Mathe Stochastik PDF

## MATHE STOCHASTIK ### Binomialverteilung: - nur bei Bernoulli Experimenten (2 Ergebnismöglichkeiten) - berechnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bsp.: Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 5-maligen Münzwurf 3 mal Kopf geworfen wird Formel: $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)­^{n...

## MATHE STOCHASTIK ### Binomialverteilung: - nur bei Bernoulli Experimenten (2 Ergebnismöglichkeiten) - berechnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bsp.: Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 5-maligen Münzwurf 3 mal Kopf geworfen wird Formel: $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)­^{n-k}$ Anzahl der Erfolge Erfolgswahrscheinlichkeit Gesamtuersuche Miserfolgswahrscheinlichkeit ### Aufgabe: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 3-maligen Werfen einer Münze genau 1 mal Zahl geworfen wird? n = 3 p = 0,5 $P(X=1) = \binom{3}{1} \cdot 0,5^1 \cdot (1-0,5)^2$ = 3 * 0,5 * 0,5² = 3/8 ### Bpd and Bcd: Bpd: für Binomialverteilung → Wahrscheinlichkeit für genaue Anzahl Bod: Wahrscheinlichkeit für max Anzahl | Ereignis | GTR + Tabelle | |---|---| | genau 4 | X = 4 Bpd (4,n,p) | | höchstens 4 | x ≤ 4 Bod (k,n,p) Bed (0,4,n,p) | | mindestens 4 | x ≥ 4 Bod (k,n,n,p) 1-Bed (4-1,n,p) | | mehr als 4 | x > k Bed (4+1,n,n,p) 1-Bcd (h, n, p) | | weniger als 4 | x < k Bcd(4-1,n,p) Bed(0, 4-1, n, pl) | | zwischen k und b | hexeb Bcdl4,n,p)-Bcdlb-in,p Bed 14,n,p)-Bcdlb-1,n,p) | ### Auslastungsmodelle: - Aufgaben mit angegebenen Zeitparametern benötigte Parameter: * λ: Anzahl der Erfolge z.B. Anzahl der Kunden ohne Wartezeit * n: Anzahl der Versuche z.B. Anzahl der bedienten Kunden * p: Erfolgswahrscheinlichkeit z.B. Wahrscheinlichkeit für die sofortige Bedienung eines Kundens - Parameter in Bcd einsetzen Bod(k,n,p) ### Dreimal mindestens Aufgaben: wie oft muss etwas mindestens passieren um mindestens einen Versuchsausgang zu erreichen? n wird gesucht - ist mindestens 1 $P(X=k) = p$ ein Erfolg muss mindestens einmal auftreten, und mindestens p groß sein $1-P(X=0) ≥ p$ → umschreiben in Bernoulli Formel einsetzen: mindestens Erfolgswahrscheinlichkeit $1-(1-p)^n ≥ p$ $1-1^n-0^n ≥ p$ gesucht $1-(1-p)^n = p$ umschreiben von 1 $1-1-(1-p)^n = p$ $1-(1-p)^n = p$ logarithmus einsetzen: $log(1-p) ≥ n \cdot log(p)$ $\frac{log(1-p)}{log(p)} ≥ n$ ### Aufgabe: Auf einem Parkplatz können 30 Autos parken. Kunden bleiben durchschnittlich 12 min zwischen 9 und 12 Uhr da. Verkraftet der Parkplatz 100 Kunden? n = 100 λ = 30 $p = \frac{12}{180} = \frac{1}{15}$ Bcd (30,100, 1/15) = 1 A: Die Parkplätze reichen zu 100% aus. ### Aufgabe: Wie viele Personen müssen windestens befragt werden um mindestens zu 98% einen Lehrer zu befragen, wenn 10% der Welt Lehrer sind? λ = mindestens 1 n = ? p = 0,1 $P(X ≥ 1) ≥ 0,98$ $1-P(x ≥ 1) ≥ 0,98$ $ 1- (1-0,1)^n ≥ 0,98$ $1-1^n-(0,9)^n ≥ 0,98$ $1-(0,9)^n ≥ 0,98$ $1-(0.9)^n ≥ 0,98$ $0,02 ≥ (0,9)^n$ $ log(0,02) ≥ n\cdot log(0,9)$ $log(0,02) = -37,13$ $log(0,9)$ $n = 38$ A: Es müssen windestens 38 Personen befragt werden. ### Sigma Regeln: - berechnen Normalverteilung bestimmter Intervalle 0: Standardabweichung = √n.p(1-p) Abweichung vom Durchschnitt -μ: Erwartungswert = n.p 1. Ρ(μ-σ ≤ Χ ≤ μ+σ) ≈68,3% 2. Ρ(μ-2σ ≤ Χ ≤ μ+2σ) ≈ 95,4%. 