Eléments de probabilité PDF

INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Eléments de probabilité Pr Najib FIKAL INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénom...

INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Eléments de probabilité Pr Najib FIKAL INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Outline INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Outline INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Théorie des probabilités : Une théorie mathématique pour quantifier le HAZARD un défi de l’homme face au divin : la théorie des probabilités a mit beaucoup de temps á propager. Az-zahr(le dé) : d’origine Arabe En europe, aux 16-17ème sciècles, émergence d’une science du jeu de dé : Kardan, Kepler Galilée. Théorie rigoureuse :Pascal controverses juridiques (Fermat, leibniz). problèmes d’assurances (Tables de Mortalités). statistiques : outils puissant par les organismes de décision INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Les dévelopements des mathématiques 19ème sciècle et début du 20 ème sciècle : Essor des probabilités grace aux méthodes d’analyse. Calcul intégral et différentiel (Laplace et Gauss). Théorie de la mésure (Borel, Lebesgue). A partir du 20ème sciècle : etude des phénomènes aléatoires qui évoluent au cours du temps. Processus de Markov Problèmes de physique statistique. Mouvement Brownien. Problèmes de démographie. Processus de Branchement. Processus de Poisson théorie statistique, biométrie. INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Aujourd’hui Le modéle probabiliste actuel : Kolmogorov-1933 calcul stochastique : Itô á partir de 1945. calcul intégral lié au mouvement brownien. INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Objectif : Prise en compte de l’aléatoire pour prendre une décision Comment prévoir en présence du hazard ? qualité, environnement, assurance, informatique... INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance On appelle Statistique l’ensemble des méthodes permettant d’analyser et de traiter des ensembles d’observations. INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Outline INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Introduction à la théorie de probabilité Ensemble fondamental : Considérons une expérience dont l’issue n’est pas prévisible mais l’ensemble des issues possibles est connue. Cet ensemble des issues possibles de l’experiénce est appelé l’ensemble fondamental de l’expérience est noté Ω. L’ensemble fondamental pourrait etre discret ou continu Exemples : On jette 2 dés. L’ensemble fondamental est ? ? On jette 2 dés en considérant la somme. L’ensemble fondamental est ? ? On considére la durée de survie aprés le diagnostic d’un cancer.L’ensemble fondamental est ? ? INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Liens entre ensembles et probabilités : ω point de Ω événement élémentaire A sous-ensemble de Ω événement aléatoire ω∈A ω appartient á A ω réalise A A⊂B A est contenu dans B A implique B A∪B réunion de A et B A ou B A∩B intersection de A et B A et B A complémentaire de A contraire de A ensemble vide événement impossible Ω ensemble plein événement certain A∩B= A et B disjoints A et B incompatibles INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Diagramme de Venn : Le calcul de probabilité á partir d’un diagramme de Venn : 75 billes au total 27 billes ont du vert 34 billes ont du rouge 27 billes ont du jaune 12 billes ont du vert et du rouge 8 billes ont du vert et du jaune 14 billes ont du rouge et du jaune 5 billes ont les trois couleurs INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Quelle est la probabilité de piger une qui a du rouge ? ? Quelle est la probabilité de piger une qui a du vert ou du jaune ? ? Quelle est la probabilité de piger une qui n’a pas du rouge ? ? Quelle est la probabilité de piger une qui a du vert et du jaune ? ? Quelle est la probabilité de piger une qui a du rouge sachant qu’elle a du jaune ? ? Quelle est la probabilité de piger une qui a du jaune sachant qu’elle a du rouge ? ? INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Commutativité : E∪F=F∪E E∩F=F∩E Associativité : (E∪F)∪G=E∪(F∪G) (E∩F)∩G=E∩(F∩G) Distributivité : (E∪F)∩G=(E∩G)∪(F∩G) (E∩F)∪G=(E∪G)∩(E∪F) Lois de Morgan : Sn
c Tn i=1 Ei = i=1 Eic Tn
