رياضيات أولى ثانوي (السمستر الأول) PDF

‫دولــــة لــيــبــيــا‬ ‫ريـاضـيــات‬ ‫سـنـة أولـى ثــانـوي‬ ‫إعداد أ‪.‬محمد ميالد الشراني‬ ‫تاريخ اإلعداد‪2023-09-17 :‬‬ ‫الـبـاب األول‬ ‫المـجـمـوعـــات‬  ‫المجموعة‪- :‬‬ ‫هي تجم...

‫دولــــة لــيــبــيــا‬ ‫ريـاضـيــات‬ ‫سـنـة أولـى ثــانـوي‬ ‫إعداد أ‪.‬محمد ميالد الشراني‬ ‫تاريخ اإلعداد‪2023-09-17 :‬‬ ‫الـبـاب األول‬ ‫المـجـمـوعـــات‬  ‫المجموعة‪- :‬‬ ‫هي تجمع من األشياء المتشابهة أو المترابطة ِب َبعضها البعض بخاصية مشتركة‪.‬‬ ‫مالحظات‪:‬‬ ‫▪ األشياء التي تتكون منها المجموعة تسمى عناصر‪.‬‬ ‫▪ يمكن أن تكون هذه العناصر أرقاماً‪ ،‬أحرفاً‪ ،‬كلما ٍ‬ ‫ت أو أي شيء آخر‪.‬‬ ‫▪ ترتيب عناصر المجموعة ليس له أهمية (تأثير)‪.‬‬ ‫▪ ال يسمح بتكرار العناصر في المجموعة‪ ،‬أي أن كل عنصر يظهر في المجموعة مرة واحدة فقط‪.‬‬ ‫▪ عدد عناصر المجموعة يرمز له بالرمز ن‪.‬‬ ‫تمثيل المجموعة‪- :‬‬ ‫يتم تمثيل المجموعة بقوسين من هذا النوع } { وفصل عناصرها بفواصل‪.‬‬ ‫مثالً إذا كانت لدينا هذه الكلمات‪:‬‬ ‫أسد‪ ،‬فلسطين‪ ،‬ليبيا‪ ،‬نمر‪ ،‬صقر‪ ،‬مصر‪ ،‬السعودية‪.‬‬ ‫فيمكن تصنيف هذه الكلمات ضمن مجموعتين‪:‬‬ ‫المجموعة األولى تمثل أسماء دول وسنرمز لها بالحرف أ‪.‬‬ ‫▪‬ ‫أ = } فلسطين‪ ،‬ليبيا‪ ،‬مصر‪ ،‬السعودية{‪.‬‬ ‫المجموعة الثانية تمثل أسماء حيوانات وسنرمز لها بالحرف ب‪.‬‬ ‫▪‬ ‫ب = } أسد‪ ،‬نمر‪ ،‬صقر{‪.‬‬ ‫طرق كتابة المجموعة‪- :‬‬ ‫هناك طريقتان لكتابة المجموعة‪:‬‬ ‫‪.1‬طريقة القائمة أو الحصر‪:‬‬ ‫هي عبار عن ذكر أو سرد عناصر المجموعة‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫اكتب مجموعة األعداد الزوجية المحصورة بين ‪ 10،1‬بطريقة القائمة‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫أ = } ‪.{8 ،6 ،4 ،2‬‬ ‫‪.2‬طريقة الوصف أو القاعدة‪:‬‬ ‫هي عبارة عن كتابة جملة تصف عناصر المجموعة‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫اكتب مجموعة األعداد الزوجية المحصورة بين ‪ 10،1‬بطريقة الوصف‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫أ = } س‪ :‬س األعداد الزوجية المحصورة بين ‪.