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Capitolo 1 – Fondamenti di trasmissione dati 1.1 Rappresentazione dell’informazione Il segnale è una qualunque grandezza fisica variabile cui è associata una informazione Il segnale esiste in quanto si fa portatore di una informazione che giustifica l’esistenza e l’importanza del segnale stesso. L’i...

Capitolo 1 – Fondamenti di trasmissione dati 1.1 Rappresentazione dell’informazione Il segnale è una qualunque grandezza fisica variabile cui è associata una informazione Il segnale esiste in quanto si fa portatore di una informazione che giustifica l’esistenza e l’importanza del segnale stesso. L’informazione trasportata da un segnale è contenuta nella forma di un segnale, cioè nell’evoluzione nel tempo del segnale stesso. Ad esempio, la forma d'onda di un segnale audio contiene informazioni sulle frequenze delle onde sonore che compongono il suono. L'informazione è un insieme organizzato di dati o fatti che rappresentano un significato o una conoscenza specifica. A seconda della natura delle informazioni trasportate un servizio si distingue in monomediale e multimediale. In un servizio monomediale viaggia un solo tipo di informazione, come per esempio la voce nella telefonia, i dati in una sessione di accesso a Internet, le immagini nel caso della telesorveglianza. In un servizio multimediale i tipi di informazione trasportati nell’ambito del servizio sono almeno due, ognuno secondo i propri vincoli di qualità di trasporto. Un esempio è rappresentato dalla videoconferenza, dove vengono trasmessi sia segnali audio, sia immagini, mutuamente sincronizzati. In generale, i segnali possono essere trasmessi in diversi modi, come attraverso onde radio, onde luminose, onde acustiche e così via. La scelta del metodo di trasmissione dipende dalle esigenze specifiche del sistema di comunicazione. Esprimere l'informazione attraverso i segnali è conveniente perché permette di eseguire diverse operazioni sull'informazione stessa. In particolare, l'uso dei segnali consente di: • • • Elaborare l'informazione: i segnali possono essere elaborati per rimuovere componenti spurie o rumore estraendo le componenti più rilevanti per le successive elaborazioni. Ad esempio, se si ha un segnale audio, si può filtrare il rumore di fondo o le componenti di frequenza indesiderate per migliorare la qualità del suono. Trasmettere l'informazione: i segnali possono essere trasmessi a distanza per essere fruiti in un luogo diverso da quello in cui sono stati generati. Memorizzare l'informazione: i segnali possono essere memorizzati per conservare l'informazione nel tempo e permettere di accedervi in futuro. Ad esempio, un segnale audio può essere registrato su un supporto digitale come un CD o un file audio, consentendo di ascoltare l'audio in qualsiasi momento successivo. Le telecomunicazioni mirano a trasferire informazioni tra diverse località. In tale ambito, un segnale funge da vettore per la trasmissione dell'informazione da una località all'altra. Quando si tratta di trasmettere dati digitali, l'informazione è veicolata attraverso impulsi digitali, che il ricevitore può decodificare e interpretare. Una prima classificazione dei segnali può essere fatta in base ai valori assunti dalla variabile indipendente: • • • • Segnali a tempo continuo: il dominio della funzione ha cardinalità dell’insieme dei numeri reali, la variabile indipendente può assumere con continuità tutti i valori compreso entro un certo intervallo, eventualmente illimitato. x(t): ℝ → ℝ Segnali a tempo discreto: Il dominio della funzione ha cardinalità dell'insieme dei numeri interi, la variabile indipendente può assumere solo valori discreti all'interno di un certo intervallo, eventualmente illimitato. y(n): ℤ → ℝ Segnali ad ampiezza continua: Il codominio della funzione ha cardinalità dell'insieme dei numeri reali, il valore del segnale può variare continuamente all'interno di un certo intervallo, eventualmente illimitato. x(t): ℝ → ℝ Segnali ad ampiezza discreta: Il codominio della funzione ha cardinalità dell'insieme dei numeri interi, il valore del segnale può assumere solo valori discreti all'interno di un certo intervallo, eventualmente illimitato. y(n): ℤ → ℤ I segnali a tempo continuo e ad ampiezza continua si dicono analogici, mentre quelli a tempo ed ampiezza discreti si dicono numerici 1.1.1 Sorgenti di informazioni Una sorgente di informazione è un'entità o un sistema che produce e rilascia dati o segnali. La sorgente può essere di natura fisica, come un sensore che rileva variazioni di temperatura, o di natura logica, come un software che genera dati. In teoria dell'informazione, una sorgente di informazione è spesso analizzata in termini della sua capacità di generare informazioni, della sua entropia e delle caratteristiche statistiche dei dati prodotti. 1.1.2 Sensori In un contesto di acquisizione di informazioni, un sensore è un dispositivo in grado di catturare una "porzione della realtà", permettendo agli esseri umani di "leggerla" e potenzialmente di "memorizzarla" o "trasmetterla". I sensori, spesso, imitano i sensi umani e, per l'acquisizione automatica di informazioni, generano generalmente segnali elettrici analogici. Prendiamo ad esempio il microfono. In particolare, i microfoni dinamici, che sono basati su una bobina mobile di filo. Il principio di funzionamento di questi dispositivi può essere pensato come l'inverso di un altoparlante: le onde sonore spingono su un diaframma che a sua volta muove una bobina di filo molto sottile attraverso un campo magnetico, producendo una corrente proporzionale alle onde sonore. Un altro esempio di sensore è il dispositivo CCD, acronimo di Charge-Coupled Device, composto da molte unità di cattura del segnale individuali (siti fotoelettrici, condensatori, pixel). I CCD sono costituiti da pixel (condensatori) che sono MOS (Metal Oxide Semiconductors) che permettono alle cariche elettroniche di accumularsi nei loro pozzi. La luce, ovvero i fotoni in arrivo, colpisce la superficie di un pixel, generando elettroni liberi nel silicio del CCD a causa dell'effetto fotoelettrico, in proporzione al numero di fotoni che lo colpiscono. Questi elettroni si raccolgono in piccoli pacchetti, e la carica totale è proporzionale all'intensità luminosa in quel pixel. Un'immagine più luminosa corrisponderà a una carica elettrica maggiore, mentre un'immagine più scura corrisponderà a una carica elettrica minore. Il problema principale di questo sistema è che misura solo l'intensità luminosa, non il colore. 1.1.3 Il segnale analogico Un segnale analogico è un segnale che varia continuamente nel tempo, rappresentato dal processo stocastico 𝑓(𝑡), dove 𝑡 è una variabile reale che indica il tempo. Questo segnale presenta continuità sia nel tempo che nell’ampiezza. Un segnale analogico che veicola informazioni non è deterministico, il che significa che non può essere pienamente rappresentato da una singola funzione 𝑓(𝑡). Piuttosto, è meglio descritto come un processo stocastico in funzione del tempo, dove il valore di 𝑓(𝑡) in un dato momento è influenzato da una distribuzione di probabilità. Un processo stocastico si riferisce a un segnale le cui proprietà sono determinate probabilisticamente. In altre parole, anche avendo a disposizione le condizioni iniziali e le regole del sistema, non è possibile prevedere con assoluta certezza il suo stato in un momento futuro, a causa della presenza di variabili casuali o imprevedibili. Nel contesto dei segnali analogici, la distribuzione di probabilità può essere utilizzata per descrivere il comportamento di vari aspetti del segnale. Per esempio, potrebbe essere utilizzata per descrivere: 1. Il rumore nel segnale: Il rumore in un sistema di comunicazione è spesso modellato come un processo stocastico con una certa distribuzione di probabilità. Per esempio, il rumore termico è spesso modellato come un processo gaussiano bianco, che ha una distribuzione normale. 