c Sn i=1 Ei = i=1 Eic INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Théorie fréquensiste des probabilités Il existe plusieurs moyens de définir la probabilité d’un événement ; nous allons le faire selon la théorie fréquenciste des probabilités. Jet d’une pièce de monnaie non truqué plusieurs fois, on obtient presque autant de fois pile que face ⇓ 1 P(pile) = P(face) = 2 On suppose qu’une expérience d’ensemble fondamental Ω est exécutée plusieurs fois sous les mêmes conditions. Pour chaque événement E de Ω, on définit un n(E) comme le nombre de fois oú L’événement E survient lors des n premiéres répétitions de l’expérience. Alors P(E), la probabilité de l’événment E est définie par : P(E) = limn→∞ n(E) n INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Axiomes de probabilité Pour chaque événement E de Ω, nous admettons qu’un nombre P(E) existe et satisfait aux trois axiomes de probabilié suivants : Axiomes de Kolmogorov : 0 ≤ P(E) ≤ 1 P(Ω) = 1 Pour chaque séquence d’événements mutuellement exclusifs E1 , E2 ,......., En ; Sn
Pn P i=1 Ei = i=1 P(Ei ) P(E) est appelé la probabilité de l’événement E INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Exemple :Blackjack INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Ce jeu de casino se joue entre la ” banque ” et des joueurs. Il utilise un certain nombre de jeux de 52 cartes. Voici une règle simplifiée, pour un seul joueur. On utilise un seul jeu de 52 cartes. Chaque carte a une valeur : une de 2 á 10 : sa valeur faciale, ou nominale, une figure (valet, dame ou roi) : 10 points, un as : 1 ou 11 points, au gré du joueur. Rappelons que les quatre enseignes sont le coeur, le carreau, le trèfle et le pique. La banque commence par distribuer deux cartes au joueur. Le joueur peut ensuite demander á la banque des cartes supplémentaires, une á une. INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Il gagne s’il atteint exactement 21. Il perd s’il dépasse strictement 21. Sinon, il peut s’arrêter quand il veut, avec un total 0 La probabilité conditionnelle de A sachant B est le nombre P(A∩B) P(A/B) = P(B) Cela définit bien une probabilité et P(A ∩ B) = P(A/B)P(B) INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Exemples : 1. Mme X a deux enfants et laı̂née est une fille. Quelle est la probabilité que ses deux enfants soient des filles ? 2. Mme Y a au moins une fille. Quelle est la probabilité que ses deux enfants soient des filles ? INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Formule de Bayes Soit (Bi )i ∈ N une partition finie ou dénombrable de Ω : Bi ∩ Bj = pour i 6= j. ∪i∈N Bi = Ω Formule des probabilités totales : Pour tout A ∈ A, P P P(A) = i∈N P(A ∩ Bi ) = i∈N P(A/Bi )P(Bi ). INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Formule de Bayes : Si P(A) > 0, alors ∀i ∈ NP(Bi /A) = PP(A/Bi )P(Bi ) j P(A/Bj )P(Bj ) INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Une compagnie dassurance assure un nombre égal de conducteurs et de conductrices. Conductrice : probabilité a davoir un accident. Conducteur : probabilité b davoir un accident. Probabilité quune personne sélectionnée au hasard ait un accident ? Probabilité quune personne ayant eu un accident soit un conducteur ? INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Indépendance Cas où le fait que A est réalisé ninflue pas sur la probabilité de réalisation de B et réciproquement. Définition Deux événements aléatoires A et B sont indépendants si et seulement si :P(A ∩ B) = P(A)P(B). On a : P(A ∩ B) = P(A)P(B) ⇐⇒ P(A/B) = P(A) ⇐⇒ P(B/A) = P(B) INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Exemples et remarques Exemple : On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. 4 A = la carte est un as et P(A) = 52 ; B = la carte est un carreau et P(B) = 13 52 ; 1 P(A ∩ B) = P( la carte est las de carreau) = 52 = P(A)P(B). Ainsi, les événements A et B sont indépendants. Propriétés A et B indépendants ⇐⇒ Ac et Bc indépendants ⇐⇒ Ac etB indépendants⇐⇒ A et Bc indépendants. Lindépendance est liée au choix de la probabilité. Exemple : jeu de cartes truqué. Q(valet de pique)= 12 , Q(autre carte) = 12 51 1 1 511 = 102. 1 2 13 S Alors Q(as carreau) = 102 6= Q(as)Q(carreau) = 51 102. INTRODUCTION Introduction à la théorie de probabilité Dénombrement Conditionnement et indépendance Exemples et remarques fondamentales Exemple : On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. A = la carte est un as et P(A) = 524 ; B = la carte est un carreau et P(B) = 1352. P(A?B) = P( la carte est las de carreau)= 521 = P(A)P(B). Ainsi, les événements A et B sont indépendants.