Sistemas de Comunicação Digital PDF

INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA Sistemas de Comunicação Digital CARLOS EDUARDO DE MENESES RIBEIRO  À minha mulher, Ilda Ribeiro. Às minhas filhas, Joana, Ana e Sara.  Prefácio i ____________________...

INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA Sistemas de Comunicação Digital CARLOS EDUARDO DE MENESES RIBEIRO  À minha mulher, Ilda Ribeiro. Às minhas filhas, Joana, Ana e Sara.  Prefácio i __________________________________________ Prefácio __________________________________________ Por telecomunicações entende-se a transmissão à distância de informação utilizando sinais eletromagnéticos, através de fios elétricos, sistemas óticos ou ligações rádio. Atualmente, recorrendo a satélites, há ligação de telecomunicações de qualquer ponto do mundo para qualquer outro ponto do mundo, naquilo que nos habituamos a designar por aldeia global. As telecomunicações fazem parte do nosso dia-a-dia, aproximando pessoas e empresas e contribuindo decisivamente para o bem-estar das populações e para o desenvolvimento da economia. Cada vez mais temos o telefone móvel à mão e o acesso à Internet em múltiplos dispositivos. Com estes conseguimos falar e trocar mensagens com pessoas em qualquer parte do mundo, temos acesso às redes sociais, ao correio eletrónico e a toda a informação disponibilizada na world wide web. A Internet modificou os serviços tradicionais de telecomunicações, disponibilizando rádio e televisão. Nos estúdios de rádio podem existir câmaras, confundindo-se com a televisão. A televisão é visualizada em alta-definição em direto, pré-gravada ou através de disponibilização de vídeos. Acresce que as telecomunicações não envolvem apenas a comunicação humana, mas também a comunicação entre computadores e dispositivos eletrónicos, para atualização e sincronização de informação, navegação por satélite ou interligação de componentes de controlo de um avião ou um automóvel. Notas históricas globais Em 1822, Jean-Baptiste Fourier, francês, publicou o livro Théorie analytique de la chaleur que abriu caminho para a teoria de análise de Fourier, teoria matemática que tem um papel central na noção de espectro e no desenvolvimento posterior das telecomunicações. Em 1837, Samuel Morse, inventor, físico e pintor americano, inventou o telégrafo de um só fio, com registro das mensagens numa fita de papel. As mensagens ii Prefácio eram transmitidas através do código Morse. Este é um sistema digital, com dois símbolos correspondentes à presença do sinal (também designado por mark, uma vez que, para descodificar a mensagem no recetor, se traçava uma marca num papel) ou à interrupção (também designada por space, uma vez que se deixava um espaço em branco entre marcas). Por semelhança com este código, o nível lógico “1” é por vezes designado por mark, e o nível lógico “0” por space. A presença do sinal pode ser de curta duração (ponto) ou de longa duração (traço). O telégrafo deu início às telecomunicações e, até aos nossos dias, muitos outros acontecimentos marcaram a evolução das telecomunicações, sendo a seguir apresentados, por ordem cronológica, alguns dos mais relevantes: 1850 – Pela primeira vez foi instalado um cabo submarino no canal da Mancha, entre o sul de Inglaterra e o norte de França, para transmissão de sinais telegráficos. O primeiro lançamento de um cabo submarino intercontinental com sucesso deu-se em 1858, entre o Canadá e a Irlanda, com um débito de apenas duas palavras por minuto; 1860 – Antonio Meucci, italiano, inventou o telefone por volta de 1860. No entanto, durante muitos anos o inventor do telefone foi considerado Alexander Graham Bell, escocês, que o patenteou em 1876. Por coincidência, Elisha Gray, americano, tentou patentear um sistema idêntico poucas horas depois de Bell; 1864 – James Clerk Maxwell, britânico, formulou a teoria eletromagnética e previu a existência de ondas de rádio. A existência destas ondas ficou experimentalmente provada em 1888, pelo alemão Heinrich Rudolf Hertz; 1893 – Roberto Landell de Moura, padre, cientista e inventor brasileiro, efetuou, supostamente, a primeira transmissão de fala via rádio, em Portalegre, Brasil. Só em 1920, na Argentina e EUA, começaram as transmissões para entretenimento; 1896 – Guglielmo Marconi, italiano, patenteou a telegrafia sem fios (TSF), que transmitia sinais telegráficos via rádio; 1904 – John Ambrose Fleming, britânico, inventou o díodo a vácuo e deu origem ao desenvolvimento da eletrónica moderna;  Prefácio iii 1927 – Philo Taylor Farnsworth, americano, demonstrou o funcionamento de um sistema completo de televisão; 1928 – John B. Johnson, americano, demonstrou pela primeira vez a existência de ruído térmico, uma das principais causas da degradação de qualidade nas telecomunicações; 1928 – Harry Nyquist, sueco-americano, publicou o artigo “Certain Topics in Telegraph Transmission Theory”, apresentando nomeadamente critérios de transmissão digital sem distorção e lançando as bases do teorema da amostragem de Nyquist-Shannon; 1928 – Ralph Hartley, americano, publicou o artigo “Transmission of Information”, apresentando a regra de Hartley e lançando as bases do teorema da capacidade de canal de Shannon-Hartley; 1943 – Dwight North, americano, apresentou o artigo “An analysis of the factors which determine signal/noise discrimination in pulsed carrier systems”. Report PPR-6C, RCA Laboratories, Princeton, NJ, em que introduziu o conceito de filtro adaptado ou filtro de correlação, para deteção de sinais com ruído; 1945 – Arthur Clarke, britânico, apresentou o conceito de satélite geoestacionário no seu artigo “Can Rocket Stations Give Worldwide Radio Coverage?”, publicado na revista Wireless World; 1946 – John P. Eckert Jr. e John W. Mauchly, americanos, da Universidade de Pensilvânia, EUA, criaram o ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer), primeiro computador eletrónico digital; 1947 – William Shockley, John Bardeen e Walter Brattain, americanos, da Bell Laboratories, EUA, inventaram o transístor, um trabalho que lhes valeu o Prémio Nobel da Física em 1956; 1948 – Claude Shannon, americano, apresentou o seu artigo intitulado “A Mathematical Theory of Communication”, formulando a teoria da informação, que incluía o efeito do ruído no canal de comunicação sobre a comunicação digital; iv Prefácio 1949 – Claude Shannon apresentou o seu artigo intitulado “Communication in the presence of noise” que, baseado no trabalho de Nyquist, introduziu o teorema da amostragem de Nyquist-Shannon; 1950 – Richard W. Hamming, americano, publicou o artigo “Error detecting and error correcting codes”, base da codificação de controlo de erros; 1952 – David Huffman, americano, publicou o artigo “A Method for the Construction of Minimum-Redundancy Codes”, propondo os códigos de Huffman para codificação de fonte sem perdas; 1956 – A empresa Ericsson desenvolveu o primeiro telefone móvel para automóvel, que pesava 40 kg. Utilizava um conjunto de antenas interligadas (células) e escolhia automaticamente a frequência da portadora; 1957 – A URSS lançou o Sputnik I, o primeiro satélite artificial da Terra. Tinha uma forma esférica de 58 cm de diâmetro e pesava 83,6 kg. Transmitia um sinal rádio do tipo “bip”, capaz de ser recebido na terra por qualquer recetor. Funcionou 22 dias, até que as baterias se esgotaram. Orbitou a terra durante três meses; 1962 – Lançamento do satélite Telstar 1, pela NASA, desenvolvido com a participação da AT&T, que permitiu a primeira transmissão em direto entre os EUA e a Europa. Esteve ativo durante 7 meses; 1969 – Foi criada a primeira rede de computadores, designada por ARPANET (Advanced Research Project Agency Network), com transmissão de pacotes entre computadores. Ligava a Universidade da Califórnia – Los Angeles, SRI – Stanford Research Institute, Universidade da Califórnia – Santa Bárbara e a Universidade de Utah. É considerada o primeiro troço da internet; 1973 – A empresa Motorola apresentou o primeiro telefone móvel pessoal, o Motorola DynaTAC 8000X. Com 33 cm de comprimento e 9 cm de largura, pesava 794 gramas. A primeira ligação foi realizada por Martin Cooper, diretor de sistemas de operações da empresa. Contudo, apenas em 1979 o telefone móvel entrou em funcionamento generalizado na Suécia e no Japão;  Prefácio v 1977 – Primeira utilização comercial da fibra ótica pela AT&T, para ligar duas centrais telefónicas distanciadas de 6 km, na Califórnia, EUA; 1983 – Foi normalizado pela ISO (International Organization for Standardization) o modelo OSI (Open Systems Interconnection), uma referência na interligação de redes de computadores; 1989 – Tim Berners-Lee, britânico, inventa a World Wide Web (WWW). Foi disponibilizada ao público em 1991 e é utilizada na Internet, tendo sido a partir daí que esta se popularizou; 1979 – Introdução da tecnologia 1G, analógica, para transmissão de sinais telefónicos via rádio; 1991 – Introdução da tecnologia digital GSM (Global System for Mobile Communications) 2G. Introduzido o conceito de Short Message Service (SMS). Foi objeto de atualizações posteriores, permitindo a transição para a geração seguinte, designadamente a transmissão em modo pacotes e suporte de débitos de transmissão mais elevados; 2001 – Introdução da tecnologia 3G, aumentando o débito de transmissão da rede 2G, generalizando o acesso à Internet e possibilitando a introdução dos smartphones. Foi objeto de atualizações permitindo o aumento do débito binário; 2010 – Introdução da tecnologia 4G, baseada no Protocolo Internet (IP – Internet Protocol) aumentando o débito binário da rede 3G. Possibilitou a transmissão de vídeos e jogos em tempo real. Foi objeto de atualizações, através da introdução do High Speed Packet Access, que permitiu o aumento considerável dos débitos de transmissão suportados; 2020 – Introdução da tecnologia 5G, aumentando o débito de transmissão e baixando a latência. Além de interligar telefones móveis interliga outros dispositivos como automóveis e eletrodomésticos, possibilitando maior automação e o paradigma Internet das