2. Le variazioni del segnale: Se un segnale varia nel tempo o nello spazio in modo casuale, potrebbe essere descritto come un processo stocastico, e la distribuzione di probabilità di questo processo potrebbe essere utilizzata per prevedere o analizzare il suo comportamento. 3. Le incertezze del sistema: Se ci sono incertezze nel sistema che influenzano il segnale, come variazioni nella potenza del segnale o nella velocità di propagazione, queste potrebbero essere modellate come variabili casuali con una certa distribuzione di probabilità. Per contrasto, un processo deterministico è un processo in cui lo stato futuro del sistema può essere determinato esattamente conoscendo le condizioni iniziali e le regole che governano il sistema. In altre parole, se conosci lo stato del sistema in un dato momento e conosci le regole, puoi prevedere con precisione lo stato del sistema in qualsiasi momento futuro. Trasmissione analogica Le informazioni prodotte da sorgenti analogiche necessitano di una conversione in formato digitale per essere veicolate attraverso reti di comunicazione ed essere elaborate dai sistemi terminali. Nonostante ciò, il metodo di trasmissione rimane analogico, poiché i sistemi contemporanei utilizzano segnali elettrici, radio e ottici per trasferire l'informazione. Per trasmettere un'informazione analogica attraverso un mezzo trasmissivo, è necessario conoscere la larghezza di banda disponibile sul canale di trasmissione e far sì che il segnale possa essere trasmesso e ricevuto all'interno di quella banda. La teoria dei segnali e dei sistemi lineari viene utilizzata per questo scopo. Teoria dei segnali La teoria dei segnali fornisce gli strumenti per analizzare le caratteristiche dei segnali nel dominio della frequenza. Quando si intende trasmettere un segnale analogico, è fondamentale determinare la banda di frequenza necessaria per la sua trasmissione efficace. Questo ci consente di capire quanti Hertz sono richiesti per veicolare il segnale senza distorsioni. Gli strumenti matematici chiave in questo contesto sono la trasformata di Fourier e la teoria dei processi stocastici. Teoria dei sistemi lineari La teoria dei sistemi lineari si basa sul principio della superposizione, che afferma che la risposta di un sistema lineare a una combinazione di input è uguale alla somma delle risposte ai singoli input. Questo principio permette di analizzare un sistema rispetto a un insieme base di segnali (come impulsi o sinusoidi) e poi combinare le risposte per ottenere la risposta a qualsiasi segnale complesso. Quando un processo stocastico (come un segnale analogico) viene inviato attraverso un sistema lineare, possiamo utilizzare la teoria dei sistemi lineari per determinare la risposta del sistema alle proprietà statistiche del segnale. Ad esempio, se conosciamo la densità spettrale di potenza del segnale di ingresso e la risposta in frequenza del sistema, possiamo determinare la densità spettrale di potenza del segnale di uscita. La teoria dei sistemi lineari fornisce inoltre una serie di strumenti matematici per analizzare e progettare questi sistemi, tra cui la trasformata di Fourier e la risposta in frequenza. 1.2 Informazioni audio 1.2.1 Trasduttori audio I trasduttori audio sono dispositivi che convertono un segnale audio in segnale elettrico (o viceversa): il segnale audio consiste in variazione di pressione in funzione del tempo. Per essere trasmesso tramite un sistema di comunicazione, il segnale audio richiede essere trasformato in segnale elettrico analogico attraverso l'operazione di trasduzione. Un esempio di trasduttore acusto-elettrico è il microfono, che converte le onde sonore in segnali elettrici. Il suo funzionamento si basa sul principio dell'effetto piezoelettrico: quando una pressione sonora fa vibrare una membrana del microfono, il movimento della membrana causa una variazione di tensione in un cristallo piezoelettrico, che produce una corrente elettrica proporzionale alla pressione sonora. Questa corrente viene quindi amplificata e trasmessa ad un dispositivo di registrazione o di amplificazione del suono. Un esempio di trasduttore elettro-acustico è il classico altoparlante utilizzato nei sistemi audio. Il suo funzionamento si basa sulla conversione del segnale elettrico in un'onda sonora. L'altoparlante è composto da un magnete permanente e da una bobina mobile avvolta attorno a un cono o a una membrana. Quando un segnale elettrico viene applicato alla bobina, questa inizia a muoversi in avanti e indietro grazie alla forza magnetica generata dal campo magnetico del magnete permanente. Questo movimento della bobina mobile fa vibrare la membrana o il cono, generando un'onda sonora corrispondente al segnale elettrico in ingresso. 1.2.2 Segnali acustici Il segnale acustico è un'onda meccanica che si propaga attraverso un mezzo elastico, come l'aria, e che è causata da una variazione di pressione dell'aria stessa. Questa variazione di pressione è prodotta da una sorgente sonora, come ad esempio una voce umana o un altoparlante. Il segnale acustico può essere rappresentato matematicamente come una funzione che descrive la variazione di pressione dell'aria in funzione del tempo. La forma d'onda del segnale acustico dipende dalla sorgente sonora che lo ha prodotto e dalle caratteristiche del mezzo di propagazione. Il segnale acustico può essere captato da un microfono o da altri tipi di sensori acustici, come ad esempio i sensori a ultrasuoni o a infrasuoni. Analisi spettrale di un segnale acustico L'analisi spettrale di un segnale acustico consiste nell'analizzare la distribuzione delle frequenze presenti nel segnale. Questo tipo di analisi è molto utile per comprendere le caratteristiche del segnale e definire un'opportuna modalità di trasmissione. Per esempio, se il segnale contiene frequenze molto basse, potrebbe essere necessario utilizzare una trasmissione adatta a queste frequenze, come la modulazione di ampiezza in banda base. Al contrario, se il segnale contiene frequenze molto alte, potrebbe essere più adatto utilizzare una trasmissione a banda stretta come la modulazione di frequenza. L'analisi spettrale può essere effettuata utilizzando tecniche come la trasformata di Fourier, in questo modo è possibile determinare la frequenza di picco del segnale, ovvero quella frequenza alla quale la potenza del segnale è massima, e valutare la presenza di eventuali armoniche o rumore presente nel segnale. L'analisi spettrale può essere effettuata anche in tempo reale, utilizzando dispositivi come gli analizzatori di spettro, che visualizzano in tempo reale la distribuzione di frequenze del segnale acustico. Questi dispositivi sono molto utili in applicazioni di audio professionale, come