{10،1‬‬ ‫أو‬ ‫أ = } س‪ :‬س األعداد الزوجية ‪ >1 ،‬س >‪.{ 10‬‬ ‫‪1‬‬  ‫مثال‪:‬‬ ‫اكتب المجموعات التالية بطريقتي الوصف والقائمة‪.‬‬ ‫‪ )1‬مجموعة الحروف األبجدية المحصورة بين أ ‪ ،‬جـ‪.‬‬ ‫‪ )2‬مجموعة األعداد الفردية المحصورة بين ‪.5 ، 1‬‬ ‫‪ )3‬أسماء فصول السنة‪.‬‬ ‫‪ )4‬مجموعة عوامل العدد ‪.16‬‬ ‫‪ )5‬مجموعة األحرف المكونة لكلمة "عدد"‪.‬‬ ‫الحــل‬ ‫‪ )1‬س = } ل‪ :‬ل األحرف األبجدية المحصورة بين أ ‪ ،‬جـ{‪ →.‬طريقة الوصف‪.‬‬ ‫س = } ب‪ ،‬ت‪ ،‬ث{‪ →.‬طريقة القائمة‪.‬‬ ‫‪ )2‬م = } ي‪ :‬ي األعداد الفردية المحصورة بين ‪ →.{5 ، 1‬طريقة الوصف‪.‬‬ ‫م = } ‪ →. {3‬طريقة القائمة‪.‬‬ ‫‪ )3‬ب = } ض‪ :‬ض أسماء فصول السنة{‪ →.‬طريقة الوصف‪.‬‬ ‫ب = } صيف‪ ،‬خريف‪ ،‬شتاء‪ ،‬ربيع{‪ →.‬طريقة القائمة‪.‬‬ ‫‪ )4‬ر = } د‪ :‬د عوامل العدد ‪ →.{16‬طريقة الوصف‪.‬‬ ‫ر = } ‪ →.{16 ،8 ،4 ،2 ،1‬طريقة القائمة‪.‬‬ ‫‪ )5‬ت = } ف‪ :‬ف األحرف المكونة لكلمة "عدد"{‪ →.‬طريقة الوصف‪.‬‬ ‫ت = } د‪ ،‬ع{‪ →.‬طريقة القائمة‪.‬‬ ‫كما ذُك َِر سابقا أن عناصر المجموعة تجمعها خاصية مشتركة وبالتالي يمكن أن تأخذ المجموعات هذا الشكل‪:‬‬ ‫أ = { (‪.} )3 ، 2( ، )2 ، 2( ، )3 ، 1( ، )2 ، 1‬‬ ‫ب = { {‪.} }10{ ، }7 ، 5 ، 3 ، 0{ ، }1 ، 1-{ ، }6 ، 4 ، 2‬‬ ‫االنتماء وعدم االنتماء ∈ ‪:∉ ،‬‬ ‫يستخدم لوصف عالقة العنصر بالمجموعة‪.‬مهم‪.‬‬ ‫الرمز ∈ يعني أن عنصر ما ينتمي لمجموعة معينة فمثال إذا كانت أ = }‪ {3 ، 2 ، 1‬فإن ‪ ∈ 1‬أ‪.‬‬ ‫▪‬ ‫الرمز ∉ يعني أن عنصر ما ال ينتمي لمجموعة معينة فمثال إذا كانت أ = }‪ {3 ، 2 ، 1‬فإن ‪ ∉ 5‬أ‪.‬‬ ‫▪‬ ‫أنواع المجموعات‪- :‬‬ ‫المجموعة الخالية ∅‪- :‬‬ ‫▪‬ ‫هي مجموعة ال تحتوي على أي عناصر‪ ،‬ويرمز لها بالرمز ∅ أو } {‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫اكتب مجموعة األعداد الصحيحة بين ‪ 4 ، 1‬تقبل القسمة على ‪.6‬‬ ‫الحل‬ ‫أ = } { أو ∅‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫أي من المجموعات التالية تدل على المجموعة الخالية‪:‬‬ ‫④ جميع اإلجابات خاطئة‬ ‫}‪{0‬‬ ‫③‬ ‫② ‪0‬‬ ‫① }∅{‬ ‫‪2‬‬  ‫المجموعة المنتهية‪- :‬‬ ‫▪‬ ‫هي مجموعة تحتوي على عدد نهائي من العناصر‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫اكتب مجموعة أيام األسبوع‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫أ = }الجمعة ‪ ،‬السبت ‪ ,‬األحد ‪ ،‬االثنين ‪ ،‬الثالثاء ‪ ،‬اإلربعاء ‪ ،‬الخميس {‪.