Coisas (IoT – Internet of Things). vi Prefácio Notas históricas de Portugal Em Portugal, o serviço de telégrafo iniciou-se em 1855, com uma ligação entre o Terreiro do Paço, Palácio de S. Bento, Palácio das Necessidades e o Palácio de Sintra, onde normalmente o Rei se encontrava. Outras datas importantes na evolução das telecomunicações em Portugal são: 1857 – O serviço de telégrafo chegou ao grande público; 1870 – Instalação pela primeira vez de um cabo submarino em Portugal, ligando Carcavelos, Gibraltar e Inglaterra; 1877 – Começaram as primeiras experiências de instalação do telefone entre Lisboa e Carcavelos, que deram origem em 1882 à exploração do serviço telefónico em Lisboa e no Porto; 1902 – Foram inauguradas as primeiras estações de telegrafia sem fios; 1914 – Foi efetuada a primeira transmissão rádio com áudio em Portugal, por Fernando Medeiros, tendo sido ouvida a 100 metros de distância por um operador de telegrafia sem fios. Desde aí foram efetuadas várias emissões esporádicas, mas só em 1925 a estação P1AA – Rádio Portugal (futura CT1AA) iniciou emissões regulares; 1956 – Realizou-se a primeira emissão de televisão, ainda experimental e a preto e banco. A primeira emissão da televisão a cores realizou-se em 1976; 1985 – Foi estabelecida, por docentes da Universidade do Minho, a primeira ligação Internet em Portugal, com a Universidade de Manchester; 1991 – Foi criada a ANACOM - Autoridade Nacional de Comunicações, entidade independente reguladora das telecomunicações; 1994 – O primeiro operador de Internet no país começou a operar, através de modems de 28,8 kbit/s, utilizando linhas telefónicas tradicionais. Porquê comunicação digital? Um sinal elétrico diz-se analógico quando tem uma variação análoga à variação da grandeza física que se quer representar, tendo geralmente uma variação contínua ao  Prefácio vii longo do tempo. São exemplo os sinais de fala ou áudio captados por um microfone ou imagens e vídeo em que o sinal é proporcional à intensidade da luz e da cor. Na comunicação analógica estes sinais são transmitidos diretamente (banda de base) ou é transmitido um sinal sinusoidal, denominado portadora, cuja amplitude, frequência ou fase é alterada pela variação direta do sinal analógico a transmitir. Um sinal digital é composto por um conjunto de símbolos. Num sistema digital binário, por exemplo, existem dois símbolos, vulgarmente designados por símbolos lógicos “1” e “0”. Para transmitir sinais analógicos em sistemas digitais, os sinais analógicos têm de ser previamente convertidos em símbolos. Estes símbolos são transmitidos representando-os através de um número finito de formas de onda. Vivemos cada vez mais num mundo digital, estando as transmissões analógicas a ser substituídas por tecnologias digitais com algumas vantagens, tais como: Qualidade – Os sistemas de transmissão digital são menos sensíveis ao ruído no canal de comunicação que os analógicos. Para canais de maior dimensão, os sinais digitais podem ser regenerados em pontos intermédios, virtualmente sem erros; Eficiência espectral – Utilizando métodos de codificação de sinais eficazes e/ou codificações M-árias, que conseguem transmitir maior número de bits (binary digit) para a mesma largura de banda ocupada, a utilização de transmissão digital pode ocupar menor largura de banda que a transmissão analógica; Segurança – Os sinais digitais são mais fáceis de encriptar e, portanto, permitem realizar transmissões privadas e seguras; Acesso – O acesso, armazenamento e cópia no formato digital são mais simples e acessíveis que os mesmos processos em formato analógico; Serviços – O desenvolvimento das tecnologias digitais tem vindo a criar serviços, utilizando nomeadamente plataformas como a Internet e o telefone móvel. Tendo a primeira começado por transmitir apenas texto e o segundo apenas sinais de fala, verifica-se uma fusão de ambos e a partilha também de áudio e televisão, naquilo que se designa de convergência das telecomunicações. viii Prefácio Objetivos deste texto Este texto foi sendo escrito durante mais de duas décadas, no âmbito da unidade curricular de Telecomunicações I da Licenciatura em Engenharia de Eletrónica e Telecomunicações e de Computadores e da Licenciatura em Engenharia Informática, Redes e Telecomunicações do ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa. Pretende ser um instrumento pedagógico de complemento às aulas, em que os estudantes possam aprender de um modo autónomo, e inclui todos os tópicos lecionados. Serve também de bibliografia de apoio à unidade curricular de Comunicação Digital da Licenciatura em Informática e Computadores e à unidade curricular de Comunicações e Processamento de Sinais da Licenciatura em Engenharia Informática e Multimédia. Dada a crescente importância dos sistemas de comunicação digital, uma introdução a este tema deve corresponder ao primeiro contacto dos estudantes com a área das telecomunicações. Este texto foi escrito com esse propósito, abordando a transmissão digital entre dois pontos, através de um canal de comunicação passa-baixo. Na figura abaixo são apresentados os blocos constituintes de um sistema de comunicação digital. Nesta figura são também apresentadas as principais medidas de qualidade: a relação sinal-ruído (SNR – signal-to-noise ratio) que mede a qualidade de um sinal analógico afetado por ruído; e a probabilidade de erro de bit (𝐵𝐸𝑅 – bit error rate) que mede a qualidade de uma transmissão digital na presença de erros de bit. A comunicação digital pode ser considerada como a “arte da codificação”: Codificação de sinais, que representa em formato digital um sinal analógico, tendo em conta principalmente o compromisso entre o débito binário e a qualidade; Codificação de linha, que representa em formas de onda a sequência digital, de modo a melhor se adequar às caraterísticas do canal de comunicação; Codificação de controlo de erros, que codifica a sequência a transmitir, de modo que no recetor se possa detetar ou corrigir erros de bit devidos às limitações do canal de comunicação.  Prefácio ix Sistema de comunicação digital entre dois pontos. Os blocos em cima correspondem aos blocos constituintes do transmissor e em baixo do recetor, separados pelo canal de comunicação. Este texto, correspondendo integralmente à matéria de uma unidade curricular introdutória em sistemas de comunicação digital, não esgota de maneira nenhuma o tema. Os métodos de codificação de sinais que tirem partido intrínseco do conhecimento do tipo de sinais, tais como a codificação específica de sinais de fala, áudio ou vídeo, que conseguem boa qualidade a débitos binários mais baixos que a modulação por codificação de impulsos, não são aqui abordados. Também, por exemplo, a modulação digital para transmissão em canais passa-banda, os métodos matriciais de codificação de controlo de erros ou os códigos convolucionais de controlo de erros, não são tratados. Os conceitos básicos e as medidas de qualidade, contudo, são os mesmos, sendo nesse aspeto este texto propedêutico desses temas mais avançados, permitindo, supostamente, a sua mais rápida compreensão. Organização do texto Uma das principais dificuldades encontradas em projeto de telecomunicações é a otimização do sistema de modo que este tenha a melhor qualidade tendo em conta os recursos disponíveis, nomeadamente dois dos mais importantes: a energia disponível no transmissor; e a largura de banda disponível no canal de comunicação. Este texto apresenta os conceitos e discute os compromissos entre os recursos disponíveis e está x Prefácio dividido em duas partes distintas: a primeira apresenta uma introdução à codificação de sinais através da modulação por codificação de impulsos; a segunda apresenta uma introdução à transmissão de dados. Estas duas partes podem ser encaradas de modo independente, mas complementam-se numa introdução à comunicação digital. A primeira parte, sobre codificação de sinais por modulação por codificação de impulsos, compreende os capítulos 1 a 5 e é organizada do modo seguinte: o capítulo 1 introduz os métodos e atributos dos codificadores de sinal; o capítulo 2 apresenta a conversão analógico-digital e codificação amostra a amostra (PCM – Pulse Code Modulation) com quantificação uniforme, estabelecendo-se um sistema mínimo de codificação de sinais; o capítulo 3 descreve a quantificação PCM não uniforme que tira partido da distribuição de amplitudes do sinal; o capítulo 4 apresenta os conceitos básicos da codificação preditiva, que tira partido da correlação entre amostras consecutivas. De modo que o codificador se ajuste às caraterísticas do sinal de entrada, descrevem-se ainda métodos de predição e quantificação adaptativa; o capítulo 5 sintetiza as principais conclusões sobre os codificadores de sinais apresentados, comparando-os numa perspetiva de compromisso em relação aos seus atributos. A segunda parte, sobre transmissão de dados, compreende os capítulos 6 a 12 e é organizada do modo seguinte: o capítulo 6 introduz a transmissão de dados e enquadra os diversos blocos no modelo de referência OSI (Open Systems Interconnection); o capítulo 7 começa por descrever os atributos dos códigos de linha, que correspondem aos sinais a serem transmitidos em banda de base, ou seja, em canais do tipo “passa-baixo”, e apresenta os principais códigos de linha binários. Aborda seguidamente a solução do problema da interferência intersimbólica que advém da limitação da largura de banda do canal de comunicação, enquanto define a largura de banda ocupada. Termina com a apresentação de soluções para o sincronismo de símbolo, essencial numa transmissão digital; o capítulo 8 apresenta o modelo do canal de comunicação AWGN (Additive white Gaussian noise) e suas limitações: ruído, largura de banda, atenuação e distorção; Partindo do modelo do canal, o capítulo 9 apresenta o recetor ótimo e estima a probabilidade de erro de bit, para todos os códigos de linha mencionados no capítulo 7; o capítulo 10 introduz o conceito de transmissão M-ária,  Prefácio xi crucial para melhorar a eficiência espectral. É abordada a