la registrazione e la produzione musicale, dove è importante comprendere la distribuzione di frequenze del segnale per ottenere un suono di qualità. Codifica del segnale acustico La codifica del segnale acustico è un processo necessario per rappresentare un segnale analogico in formato digitale. La codifica si basa sulla digitalizzazione del segnale e viene suddiviso in piccoli segmenti discreti nel tempo e nell'ampiezza. Il processo di codifica del segnale acustico può essere realizzato mediante tecniche di campionamento e quantizzazione del segnale. La codifica del segnale vocale o musicale si basa sulla comprensione delle caratteristiche della voce umana e sui vincoli dei sistemi di telefonia. La codifica del segnale audio deve rispettare le caratteristiche generali di tutti i suoni, ovvero la loro banda di frequenza, che è di circa 20 KHz, e la loro ampiezza. La codifica del segnale acustico deve quindi considerare la banda di frequenza del segnale, il rapporto segnale-rumore, la ridondanza del segnale e il tempo di latenza. Le tecniche di codifica si dividono tra quelle che usano la sola conoscenza del segnale elettrico istantaneo e quelle che sfruttano le caratteristiche dell'apparato di fonazione e uditivo: Ad esempio, la PCM (Pulse Code Modulation) rappresenta il segnale analogico come una sequenza di numeri binari, che corrispondono ai valori del segnale in punti discreti del tempo. Questo processo avviene tramite la quantizzazione del segnale, ovvero l'approssimazione dei valori continui a dei valori discreti. In questo modo, il segnale acustico viene campionato in punti precisi, che possono essere trasmessi e riprodotti successivamente. Mentre nelle tecniche in cui si sfrutta le caratteristiche dell’apparato di fonazione il segnale viene suddiviso in bande di frequenza, in modo da adattarsi alla sensibilità dell'orecchio umano alle diverse frequenze. Questa tecnica viene spesso utilizzata per la compressione del segnale audio, come ad esempio nel formato di compressione MP3. 2.3 Informazioni video La rappresentazione delle immagini in digitale consiste nella codifica di un'immagine attraverso una serie di punti chiamati pixel, disposti in una matrice. Ogni pixel viene rappresentato da un insieme di bit. la quantità di bit utilizzati per rappresentare ogni pixel dipende dalla risoluzione dell'immagine e dalla gamma di colori necessaria per rappresentare fedelmente l'immagine. Maggiore è la risoluzione dell'immagine, ovvero il numero di pixel che la compongono, maggiore sarà il numero totale di pixel da rappresentare e quindi maggiore sarà la quantità di bit necessari per la rappresentazione dell'immagine. I bit sono inoltre utilizzati per definire il colore di ogni pixel, più bit associati ad un pixel maggiore sarà la varietà di colori che l'immagine potrà assumere. Ad esempio, un'immagine in bianco e nero può essere rappresentata utilizzando un singolo bit per ogni pixel: il valore 0 corrisponde al nero, mentre il valore 1 corrisponde al bianco. Per le immagini a colori, la rappresentazione richiede l'utilizzo di più bit per ogni pixel. La maggior parte delle immagini a colori utilizza una combinazione di rosso, verde e blu (RGB) per definire ogni colore. In questo caso, ogni pixel è rappresentato da tre valori di intensità, uno per ogni componente del colore (R, G, B), che possono variare da 0 a 255, utilizzando 8 bit per ogni componente. La rappresentazione digitale delle immagini permette di manipolare facilmente le immagini, applicare filtri e effetti, ridimensionarle e modificarle in molti altri modi, ma richiede un'accurata gestione dei bit per evitare perdite di qualità e di informazione nell'elaborazione. 1.3.1 Trasduttore video Il trasduttore video è un dispositivo elettronico che converte un'immagine o una sequenza di immagini in forma elettrica. L'obiettivo del trasduttore video è quello di catturare le informazioni visive e di trasformarle in segnali elettrici che possano essere elaborati e trasmessi su una varietà di supporti di registrazione e di visualizzazione. I trasduttori video sono utilizzati in una vasta gamma di applicazioni, tra cui telecamere di sorveglianza, videocamere, telefoni cellulari, computer, televisori e molte altre applicazioni. Esistono diversi tipi di trasduttori video: • • • Il tubo a scansione elettronica: Il trasduttore video a tubo a scansione elettronica è un dispositivo che converte un'immagine in forma elettronica, scandendola con un fascio di elettroni. Il sistema di scansione elettronica scandisce l'immagine una riga alla volta, partendo dall'alto e procedendo verso il basso. Questo tipo di trasduttore è sensibile solo alla luminosità e non ai colori, quindi l'immagine risultante sarà in bianco e nero. Per rilevare l'informazione cromatica, l'immagine viene scomposta in un certo numero di immagini con gradazione dei colori primari (nel caso della luce, i colori primari sono rosso, verde e blu), e poi queste immagini vengono ricomposte. Il fascio di elettroni viene fatto passare attraverso un sistema di maschere, che bloccano i raggi elettronici a seconda delle informazioni cromatiche contenute nell'immagine. Charge Coupled Device (CCD): è un dispositivo elettronico che converte l'immagine in una serie di cariche elettriche, basandosi sul principio della fotosensibilità dei materiali semiconduttori. È un dispositivo su base analogica, costituito da una matrice di sensori disposti in modo da rilevare la luminosità del corrispondente pixel dell'immagine. Ogni pixel del CCD è costituito da una giunzione PN sensibile alla luce, che genera una carica elettrica proporzionale all'intensità luminosa che lo colpisce. Queste cariche sono accumulate in una serie di condensatori disposti in una matrice, a cui si accede tramite un sistema di contatti elettrici. Successivamente, le cariche accumulate vengono trasferite orizzontalmente riga per riga, fino a raggiungere un punto di lettura, dove vengono convertite in un segnale elettrico analogico. Questo segnale viene quindi amplificato e digitalizzato per ottenere l'immagine finale. Il CCD è in grado di rilevare solo la luminosità dell'immagine, per ottenere i colori è necessario sovrapporre una matrice di filtri colorati sulla superficie del CCD. In alternativa, è possibile utilizzare tre CCD separati per catturare le tre componenti RGB del colore, che sono disposti in modo che i pixel verdi siano intercalati tra i pixel rossi e blu (alternati riga per riga). In questo modo si ottiene un'immagine a colori ad alta risoluzione. Il CCD è stato il principale sensore utilizzato per le telecamere digitali fino all'avvento dei sensori CMOS. Tuttavia, il CCD è ancora utilizzato in applicazioni che richiedono una maggiore qualità dell'immagine e una maggiore sensibilità alla luce, come ad esempio le fotocamere astronomiche o le fotocamere di sorveglianza ad alta risoluzione. Active Pixel Sensor (CMOS Image Sensor): funziona in maniera simile al CCD, ovvero ogni sito fotonsensibile è associato a componenti per la conversione dell'informazione luminosa in segnale numerico. Tuttavia, la conversione avviene in parallelo, il che significa che ogni sito fotonsensibile è dotato di un proprio amplificatore e convertitore analogico-digitale, consentendo così la lettura di tutti i pixel simultaneamente. Rispetto al CCD, il CMOS ha il vantaggio di consumare meno energia e di avere costi di produzione inferiori, in quanto può essere integrato su un unico chip insieme ad altri componenti elettronici. Tuttavia, a causa della conversione in parallelo, il CMOS è più soggetto al rumore e ha una qualità dell'immagine leggermente inferiore rispetto al CCD. Inoltre, l'uso di un numero elevato di transistor nel processo di conversione può causare un effetto di calore, che può influire sulla qualità dell'immagine. Per questo motivo, è necessario utilizzare una tecnologia di progettazione e di produzione molto avanzata per minimizzare il rumore e massimizzare la qualità dell'immagine. 