‬‬ ‫المجموعة الالنهائية (الغير منتهية)‪- :‬‬ ‫▪‬ ‫هي مجموعة تحتوي على عدد ال نهائي من العناصر‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫اكتب مجموعة األعداد الزوجية األكبر من صفر‪.‬‬ ‫أ = }‪.{… ، 10 ، 8 ، 6 ، 4 ، 2‬‬ ‫وتوجد مجموعات أعداد غير منتهية‪ ،‬محددة برمز خاص وهي‪:‬‬ ‫‪.1‬مجموعة األعداد الطبيعية (ط) = { ‪.}... ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1‬‬ ‫‪.2‬مجموعة األعداد الكلية (ك) = { ‪.}... ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 ، 0‬‬ ‫‪.3‬مجموعة األعداد الصحيحة (ص) = { ‪.}... ، 5 ± ، 4 ± ، 3 ± ، 2 ± ، 1 ± ، 0‬‬ ‫‪ ،‬أ‪،‬ب ∈ ص ‪ ،‬ب ≠ ‪.} 0‬‬ ‫‪.4‬مجموعة األعداد القياسية (ق) = {‬ ‫أ‬ ‫ب‬ ‫المجموعات الجزئية ⊂ ‪- :⊆ ،‬‬ ‫▪‬ ‫هي مجموعة تحتوي على بعض أو كل عناصر المجموعة األساسية‪ ،‬وال تحتوي على عناصر إضافية‪.‬‬ ‫يمكن أن تكون المجموعة الجزئية فارغة أو تحتوي على عنصر أو أكثر من عنصر أو كل العناصر‪.‬‬ ‫فمثالا إذا لدينا مجموعتين أ و ب فإنه‪:‬‬ ‫ إذا كانت جميع عناصر المجموعة أ تنتمي إلى المجموعة ب‪ ،‬وبعض عناصر المجموعة ب ال‬ ‫تنتمي إلى المجموعة أ‪ ،‬يقال في هذه الحالة أن أ مجموعة جزئية فعلية من المجموعة ب‪ ،‬وتكتب‬ ‫أ ⊂ ب‪.‬‬ ‫ إذا كانت جميع عناصر المجموعة أ تنتمي إلى المجموعة ب‪ ،‬وجميع عناصر المجموعة ب تنتمي‬ ‫إلى المجموعة أ‪ ،‬يقال في هذه الحالة أن أ مجموعة جزئية من المجموعة ب‪ ،‬وتكتب أ ⊆ ب‪.‬‬ ‫ أما إذا كانت أ ليست مجموعة جزئية أو ليست مجموعة جزئية فعلية من المجموعة ب فتكتب‬ ‫أ ⊄ ب‪.‬‬ ‫تنبيه هام‪:‬‬ ‫يربط الرمز ⊂ أو ⊆ بين مجموعتين‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫ً‬ ‫في كل حالة من الحاالت اآلتية أيّا من المجموعات جزئية أم ال‪.‬‬ ‫ب = { ‪.}10 ، 7 ، 3 ، 2 ، 0‬‬ ‫‪ )1‬أ = { ‪}3 ، 2 ، 1‬‬ ‫ص = { م ‪ ،‬ت ‪ ،‬ر}‪.