem Inhalt der Vorlesung, die im Wintersemester 2024/25 gehalten wird. Hauptquelle des Materials ist das Buch "Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1" von Lothar Papula, [4]. Andere Quellen, in denen die Inhalte dieser Vorlesung behandelt werden, sind zum Beispiel [2, 3] oder auf Englisch [1]. Alle diese Bücher beinhalten deutlich mehr Themen als in dieser Vorlesung behandelt werden. Insbesondere sind die Bücher von Papula, von denen es drei Bände gibt, auch für ihr zukünftiges Studium sicherlich eine sehr gute Quelle. ## Inhalte der Vorlesung In dieser Vorlesung werden folgende Themen behandelt: 1. Grundlagen: Mengen, Mengenoperationen, Reelle Zahlen. 2. Vektorrechnung: Grundlagen, Operationen mit Vektoren, Basen und lineare Unabhängigkeit, Skalarprodukt, Kreuzprodukt 3. Lineare Gleichungssysteme: Grundlagen, graphisches Lösen, Gaußsches Eliminationsverfahren. 4. Analytische Geometrie: Geraden in R² und R³, Ebenen in R³. # 1. Grundlagen In diesem Kapitel führen wir die Begriffe ein, die für das Betreiben von Mathematik elementar sind. Dazu gehört der Begriff der Menge sowie Operationen mit Mengen in Abschnitt 1.1. Außerdem besprechen wir verschiedene Zahlbereiche, die für uns wichtig sind. Der wichtigste Zahlenbereich ist dabei die Menge der reellen Zahlen, siehe Abschnitt 1.2. ## 1.1 Mengen ### 1.1.1 Grundlegende Definitionen **Definition 1.1.** Unter einer Menge verstehen wir die Zusammenfassung gewisser, wohlunterschiedener Objekte zu einer Einheit. Diese Objekte werden Elemente genannt. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Mengen zu beschreiben: 1. **Durch Aufzählen aller Elemente:** M = {1,2,3,4} ist die Menge, die aus den vier Zahlen 1,2,3 und 4 besteht. Auch Mengen mit unendlich vielen Elementen kann man in dieser aufzählenden Weise aufschreiben, zum Beispiel N := {0, 1, 2, 3, . . . }. Dies ist die Menge der natürlichen Zahlen. Aus dem Kontext muss klar sein, was mit den Punkten gemeint ist. 2. **Man kann eine Menge auch durch ihre Eigenschaften beschreiben:** M = {x : x besitzt die Eigenschaften E1, E2,..., En}. Ein Beispiel für diese beschreibende Darstellung ist Z := {x : x oder -x sind natürliche Zahlen}. Dies ist eine mögliche Beschreibung der ganzen Zahlen. **Beispiel 1.2.** 1. M₁ = {x :x ist eine natürliche Zahl und 17 < x < 5} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 2. M₂ = {x: x ist eine ganze Zahl und erfüllt x⁴ < 82} = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} = {0, ±1, ±2, ±3}. Bei der aufzählenden Schreibweise einer Menge ist die Reihenfolge egal, in der die Elemente aufgeschrieben werden. Es kommt nur darauf an, welche Elemente Teil der Menge sind und welche nicht. **Definition 1.3.** 1. Sei A eine Menge. Wenn a ein Element von A ist, schreiben wir a ∈ A. 2. Sei A eine Menge. Wenn b kein Element von A ist, schreiben wir b ∉ A. 3. Mit {} oder ∅ bezeichnen wir die sogenannte leere Menge. Sie ist die eindeutige Menge, die kein Element enthält. 4. Eine Menge A heißt **Teilmenge** einer Menge B, geschrieben A ⊆ B, falls jedes Element von A auch zur Menge B gehört. 