1.3.2 Tecniche di compressione Le tecniche di compressione delle immagini sfruttano la caratteristica delle immagini di avere una certa correlazione spaziale, ovvero la tendenza di pixel adiacenti a presentare valori simili. Questa correlazione spaziale permette di eliminare la ridondanza dei dati all'interno dell'immagine, riducendo così la quantità di informazione necessaria per rappresentare l'immagine. Le prime tecniche di compressione, come GIF, PNG e TIFF, sono state sviluppate per le immagini utilizzate nei documenti, dove la priorità era quella di avere un'immagine di buona qualità ma con una dimensione contenuta. Queste tecniche utilizzano la compressione senza perdita di informazione, ovvero comprimono l'immagine senza eliminare alcuna informazione, garantendo così la fedeltà dell'immagine. Le tecniche di compressione come RAW e DNG, invece, sono utilizzate per immagazzinare le informazioni originali del sensore fotografico. Queste tecniche di compressione sono spesso specifiche del dispositivo e utilizzano la compressione con perdita di informazione, ovvero eliminano alcune informazioni per ridurre la dimensione del file. Questo tipo di compressione è accettabile in quanto le informazioni non essenziali vengono eliminate, mantenendo comunque una buona qualità dell'immagine. Con l'avvento di computer sempre più potenti, sono state sviluppate nuove tecniche di compressione, come JPEG, JPEG 2000 e WebP. Queste tecniche utilizzano sia la compressione con perdita di informazione che quella senza perdita, a seconda dell'applicazione. In particolare, JPEG è stato sviluppato per comprimere le immagini fotografiche, mentre JPEG 2000 ha migliorato la compressione di immagini ad alta risoluzione. WebP è una tecnica di compressione sviluppata da Google specifica per le immagini sul web. Funzionamento compressione JPEG La compressione JPEG è una tecnica di compressione di immagini molto utilizzata che utilizza la scomposizione in componenti di luminosità e colore per ridurre la dimensione del file senza perdere troppa qualità. Ecco i passaggi chiave della compressione JPEG: 1. L'immagine viene convertita in componenti di luminosità e colore; le componenti di colore eventualmente ridotte: In questo primo passaggio, l'immagine viene convertita dallo spazio di colore RGB (rosso, verde, blu) in un formato di colore diverso chiamato YCbCr (luminosità, differenza di colore blu, differenza di colore rosso). In questo formato, la componente di luminosità (Y) contiene maggiori dettagli rispetto alle componenti di colore (CbCr), quindi le componenti di colore vengono ridotte per ottenere una maggiore compressione. 2. L'immagine viene scomposta in blocchi, ogni blocco componente di luminosità e colore viene convertito in frequenza: L'immagine viene suddivisa in blocchi di 8x8 pixel. Ogni blocco viene poi scomposto in componenti di frequenza utilizzando la trasformata discreta del coseno (DCT), che converte le informazioni di ogni blocco dalla rappresentazione spaziale alla rappresentazione in frequenza. 3. L'ampiezza di ogni componente in frequenza viene quantizzata secondo un modello psico-visivo legato alla percezione che l'occhio umano ha delle variazioni di intensità luminosa: Le componenti di frequenza dell'immagine vengono quantizzate utilizzando una matrice di quantizzazione, dove i valori più grandi vengono ridotti maggiormente rispetto ai valori più piccoli. La quantizzazione viene effettuata in modo selettivo in base al modello psico-visivo, che tiene conto della percezione dell'occhio umano delle variazioni di intensità luminosa. 4. I campioni ottenuti sono compressi in maniera lossless: I campioni di quantizzazione vengono poi compressi utilizzando un algoritmo di compressione lossless chiamato Huffman, che assegna i codici più corti ai valori più frequenti e i codici più lunghi ai valori meno frequenti. In questo modo, la dimensione del file viene ulteriormente ridotta. 5. I dati ottenuti sono organizzati in una struttura di trama con l'informazione necessaria alla ricostruzione: I dati compressi vengono organizzati in una struttura di trama che contiene informazioni sull'immagine, come la dimensione dell'immagine, la quantizzazione utilizzata e la posizione dei blocchi di immagine. 6. La quantizzazione perde informazioni che determina la riduzione di qualità delle immagini (si nota in aree con forte contrasto): La quantizzazione utilizzata nella compressione JPEG porta a una perdita di informazione, che si traduce in una riduzione della qualità dell'immagine. Questo effetto è più visibile nelle aree dell'immagine con forti variazioni di contrasto. 1.3.3 Standard video La riproduzione televisiva e cinematografica utilizza la successione di immagini in modo da creare l'illusione di un movimento fluido. Nella riproduzione televisiva, il segnale video viene trasmesso tramite onde elettromagnetiche dal trasmettitore al ricevitore televisivo. Il segnale video è costituito da una sequenza di fotogrammi, dove ogni fotogramma rappresenta un'immagine statica. La frequenza di questi fotogrammi viene chiamata "frame rate", ovvero il numero di fotogrammi trasmessi ogni secondo. Nel sistema televisivo europeo (PAL), il frame rate è di 25 fotogrammi al secondo, mentre nel sistema televisivo americano (NTSC) è di 30 fotogrammi al secondo. • • Il PAL (Phase Alternating Line) e il SECAM (Système Électronique Couleur Avec Mémoire) prevedono una scansione interlacciata delle righe, cioè ogni semiquadro (una metà di un fotogramma) viene scansionato in due passaggi separati: la prima volta vengono visualizzate le linee pari, mentre la seconda volta le linee dispari. In questo modo si riduce la flickerizzazione e si ottiene un'immagine più stabile. Prevedono 625 righe per fotogramma, di cui 312.5 righe per semiquadro, ma solo 576 righe sono attive e contengono l'immagine vera e propria. La risoluzione dell'immagine è di 720 pixel per linea e 576 linee per semiquadro, per un totale di 1036800 pixel per fotogramma interlacciato. Il rapporto d'aspetto dell'immagine è di 4/3. L'NTSC (National Television System Committee) invece, utilizzato principalmente negli Stati Uniti, prevede una scansione di 262.5 righe per semiquadro, di cui 15 righe vengono cancellate per il ritorno del pennello che scansiona l'immagine. In totale ci sono quindi 525 righe, di cui 480 righe sono attive e contengono l'immagine. La risoluzione dell'immagine è di 720 pixel per linea e 480 linee per semiquadro, per un totale di 691200 pixel per fotogramma interlacciato. Anche in questo caso il rapporto d'aspetto dell'immagine è di 4/3. Capitolo 2 – Teoria dell’informazione La teoria dell'informazione è una disciplina dell'informatica