Lei de Shannon-Hartley sobre capacidade de canal em canais AWGN, correspondendo ao débito binário máximo possível de transmitir, virtualmente sem erros, para determinada relação sinal-ruído e largura de banda; o capítulo 11 sintetiza as principais conclusões e compara os diversos códigos de linha apresentados nos capítulos 7 a 10, discutindo os compromissos envolvidos entre os seus atributos; o capítulo 12 dedica-se à codificação de controlo de erros. Havendo erros de bit na comunicação, entre o transmissor e o recetor, é possível introduzir informação redundante de modo a detetá-los ou mesmo corrigi-los. Os capítulos 6 a 9 devem ser vistos de modo sequencial e constituem um todo coerente, obrigatório numa introdução mínima sobre comunicação de dados. Relembre-se que o capítulo 10 introduz o conceito de codificação M-ária, base da eficiência espectral e o capítulo 11 apresenta uma discussão sobre todos estes códigos. O capítulo 12 pode não ser considerado ou ser abordado logo a seguir ao capítulo 9. Por exemplo, num contexto de estudo de redes de computadores pode ser abordado independentemente do resto do texto, bastando para tal assumir que numa transmissão existem erros de bit devidos às limitações do canal de comunicação. Seguidamente apresentam-se anexos que correspondem a temas de dois níveis: (1) temas que devem já ser conhecidos, como conceitos de estatística, probabilidades e de sinais e sistemas, mas que devido à sua importância para a compreensão deste texto aqui se resumem; (2) e temas aprofundando alguns assuntos, não essenciais para a compreensão deste texto, mas que podem ser do interesse dos leitores. Após uma compilação das principais equações deduzidas ao longo do texto que podem servir de consulta em avaliações teóricas, são propostas atividades com âmbitos distintos para que os estudantes possam consolidar os seus conhecimentos: perguntas teóricas; exercícios resolvidos; exercícios propostos com soluções; e exercícios a resolver recorrendo a ambiente de programação. Para cada atividade está indicado o capítulo até ao qual são necessários conhecimentos para a resolver. Para compreensão deste texto os leitores devem ter conhecimentos introdutórios sobre estatística e probabilidades, sinais, análise de Fourier e sistemas lineares e xii Prefácio invariantes no tempo. Também devem saber programar, de modo a poderem realizar os exercícios que recorrem a ambiente de programação. Este texto corresponde a uma unidade curricular de 6 ECTS em que a exposição teórica deve ser lecionada em cerca de 30 horas. Exercícios escolhidos (por exemplo, os exercícios resolvidos) devem ser também objeto de explanação, com um tempo de cerca de 15 horas. Três exercícios temáticos para resolver com recurso a um ambiente de programação devem ser pensados e desenvolvidos previamente pelos estudantes e apoiados através de aulas práticas presenciais de 18 horas. Um quarto exercício integra os exercícios temáticos dando uma visão global do sistema de comunicação digital, sendo lecionado em mais três horas presenciais. Agradecimentos Por fim, quero expressar publicamente os meus sinceros agradecimentos: Ao ISEL, pelo ambiente pedagógico proporcionado, aos meus colegas do Conselho Pedagógico e do Departamento de Engenharia de Eletrónica e Telecomunicações e de Computadores, por todas as discussões sobre pedagogia, objetivos e restruturação de cursos e unidades curriculares, que me ajudaram a ser um melhor professor. Aos meus colegas Vítor Fialho, Artur Ferreira e Fernando Nunes (IT/IST) pela revisão deste texto, suas correções e sugestões. À Elisabete Lucas, pela revisão final. De qualquer forma, assumo todas as gralhas e omissões que permaneçam no texto. Ao Aristides Meneses, pela ajuda na realização da capa. A todos os colegas que me incentivaram a publicar de um modo mais formal aquilo que começou, e continua a ser, um manual de apoio aos estudantes. A todos os estudantes da unidade curricular de Telecomunicações I e sua precedente Sistemas de Comunicação Digital, por ao longo de mais de 20 anos me terem colocado dúvidas e desafios, que sem dúvida me ajudaram a melhor estruturar e clarificar os conceitos neste texto e a desenvolver todos os exercícios de apoio. Carlos Meneses Março de 2023  xiii Índice PRIMEIRA PARTE...................................................................................................... 1 CODIFICAÇÃO DE SINAIS....................................................................................... 1 1 INTRODUÇÃO AOS CODIFICADORES DE SINAL....................................... 3 1.1 MÉTODOS DE CODIFICAÇÃO DE SINAL......................................................................................... 3 1.2 ATRIBUTOS DOS CODIFICADORES DE SINAL................................................................................. 3 2 CONVERSÃO ANALÓGICO-DIGITAL............................................................ 7 2.1 AMOSTRAGEM............................................................................................................................. 7 2.2 QUANTIFICAÇÃO....................................................................................................................... 11 2.3 CODIFICAÇÃO............................................................................................................................ 14 2.4 RELAÇÃO SINAL-RUÍDO EM QUANTIFICAÇÃO UNIFORME........................................................... 15 2.5 COMPROMISSOS ENTRE ATRIBUTOS........................................................................................... 18 3 QUANTIFICAÇÃO NÃO UNIFORME............................................................. 21 3.1 RELAÇÃO SINAL-RUÍDO EM QUANTIFICAÇÃO NÃO UNIFORME................................................... 24 3.2 PCM COMPANDING.................................................................................................................... 26 3.3 QUANTIFICAÇÃO ÓTIMA............................................................................................................ 30 3.4 COMPARAÇÃO ENTRE QUANTIFICADORES................................................................................. 33 4 CODIFICAÇÃO PREDITIVA............................................................................ 35 4.1 MODULAÇÃO POR CODIFICAÇÃO DE IMPULSOS DIFERENCIAL.................................................... 36 4.2 ADAPTAÇÃO DO PREDITOR........................................................................................................ 43 4.3 ADAPTAÇÃO DO QUANTIFICADOR............................................................................................. 46 4.4 MODULAÇÃO DELTA................................................................................................................. 49 4.5 PROPAGAÇÃO DOS ERROS DE BIT DEVIDOS ÀS LIMITAÇÕES DO CANAL DE COMUNICAÇÃO........ 55 5 DISCUSSÃO SOBRE CODIFICADORES DE SINAL.................................... 57 SEGUNDA PARTE COMUNICAÇÃO DE DADOS.................................................................................. 59 6 INTRODUÇÃO À COMUNICAÇÃO DE DADOS........................................... 61 6.1 LIMITAÇÕES DO CANAL DE COMUNICAÇÃO............................................................................... 61 6.2 MODELO DE REFERÊNCIA OSI................................................................................................... 62 6.3 MODELO TCP/IP....................................................................................................................... 65 7 CÓDIGOS DE LINHA BINÁRIOS.................................................................... 67 7.1 ATRIBUTOS DOS CÓDIGOS DE LINHA.......................................................................................... 67 7.2 FORMATOS DOS CÓDIGOS DE LINHA BINÁRIOS........................................................................... 71 7.3 LARGURA DE BANDA................................................................................................................. 79 7.4 SINCRONISMO DE SÍMBOLO....................................................................................................... 87 8 CANAL DE COMUNICAÇÃO........................................................................... 91 8.1 CANAL AWGN DE BANDA LIMITADA........................................................................................ 91 8.2 RELAÇÃO SINAL-RUÍDO E RELAÇÃO EB/NO............................................................................... 92 8.3 CANAL SEM DISTORÇÃO E EQUALIZAÇÃO.................................................................................. 93 8.4 ATENUAÇÃO.............................................................................................................................. 94 8.5 LATÊNCIA.................................................................................................................................. 95 8.6 MEIOS DE TRANSMISSÃO........................................................................................................... 96 8.7 PADRÃO DE OLHO...................................................................................................................... 99 xiv 9 RECETOR ÓTIMO............................................................................................ 103 9.1 DESCODIFICADOR DE MÁXIMO A POSTERIORI........................................................................... 104 9.2 DESCODIFICADOR DE MÁXIMA VEROSIMILHANÇA................................................................... 106 9.3 PROBABILIDADE DE ERRO DE BIT............................................................................................. 106 9.4 FILTRO ADAPTADO.................................................................................................................. 108 9.5 FILTRO ADAPTADO NORMADO................................................................................................. 111 9.6 CÓDIGO PNRZ........................................................................................................................ 112 9.7 𝐵𝐸𝑅 EM CÓDIGOS DE LINHA BINÁRIOS.................................................................................... 