‬‬ ‫‪ )2‬س = {ل ‪ :‬ل حروف كلمة "رقرق"}‬ ‫ط = { ‪.}... ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1‬‬ ‫‪ )3‬ع = { ‪}... ، 7 ، 5 ، 3 ، 1‬‬ ‫ن = مجموعة حروف كلمة "رقم"‪.‬‬ ‫‪ )4‬م = مجوعة حروف كلمة "قمر"‬ ‫د = { {‪.} ∅ ، }0{ ، }5 ، 1‬‬ ‫* ‪ )5‬هـ = ∅‬ ‫‪3‬‬  ‫الحل‬ ‫اكتب المجموعات بطريقة القائمة للمساعدة في الحل‪.‬‬ ‫‪ )1‬أ ⊄ ب‬ ‫ص={م‪،‬ت‪،‬ر}‬ ‫و‬ ‫‪ )2‬س = { ر ‪ ،‬ق }‬ ‫س⊄ص‬ ‫‪ )3‬ع ⊂ ط‬ ‫ن={ر‪،‬ق‪،‬م}‬ ‫و‬ ‫‪ )4‬م = { ق ‪ ،‬م ‪ ،‬ر }‬ ‫م⊆ط‬ ‫‪ )5‬هـ ⊄ د‬ ‫المجموعات المتساوية = ‪-:‬‬ ‫▪‬ ‫هي مجموعات تحتوي على نفس العناصر‪ ،‬ويرمز لها بالرمز =‪.‬‬ ‫إذا كانت أ ⊆ ب ‪ ،‬ب ⊆ أ فإن أ = ب‪.‬‬ ‫فمثال إذا كانت المجموعة أ = { ‪ }20 ، 8 ، 1‬والمجموعة ب = { ‪ }8 ، 1 ، 20‬فإن أ = ب‪ ،‬ألن لهما‬ ‫نفس العناصر‪.‬‬ ‫المجموعات المتكافئة ≡ ‪- :‬‬ ‫▪‬ ‫هي مجموعات تحتوي على نفس عدد العناصر‪ ،‬وليس بالضرورة نفس العناصر‪ ،‬ويرمز لها بالرمز ≡‪.‬‬ ‫▪‬ ‫فمثال إذا كانت المجموعة أ = { ‪ }4 ، 3 ، 2 ، 1‬والمجموعة ب = { أ ‪ ،‬ف ‪ ،‬ر ‪ ،‬ق} فإن أ ≡ ب‪ ،‬ألن‬ ‫ن(أ) = ن(ب) = ‪ ،4‬أي أن لهما نفس عدد العناصر‪.‬‬ ‫المجموعة الشاملة ش ‪- :‬‬ ‫▪‬ ‫هي المجموعة التي تحتوي على جميع العناصر تحت الدراسة ويرمز لها بالرمز ش‪.‬‬ ‫فمثال إذا كانت المجموعة أ = { ‪ ، } 3 ، 2 ، 1‬ب = { ‪ ، } 5 ، 4 ، 3‬جـ = { ‪ } 7 ، 3‬فنقول أن المجموعة‬ ‫ش = { ‪ } 8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1‬ألنها تحتوي على جميع عناصر المجموعات األخرى‪.‬‬ ‫يبل‬ ‫▪‬ ‫عدد المجموعات الجزئية لمجموعة معطاة‪- :‬‬ ‫عدد المجموعات الجزئية لمجموعة معطاة = ‪2‬ن ‪ ،‬حيث ن عدد عناصر المجموعة المعطاة‪.‬‬ ‫توضع المجموعات الجزئية ضمن مجموعة تسمى مجموعة المجموعات الجزئية ويرمز لها بالرمز ق(س)‪ ،‬حيث‬ ‫س تمثل اسم المجموعة المعطاة‪.‬‬ ‫مالحظة‪:‬‬ ‫ المجموعة األصلية تعتبر مجموعة جزئية للمجموعة نفسها‪.‬‬ ‫ المجموعة الخالية ∅ تعتبر مجموعة جزئية من أي مجموعة‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫أوجد عدد عناصر المجموعات الجزئية ومن ثم أوجد المجموعات الجزئية للمجموعتين أ ‪ ،‬ب‪:‬‬ ‫‪ ) 1‬أ = { ‪.