e delle telecomunicazioni il cui oggetto è l'analisi e l'elaborazione su base matematica dei fenomeni relativi alla misurazione e alla trasmissione di informazioni su un canale fisico di comunicazione 2.1 Onda sinusoidale In fisica, molti fenomeni legati al trasporto dell'energia sono modellati attraverso la propagazione di onde sinusoidali. Un'onda sinusoidale è caratterizzata da un'oscillazione continua che si ripete in modo periodico nel tempo e nello spazio. Questa oscillazione è descritta da una funzione sinusoidale, la quale permette di modellare sia l'andamento temporale dell'onda (ossia come varia l'onda nel tempo) sia l'andamento spaziale (come varia l'onda nello spazio). In particolare, quando parliamo di un'onda che si propaga in una direzione, come l'asse x, l'onda sarà descritta da una funzione sinusoidale che oscilla sia nel tempo sia nello spazio lungo la direzione di propagazione. La velocità di propagazione dell'onda è data dal prodotto tra la sua frequenza e la sua lunghezza d'onda. La frequenza indica quanti cicli completi l'onda compie in un secondo, ed è misurata in hertz (Hz), 𝑓 = 1 𝑇 𝐻𝑧, mentre la lunghezza d'onda rappresenta la distanza tra due punti equivalenti consecutivi dell'onda, come due picchi o due valli consecutivi. 𝑣 =𝑓∙𝜆 L'energia trasportata da un'onda è proporzionale al quadrato dell'ampiezza, 𝐸 = (… ) ∙ 𝐴20 , e della frequenza dell'onda, 𝐸 = (… ) ∙ 𝑓. L'ampiezza è il valore massimo che raggiunge l'onda, ed è un indicatore dell'intensità dell'onda. Se consideriamo, ad esempio, un'onda sonora, l'ampiezza sarà proporzionale al volume del suono: maggiore è l'ampiezza, più forte sarà il suono. Analogamente, la frequenza è legata alla tonalità del suono: un suono più acuto corrisponderà a una frequenza più alta. Il modello matematico, considerando l’evoluzione dell’onda in t e in z, può essere scritta come: 𝐸(𝑡, 𝑧) = 𝐴0 cos (2πf0 𝑡 − 𝑘0 𝑧 − 𝜙0 ) Dove: • • • 𝐴0 : Ampiezza f0 : Frequenza 𝜙0 : Fase iniziale • 𝑘0 : Propagazione costante, data da 𝜆 (rad/m) 2𝜋 0 Quindi, la propagazione delle onde sinusoidali è un concetto fondamentale in fisica e nelle telecomunicazioni, che permette di modellare una vasta gamma di fenomeni, dal trasporto dell'energia alle onde sonore, dalle onde elettromagnetiche alla diffusione della luce Spettro dell’onda Lo spettro di una onda rappresenta l'insieme delle ampiezze (o energia) di ciascuna funzione sinusoidale (componente di frequenza) che compone l'onda stessa. Ogni onda può essere scomposta in una serie di onde sinusoidali di diverse frequenze, ognuna con la propria ampiezza e fase. Questa scomposizione è nota come trasformata di Fourier. Nelle telecomunicazioni, lo spettro di un segnale è fondamentale per comprendere come il segnale viene trasmesso e ricevuto. Lo spettro del segnale determina quali frequenze vengono utilizzate per trasmettere l'informazione e quindi influisce sulla capacità del segnale di propagarsi attraverso diversi mezzi di trasmissione e di resistere a vari tipi di interferenze. Posso fare una rappresentazione di ciascun segnale, sia nel dominio del tempo che con una rappresentazione alternativa che è quella spettrale, che mi dice quali sono le componenti in frequenza incluse nel segnale che evolve nel tempo 2.2 Analisi di Fourier Le analisi di Fourier sono un ramo dell'analisi matematica che si occupa di rappresentare una funzione periodica come una somma di funzioni sinusoidali di frequenze diverse. 2.2.2 Serie di Fourier Il principale obiettivo delle serie di Fourier è quello di fornire una rappresentazione di una funzione periodica attraverso una combinazione lineare di funzioni sinusoidali. Ciò consente di studiare il comportamento di una funzione periodica e analizzare le sue componenti di frequenza. Per un segnale periodico di periodo T, la serie di Fourier ci permette di esprimere la funzione come una combinazione lineare di seni e coseni di frequenze multiple di 1 . 𝑇 Inoltre, la serie di Fourier ci consente di analizzare la forma d'onda di un segnale in termini di armoniche, ovvero i componenti sinusoidali che la compongono. • Questa rappresentazione può essere scritta come la somma di una serie infinita di termini, dove ogni termine rappresenta una sinusoidale di una specifica frequenza ( 𝑓𝑛 = 𝑛 𝑇 ) e ampiezza 𝐴. Sia f(x) periodica e di periodo 2π: ∞ ∑ 𝐹𝑛 𝑒 𝑖𝑛𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑛 = −∞ 𝐹𝑛 = 1 π ∫ 𝑓(𝑥) 𝑒 −𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 2π −π Essendo 𝑒 𝑖𝑛𝑥 = cos(𝑛𝑥) + 𝑖 sin(𝑛𝑥) si ha: ∞ 𝑎0 2π 2π 𝑓(𝑥) = + ∑ [𝑎𝑛 cos ( 𝑛𝑥) + 𝑏𝑛 sin( 𝑛𝑥)] 2 𝑇 𝑇 𝑛=1 • 2 T 𝑎0 = 𝑇 ∫2T 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − 2 T • • 𝑎𝑛 = 2 2 2π ∫ 𝑓(𝑥) cos ( 𝑇 𝑛𝑥) 𝑇 −T 2 2 T 2 T − 2 𝑑𝑥 2π 𝑏𝑛 = 𝑇 ∫ 𝑓(𝑥) sin ( 𝑇 𝑛𝑥) 𝑑𝑥 Ciascun coefficiente an e bn ci dice, per ciascuna componente a frequenza fn, quanto essa è forte nel segnale x(t). • Questi coefficienti indicano l'importanza relativa di ciascuna frequenza all'interno del segnale periodico. 2.2.3 Trasformata di Fourier Lo sviluppo in serie di Fourier è il caso particolare per funzioni periodiche della più generale trasformazione di Fourier. La trasformazione di Fourier permette di passare dal dominio del tempo a quello della frequenza, dove molte operazioni legate all’elaborazione dei segnali appaiono matematicamente più semplici. ∞ 𝑓̂(𝜉) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑒 −2π𝑖𝑥𝜉 𝑑𝑥 −∞ Proprietà La trasformata di Fourier è un operatore matematico che gode di numerose importanti proprietà • • Linearità: 𝐹[𝑎1 𝑥1 (𝑡) + 𝑎2 𝑥2 (𝑡)] = 𝑎1 𝐹[𝑥1 (𝑡)] + 𝑎2 𝐹[𝑥2 (𝑡)] Traslazione temporale: la trasformata di Fourier del segnale x(t) ritardato o anticipato di una fase θ vale: 𝐹[𝑥(𝑡 − 𝜃)] = 𝐹[𝑥(𝑡)]𝑒 −𝑖2π𝜃𝑓 o Shift in tempo -> Moltiplicazione per una sinusoide in frequenza. • • o Shift in frequenza -> Moltiplicazione per una sinusoide nel tempo. Modulazione e traslazione: La modulazione di un segnale consiste nell'aggiungere una portante1 sinusoidale al segnale originale. La modulazione del segnale x(t), di una frequenza f0, corrisponde alla traslazione della sua trasformata di Fourier: 𝐹[𝑥(𝑡)]𝑒 −𝑖2π𝜃𝑓 = 𝑋(𝑓 ± 𝑓0 ) e si ottiene dalla composizione di due trasformate del segnale una simmetrica all’altra rispetto all’asse verticale. 1 𝐹[𝑥(𝑡) cos(2π𝜃𝑓)] = [𝑋(𝑓 − 𝑓0 ) + 𝑋(𝑓 + 𝑓0 )] 2 1 𝐹[𝑥(𝑡) sin(2π𝜃𝑓)] = [𝑋(𝑓 − 𝑓0 ) + 𝑋(𝑓 + 𝑓0 )] 2 Scalamento: corrisponde ad una dilatazione o un restringimento sull’asse dei tempi, e rispettivamente ad un restringimento o una dilatazione sull’asse delle frequenze. Secondo le proprietà dello scalamento, espandere l’asse dei tempi corrispondere a comprimere l’asse delle frequenze e viceversa. 𝐹[𝑥(𝐾𝑡)] = 1 𝑓 𝑋(𝐾) |𝐾| Ad esempio, la funzione “porta”, qui sotto raffigurata, è una funzione limitata nel tempo che dà luogo ad una funzione illimitata in frequenza: si noti che la funzione nel dominio della frequenza oscilla per 𝑓 → ∞ , ma non va mai a zero: 2.3 Sistemi lineari Un sistema in generale è un elemento che trasforma un segnale in un altro segnale. 