Econométrie appliquée Master 1 - PDF

Econométrie appliquée Master 1 – M1S7 – UEO72 721 MANIOC Olivier Maître de conférences associé Séquence 2. Le modèle linéaire simple 1°) Le contexte 2°) Les étapes de la séquence  A. Un peu d’histoire  B. Les hypothèses d’application des MCO  C. La phase d’est...

Econométrie appliquée Master 1 – M1S7 – UEO72 721 MANIOC Olivier Maître de conférences associé Séquence 2. Le modèle linéaire simple 1°) Le contexte 2°) Les étapes de la séquence  A. Un peu d’histoire  B. Les hypothèses d’application des MCO  C. La phase d’estimation  D. Les résultats fondamentaux concernant les estimateurs 3°) Ce qu’il faut retenir  1. Le contexte On s’intéresse à la relation qui existe entre les revenus X et les dépenses Y. On dispose d’un échantillon d’une soixantaine d’individus statistiques (agents ou ménages) pour lesquels on a collecté des revenus (xi) et des dépenses (yi), soit une soixantaine de couples. L’objectif est de retrouver les caractéristiques de la relation entre les variables X et Y de la population-mère en s’appuyant sur cet échantillon  200 Le nuage de points semble indiquer qu’un ajustement linéaire de Y sur X est adéquat 180 160 140 y - Dépenses 120 100 80 60 40 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 x - Revenus 1. Le contexte La représentation graphique confirme le caractère stochastique de la relation entre Y et X car:  La relation entre les variables X et Y n’est pas exacte, la connaissance de X ne permet pas de déterminer de façon unique Y.  Les points obtenus ne sont pas alignés dans le repère orthogonal où X est en abscisses et Y en ordonnées.  On constate que pour un même niveau de revenu, on dispose de plusieurs points 1. Le contexte Le modèle de régression linéaire permet d’expliquer le comportement de la variable expliquée (ou endogène) par une variable explicative (ou exogène) : avec Des expressions alternatives sont possibles parmi lesquelles :  Modèle semi-logarithmique: ln  Modèle logarithmique: ln ln  Modèle exponentielle: ln  Etc….. 1. Le contexte Le choix de la forme du modèle dépend des choix méthodologiques du modélisateur qui sont généralement éclairés par:  La littérature économique  Ses a priori théoriques  Toute autre conclusion basée sur une analyse graphique ou statistique etc… Pour mettre en œuvre la méthode des Moindres carrés ordinaires, il faut que le modèle soit linéaire autrement dit, qu’il puisse s’écrire: où et sont des fonctions indépendantes des paramètres a et b. 1. Le contexte Exemples de modèles linéaires : 1 1 yi  a  b   i yi  a xi  b   i  a ln  xi   b   i xi yi yi  a xi   b   i 2 Exemples de modèles non linéaires : 1 yi  b xi  yi  a 1  ab xi  Nota bene: un modèle non linéaire peut (parfois) être linéarisé!!! yi  b xi   ln yi  a ln xi  ln b a  1. Le contexte Pour simplifier, nous considèrerons que le modèle considéré est: avec Les paramètres a et b sont et resteront toujours inconnus On cherche à déterminer les valeurs plausibles pour les paramètres a et b et à déterminer la relation estimée:  1. Le contexte… L’ambition est de fournir des estimations des paramètres a et b en s’appuyant sur un échantillon :  les estimations seront donc liées à l’échantillon utilisé  des échantillons distincts fourniront donc des estimations différentes.  les estimations sont les valeurs prises par les estimateurs Les estimateurs et vont dépendre des observations par voie de conséquence des aléas - les estimateurs sont des variables aléatoires. 1. Le contexte Les estimateurs et sont des « statistiques » calculées sur l’échantillon. Elles dépendent des données disponibles. On a:    1. Le contexte Un estimateur est une fonction de variables aléatoires observables ne dépendant pas de paramètres inconnus. Une estimation est une valeur numérique, prise par un estimateur au regard des données de l’échantillon. Une estimation est associée à un échantillon.  