} 5 ، 2‬‬ ‫‪ )2‬أ = { ‪.} 6 ، 3 ، 1-‬‬ ‫‪4‬‬  ‫الحل‬ ‫فإن‪:‬‬ ‫وأن ن(أ) = ‪ ، 2‬ن(ب) = ‪3‬‬ ‫‪2‬ن ‪،‬‬ ‫∵ عدد المجموعات الجزئية لمجموعة =‬ ‫‪ )1‬عدد المجموعات الجزئية للمجموعة أ = ‪ 4 = 22‬مجموعات جزئية‪.‬‬ ‫ق(أ) = { {‪.} ∅ ، }5{ ، }2{ ، }5 ، 2‬‬ ‫‪ )2‬عدد المجموعات الجزئية للمجموعة ب = ‪ 8 = 32‬مجموعات جزئية‪.‬‬ ‫ق(ب) = { {‪.} ∅ ، }6{ ، }3{ ، }1-{ ، }6 ، 3{ ، }6 ، 1-{ ، }3 ، 1-{ ، }6 ، 3 ، 1-‬‬ ‫أشـكــال ڨـن‪- :‬‬ ‫هي مجموعة من األشكال الهندسية المتداخلة (مربع‪ ،‬مستطيل‪ ،‬دائرة‪ )...،‬تستخدم لتوضيح العالقة بين‬ ‫المجموعات‪.‬‬ ‫يستخدم المستطيل لتمثيل المجموعة الشاملة (ش)‪.‬‬ ‫ ‬ ‫تستخدم الدائرة لتمثيل مجموعة معاطاة‪.‬‬ ‫ ‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫مثّل كال من المجموعات التالية بأشكال ڨن‪:‬‬ ‫‪ )1‬إذا كانت أ = { ‪ } 20 ، 12 ، 6 ، 5 ، 1‬و ب = { ‪.} 10 ، 9 ، 2 ، 0‬‬ ‫‪ )2‬إذا كانت أ = { ‪ } 6 ، 5 ، 1‬و ب = { ‪.} 8 ، 7 ، 4 ، 1‬‬ ‫‪ )3‬إذا كانت ش = {‪ }8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1‬و أ = {‪ }6 ، 5 ، 1‬و ب = {‪.}8 ، 7 ، 4 ، 1‬‬ ‫الحل‬ ‫‪ )1‬ر‬ ‫مجموعات منفصلة‬ ‫‪ )2‬ر‬ ‫مجموعات متداخلة‬ ‫‪ )3‬ر‬ ‫‪5‬‬  ‫العمليات على المجموعات‪- :‬‬ ‫❖ عملية االتحاد ∪ ‪- :‬‬ ‫االتحاد بين مجموعتين هو المجموعة التي تحتوي على العناصر في كال المجموعتين بدون تكرارا‪ ،‬ويرمز‬ ‫له بالرمز ∪‪.‬‬ ‫تمثيل عملية االتحاد باستخدام الوصف‪:‬‬ ‫أ ∪ ب = { س ‪ :‬س ∈ أ أو س ∈ ب }‪.‬‬ ‫تمثيل عملية االتحاد بأشكل ڨن‪:‬‬ ‫مجموعات متداخلة‬ ‫مجموعات منفصلة‬ ‫فمثال‬ ‫إذا كانت أ = { ‪ } 10 ، 6- ، 0‬و ب = { ‪.} 5 ، 6- ، 11 ، 1‬‬ ‫فإن أ ∪ ب = { ‪.} 11 ، 10 ، 5 ، 1 ، 0 ، 6-‬‬ ‫❖ عملية التقاطع ∩ ‪- :‬‬ ‫التقاطع بين مجموعتين هو المجموعة التي تحتوي فقط على العناصر المشتركة بين المجموعتين‪ ،‬ويرمز له‬ ‫بالرمز ∩‪.‬‬ ‫تمثيل عملية التقاطع باستخدام الوصف‪:‬‬ ‫أ ∩ ب = { س ‪ :‬س ∈ أ و س ∈ ب }‪.‬‬ ‫تمثيل عملية التقاطع بأشكل ڨن‪:‬‬ ‫فمثال‬ ‫إذا كانت أ = { ‪ } 10 ، 6- ، 0‬و ب = { ‪.