1 La portante è un'onda, solitamente sinusoidale, di frequenza fissa e nota, utilizzata in telecomunicazioni per trasportare un segnale informativo da un trasmettitore a un ricevitore. La portante viene modulata, ovvero variata in ampiezza, frequenza o fase, in base al segnale informativo da trasmettere. Questa modulazione permette di trasferire il segnale informativo su frequenze più elevate, rendendolo adatto alla trasmissione attraverso un canale di comunicazione o un mezzo trasmissivo, come l'aria in caso di trasmissioni radio. Un sistema operante una trasformazione 𝛤[⋅] sul segnale in ingresso x(t), tale da generare un segnale in uscita 𝑦(𝑡) = 𝛤[𝑥(𝑡)], si dice: • • • • • • Stabile: quando ogni segnale x(t) in ingresso di ampiezza limitata, si trasforma in un segnale y(t) in uscita anch’esso con ampiezza limitata Causale: quando la risposta del sistema all’istante t dipende soltanto dai valori del segnale in ingresso all’istante t e/o negli istanti precedenti Senza memoria: quando la risposta del sistema all’istante di tempo t dipende dal valore dell’ingresso al medesimo istante e non dagli istanti precedenti Invertibile: quando, conoscendo la risposta fornita dal sistema, è possibile ricavarne senza ambiguità il segnale in ingresso Lineare: se la trasformazione 𝛤[⋅] soddisfa la condizione 𝛤[𝑎1 𝑥1 (𝑡) + 𝑎2 𝑥2 (𝑡)] = 𝑎1 𝛤[𝑥1 (𝑡)] + 𝑎2 𝛤[𝑥2 (𝑡)]. Se abbiamo due segnali distinti e li amplifichiamo separatamente, l'uscita sarà la stessa se sommiamo prima i segnali e poi li amplifichiamo. Ciò avviene quando la funzione di trasformazione 𝛤[⋅] gode contemporaneamente della proprietà additiva e di omogeneità, e si ha quindi per i sistemi per cui vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Tempo invariante: se, dato un sistema che opera la trasformazione 𝑦(𝑡) = 𝛤[𝑥(𝑡)], è soddisfatta la condizione 𝛤[𝑥(𝑡 ± 𝜏)] = 𝑦(𝑡 ± 𝜏). La risposta del filtro a un segnale in ingresso non dipende dal momento in cui il segnale viene applicato. Se ritardiamo l'input, otteniamo lo stesso output, solo ritardato di un intervallo di tempo equivalente. 2.3.1 Risposta all’impulso e funzione di trasferimento Un sistema lineare tempo invariante (LTI) è un sistema che ha la proprietà di essere lineare e invariante nel tempo, cioè la risposta del sistema ad un ingresso dipende solo dalla forma dell'ingresso stesso e non dal momento in cui l'ingresso viene applicato al sistema, opera la seguente trasformazione 𝑦(𝑡) = ℒ[𝑥(𝑡)]. Si definisce risposta all’impulso l’uscita del sistema quando al suo ingresso viene posto un ingresso impulsivo pari alla delta di Dirac: ℎ(𝑡) ≜ ℒ[𝑥(𝑡)]. • La conoscenza della risposta all'impulso h(t) consente di calcolare la risposta di uscita del sistema ad un qualunque ingresso x(t) attraverso l'operazione di convoluzione (*), che è una operazione matematica che consiste nell'integrare il prodotto tra la funzione di ingresso e la risposta all'impulso, traslata e invertita rispetto all'ingresso: +∞ 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 −∞ La risposta all'impulso h(t) ha una proprietà particolarmente importante, ossia quella di essere univocamente determinata dal sistema LTI. Ciò significa che, per un determinato sistema LTI, esiste una sola risposta all'impulso h(t) che caratterizza completamente il sistema. In altre parole, conoscere la risposta all'impulso h(t) consente di ricostruire completamente il sistema LTI, senza dover conoscere i dettagli del suo funzionamento interno. La funzione di trasferimento di un sistema lineare tempo invariante (LTI) è una caratteristica fondamentale del sistema che ne descrive il comportamento in frequenza. Essa è la trasformata di Fourier della risposta all'impulso del sistema, ovvero 𝐻(𝑓) = 𝐹[ℎ(𝑡)], dove h(t) è la risposta all'impulso del sistema e F rappresenta la trasformata di Fourier. La funzione di trasferimento H(f) fornisce informazioni sul modo in cui il sistema risponde alle varie frequenze dell'ingresso. In particolare, essa rappresenta la relazione tra l'ingresso x(t) e l'uscita y(t) del sistema in termini di ampiezza e fase per ogni frequenza del segnale. Infatti, si può dimostrare che la trasformata di Fourier dell'uscita y(t) è il prodotto tra la trasformata di Fourier dell'ingresso x(t) e la funzione di trasferimento H(f): 𝑌(𝑓) = 𝐻(𝑓) ∙ 𝑋(𝑓). Questa relazione è particolarmente importante poiché consente di semplificare notevolmente l'analisi dei sistemi LTI. Infatti, grazie alla proprietà della trasformata di Fourier della convoluzione, l'operazione di convoluzione tra l'ingresso x(t) e la risposta all'impulso h(t) nel dominio del tempo corrisponde ad una semplice moltiplicazione tra le rispettive trasformate di Fourier X(f) e H(f) nel dominio della frequenza. 2.3.2 Interconnessione di sistemi LTI Quando si ha a che fare con sistemi lineari tempo invarianti (LTI) complessi, questi possono essere ottenuti attraverso la connessione di sistemi elementari più semplici. Ciò significa che un sistema LTI più complesso può essere visto come un insieme di sottosistemi LTI elementari collegati tra loro. In questo caso, la funzione di trasferimento globale del sistema complesso può essere ottenuta attraverso la funzione di trasferimento di ciascun sottosistema. Considerando le seguenti tipologie elementari di interconnessione: • Interconnessione in serie: Htot(f) = 𝑌(𝑓) 𝑋(𝑓) =H1(f) ˑ H2(f) due o più sistemi LTI vengono collegati in modo tale che l'uscita del primo sistema sia l'ingresso del secondo sistema, e così via. In questo modo, l'uscita del sistema complessivo dipende dall'ingresso e dalle caratteristiche di ciascun sistema LTI. • 𝑌(𝑓) Interconnessione in parallelo: Htot(f) = 𝑋(𝑓) =H1(f) + H2(f) due o più sistemi LTI sono collegati in modo tale che l'ingresso sia diviso tra i sistemi, e le uscite di ciascun sistema sono sommate per creare l'uscita globale. In questo modo, il sistema complessivo ha più percorsi attraverso i quali l'ingresso può fluire. Diagramma a blocchi Un diagramma a blocchi è una rappresentazione grafica di un sistema LTI, costituito da un insieme di blocchi fondamentali che rappresentano i sottosistemi elementari interconnessi tra loro. Ogni blocco rappresenta un sistema LTI con una propria funzione di trasferimento, che descrive la relazione tra l'ingresso e l'uscita del blocco. La connessione dei blocchi avviene attraverso le loro uscite e ingressi, seguendo le regole dell'interconnessione in serie o in parallelo. Consideriamo l’elenco dei blocchi fondamentali: • Sommatore: Il sommatore è un blocco fondamentale che consente di sommare due o più segnali in ingresso per ottenere un segnale in uscita, la cui ampiezza corrisponde alla somma delle ampiezze dei segnali in ingresso. Il sommatore può essere realizzato con un amplificatore operazionale (op-amp) con due o più ingressi, oppure con circuiti discreti che utilizzano resistenze e operazioni matematiche di addizione. • Ritardatore: Il ritardatore è un blocco fondamentale che introduce un ritardo costante nel segnale in ingresso. In altre parole, il segnale in uscita dal ritardatore è lo stesso segnale in ingresso, ma spostato nel tempo di un certo intervallo. Il ritardatore può essere realizzato con un circuito RC, con un circuito che utilizza una linea di trasmissione o con un dispositivo digitale come un registro a scorrimento. 