2. Les étapes de la séquence A. Un peu d’histoire… B. Les hypothèses de validité des MCO C. Les propriétés des estimateurs  A. Un peu d’histoire… On dispose d’un nuage de points obtenus à partir d’un échantillon L’objectif est de trouver l’équation d’une droite qui passe au plus près des points. Il s’agit donc de minimiser l’écart entre la droite et les points du nuage. Quelle notion d’écart retenir ? yˆ i  aˆxi  bˆ La démarche économétrique (MCO) consiste à trouver l’équation de la droite en rouge  A. Un peu d’histoire… Minimiser la somme des carrés des écarts , , (1) Approche introduite en 1805 par Adrien-Marie Legendre (mathématicien français, 1752-1833). Cette paternité est contestée par Carl Friedrich Gauss (mathématicien allemand, 1777-1855) (2) La méthode phare d’estimation dans les travaux économétriques. (3) Les estimateurs obtenus sont les estimateurs des moindres carrées ordinaires (en anglais OLS pour ordinary least square). Le programme d’optimisation des MCO Relation Revenus - Dépenses y versus x (avec ajustement des moindres carrés) 200 Y = 17,0 + 0,600X 180 160 140 y - Dépenses 120 100 80 60 40 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 x - Revenus Relation Revenus - Dépenses  B. Les hypothèses de validité des MCO La « popularité » de la méthode des MCO est liée aux propriétés statistiques des estimateurs qui sont obtenus. Ces propriétés statistiques dérivent d’hypothèses qui assurent que:  Les estimateurs sont sans biais Un estimateur est sans biais si son espérance est égal au paramètre estimé  Les variances d’échantillonnage peuvent être déterminées Ces variances seront particulièrement utiles pour déterminer les lois de probabilités des estimateurs Les principales hypothèses concernent l’aléa  B. Les hypothèses de validité des MCO Hypothèses générales Hypothèse 1: Le modèle est linéaire au regard des paramètres. Rappel: Hypothèse 2: Le régresseur x est observé sans erreur, ce n’est pas une variable aléatoire.  B. Les hypothèses de validité des MCO Hypothèses sur Hypothèse 3: Pour une valeur de x donnée, la valeur attendue du terme aléatoire est nulle. Nous savons que l’individu i peut s’écarter de la moyenne. Mais a priori, nous ne pouvons pas préjuger de l’importance de cette déviation.  B. Les hypothèses de validité des MCO Hypothèse 4: L’aléa est indépendant de la variable explicative autrement dit, la variable explicative n’apporte aucune information sur l’aléa. Hypothèse 5: Cette hypothèse stipule que deux termes aléatoires ne sont pas corrélés. Le fait que l’individu i s’écarte de la moyenne n’apporte aucune information sur la situation d’un individu j. Dans le cas de séries temporelles, on dit qu’il n’y a pas de corrélation sérielle.  B. Les hypothèses de validité des MCO Hypothèse 6: Les aléas sont distribués de la même façon autour de leur espérance: C’est l’hypothèse d’homoscédasticité. Hypothèse 7: Les aléas sont des variables aléatoires normales B. Les hypothèses de validité des MCO Conséquence 1: Les hypothèses H3, H5, H6 et H7 permettent de conclure que les sont des variables aléatoires normales iid (indépendantes et identiquement distribuées) telles que. Conséquence 2: Puisque alors: B. Les hypothèses de validité des MCO Une violation des hypothèses 2 et 3 biaise l’estimateur des MCO. Une violation des hypothèses 5 à 6 ne biaise pas l’estimateur mais invalide les résultats inférentiels. Deux conséquences:  Les tests ne sont plus « utilisables »  On ne peut plus s ’appuyer sur les résultats des MCO pour déduire les propriétés de la relation au niveau de la population mère. C. Les propriétés des estimateurs Rappels - Les estimateurs sont des variables aléatoires car:  La relation est : y i  axi  b   i  L’aléa est une variable aléatoire  La variable expliquée dépend de l’aléa  Les estimateurs sont des fonctions de la variable expliquée  C. Les propriétés des estimateurs On s’intéresse à deux propriétés statistiques des estimateurs:  Un estimateur sans biais.  Un estimateur convergent. Ces propriétés statistiques sont déduites des formes fonctionnelles des estimateurs  C. Les propriétés des estimateurs Notion d’estimateur sans biais:  Un estimateur sans biais fournit des estimations du paramètre inconnu qui, en moyenne, se situent autour de ce paramètre.  On extrait p échantillons, on procède à l’estimation du paramètre. Si l’estimateur est sans biais, la moyenne des p estimations obtenues est proche de la valeur du paramètre inconnu.  D. Les résultats fondamentaux concernant les estimateurs Les estimateurs des MCO sont sans biais E aˆ   a  E bˆ  b Démonstration C. Les propriétés des estimateurs Notion d’estimateur convergent:  Un estimateur convergent fournit des estimations qui tendent vers la valeur du paramètre inconnu lorsque la taille de l’échantillon croît.  On extrait p échantillons de taille n1, on procède à l’estimation du paramètre. On renouvelle l’opération avec p échantillons de taille n2 et p échantillons de taille n3 avec n1