3. Ρ(μ-3σ ≤ Χ ≤ μ+3σ) ≈ 99,7% Vorgang: 1. µ berechnen: n.p 2. σ berechnen: √n.p.(1-p) - Laplace Bedingung prüfen: σ ≥ 3 3. µ & σ in Sigma Regeln einsetzen: σ auf und abgerundet 4. Bereiche abrunden 5. Ergebnis: Bereich in dem bestimmten % des Werte liegt ### Aufgabe: Mit einem Würfel wird 200 mal gewürfelt. X ist die Anzahl der gewürfelten 1. Ermitteln sie das Intervall indem 99,7% alle Werte liegen. n = 200 p = 1/6 μ = 200 * 1/6 = 33,33 σ = √200 * 1/6 * (1-1/6) = 5,27 > 3 → Laplace Bedingung erfüllt 99,7% - 3 Sigma Regel 33,33-3*5,27 = 17,52 da "ca." und nicht "windestens" 99,7% 33,33+3*5,27 = 49,14 gefordert sind ist mathematisches Intervalle: [18;49] Runden sinnvoller 200 Würfen zwischen 18 and 49 Einsen gewürfelt. A.: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 99,7% werden bei ### Sigma Regeln za festen Wahrscheinlichkeiten: Hypothesentest 1. Zu 90% liegt die Anzahl der Erfolge im Intervall μ-1,640 and μ+1,64 σ 2. Zu 95% liegt die Anzahl der Erfolge im Intervall μ-1,96 σ and μ+1,96 σ 3. Zu 99% liegt die Anzahl der Erfolge im Intervall μ-2,58 σ and μ+2,58 σ ### Hypothesentest: - prüft Hypothese zur Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses 1. Signifikanzniveau festlegen: Grenze für Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art 2. Erwartungswert μ berechnen: n.p 3. σ berechnen √n.p.(1-p) Laplace Bedingung prüfen σ ≥ 3 4. Sicherheitswahrscheinlichkeit festlegen 5. Bereich um Erwartungswert festlegen Sigma Regeln → Ergebnisse bilden Annahme- und Verwerfungsbereich 6. prüfen ob Werte im Annahmebereich liegen - Fehler 1. Art: Hypothese wahr + Ergebnis im Verwerfungsbereich → Wahrscheinlichkeit α entspricht Verwerfungsbereich - Fehler 2. Art: Hypothese falsch + Ergeonis im Annahmebereich → Wahrscheinlichkeit β entspricht Bed (1., 2. Grenze, n, tatsächliche p) ### Aufgabe: Von einer Maschine werden 2 Substanzen gewischt. Die Mischung soll 20% der einen und 80% der anderen enthalten. Geben Sie eine Entscheidungsregel an für n = 400 (Sicherheitswahrscheinlichkeit 95%) n = 400 p = 0,2 μ = 0,2 * 400 = 80 σ =√0,2 * 400 * (1-0,2) = 8 > 3 Laplace Bedingung erfüllt 2. Sigura Regel 95% 1,96σ = 1,96 * 8 = 15,68 Intervalle bosticumen: 80-15,68 ≈ 64 80+15,68 ≈ 96 In eines Stichprobe findet man: 1. 43 Verner in der ersten und 115 in der zweiten →43 liegt nicht im Annahmebereich schlechte Mischungen 2. 77 Körner in der ersten und 110 in der zweiten →77 liegt im Annahmebereich gute Mischung ### Aufgabe 1: a) weil die Zufallsgrößex unabhängig von einander sind und es nur 2 verschiedene Ergebnismöglichkeiten gibt n=80 p=0,05 b) 1. 1,65 % 2. 21,08% 3. 70,32 α) μ = 80 * 0,05 = 4 σ =√0,05 * 80 * (1-0,05) = 1,95 d) $P(X=4) ≥ 0,9$ $1-P(X=0) ≥ 0,9$ $1 - (1-0,05)^n ≥ 0,9$ $1 − 1 − (0,05)^n ≥ 0,9$ $1 − 1 − 0,95^n ≥ 0,9$ $0,1 ≥ 0,95^n$ $log(0,1) ≥ n \cdot log(0,95)$ $log(0,1) ≥ n \cdot log(0,95) $ $n = \frac{log(0,1)}{log(0,95)} = 44,89 ≈ 45$ e) Laplace nicht erfallt ### Aufgabe 2: a) 1. 8,3% 2. 22,6% 3. 11,76% b) wenn mind. 4 geben muss und n hercusszalindas → 1-Bed (4-1,n,p) c) μ = 0,12 * 1000 = 120 σ =√0,12 * 1000 * (1-0,12) = 10,28 > 3 120-1,96*10,28 = 99,85 120+1,96*10,28 = 140,15