𝐻(𝑓) = e-j2πfT • Amplificatore: L'amplificatore è un blocco fondamentale che aumenta l'ampiezza del segnale in ingresso. L'amplificatore può essere realizzato in diverse configurazioni, come ad esempio amplificatori operazionali (op-amp), transistor o circuiti integrati specializzati. L'amplificatore può essere utilizzato per aumentare la potenza del segnale, migliorare il rapporto segnale-rumore o adattare l'impedenza di uscita del sistema alle caratteristiche del carico. h(t) = Aδ(t) H(f) = A Con ritardatori e amplificatori opportunamente concatenati si possono ottenere sistemi LTI con funzioni di trasferimento desiderate nella forma: • Filtri a risposta all’impulso infinita (IIR): I filtri IIR hanno una risposta all'impulso che continua (teoricamente) all'infinito. Questi filtri utilizzano la retroazione, il che significa che l'uscita del filtro in un dato momento è una funzione dei valori di ingresso correnti e passati. I filtri IIR possono essere più efficienti in termini di risorse computazionali rispetto ai filtri FIR per ottenere le stesse specifiche di filtro. Tuttavia, possono avere problemi di stabilità (l'uscita potrebbe "esplodere" con certi input) e non hanno fase lineare. HIIR(f) = • ∑𝑖 𝛼𝑖 𝑒 −j2π𝑓𝜏𝑖 ∑𝑘 𝛽𝑘 𝑒 −j2π𝑓𝜏𝑘 Filtri a risposta all’impulso finita (FIR): I filtri FIR hanno una risposta all'impulso che si esaurisce (diventa zero) dopo un numero finito di passaggi del tempo. Questi filtri non utilizzano la retroazione, il che significa che l'uscita del filtro in un dato momento è una funzione solo dei valori di ingresso correnti. I filtri FIR hanno diverse proprietà desiderabili, tra cui la stabilità (l'uscita non "esploderà" indipendentemente dall'input) e la fase lineare (la fase del segnale in uscita rispetto al segnale in ingresso non cambia con la frequenza). Tuttavia, per ottenere le stesse specifiche di un filtro IIR, un filtro FIR può richiedere più risorse computazionali. HFIR(f) = ∑𝑖 𝛼𝑖 𝑒 −j2π𝑓𝜏𝑖 2.4 Banda La larghezza di banda rappresenta l'intervallo di frequenze in cui un segnale o una funzione di trasferimento hanno una significativa presenza di energia, ovvero maggiore di una certa soglia prestabilita. Al di fuori di questo intervallo, il segnale o la funzione di trasferimento hanno un'energia trascurabile. La larghezza di banda è pari al supporto del segnale nel dominio della frequenza, cioè all’intervallo di frequenze in cui il segnale non è nullo. In altre parole, la banda rappresenta il range di frequenze che un sistema o un segnale è in grado di gestire o trasmettere. Ci sono diverse definizioni di larghezza di banda, tutte legate al modulo al quadrato della trasformata di Fourier del segnale o della funzione di trasferimento: |H(f)|2 oppure |X(f)|2. Questa definizione è legata alla capacità di un sistema di trasmettere informazioni, in quanto la banda di un segnale può limitare la quantità di informazioni che può essere trasmessa attraverso quel segnale. La definizione di banda come "misura del supporto" della trasformata di Fourier può risultare troppo restrittiva in molti casi, poiché molti segnali e sistemi hanno trasformate di Fourier con supporto infinito. Pertanto, in molti contesti applicativi, è necessario utilizzare definizioni di banda più utili e pragmatiche. Ad esempio, la banda può essere intesa come l'intervallo di frequenze in cui il modulo della funzione di trasferimento del sistema è superiore a una certa soglia, solitamente specificata come un valore percentuale massimo rispetto al massimo assoluto della funzione di trasferimento. In altre parole, la banda può essere definita come l'intervallo di frequenze in cui la funzione di trasferimento del sistema ha una risposta significativa, ad esempio superiore al 90% del valore massimo. Un'altra definizione comune di banda è l'intervallo di frequenze in cui la funzione di trasferimento del sistema scende sotto una determinata soglia, solitamente specificata come un valore percentuale massimo rispetto al massimo assoluto della funzione di trasferimento. In altre parole, la banda può essere definita come l'intervallo di frequenze in cui la funzione di trasferimento del sistema ha una risposta trascurabile, ad esempio inferiore al 10% del valore massimo. Poiché la trasformata di Fourier di un segnale o di un sistema reale è una funzione pari, il modulo al quadrato della funzione di trasferimento è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, ovvero |H(f)|2 = |H(-f)|2. Questo significa che la banda del sistema è simmetrica rispetto all'asse delle frequenze. Ad esempio, se la banda del sistema è definita come l'intervallo di frequenze in cui il modulo al quadrato della funzione di trasferimento supera il 90% del valore massimo, allora l'intervallo di frequenze negativo simmetrico rispetto all'asse delle frequenze deve avere lo stesso valore di banda. Spesso si considera solo la parte positiva dell’asse delle frequenze, misurando la banda unilatera, che equivale alla metà della banda bilatera. • La larghezza di banda ha diverse implicazioni importanti quando si trasmette un segnale analogico: o Capacità del canale: La larghezza di banda è direttamente correlata alla capacità del canale, che è la quantità massima di informazioni che possono essere trasmesse attraverso il canale per unità di tempo. Secondo il teorema di Shannon, la capacità di un canale di comunicazione è proporzionale alla sua larghezza di banda. Pertanto, se si desidera trasmettere un segnale con un alto tasso di dati, è necessario avere un canale con una larghezza di banda sufficiente. o Qualità del segnale: La larghezza di banda del canale può influenzare la qualità del segnale ricevuto. Se la larghezza di banda del canale è inferiore alla larghezza di banda del segnale, il segnale potrebbe essere distorto o attenuato durante la trasmissione. Questo può portare a errori nella ricezione dei dati. o Interferenza e rumore: La larghezza di banda del canale può influenzare la quantità di rumore e interferenza che il segnale può tollerare. Canali con larghezza di banda più ampia sono generalmente più suscettibili al rumore e all'interferenza. o • Efficienza spettrale: Conoscere la larghezza di banda disponibile può aiutare a progettare sistemi di comunicazione che fanno un uso efficiente dello spettro. Questo è particolarmente importante nelle comunicazioni wireless, dove lo spettro è una risorsa limitata e costosa. La banda può essere aumentata o ridotta attraverso tecniche di filtraggio e di elaborazione del segnale, in modo da adattare il sistema alle specifiche esigenze di trasmissione o elaborazione dei dati. 2.4.1 Banda e filtri La relazione tra la banda del filtro e quella del segnale di ingresso è un aspetto fondamentale nel processo di filtraggio dei segnali. La banda di un filtro rappresenta l'intervallo di frequenze in cui il filtro può attenuare o amplificare il segnale in ingresso, mentre la banda del segnale è l'intervallo di frequenze in cui il segnale presenta energia significativa. Dato che infatti |Y(f)|2 = |H(f)|2 ˑ |X(f)|2 si hanno: • Situazioni di segnali in ingresso con banda più stretta di quella del filtro: Il segnale attraversa il filtro senza subire significative attenuazioni o distorsioni. Il segnale in uscita dal filtro è sostanzialmente lo stesso del segnale di ingresso: Y(f) ≈ X(f). Questa situazione è comune quando si utilizzano filtri passa-basso per rimuovere rumori ad alta frequenza da un segnale con frequenze significative solo in una banda inferiore. • Situazioni di segnali in ingresso con banda più larga di quella del filtro: Il filtro riduce l'ampiezza delle componenti del segnale al di fuori della sua banda di frequenza, causando un'attenuazione o distorsione significativa del segnale in uscita rispetto