115 9.8 REGENERAÇÃO DO SINAL........................................................................................................ 120 10 TRANSMISSÃO M-ÁRIA EM BANDA DE BASE......................................... 121 10.1 MODULAÇÃO POR AMPLITUDE DE IMPULSOS DIGITAL............................................................. 121 10.2 ENERGIA MÉDIA POR BIT......................................................................................................... 122 10.3 LARGURA DE BANDA............................................................................................................... 122 10.4 PROBABILIDADE DE ERRO DE SÍMBOLO................................................................................... 123 10.5 PROBABILIDADE DE ERRO DE BIT............................................................................................. 124 10.6 CÓDIGO 2B1Q......................................................................................................................... 126 10.7 CAPACIDADE DE CANAL.......................................................................................................... 127 11 DISCUSSÃO SOBRE CÓDIGOS DE LINHA................................................. 131 12 CODIFICAÇÃO DE CONTROLO DE ERROS............................................. 137 12.1 ATRIBUTOS DOS CÓDIGOS DE CONTROLO DE ERROS................................................................ 138 12.2 PROBABILIDADE DE ERRO DE BLOCO....................................................................................... 141 12.3 CÓDIGO DE BIT DE PARIDADE.................................................................................................. 142 12.4 CÓDIGO DE REPETIÇÃO............................................................................................................ 143 12.5 CARÁTER DE VERIFICAÇÃO DE BLOCO..................................................................................... 145 12.6 INTERLEAVING.......................................................................................................................... 146 12.7 DESCODIFICAÇÃO POR MÁXIMA VEROSIMILHANÇA................................................................. 148 12.8 CÓDIGOS LINEARES................................................................................................................. 152 12.9 CÓDIGO DE HAMMING............................................................................................................. 153 12.10 CÓDIGOS CÍCLICOS.................................................................................................................. 157 12.11 IP CHECKSUM.......................................................................................................................... 163 12.12 DISCUSSÃO SOBRE CÓDIGOS DE CONTROLO DE ERROS............................................................. 164 ANEXOS..................................................................................................................... 169 ANEXO 1 – ESTIMAÇÃO ESTATÍSTICA DA POTÊNCIA DE UM SINAL....................................................... 171 ANEXO 2 – DECIBÉIS........................................................................................................................... 173 ANEXO 3 – ALGORITMO DE QUANTIFICAÇÃO ÓTIMA........................................................................... 175 ANEXO 4 – PARECENÇA ENTRE SINAIS E VETORES............................................................................... 176 ANEXO 5 – FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO........................................................................................ 178 ANEXO 6 – SINUSOIDE COM PREDITOR UNITÁRIO................................................................................ 179 ANEXO 7 – FUNÇÕES DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA EM CÓDIGOS DE LINHA............................ 180 ANEXO 8 – FUNÇÃO COMPLEMENTAR DE ERRO................................................................................... 181 ANEXO 9 – 𝐵𝐸𝑅 COM CRITÉRIO MAP................................................................................................. 183 ANEXO 10 – LARGURA DE BANDA EQUIVALENTE DO RUÍDO................................................................ 185 ANEXO 11 – 𝐵𝐸𝑅 EM SISTEMAS DISCRETOS........................................................................................ 187 ANEXO 12 – FUNÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL.......................................................................... 189  xv PRINCIPAIS EQUAÇÕES CODIFICAÇÃO DE SINAL – MODULAÇÃO POR CODIFICAÇÃO DE IMPULSOS.......................................... 191 CODIFICAÇÃO DE LINHA – TRANSMISSÃO BINÁRIA............................................................................. 196 CODIFICAÇÃO DE LINHA – TRANSMISSÃO PAM DIGITAL M-ÁRIA...................................................... 199 CODIFICAÇÃO DE CONTROLO DE ERROS.............................................................................................. 201 PERGUNTAS TEÓRICAS....................................................................................... 203 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS................................................................................. 205 EXERCÍCIOS PROPOSTOS................................................................................... 249 EXERCÍCIOS PROPOSTOS EM AMBIENTE DE PROGRAMAÇÃO............ 263 MODULAÇÃO POR CODIFICAÇÃO DE IMPULSOS................................................................................... 263 TRANSMISSÃO NUM CANAL AWGN................................................................................................... 269 CODIFICAÇÃO DE CONTROLO DE ERROS.............................................................................................. 273 PROJETO DE SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO DIGITAL............................................................................ 276 LISTA DE ACRÓNIMOS........................................................................................ 278 BIBLIOGRAFIA....................................................................................................... 280 1 Primeira Parte CODIFICAÇÃO DE SINAIS Em muitos sistemas de transmissão de dados, os sinais analógicos são, primeiro, convertidos para a forma digital pelo transmissor, transmitidos na forma digital e, finalmente reconstruídos no recetor como sinais analógicos. O sinal resultante segue, normalmente, o sinal de entrada, mas não é exatamente o mesmo, uma vez que o quantificador no transmissor produz os mesmos dígitos para todos os valores de entrada que caem em cada intervalo, de um número finito de intervalos. O recetor deve fornecer, a cada combinação de dígitos, um único valor que será a amplitude do sinal reconstruído, para todos os valores do sinal de entrada que caiam dentro da gama de quantificação. A diferença entre o sinal de entrada e de saída, assumindo a não existência de erros na transmissão dos dígitos, é o ruído de quantificação. Uma vez que o débito de qualquer sistema de transmissão é finito, deve-se utilizar um quantificador que mapeia a entrada num número finito de intervalos. Joel Max Quantizing for Minimum Distortion, 1960 Introdução aos codificadores de sinal 3 1 Introdução aos codificadores de sinal Num sistema de comunicação digital, quando o sinal a transmitir é analógico variando continuamente com o tempo, é necessário primeiro convertê-lo para formato digital, ou seja, representá-lo (codificá-lo) digitalmente com um número finito de bits (binary digits). 1.1 Métodos de codificação de sinal Existem diversos métodos de codificação de sinais: codificação de forma de onda; codificação paramétrica; e codificação híbrida. Serão apenas discutidos os métodos de codificação de forma de onda utilizando modulação por codificação de impulsos, de débito binário mais elevado. É dado especial ênfase à codificação de sinais de fala, usada em aplicações que se encontram bastante difundidas. Embora com estas limitações, os conceitos apresentados são, no entanto, essenciais para uma compreensão posterior dos outros métodos de codificação e para a codificação de outro tipo de sinais, tais como áudio, imagens ou vídeo. 1.2 Atributos dos codificadores de sinal Nos critérios de escolha de um codificador para determinada aplicação existem alguns atributos que são decisivos, enquanto outros ou não têm influência ou algum compromisso pode ser levado em consideração. Os atributos mais relevantes dos codificadores de sinal são: o débito binário; a qualidade do sinal descodificado; a complexidade dos algoritmos e a quantidade de memória necessária; a sensibilidade a erros de canal; e a latência introduzida. Seguidamente, descreve-se cada um destes atributos e abordam-se os principais compromissos envolvidos. 1.2.1 Débito binário Ao transmitir sinais, o débito binário de codificação resultante, medido em número de bits por segundo, é um fator importante na definição da largura de banda requerida para o canal de comunicação. A codificação digital é também utilizada no armazenamento para utilização posterior. Neste contexto, o débito binário determina o espaço requerido na unidade de armazenamento. Para determinada quantidade de 4 Codificação de Sinais por Modulação de impulsos memória disponível, quanto menor for o débito binário maior duração do sinal pode ser armazenada. A primeira motivação da codificação de sinais é, pois, a redução do débito binário com vista a uma transmissão ou a um armazenamento mais eficientes. Para que este sinal tenha uma alta qualidade e possa ser considerado como uma referência, é tipicamente representado com uma resolução de, pelo menos, 16 bits de codificação por amostra. É este sinal, já na sua forma digital, que é processado de modo a gerar um conjunto de bits com um débito binário mais reduzido, para ser transmitido ou armazenado. No recetor, este conjunto de bits constrói uma aproximação do sinal original ainda na forma digital e converte-o posteriormente num sinal analógico. 