5. Zwei Mengen A und B heißen **gleich**, geschrieben A = B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist und umgekehrt. **Beispiel 1.4.** 1. Zum Begriff der leeren Menge: Die quadratische Gleichung x²+ 4 = 0 besitzt keine reelle Lösung, da das Quadrat jeder reellen Zahl ≥ 0 ist. Daher ist die Lösungsmenge der Gleichung L = {x: x ist reell und x² + 4 = 0} = {} = ∅. 2. Zum Begriff der Teilmenge: Betrachte die drei Mengen M₁ = {0, 2, 4}, M₂ = {1,3,5}, M₃ = {1, 2, 3, 4, 5}. Dann ist das Element 0 ∈ M₁ kein Element von M₂ oder M₃, also M₁ ⊄ M₂ sowie M₁ ⊄ M₃. Hingegen gehört jedes Element von M₂ auch zu M₃, es gilt also M₂ ⊆ M₃. **Übungsaufgabe 1.1.** Stellen Sie die folgenden Mengen in aufzählender Form dar: 1. M₁ = {x : x ∈ R und 2x² – 8x = 0}. 2. Die Menge aller Primzahlen p < 35. ### 1.1.2 Wichtige Mengenoperationen Es gibt verschiedene Möglichkeiten, aus mehreren Mengen eine neue Menge „zusammenzubauen“. Dazu beginnen wir mit einem Beispiel: **Beispiel 1.5.** Seien folgende Mengen gegeben: die natürlichen Zahlen N, die Menge der geraden ganzen Zahlen M₁ = {x : x ∈ Z und x ist gerade} sowie die Menge der ungeraden ganzen Zahlen M₂ = {x : x ∈ Z und x ist ungerade}. Betrachten wir nun alle Elemente, die sowohl in N als auch in M₁ sind, so erhalten wir die geraden natürlichen Zahlen, also {0, 2, 4, 6, . . . }. Alternativ können wir auch Mengen betrachten, die entstehen, indem wir die Elemente von zwei Mengen zusammennehmen. Die Menge aller Elemente, die in M₁ oder in M₂ sind, ist die Menge Z der ganzen Zahlen. Schließlich kann man auch von einer gegebenen Menge Teile entfernen. Betrachten wir die Elemente von N, die nicht in M₁ liegen, so erhalten wir die ungeraden natürlichen Zahlen {1, 3, 5, 7, . . . }. **Definition 1.6.** Seien A und B Mengen. 1. Die **Schnittmenge** oder der **Durchschnitt** A ∩ B ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören: A ∩ B = {x: x ∈ A und x ∈ B}. 2. Die **Vereinigungsmenge** A∪B ist die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B oder zu beiden Mengen gehören: A ∪ B = {x : x ∈ A oder x ∈ B}. 3. Die **Differenzmenge** A\B ist die Menge aller Elemente, die zu A, nicht aber zu B gehören: A\B = {x : x ∈ A und x ∉ B}. **Bemerkung 1.7.** Man beachte: In der Definition der Vereinigung tritt das Wort oder auf. Damit ist in der Mathematik das sogenannte inklusive oder gemeint, es gehören also auch diejenigen Elemente zur Vereinigung, die sowohl in A als auch in B liegen. Dies ist ein Unterschied zum Alltagsgebrauch des Wortes oder. Zur Abkürzung nutzen wir im folgenden auch A für und und V für oder. Damit werden die Definitionen der gerade definierten Mengen zu folgendem: - A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}, - A ∪ B = {x: x ∈ A ∨ x ∈ B}, - A\B = {x : x ∈ A ∧ x ∉ B}. Für die Vektorrechnung, die wir im nächsten Kapitel einführen, benötigen wir noch das kartesische Produkt zweier Mengen: **Definition 1.8.