al segnale di ingresso Y(f) ≠ X(f). In questa situazione, è importante scegliere un filtro con una banda sufficientemente ampia per catturare tutte le frequenze importanti del segnale in ingresso, altrimenti si perderanno informazioni importanti del segnale. La definizione di banda a 3dB è usata in particolare quando si parla di filtri. • Su scala lineare (|H(f)|2) la larghezza di banda Bp è pari all’intervallo di frequenze compreso tra le frequenze di taglio inferiore f1 e la frequenza di taglio superiore f2, intese come un dimezzamento rispetto al valore massimo A. • Su scala logaritmica (|𝐻(𝑓)|2𝑑𝐵 = 10𝑙𝑜𝑔10 |𝐻(𝑓)|2 ) la larghezza di banda Bp è pari all’intervallo di frequenze compreso tra le frequenze di taglio inferiore f1 e la frequenza di taglio superiore f2, intese come un’attenuazione di 3dB rispetto al valore massimo AdB. In altre parole, si indica con banda 3dB il punto nel quale il modulo quadro della funzione di trasferimento (impropriamente definito anche come spettro) diminuisce del 50% rispetto al picco; diminuisce cioè di 3dB 2.4.2 Classificazione dei filtri I filtri possono essere utilizzati in una vasta gamma di applicazioni in cui è necessario filtrare o elaborare segnali in base alle loro caratteristiche di frequenza. La scelta del tipo di filtro dipende dalle specifiche esigenze dell'applicazione e dalla tipologia di segnale che si vuole elaborare. (Queste spiegazioni tengono conto di bande unilaterali, mentre le immagini di bande bilaterali). • • • • Passa basso: Questo tipo di filtro permette il passaggio di frequenze inferiori ad un certo valore di taglio (fcutoff), attenuta progressivamente a partire da questa frequenza. Frequenze superiori al valore di taglio vengono invece drasticamente attutite. Il filtro passa basso è comunemente utilizzato in applicazioni audio per eliminare le alte frequenze indesiderate o per mantenere solo le basse frequenze. Passa banda: Un filtro passa banda permette il passaggio delle frequenze comprese in un intervallo definito tra due valori di taglio (fmin e fmax), attenute fuori da questo intervallo. Il filtro passa banda è comunemente utilizzato per selezionare solo alcune frequenze in un segnale, come ad esempio in ricevitori radio e televisori. Passa alto: Il filtro passa alto è il contrario del filtro passa basso, e permette il passaggio di frequenze superiori ad un certo valore di taglio, attenuta progressivamente a partire da questa frequenza. Frequenze inferiori al valore di taglio vengono drasticamente attutite. Questo tipo di filtro è comunemente utilizzato per eliminare le basse frequenze indesiderate. Elimina banda: Il filtro elimina banda, noto anche come notch filter, permette il passaggio di tutte le frequenze eccetto un intervallo specifico, attenuto in modo significativo. Questo filtro è spesso utilizzato per eliminare una frequenza specifica o una banda di frequenze indesiderate, ad esempio un'interferenza da parte di un segnale vicino o di un rumore di linea. Gli ultimi due filtri sono filtri ideali, perché non esistono filtri a banda infinita. Un filtro ideale è un modello teorico di filtro che presenta le migliori caratteristiche possibili: • • Guadagno unitario nella banda passante: ossia le frequenze che il filtro lascia passare senza attenuare Guadagno nullo nella banda attenuata (o oscura): le frequenze che il filtro attenua o blocca completamente In altre parole, è un filtro che, idealmente, permette il passaggio di tutte le frequenze all'interno di una banda specifica senza attenuarle, mentre blocca completamente tutte le frequenze al di fuori di questa banda. Tuttavia, il filtro ideale non è fisicamente realizzabile in quanto la sua anti-trasformata di Fourier, ovvero la risposta impulsiva del filtro, non è causale (cioè non può essere descritta come una funzione che è nulla prima di un certo istante di tempo). Un filtro passa basso ideale è rappresentato da una funzione di trasferimento H(f) con un guadagno unitario fino a una certa frequenza di taglio fc e guadagno nullo per tutte le frequenze superiori a fc. Questo tipo di filtro è idealmente descritto come un filtro rettangolare in frequenza, poiché la funzione di trasferimento ha una forma a gradino che corrisponde al passaggio da guadagno unitario a guadagno nullo al valore di frequenza di taglio fc. Tutti i filtri reali presentano una certa banda di transizione tra la banda passante e quella attenuata, caratterizzata da un gradiente di attenuazione non nullo, e quindi una certa distorsione del segnale in uscita. 2.4.3 Distorsione ed equalizzazione La distorsione lineare è un fenomeno che può essere causato da un sistema LTI e che modifica la forma del segnale di ingresso. Un fattore moltiplicativo o un ritardo non sono considerati distorcenti, in quanto non modificano la forma del segnale: i blocchi fondamentali ideali (amplificatore e ritardatore) non introducono distorsione lineare, qualsiasi frequenza si consideri. Nella realtà non è possibile realizzare un sistema ideale non distorcente, ma si possono realizzare dei sistemi che non introducono distorsione in una certa banda di frequenze. È importante notare che le sinusoidi che passano attraverso un sistema LTI non sono tutte moltiplicate per lo stesso valore costante. In particolare, un sistema LTI presenta una risposta in frequenza che dipende dalla frequenza stessa, il che significa che una sinusoidale che passa attraverso un sistema LTI viene modificata in modo differente in base alla sua frequenza. È possibile compensare la distorsione lineare di un sistema con un equalizzatore posto in serie. L'equalizzatore è un filtro che corregge la risposta in frequenza del sistema in modo che il segnale in uscita sia simile al segnale in ingresso. L'equalizzatore è progettato in modo da avere una risposta inversa a quella del sistema che introduce la distorsione, in modo da cancellare o attenuare la distorsione. Tuttavia, l'equalizzazione non è sempre possibile o conveniente, specialmente se la distorsione è molto complessa o se la larghezza di banda del segnale è molto ampia. 2.4.4 Modulazione e demodulazione Un sistema lineare che ha funzione di trasferimento di tipo passa-banda può trasmettere un segnale solo all'interno della banda passante. Tuttavia, un segnale in banda base, cioè il segnale la cui frequenza è compresa tra 0 e la massima frequenza del segnale originale, può essere trasmesso attraverso un canale avente una funzione di trasferimento di tipo passa-banda solo dopo aver spostato il suo contenuto spettrale. Questo processo viene chiamato modulazione. La modulazione consente di trasportare le informazioni su un'onda sinusoidale, definita come "onda portante" o "carrier". Il procedimento prevede la modifica di una o più caratteristiche dell'onda portante in modo da "caricare" l'informazione su di essa. In altre parole, le informazioni del segnale modulante vengono "incorporate" nel segnale portante modificando una delle sue caratteristiche. La modulazione di un segnale x(t) consiste nella sua moltiplicazione per una cosinusoidale di frequenza nota come portante. La modulazione viene eseguita per spostare il contenuto spettrale del segnale a una frequenza differente dalla banda passante del canale. Il risultato della modulazione è un segnale modulato, la cui banda passante è centrata sulla frequenza della porta