1.2.2 Qualidade do sinal descodificado A conversão de um sinal analógico para digital envolve a conversão de um valor contínuo num valor aproximado entre um número finito de valores. A esta conversão dá-se o nome de quantificação1. A quantificação introduz sempre ruído, denominado de ruído de quantificação. Uma das medidas de qualidade mais utilizadas para medir este efeito é a relação entre a potência do sinal original e a potência do ruído de quantificação, sendo normalmente expressa em decibéis (Apêndice 2). O problema básico da quantificação/codificação é o de introduzir um mínimo de ruído para determinado débito binário, ou mantê-lo aceitável ao menor débito binário possível. Além da quantificação, a largura de banda dos sinais de entrada tem implicação na qualidade. Por exemplo os sinais de fala têm uma banda percetivamente importante até cerca dos 10 kHz, embora na denominada banda telefónica esta seja limitada entre os 300 Hz e os 3,3 kHz. Está também normalizada a denominada banda larga, dos 50 Hz aos 7 kHz. Esta banda é utilizada em aplicações multimédia, em teleconferência e no videotelefone. A relação sinal-ruído é um método objetivo de avaliação da qualidade, mas nem 1 Termo usado em mecânica quântica para designar o facto de muitos dos parâmetros que descrevem um sistema só poderem ter um conjunto discreto de valores permitidos. Introdução aos codificadores de sinal 5 sempre é o melhor. Uma das alternativas é a avaliação subjetiva ou percetiva, por média da opinião (MOS – Mean Opinion Score), recomendação P.800 do ITU-T (International Telecommunication Union – Telecommunication Standardisation Sector). Nesta avaliação, ouvintes humanos são confrontados com frases processadas através do codificador em teste, sendo-lhes pedido que classifiquem a sua qualidade através de uma escala de cinco pontos (1 a 5), que corresponde uma qualidade de má a excelente (má, fraca, razoável, boa, excelente). Do valor médio das respostas obtém-se a classificação subjetiva final. 1.2.3 Complexidade e memória necessária Quanto maior complexidade apresentar o algoritmo de codificação e maior quantidade de memória for necessária, mais os sistemas serão dispendiosos, volumosos e com maior consumo de energia. O primeiro codificador para sinais de fala a ser normalizado, a recomendação ITU-T G.711 a 64 kbit/s, que data de 1972, era então implementado diretamente no conversor analógico-digital, devido à sua baixa complexidade e à ausência de necessidade de memória. Com a vulgarização dos processadores digitais de sinal (DSP – Digital signal processor) e o aumento da complexidade dos codificadores, os sinais passaram a ser inicialmente codificados tipicamente com 16 bits por amostra, e só depois codificados a débitos binários mais baixos. A complexidade é normalmente aferida através do número de MIPS (milhões de instruções (em inteiro) por segundo) ou MFLOPS (milhões de instruções em vírgula flutuante por segundo) necessários para processar os algoritmos de codificação, enquanto a memória necessária é medida através do número de bytes necessários. 1.2.4 Sensibilidade a erros de canal Na transmissão do sinal codificado, este fica sujeito a erros introduzidos pelo canal, que podem ser de dois tipos: erros aleatórios independentes, causados pelo ruído estacionário; e rajadas de erros, limitados temporalmente, causados por interferências eletromagnéticas nas imediações do canal. Estes erros afetam a qualidade do sinal e, consequentemente, a relação sinal-ruído. O impacto na qualidade depende do tipo de 6 Codificação de Sinais por Modulação de impulsos codificador, sendo o impacto maior em codificadores que tiram partido da correlação do sinal para diminuir o débito binário, tentando não perder muito em qualidade. 1.2.5 Latência A latência em codificação de sinais é definida como o tempo máximo que medeia entre o instante em que uma amostra é apresentada no transmissor e aquele em que a amostra correspondente é gerada pelo recetor. Este tempo é medido estando o recetor ligado diretamente ao transmissor, retirando a contribuição do atraso dos equipamentos de transmissão e receção e o tempo de propagação do sinal, mas não o tempo de transmissão de cada bit. Embora a latência não seja importante em aplicações de armazenamento, na conversação bidirecional, como por exemplo na comunicação telefónica ou em jogos online, a latência pode tornar-se incómoda e mesmo afetar a naturalidade da conversação. Limites para a latência poderão ir, nos casos mais permissivos, até cerca de 400 ms. Conversão analógico-digital 7 2 Conversão analógico-digital De modo a transmitir um sinal digitalmente é necessário convertê-lo numa sequência binária. Na sua forma mais simples, este processo corresponde à conversão analógico-digital, ou seja, a conversão de um sinal analógico, de variação contínua no domínio do tempo (representando, por exemplo, variações de pressão produzidas por um som quando captado através de um microfone) num conjunto finito de bits. A dificuldade encontrada prende-se com o caráter contínuo e, portanto, com infinitas possibilidades do sinal. Para resolver estes problemas, a conversão analógico-digital envolve três etapas que serão objeto de análise no resto deste capítulo: A amostragem, que tem como objetivo tornar o sinal discreto no domínio do tempo e não envolve perda de informação desde que alguns pressupostos não sejam quebrados (teorema da amostragem de Nyquist2-Shannon3); A quantificação, que torna as amostras do sinal discretas na amplitude, transformando uma variável contínua num número finito de valores; A codificação, que atribui a cada amplitude discreta um código binário, designada modulação por codificação de impulsos (PCM – Pulse Code Modulation). 2.1 Amostragem A amostragem tem como objetivo tornar o sinal discreto no domínio do tempo. Pode ser descrita como a “observação” do valor do sinal analógico de entrada, 𝑚(𝑡) (𝑚 – mensagem), a intervalos regulares. O sinal amostrado, 𝑚𝛿 (𝑡), é obtido (figura 2.1) pelo produto entre o sinal de entrada e um trem de impulsos de Dirac, 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝑠 ) (𝑛 = 0; ±1; ±2; … ), com período 𝑇𝑠 (sampling period). O espectro do sinal amostrado, 𝑀𝛿 (𝑓), corresponde à convolução do espectro, 𝑀(𝑓), do sinal, 𝑚(𝑡), que se assume de banda limitada 𝑊, pela transformada de Fourier do trem de impulsos de Dirac, também um trem de impulsos de Dirac no domínio da frequência, 𝑓𝑠 𝛿(𝑓 − 𝑛𝑓𝑠 ), com frequência fundamental e área 𝑓𝑠 = 1⁄𝑇𝑠 , em que 𝑓𝑠 é a frequência de amostragem. 2 Harry Nyquist, 1889-1976. Sueco-americano, trabalhou na AT&T e nos Laboratórios Bell. 3 Claude Shannon, 1916-2001. Americano, trabalhou nos Laboratórios Bell e foi professor no MIT. 8 Codificação de Sinais por Modulação de impulsos 𝑚(𝑡) 𝑡 −𝑇𝑠 𝑇𝑠 𝑡 𝑚𝛿 (𝑡) −𝑇𝑠 𝑇𝑠 𝑡 Figura 2.1 Interpretação da amostragem no domínio do tempo. Em a) representa-se um exemplo de um sinal 𝑚(𝑡) a amostrar. Em b) representa-se um trem de impulsos de Dirac de área unitária e período 𝑇𝑠 , que multiplicado pelo sinal de entrada produz o sinal amostrado representado em c). Como a convolução é uma operação linear, a convolução com um trem de impulsos de Dirac corresponde à soma das convoluções com cada um dos impulsos de Dirac (figura 2.2). Convolver o espectro com um impulso de Dirac corresponde a colocar esse espectro na posição do impulso de Dirac e afetá-lo em amplitude pela respetiva área. Para reconstruir o sinal amostrado é necessário filtrá-lo de forma passa-baixo (filtro reconstrutor) com frequência de corte 𝑓𝑠 ⁄2, e com ganho 𝑇𝑠 para manter a amplitude original do sinal. Para evitar a sobreposição espectral e a correspondente distorção a que se dá o nome de aliasing, a frequência de amostragem tem de ser igual ou superior a duas vezes o valor 𝑊 da frequência máxima do sinal (teorema da amostragem4 de Nyquist-Shannon): 𝑓𝑠 ≥ 2𝑊. (2.1) 4 Apresentado em 1948 por C. Shannon e resultado de estudos realizados por Harry Nyquist em 1928. Conversão analógico-digital 9 Figura 2.2 Interpretação da amostragem no domínio da frequência. a) Espectro de um sinal 𝑚(𝑡), com banda limitada 𝑊. b) Espectro do trem de impulsos de Dirac, também um trem de impulsos de Dirac com frequência fundamental 𝑓𝑠 e área 𝑓𝑠. c) e d) O espectro do sinal amostrado corresponde à convolução dos espectros em a) e b). A reconstrução do sinal é possível sem distorção para o exemplo em c) por filtragem passa-baixo com frequência de corte 𝑓𝑠 ⁄2, pois 𝑊 < 𝑓𝑠 ⁄2. Em d) não é possível recuperar o sinal sem erro uma vez que as repetições espectrais se sobrepõem (aliasing), pois 𝑊 > 𝑓𝑠 ⁄2. Teorema da amostragem de Nyquist-Shannon É possível amostrar e reconstruir, sem erro, um sinal com banda limitada 𝑊, desde que a frequência de amostragem 𝑓𝑠 seja superior ao ritmo de Nyquist 2𝑊. A reconstrução sem distorção do sinal amostrado é obtida por filtragem passa-baixo à frequência de Nyquist 𝑓𝑠 ⁄2. Se 𝑓𝑠 for inferior a 2𝑊 o sinal reconstruído sofrerá uma distorção por sobreposição dos espectros, a que se dá o nome de aliasing. 10 Codificação de Sinais por Modulação de impulsos Quando não há certeza de se evitar o aliasing, antes da amostragem o sinal a amostrar deve ser previamente limitado à frequência 𝑓𝑠 ⁄2, através de um filtro passa-baixo (filtro anti-aliasing). Na figura 2.3 é apresentado o diagrama de blocos de toda a cadeia filtro anti-aliasing – amostragem – reconstrução. 