** Das kartesische Produkt zweier Mengen M, N ist definiert als M × N := {(x₁, x₂) : x₁ ∈ M, x₂ ∈ N}. Die Elemente des kartesischen Produkts sind geordnete Paare (x₁, x₂), wobei x₁ ∈ M und x₂ ∈ N ist. Häufig betrachten wir das mehrfache kartesische Produkt einer Menge mit sich selbst und schreiben es dann als Potenz: M × M × M = M³ oder allgemeiner M × ... × M = Mⁿ = {(x₁,...,x_n): x₁,...,x_n ∈ M}. Die Elemente x = (x₁,...,x_n) des kartesischen Produkts Mⁿ sind n-Tupel aus n Komponenten x₁,...,x_n ∈ Μ. **Übungsaufgabe 1.2.** Seien M und N zwei beliebige Mengen. Wir betrachten die Mengen M, N, M∪N, M∩N sowie M\N. Welche dieser Mengen ist eine Teilmenge von einer anderen der Mengen? ## 1.2 Die reellen Zahlen Grundlage aller Rechenvorgänge sind für uns die reellen Zahlen. Sie werden durch das Symbol R gekennzeichnet und lassen sich anschaulich als Punkte auf einer Zahlengerade darstellen. Positive Zahlen sind diejenigen, die weiter rechts als 0 liegen, negative Zahlen liegen weiter links. Bevor wir die Eigenschaften der reellen Zahlen kurz wiederholen, wiederholen wir noch die Definition eines weiteren Zahlbereichs: **Bemerkung 1.9** (Die rationalen Zahlen). Die Menge Q der rationalen Zahlen besteht aus allen Brüchen, wobei a eine beliebige ganze Zahl und b eine natürliche Zahl außer 0 ist. Die natürlichen Zahlen N und die ganzen Zahlen Z sind Teilmengen der rationalen Zahlen Q, da die ganze Zahl z der rationalen Zahl entspricht. Jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl, allerdings gibt es reelle Zahlen, die keine rationale Zahl sind. **Beispiel 1.10.** Die quadratische Gleichung x² = 2 hat die beiden reellen Lösungen x = ±√2. Allerdings hat sie keine Lösung in den rationalen Zahlen, da sich √2 nicht als Bruch aus einer ganzen und einer nicht-null natürlichen Zahl schreiben lässt. Eine Motivation für das Betrachten reeller Zahlen ist also, dass Gleichungen eine Lösung haben, bei denen es graphisch so aussieht, als wären sie lösbar. Nun kommen wir zu den wichtigsten Eigenschaften reeller Zahlen: **Satz 1.11.** 1. Auf der Zahlmenge R gibt es vier Rechenoperationen, die Grundrechenarten. Es sind: - Addition (+) - Subtraktion (-) als Umkehroperation zur Addition, - Multiplikation (·), - Division (:) als Umkehroperation zur Multiplikation. 2. Die Summe a + b, Differenz a - b sowie das Produkt ab = a · b zweier reeller Zahlen sind wieder reelle Zahlen 3. Der Quotient a : b = zweier reeller Zahlen ist wieder eine reelle Zahl, falls b ≠ 0 ist. (Das Symbol a ≠ b bedeutet hierbei, dass a und b nicht gleich sind). 4. Addition und Multiplikation sind kommutativ, d.h. für alle reellen Zahlen a,b gilt: a + b = b + a und ab = ba. 5. Es gilt das Distributivgesetz: Sind a,b,c ∈ R, so gilt a(b + c) = ab + ac. Die Klammer auf der linken Seite bedeutet hierbei, dass erst die Addition b + c ausgeführt wird und dann mit a multipliziert wird. 6. Addition und Multiplikation sind assoziativ, d.h. für alle reellen Zahlen a, b, c gilt: a + (b + c) = (a + b) + c, sowie a(bc) = (ab)c. Wie man anhand der Visualisierung mittels der Zahlengeraden schon vermuten kann, können wir zwei reelle Zahlen a, b ∈ R miteinander vergleichen und sie anordnen. Es gilt immer genau eine der folgenden drei Beziehungen: - a < b (a kleiner als b): b liegt auf der Zahlengeraden weiter rechts als a. - a > b (a größer als b): b liegt auf der Zahlengeraden