𝑡 Figura 2.3 Cadeia amostragem-reconstrução. Filtro anti-aliasing – amostragem – filtro reconstrutor. O filtro anti-aliasing elimina as frequências acima de 𝑓𝑠 ⁄2. O filtro reconstrutor faz interpolação com funções base do tipo “sinc” para reconstruir o sinal analógico. Os filtros anti-aliasing e reconstrutor são idênticos, mas têm papel diferente na cadeia amostragem-reconstrução. Uma vez que o filtro reconstrutor é linear, a reconstrução pode ser interpretada como a sobreposição de funções sinc (figura 2.4) devidas à resposta do filtro (transformada de Fourier inversa de um retângulo, correspondente ao filtro ideal passa-baixo), ponderadas pelo valor da amostra correspondente e deslocadas para a sua posição no tempo. As funções sinc tomam o valor zero no instante de todas as outras amostras, não contribuindo para as mesmas. Para sinais de fala com qualidade telefónica está normalizada (POTS – plain old telephone service; GSM – Global System for Mobile Communications) uma frequência de amostragem de 8 kHz e uma filtragem passa-banda entre os 300 Hz e os 3,3 kHz, denominada banda telefónica. A frequência de amostragem ligeiramente superior à mínima exigida pelo teorema da amostragem de Nyquist-Shannon é justificada pela necessidade de uma banda de guarda, devida à caraterística não ideal dos filtros. Como os sinais resultantes da amostragem têm valores não nulos apenas em múltiplos do período de amostragem 𝑇𝑠 , estes podem ser representados com vantagens Conversão analógico-digital 11 na sua versão discreta (utilizada em processamento digital de sinais) 𝑚[𝑛], em que a variável independente 𝑛 toma apenas valores inteiros. A amostra 𝑚[𝑛] é interpretada como a amostra 𝑛 correspondente aos instantes de amostragem 𝑛𝑇𝑠. Figura 2.4 Interpretação da reconstrução do sinal no domínio do tempo. O sinal é reconstruído por sobreposição de funções sinc (resposta impulsiva do filtro ótimo de reconstrução), ponderadas pelos valores da amostra correspondente e deslocadas para a sua posição. As funções sinc tomam o valor zero no instante de todas as outras amostras, não contribuindo para a sua reconstrução. 2.2 Quantificação Quantificação de um sinal é o processo que converte um sinal amostrado (discreto no tempo), num sinal com valores discretos em amplitude. Considerando a gama dos sinais a quantificar entre o intervalo −𝑉 e 𝑉, (figura 2.5) dividida em 𝐿 intervalos de quantificação, a quantificação dá-se pela aproximação do valor de uma amostra que pertença a determinado intervalo pelo seu representante, denominado valor de quantificação, 𝑣𝑗 , do intervalo. Para ser escolhido o valor mais próximo do valor de entrada (menor ruído de quantificação), os valores de decisão, 𝑡𝑗 , que definem os intervalos de quantificação, devem estar equidistantes de dois valores consecutivos de quantificação: 𝑣𝑗 + 𝑣𝑗−1 𝑡𝑗 =. (2.2) 2 A quantificação é um processo irreversível, pois é impossível determinar, dentro do intervalo de quantificação, qual o valor de entrada 𝑚[𝑛] que produziu o valor quantificado 𝑚𝑞 [𝑛]. Devido à aproximação que se dá na quantificação, esta, ao invés da amostragem quando dentro dos limites impostos pelo teorema da amostragem de 12 Codificação de Sinais por Modulação de impulsos Nyquist-Shannon, introduz sempre ruído. Este ruído, denominado ruído de quantificação, é definido como a diferença entre o valor da amostra de entrada e o valor de quantificação: 𝑞[𝑛] = 𝑚[𝑛] − 𝑚𝑞 [𝑛]. (2.3) Quando os intervalos de quantificação são todos iguais, os quantificadores denominam-se de uniformes. A dimensão de cada intervalo de quantificação vem: 2𝑉 ∆𝑞 = , (2.4) 𝐿 e o valor máximo do ruído de quantificação corresponde a metade da largura do intervalo de quantificação. 𝑛𝑇𝑠 𝑡 𝑛 Figura 2.5 Quantificação de sinais. Cada amostra do sinal amostrado 𝑚[𝑛] é quantificada, 𝑚𝑞 [𝑛], no valor de quantificação mais próximo, 𝑣𝑗 , um em cada um dos 𝐿 intervalos de quantificação, originando ruído de quantificação 𝑞[𝑛]. Conversão analógico-digital 13 Existem dois tipos de quantificadores: midrise e midtread. Os quantificadores midrise, de que se apresenta um exemplo na figura 2.6 para quatro intervalos uniformes, são caraterizados por incluírem o valor zero como valor de decisão. Nas zonas de ausência de sinal, devido a pequenas variações causadas por ruído, este quantificador flutua entre os dois valores de quantificação em torno de zero. Figura 2.6 Quantificador uniforme midrise (4 intervalos). O zero corresponde a um valor de decisão, sendo o quantificador simétrico. Os valores de decisão estão equidistantes dos valores de quantificação adjacentes. Nas zonas de silêncio o ruído de quantificação oscila entre ±∆𝑞 ⁄2. Não existe um valor de quantificação coincidente com os extremos de quantificação, −𝑉 e 𝑉, requisito vantajoso em alguns tipos de codificadores, nomeadamente por Modulação por Codificação de Impulsos Diferencial (DPCM – Differential pulse code modulation) apresentados no capítulo 4. Para que isto aconteça, os intervalos de quantificação correspondem a: 2𝑉 ∆𝑞 =. (2.5) 𝐿−1 Os quantificadores midtread, de que é apresentado um exemplo para quatro intervalos uniformes na figura 2.7, são caraterizados por incluírem o valor zero como valor de quantificação, pelo que não sofrem da flutuação nas zonas de ausência de sinal, principal inconveniente dos quantificadores midrise. Pelo contrário, desde que o ruído tenha amplitude menor que metade do intervalo de quantificação, este é eliminado pela sua quantificação no valor zero. Tem, contudo, como desvantagem, uma vez que é regra usar quantificadores com um número par de valores de quantificação, que a sua função entrada-saída se torne não simétrica, pela inclusão num dos extremos de um valor de quantificação com um intervalo de quantificação menor e originando no outro extremo um intervalo de quantificação maior. 14 Codificação de Sinais por Modulação de impulsos Figura 2.7 Quantificador uniforme midtread (4 intervalos). O zero corresponde a um valor de quantificação, sendo o quantificador não simétrico. Não sofre de flutuações nas zonas de silêncio. Num extremo o intervalo vale 0,5∆𝑞 e no outro extremo vale 1,5∆𝑞. 2.3 Codificação A codificação é a representação binária da sequência de valores de um sinal, após amostragem e quantificação. Exprime cada um dos 𝐿 valores de quantificação possíveis em cada amostra quantificada através de um código binário. Esta codificação amostra-a-amostra denomina-se Modulação por Codificação de Impulsos (PCM – Pulse Code Modulation). Utilizando um número 𝐿 de valores de quantificação, que coincida com uma potência de dois de modo a otimizar o número de bits de codificação por amostra, 𝑅, pode-se reescrever a equação (2.4) introduzindo este termo, sendo o intervalo de quantificação dado por: 2𝑉 2𝑉 ∆𝑞 = = 𝑅. (2.6) 𝐿 2 O débito binário, ou número de bits de codificação por segundo do sinal, 𝑅𝑏 , para uma frequência de amostragem 𝑓𝑠 , vem: 𝑅𝑏 = 𝑅 × 𝑓𝑠. (2.7) A figura 2.8 ilustra toda a cadeia de conversão digital. É apresentado um código sequencial do valor de quantificação mais pequeno para o mais alto. Havendo oito valores (𝐿 = 8) de quantificação por amostra são necessários três bits (𝑅 = 3) para os codificar. É ainda apresentada a sequência binária da codificação da sucessão de amostras. Conversão analógico-digital 15 Figura 2.8 Amostragem e quantificação de sinais. O sinal analógico 𝑚(𝑡) é amostrado dando origem ao sinal 𝑚𝑞 [𝑛]. Cada amostra é quantificada, reconhecendo-se 𝐿 = 8 valores de quantificação. Cada amostra quantificada é codificada com um código binário sequencial de três bits. 2.4 Relação sinal-ruído em quantificação uniforme Uma das medidas mais usadas para aferir a qualidade de codificadores de sinal é a relação entre a potência do sinal original e a potência do ruído introduzido pela quantificação, normalmente designada por relação sinal-ruído de quantificação (𝑆𝑁𝑅𝑞 – Signal-to-Noise Ratio). Esta relação é normalmente apresentada em decibéis (𝑆𝑁𝑅𝑑𝐵 ) (Anexo 2). Para uma sequência suficientemente longa de amostras, os valores do ruído devido à quantificação podem ser considerados igualmente distribuídos no intervalo de quantificação (distribuição uniforme), como ilustrado na figura 2.9. Esta aproximação é válida quando se utiliza um número suficiente de valores de quantificação, digamos, para 𝐿 ≥ 32 (para melhor visualização, a figura 2.9 apresenta apenas quatro valores de quantificação). A função densidade de probabilidade do ruído é, nestas condições, praticamente uniforme à volta de cada valor de quantificação, sendo o valor máximo do ruído de ∆𝑞 ⁄2 uma vez que o valor de quantificação está a meio do respetivo intervalo. 16 Codificação de Sinais por Modulação de impulsos Figura 2.9 Função densidade de probabilidade do ruído de quantificação. Para um número razoável de intervalos de quantificação a função densidade de probabilidade do ruído de quantificação aproxima-se de uma distribuição uniforme. O valor máximo absoluto do ruído de quantificação é ∆𝑞 ⁄2 uma vez que o valor de quantificação está a meio do respetivo intervalo. O sinal correspondente ao ruído de quantificação tem valor médio nulo e a sua potência (normalizada5) pode ser estimada6 como a sua variância (Anexo 1) 𝜎𝑞2. Tendo também em conta a equação (2.4): ∆𝑞 ⁄2 ∞ 1 ∆2𝑞 𝑉2 𝜎𝑞2 = ∫ 𝑞 2 𝑓(𝑞)𝑑𝑞 = ∫ 𝑞 2 𝑑𝑞 = = , (2.8) −∞ ∆𝑞 12 3 × 22𝑅 −∆𝑞 ⁄2 em que 𝑓(𝑞) designa a função densidade de probabilidade das amplitudes do ruído de quantificação. A potência do ruído de quantificação aumenta com o aumento do valor do intervalo de quantificação. Este aumenta com a diminuição do número de intervalos de quantificação, que corresponde à diminuição do número de bits de codificação por amostra e consequentemente do débito binário (equação (2.7)). Diminuir o débito binário corresponde a aumentar a potência do ruído e a piorar a qualidade, comprovando o compromisso entre estes dois atributos importantes. A potência do ruído de quantificação aumenta também com o aumento da gama de quantificação −𝑉 a 𝑉. 5 Assumindo um sinal de tensão ou corrente sobre uma carga de 1 Ω. 6 Assumindo quantificação midrise, sendo os valores obtidos aproximados para quantificação midtread. Conversão analógico-digital 17 Em zonas de silêncio os quantificadores midrise produzem valores do ruído praticamente iguais a ∆𝑞 ⁄2, o que para poucos bits de codificação pode ser audível e a potência do ruído é superior à dada pela equação (2.8). Devido à assimetria, a equação (2.8) dá um valor aproximado para quantificação midtread, sendo a potência do ruído menor se o sinal tiver zonas de silêncio, pois o ruído nessas zonas é praticamente nulo. A relação entre a potência (normalizada), 𝑃, do sinal de entrada e a potência (normalizada), 𝜎𝑞2 , do ruído é estimada através de: 𝑃 𝑃 𝑆𝑁𝑅𝑞 = 2 = 3 × 22𝑅 × 2 , (2.9) 𝜎𝑞 𝑉 ou em decibéis: 3𝑃 𝑆𝑁𝑅𝑑𝐵 = 6,02𝑅 + 10𝑙𝑜𝑔10 ( ). (2.10) 𝑉2 A diminuição do valor máximo de quantificação para metade equivale a diminuir para metade o intervalo de quantificação, a uma diminuição da potência do ruído para um quarto, a quadruplicar a relação sinal-ruído e a aumentar 6,02 dB na 𝑆𝑁𝑅𝑑𝐵. Contudo, a amplitude do sinal de entrada, 𝑚𝑚𝑎𝑥 , não deve ser superior ao valor máximo de quantificação. Caso contrário produz-se ruído por saturação de amplitude, deixando as equações (2.8) a (2.10) de ser válidas, pelo que o valor máximo de quantificação terá de respeitar a inequação: 𝑉 ≥ 𝑚𝑚𝑎𝑥. (2.11) Assumindo o caso ideal, ou seja, que o valor máximo de quantificação corresponde à amplitude do sinal de entrada, evitando assim a saturação de amplitude, mas minimizando o ruído de quantificação, a equação (2.10) pode ser reescrita como: 3𝑃 𝑆𝑁𝑅𝑑𝐵 = 6,02𝑅 + 10𝑙𝑜𝑔10 ( 2 ) = 6,02𝑅 + 10𝑙𝑜𝑔10 (3𝑃𝑛 ). (2.12) 𝑚𝑚𝑎𝑥 A 𝑆𝑁𝑅𝑑𝐵 passa a ser função da potência normalizada pelo quadrado da amplitude (relação entre a potência e a respetiva potência de pico), sendo dada por: 𝑃 𝑃𝑛 = 2 , (2.13) 𝑚𝑚𝑎𝑥 que pode ser representada em valor absoluto (sem dimensões) ou em decibéis. 18 Codificação de Sinais por Modulação de impulsos 2.5 Compromissos entre atributos Através da equação (2.10), pode-se verificar que a qualidade do sinal reconstruído depende de dois fatores: da relação entre a potência do sinal de entrada e o quadrado do valor máximo de quantificação; e do número de bits de codificação por amostra. Quanto maior for o número de bits de quantificação por amostra melhor a qualidade, mas também maior o débito binário. Note-se ainda que a qualidade não depende da frequência de amostragem, que deve ser a menor possível desde que cumpra o teorema de amostragem de Nyquist-Shannon, uma vez que minimiza o débito binário. Na tabela 2.1 apresentam-se os valores da 𝑆𝑁𝑅𝑑𝐵 para codificação a oito bits por amostra e diversas potências normalizadas do sinal de entrada. Se para -3 dB de potência normalizada (sinal sinusoidal (10𝑙𝑜𝑔10 (1⁄2)) o valor da 𝑆𝑁𝑅𝑑𝐵 de 50 dB é bastante bom, o valor de apenas 7,9 dB para uma potência normalizada de -45 dB é inaceitável. Muitos sinais, por exemplo, sinais de fala, exibem esta gama de variação. A grande dependência da qualidade em relação à potência do sinal de entrada é de facto uma das principais desvantagens do PCM com quantificação uniforme. Tabela 2.1 Valores da 𝑺𝑵𝑹𝒅𝑩 de quantificação, função da potência normalizada do sinal. Comparação para oito bits de codificação por amostra e para diversos valores de potência normalizada do sinal de entrada. 𝑃𝑛 [𝑑𝐵] Tipo de Entrada 𝑆𝑁𝑅𝑑𝐵 -45 7,9 -35 17,9 -25 27,9 -15 37,9 -4,77 Triangular ou distribuição uniforme 48,2 -3 Sinusoidal 49,9 0 Quadrada 52,9 Por cada bit de codificação por amostra a relação sinal-ruído varia 6,02 dB. Para garantir um valor mínimo da relação sinal-ruído de aproximadamente 32 dB para um sinal de entrada com -45 dB de potência normalizada seria necessário aumentar 24 dB na relação sinal-ruído, ou seja, utilizar mais quatro bits de codificação por amostra, resultando num aumento, eventualmente demasiado elevado, do débito binário (de 64 Conversão analógico-digital 19 kbit/s para 96 kbit/s assumindo sinais de fala de banda telefónica), evidenciando um compromisso entre o débito binário e a qualidade. Além de aumentar o débito binário, a melhoria da qualidade através do aumento do número de bits por amostra tem dois limites: A complexidade dos conversores, que duplicam o número de intervalos de quantificação por cada bit de codificação. Por exemplo, para 16 bits de codificação por amostra originam-se 216 = 65536 intervalos de quantificação; O intervalo muito pequeno a discriminar. Por exemplo, para 16 bits de codificação por amostra e um valor máximo de quantificação de 1 V, o intervalo de quantificação vale ∆𝑞 = 2−15 = 30 V, que se pode confundir com o ruído térmico nos sistemas eletrónicos. Para valores mais pequenos, os sistemas tornam-se demasiado caros ou mesmo impossíveis de realizar diretamente, sendo necessário utilizar outro tipo de paradigma, como, por exemplo, a modulação delta-sigma (∆Σ), tópico fora do contexto deste texto. Na figura 2.10 é apresentado o gráfico da relação sinal-ruído em função da potência normalizada do sinal de entrada para diversos valores de número de bits por amostra. Figura 2.10 Relação sinal-ruído em PCM uniforme (dB). Comparação para 7, 8, e 9 bits de codificação por amostra para diversos valores de potência normalizada (em decibéis) do sinal de entrada. 20 Codificação de Sinais por Modulação de impulsos Este capítulo descreveu o primeiro passo na comunicação digital, a conversão de sinais analógicos para uma sequência de bits utilizando modulação por codificação de impulsos, com quantificação uniforme. O sistema PCM com quantificação uniforme afigura-se o mais simples capaz de representar um sinal analógico digitalmente. No entanto, a qualidade do sinal reconstruído depende muito das caraterísticas do sinal de entrada e só é possível manter boa qualidade para débitos binários que poderão ser elevados para muitas aplicações. Nos próximos capítulos serão apresentados métodos para diminuir o débito binário, tirando partido das caraterísticas do sinal, tendo sempre em consideração o compromisso com os outros atributos dos codificadores de sinais, particularmente a qualidade. Quantificação não uniforme 21 3 Quantificação não uniforme No capítulo anterior discutiu-se a utilização da modulação por codificação de impulsos com quantificação uniforme (PCM uniforme) e a estimativa da respetiva relação sinal-ruído de quantificação, concluindo-se que é difícil manter uma elevada relação sinal-ruído, nomeadamente para potências baixas do sinal de entrada, que não seja à custa do aumento do débito binário e da diminuição “excessiva” da dimensão do intervalo de quantificação. Outra caraterística importante a ter em conta é a necessidade de a relação sinal-ruído ser independente do valor máximo de quantificação e das especificidades do sinal de entrada. Esta caraterística pode ser conseguida com a utilização de quantificação não uniforme, ou seja, com um quantificador em que os intervalos de quantificação não são todos iguais. O histograma de um sinal de fala7 não é uniforme, tendendo a ter maior número de ocorrências para valores menores. Esta constatação levou à utilização de intervalos de quantificação menores nas zonas de maior ocorrência, como mostrado na figura 3.1, à custa do aumento do intervalo de quantificação nas zonas de menor ocorrência. O ruído de quantificação diminui na maioria das amostras, à custa de, em algumas amostras menos prováveis, o ruído de quantificação aumentar. Sendo a potência um valor médio quadrático, este procedimento diminui a potência do ruído de quantificação e, consequentemente, aumenta a relação sinal-ruído. A este método de codificação/quantificação dá-se o nome de PCM não uniforme. Figura 3.1 Exemplo de um quantificador não uniforme. São mais bem quantificados os valores menores (em módulo) do que os valores maiores (em módulo). Para que este quantificador seja eficaz devem ser as amplitudes mais baixas as mais prováveis. 7 Considera-se, genericamente, que a função densidade de probabilidade de sinais de fala segue uma distribuição de Laplace. 22 Codificação de Sinais por Modulação de impulsos Se o sinal de entrada apresentar uma função densidade de probabilidade das amplitudes em que os valores mais altos são os que tiverem maior ocorrência, então devem ser estes a ser quantificados com intervalos menores, à custa do aumento dos intervalos para valores mais pequenos. Na utilização destes quantificadores pressupõe-se que é conhecida uma estimativa da função densidade de probabilidade das amplitudes do sinal de entrada, sob pena de se obter desempenhos inferiores do que utilizando quantificadores uniformes. Alternativamente à utilização de um quantificador não uniforme pode-se aplicar ao sinal analógico de entrada uma não linearidade, 𝑔(𝑚), como a mostrada na figura 3.2, seguido de um quantificador uniforme, como mostrado na figura 3.3. Figura 3.2 Exemplo de não linearidade utilizada em quantificação não uniforme. A não linearidade seguida de quantificação uniforme é equivalente à quantificação não uniforme. O tipo de não uniformidade é dependente da não linearidade utilizada. Para um sinal de fala, com distribuição de amplitudes com mais ocorrências perto do zero, pode-se verificar que o efeito da não linearidade é tornar a distribuição de amplitudes mais uniforme e, portanto, mais adequada a um quantificador uniforme. No recetor, após descodificação, aplica-se a função inversa para regenerar o sinal. A diferença entre o sinal original e o sinal descodificado é causada apenas pela quantificação. Quantificação não uniforme 23 Figura 3.3 Implementação da codificação PCM não uniforme. No codificador o sinal é aplicado a uma não linearidade seguida de quantificação uniforme. Para um sinal de fala, com distribuição de amplitudes com mais ocorrências perto do 0, a não linearidade torna a distribuição de amplitudes mais uniforme e, portanto, mais adequado a um quantificador uniforme. O descodificador é uniforme seguido da função inversa da não linearidade, de modo a regenerar o sinal original. Alternativamente, pode-se obter valores de quantificação e decisão através da aplicação da função inversa da não linearidade aos respetivos valores do quantificador uniforme. Note-se que, numa realização prática, a utilização direta do quantificador não uniforme é menos complexa quando comparada com a implementação do esquema apresentado na figura 3.3. Quer os valores de decisão, necessários no codificador, quer os valores de quantificação, necessários no descodificador, são obtidos por aplicação da função inversa da não linearidade, dos respetivos valores do quantificador uniforme. 