weiter links als a. - a = b (a gleich b). Die Aussagen a < b und a > b bezeichnet man als Ungleichungen. Zu den Ungleichungen zählen auch die folgenden Relationen: - a ≤ b :⇔ a <b V a=b - a > b :⇔ a > b V a = b. Das Symbol :⇔ steht für genau dann, wenn. Die linke Seite ist also durch die rechte Seite definiert. In Worten: Wir schreiben a ≤ b, wenn entweder a < b oder a = b gilt. Neben dem Vergleichen zweier reeller Zahlen ist es manchmal auch wichtig, den Abstand vom Nullpunkt zu kennen. Das führt uns zum Begriff des Betrags: **Definition 1.12.** Der Betrag einer reellen Zahl a ist der Abstand des zugeordneten Punkts auf der Zahlengerade zum Nullpunkt. Wir schreiben |a| für den Betrag. Es gilt: |a| = - a, wenn a > 0, - 0, wenn a = 0, - -a, wenn a < 0. Per Definition gilt damit |a| ≥ 0. **Beispiel 1.13.** |4| = 4, |-5| = 5, |cos(π)| = |-1| = 1. ### 1.2.1 Teilmengen und Intervalle reeller Zahlen Es gibt zwei Kategorien wichtiger Teilmengen der reellen Zahlen, die wir hier festhalten: Die erste Kategorie sind die Zahlbereiche, die wir oben schon erwähnt haben. - N = {0, 1, 2, ...} - Menge der natürlichen Zahlen - N* = {1, 2, 3, ...} - Menge der positiven ganzen Zahlen - Z = {0, ±1, ±2,...} - Menge der ganzen Zahlen - Q = {x : x = a/b mit a ∈ Z und b∈ N*} - Menge der rationalen Zahlen - R - Menge der reellen Zahlen Ein weiterer Zahlbereich ist der der komplexen Zahlen C. Diesem werden Sie im zweiten Semester begegnen. Die zweite Kategorie sind die sogenannten Intervalle: **Definition 1.14.** Seien a,b ∈ R. Ein Intervall ist eine Teilmenge der reellen Zahlen, die eine der folgenden Formen hat: 1. **Endliche Intervalle:** Sei a < b. Dann definieren wir: - **abgeschlossenes Intervall:** [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b}. - **offenes Intervall:** (a,b) = {x : a < x < b}. - **halboffenes Intervall:** [a,b) = {x : a ≤ x < b} oder (a,b] = {x : a < x ≤ b}. 2. **Unendliche Intervalle:** Alle der folgenden Mengen heißen ebenfalls Intervalle. - [a, ∞) = {x : a ≤ x < ∞} - (a, ∞) = {x : a < x < ∞} - (-∞,b) = {x : -∞ < x < b} - (-∞, b] = {x : -∞ < x < b} 3. **Sonderfälle:** Für die folgenden unendlichen Intervalle verwendet man besondere Schreibweisen. - (-∞, 0) = R- - (0,∞) = R+ - (-∞,∞) = R. Intervalle sind besonders dann wichtig, wenn man sich mit Funktionen beschäftigt, da sie dann oft der Definitionsbereich oder Wertebereich einer Funktion sind. **Übungsaufgabe 1.3.** Wir betrachten M₁ = {x : x ∈ R ^ 0 < x < 4}, M₂ = {x : x ∈ R∧−2 < x < 2}. Geben Sie M₁ U M₂, M₁ ∩ M₂ und M₁/M₂ jeweils in Intervallschreibweise an. # Literatur - Anton, H.; Rorres, C.: Elementary Linear Algebra. Applications Version. 11th edition, Wiley 2014 - Fischer, A.; Schirotzek, W.; Vetters, K.: Lineare Algebra. Eine Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 1. Auflage, B.G. Teubner Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003 - Jänich, K.: Lineare Algebra. 11. Auflage, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2. korrigierter Nachdruck 2013 - Papula, L.: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. 14. Auflage, Springer Fachmedien Wiesbaden 2014