24 Codificação de Sinais por Modulação de impulsos 3.1 Relação sinal-ruído em quantificação não uniforme Para se analisar o efeito da não linearidade 𝑔(𝑚) e calcular a relação sinal-ruído de quantificação, verifica-se através da figura 3.2 que os diversos intervalos de quantificação são dados, aproximadamente, por: 2𝑔(𝑉) Δ𝑗 ≈ , (3.1) 𝐿𝑔′ (𝑣𝑗 ) em que 𝑔′ (𝑣𝑗 ) é a função derivada de 1.ª ordem da não linearidade, em torno do 𝑗-ésimo valor de quantificação, 𝑣𝑗. Se o sinal de entrada for aleatório, mas com função densidade de probabilidade 𝑓(𝑚) conhecida, a potência do ruído de quantificação para o 𝑗-ésimo intervalo é dada pela variância centrada no valor de quantificação 𝑣𝑗 : 𝑡𝑗+1 𝑁𝑗 = ∫ (𝑚 − 𝑣𝑗 )2 𝑓(𝑚)𝑑𝑚 , (3.2) 𝑡𝑗 sendo 𝑡𝑗 a 𝑡𝑗+1 o intervalo de quantificação correspondente ao valor de quantificação 𝑣𝑗. Assumindo um número elevado de valores, a função densidade de probabilidade do sinal de entrada 𝑓(𝑚) é aproximadamente constante no intervalo de quantificação, ou seja, todos os valores do sinal de entrada no 𝑗-ésimo intervalo de quantificação têm aproximadamente a mesma probabilidade que 𝑓(𝑣𝑗 ). Igualmente, se os intervalos de quantificação adjacentes não tiverem dimensões muito diferentes, o valor de quantificação encontra-se aproximadamente a meio do intervalo de quantificação e o Δ𝑗 Δ𝑗 ruído está limitado ao intervalo [𝑣𝑗 − : 𝑣𝑗 + ] Nestas condições, a equação (3.2) 2 2 pode ser reescrita como: 𝑡𝑗+1 2 Δ𝑗3 𝑁𝑗 ≈ 𝑓(𝑣𝑗 ) ∫ (𝑚 − 𝑣𝑗 ) 𝑑𝑚 ≈ 𝑓(𝑣𝑗 ). (3.3) 𝑡𝑗 12 Incluindo nesta equação a aproximação dada pela equação (3.1) vem: 𝑔(𝑉)2 𝑓(𝑣𝑗 ) 𝑁𝑗 ≈ ∆. (3.4) 3𝐿2 𝑔′(𝑣𝑗 )2 𝑗 Quantificação não uniforme 25 A potência total do ruído de quantificação é a soma das potências em cada intervalo de quantificação, que se aproxima de uma função contínua desde que seja utilizado um número elevado de valores de quantificação, pelo que: 𝐿 𝐿 𝑔(𝑉)2 𝑓(𝑣𝑗 ) 𝑔(𝑉)2 𝑚𝑚𝑎𝑥 𝑓(𝑚) 𝜎𝑞2 = ∑ 𝑁𝑗 ≈ ∑ Δ ≈ ∫ 𝑑𝑚, (3.5) 3𝐿2 𝑔′ (𝑣𝑗 )2 𝑗 3𝐿2 −𝑚𝑚𝑎𝑥 𝑔′ (𝑚)2 𝑗=1 𝑗=1 e a relação sinal-ruído de quantificação (não em decibéis) vem: 𝑃 3𝐿2 𝑃 𝑆𝑁𝑅𝑞 = 2 = , (3.6) 𝜎𝑞 𝑚 𝑓(𝑚) 𝑔(𝑉)2 ∫−𝑚𝑚𝑎𝑥 ′ 𝑑𝑚 𝑚𝑎𝑥 𝑔 (𝑚)2 pelo que, para calcular a relação sinal-ruído de quantificação, é necessário conhecer a derivada de 1.ª ordem da não linearidade e a função densidade de probabilidade do sinal que se quer quantificar. Se 𝑔(𝑚) = 𝑚, ou seja, retirando a não linearidade, a quantificação é uniforme. A derivada da função vale um e a equação (3.6) reduz-se à equação (2.9). Esta conclusão é válida mesmo para uma amplificação do sinal de entrada, 𝑔(𝑚) = 𝐾𝑚, pois valendo a derivada 𝐾 = 𝑔(𝑉)⁄𝑉 e assumindo 𝑉 = 𝑚𝑚𝑎𝑥 , tem-se para o denominador da equação (3.6): 𝑚𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑚𝑎𝑥 2 𝑓(𝑚) 𝐾2 2 𝑔(𝑉) ∫ ′ 2 𝑑𝑚 = 2 𝑚𝑚𝑎𝑥 ∫ 𝑓(𝑚)𝑑𝑚, (3.7) −𝑚𝑚𝑎𝑥 𝑔 (𝑚) 𝐾 −𝑚𝑚𝑎𝑥 ou seja: 𝑚𝑚𝑎𝑥 2 2 (3.8) 𝑚𝑚𝑎𝑥 ∫ 𝑓(𝑚)𝑑𝑚 = 𝑚𝑚𝑎𝑥 , −𝑚𝑚𝑎𝑥 porque a área total de qualquer função densidade de probabilidade vale um. Conclui-se que, um fator de escala (amplificação) aplicado ao sinal de entrada, ao alterar simultaneamente a potência do sinal e a dimensão dos intervalos de quantificação, não altera a relação sinal-ruído de quantificação. 26 Codificação de Sinais por Modulação de impulsos 3.2 PCM companding Se a não linearidade for logarítmica, i.e., 𝑔(𝑚) = 𝑙𝑛(|𝑚|), cuja derivada de 1.ª ordem é 1⁄|𝑚| e sabendo que o integral de 𝑚2 𝑓(𝑚)𝑑𝑚, calculado no intervalo entre −𝑚𝑚𝑎𝑥 e 𝑚𝑚𝑎𝑥 (momento esperado de 2. ª ordem), é igual à potência, o valor da relação sinal-ruído de quantificação (equação (3.6)) deixa de depender da potência do sinal de entrada para ser dependente apenas do número de intervalos de quantificação: 3𝐿2 𝑃 3𝐿2 𝑆𝑁𝑅𝑞 = 𝑚𝑚𝑎𝑥 =. (3.9) 2𝑔(𝑉)2 ∫0 𝑚2 𝑓(𝑚)𝑑𝑚 𝑔(𝑚𝑚𝑎𝑥 )2 A função logarítmica não pode, no entanto, ser realizada, pois converte o intervalo entre zero e um no intervalo entre – e zero. Estão, no entanto, normalizadas pelo ITU-T duas funções pseudo-logarítmicas, que convertem o intervalo entre zero e um no mesmo intervalo, tendo a função uma caraterística ímpar: a Lei-A utilizada na Europa e a Lei- utilizada nos EUA e Japão, descritas na recomendação ITU-T G.711, que data de 1972. Ambas utilizam oito bits de codificação por amostra e, como é normalizado para sinais de fala em qualidade telefónica, uma frequência de amostragem de 8 kHz, resulta num débito binário de 64 kbit/s. Se os valores de entrada estiverem normalizados em relação à amplitude do sinal de entrada, ou seja, 𝑉 igual a um, a Lei-A é descrita por: 1 + 𝑙𝑛(𝐴|𝑚|) 1 ± ≤ |𝑚| ≤ 1 1 + 𝑙𝑛( 𝐴) 𝐴 𝑔(𝑚) = , (3.10) 𝐴 1 𝑚 0 ≤ |𝑚| ≤ { 1 + 𝑙𝑛( 𝐴) 𝐴 cujo gráfico é apresentado na figura 3.4. O parâmetro A governa o grau de compressão, sendo o valor normalizado na recomendação ITU-T G.711 de 87,56. Com 𝐴 = 87,56, para valores pequenos (𝑚 < 1⁄𝐴) a Lei-A tem um comportamento linear (𝑔(𝑚) = 16𝑚), enquanto para valores médios e altos tem um comportamento quase logarítmico. Esta não linearidade corresponde a comprimir o sinal de entrada. No recetor, após descodificação, tem de se incluir a não linearidade Quantificação não uniforme 27 inversa (figura 3.3), que corresponde a uma expansão. Esta técnica denomina-se de companding (compressing-expanding). Figura 3.4 Não linearidade da Lei-A. São ilustradas as funções não lineares da Lei-A, que dão origem a uma quantificação não uniforme. O valor normalizado pela recomendação ITU-T G.711 é de 𝐴=87,56. Só são apresentados valores positivos, tendo as funções caraterísticas ímpares. Como se verá seguidamente, a utilização de companding conduz a uma relação sinal-ruído de quantificação quase constante para uma gama vasta de potências do sinal de entrada, não tendo a dependência com esta grandeza do PCM uniforme, considerado muito bom para potências elevadas, mas insuficiente para potências médias e baixas. Para a estimativa da relação sinal-ruído, tendo como base a equação (3.6), é necessário conhecer a derivada da equação (3.10) correspondente à Lei-A, dada por: 1 1 1 ≤ |𝑚| ≤ 1 (1 + 𝑙𝑛( 𝐴)) 𝑚 𝐴 𝑔′ (𝑚) =. (3.11) 𝐴 1 0 ≤ |𝑚| ≤ {1 + 𝑙𝑛( 𝐴) 𝐴 Para potências médias e altas, ou seja, quando a potência normalizada do sinal de entrada for razoavelmente superior a 1⁄𝐴2 , os termos superiores das equações (3.10) e (3.11) são os termos dominantes, pelo que se pode desprezar o efeito da zona linear. 28 Codificação de Sinais por Modulação de impulsos Nestas circunstâncias a relação sinal-ruído vem, usando o valor normalizado para A de 87,56 e utilizando a equação (3.6): 3𝐿2 𝑃 3𝐿2 𝑆𝑁𝑅𝑞 ≈ 1 = = 0,1𝐿2 , (3.12) (1 + 𝑙𝑛( 𝐴))2 ∫−1 𝑚2 𝑓𝑚 (𝑚)𝑑𝑚 (1 + 𝑙𝑛( 𝐴))2 ou, em decibéis: 𝑆𝑁𝑅𝑑𝐵 = 6,02𝑅 − 10. (3.13) A relação sinal-ruído só depende do número de bits de codificação por amostra, deixando de depender da potência do sinal de entrada ou do valor máximo de quantificação. Para o codificador da recomendação ITU-T G.711, de 8 bits por amostra (64 kbit/s), o valor máximo da 𝑆𝑁𝑅𝑑𝐵 é de 38,16 dB e mantém-se praticamente constante para uma variação apreciável de potência normalizada do sinal de entrada (-40 dB). É esta caraterística quase constante do companding que o faz ter um desempenho médio superior ao PCM uniforme. Contudo, para sinais de muito baixa potência, ou seja, quando a potência normalizada do sinal de entrada é inferior a 1⁄𝐴2 , o termo dominante é o inferior da equação (3.10), com um comportamento linear, pelo que a relação sinal-ruído é dada pela equação (2.10). Para a Lei-: 𝑙𝑛(1 + 𝜇|𝑚|) 𝑔(𝑚) = ± , 0 ≤ |𝑚| ≤ 1. (3.14) 𝑙𝑛( 1 + 𝜇) O parâmetro  governa o grau de compressão, sendo o valor normalizado de 255. Para valores pequenos esta Lei tem, como a Lei-A, um comportamento linear, dado que 𝑙𝑛( 1 + 𝜇|𝑚|) ≈ 𝜇|𝑚|. Para valores elevados tem um comportamento logarítmico, dado que para 𝜇|𝑚| ≫ 1, então 𝑙𝑛( 1 + 𝜇|𝑚|) ≈ 𝑙𝑛(𝜇|𝑚|). A derivada desta função vale: 𝜇 𝑔′ (𝑚) =. (3.15) 𝑙𝑛( 1 + 𝜇)(1 + 𝜇|𝑚|) Quantificação não uniforme 29 A relação sinal-ruído vem, com o valor normalizado 𝜇 = 255, aplicando a equação (3.6) e após alguma manipulação algébrica: 3𝐿2 𝑆𝑁𝑅𝑞 ≈ ≈ 0,1𝐿2. (3.16) (𝑙𝑛(1 + 𝜇))2 Para baixas potências esta aproximação não é válida, correspondendo, como na Lei-A, à entrada na zona linear, fazendo diminuir a relação sinal-ruído. Das equações (3.13) e (3.16) verifica-se que os desempenhos das duas Leis são idênticos. Figura 3.5 Relação sinal-ruído em PCM companding Lei-𝝁 (𝝁=255). Comparação do PCM companding com PCM com quantificação uniforme, função da potência do sinal de entrada normalizada pelo quadrado do valor máximo de quantificação, para oito bits por amostra. Note-se a caraterística quase constante da relação sinal-ruído do PCM companding e o seu melhor desempenho em relação ao PCM uniforme para potências normalizadas abaixo dos -14,77 dB. A caraterística quase constante da relação sinal-ruído em companding, ilustrada na figura 3.3, pode ser explicada do modo seguinte: para sinais de baixa potência a probabilidade de amplitudes baixas é maior, sendo mais bem quantificadas e baixando a potência do ruído. Para sinais de potência elevada, a probabilidade de amplitudes elevadas é maior, mas também são mais mal quantificadas. Em ambos os casos a relação entre a potência do sinal e do ruído de quantificação é quase idêntica. 30 Codificação de Sinais por Modulação de impulsos 3.3 Quantificação ótima Quando, no sinal a quantificar, existe maior probabilidade de ocorrência de alguns dos valores do que de outros, deve-se diminuir a dimensão dos intervalos de quantificação nas zonas mais prováveis, à custa do aumento da dimensão dos intervalos nas zonas menos prováveis. Por exemplo, os sinais de fala têm uma função densidade de probabilidade das amplitudes com maiores ocorrências para os valores mais pequenos, pelo que o PCM companding é uma melhor alternativa em relação ao PCM uniforme. No entanto, a principal vantagem do PCM companding é a de tornar a relação sinal-ruído praticamente independente da potência do sinal de entrada e do valor máximo de quantificação. Para sinais de potência razoável a utilização de PCM companding resulta numa diminuição da relação sinal-ruído em relação ao PCM uniforme, pelo que deve ser utilizado outro tipo de não linearidade. Aplicando as equações (3.2) e (3.5), a potência do ruído de quantificação vem: 𝑡𝑗+1 𝐿 𝐿 2 𝜎𝑞2 = ∑ 𝑁𝑗 = ∑ ∫ (𝑚 − 𝑣𝑗 ) 𝑓(𝑚)𝑑𝑚. (3.17) 𝑗=1 𝑗=1 ?