} 5 ، 6- ، 11 ، 1‬‬ ‫فإن أ ∩ ب = { ‪.} 6-‬‬ ‫❖ عملية الفرق ‪- : -‬‬ ‫الفرق بين مجموعتين هو المجموعة التي تحتوي على العناصر الموجودة في المجموعة األولى وغير موجودة‬ ‫في المجموعة الثانية‪ ،‬ويرمز له بالرمز ‪.-‬‬ ‫تمثيل عملية الفرق باستخدام الوصف‪:‬‬ ‫أ ‪ -‬ب = { س ‪ :‬س ∈ أ و س ∉ ب }‪.‬‬ ‫تمثيل عملية الفرق بأشكل ڨن‪:‬‬ ‫‪6‬‬  ‫فمثال‬ ‫إذا كانت أ = { ‪ } 10 ، 6- ، 0‬و ب = { ‪.} 5 ، 6- ، 11 ، 1‬‬ ‫فإن أ ‪ -‬ب = { ‪.} 10 ، 0‬‬ ‫❖ عملية التكميل ‪- : /‬‬ ‫التكميل لمجموعة ما هي المجموعة التي تحتوي على العناصر الموجودة في المجموعة الشاملة وغير موجودة‬ ‫في المجموعة المراد تكميلها‪ ،‬ويرمز له بالرمز ‪./‬‬ ‫أي بمعنى أ‪ = /‬ش – أ‬ ‫تمثيل عملية التكميل باستخدام الوصف‪:‬‬ ‫أ‪ { =/‬س ‪ :‬س ∈ ش و س ∉ أ }‪.‬‬ ‫تمثيل عملية التكميل بأشكل ڨن‪:‬‬ ‫فمثال‬ ‫إذا كانت ش = { ‪ } 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1‬و أ = { ‪.} 4 ، 2 ، 1‬‬ ‫فإن أ‪.} 5 ، 3 { = /‬‬ ‫أمثلة متنوعة‪- :‬‬ ‫(‪ )1‬أيا ا من العبارات التالية يقال عنها مجموعة وأيها ليست مجموعة‪ ،‬مع ذكر السبب‪:‬‬ ‫أ‪.} 4 ، √2 ، 1 {.‬‬ ‫ب‪ ، 1 {.‬ق ‪ ،‬ت ‪.} 0 ، 4 ،‬‬ ‫ت‪ }.‬تفاح‪ ،‬مشمش‪ ،‬موز‪ ،‬عنب{‪.‬‬ ‫ث‪ {.‬مروان ‪ ،‬ي ‪ ،‬ر ‪ ،‬مفتاح ‪ ،‬محمود }‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫ألن جميع العناصر تتميز‬ ‫مجموعة ‪‬‬ ‫{ ‪.} 4 ، √2 ، 1‬‬ ‫أ‪.‬‬ ‫بخاصية مشتركة وهي أعداد‪.‬‬ ‫ألن العناصر ال تتميز بخاصية‬ ‫مشتركة فهي خليط من األعداد‬ ‫ليست مجموعة ‪X‬‬ ‫ب‪ ، 1 {.‬ق ‪ ،‬ت ‪.} 0 ، 4 ،‬‬ ‫واألحرف‬ ‫ألن جميع العناصر تتميز‬ ‫مجموعة ‪‬‬ ‫ت‪ }.‬تفاح‪ ،‬مشمش‪ ،‬موز‪ ،‬عنب{‪.‬‬ ‫بخاصية مشتركة وهي فواكه‪.‬‬ ‫ألن العناصر ال تتميز بخاصية‬ ‫مشتركة فهي خليط من أسماء‬ ‫ليست مجموعة ‪X‬‬ ‫ث‪ {.‬مروان ‪ ،‬ي ‪ ،‬ر ‪ ،‬مفتاح ‪ ،‬محمود }‪.‬‬ ‫وأحرف‬ ‫‪7‬‬  ‫(‪ )2‬بين أيا ا من العبارات اآلتية صحيحة أم ال‪:‬‬ ‫ت‪.} 1 ، 0 { ⊂ {0{.‬‬ ‫ب‪.} ∅ ، }0،1{ { ⊂ {∅{.‬‬ ‫‪.}1 ، 0{ ∈ 0‬‬ ‫أ‪.‬‬ ‫ح‪.∅ = { {.‬‬ ‫ج‪.}1 ، 0{ ⊂ ∅.‬‬ ‫ث‪.}1 ، 0{ ∈ ∅.‬‬ ‫ذ‪.} 1 ، 0 { ⊂ } 1 ، 0 {.‬‬ ‫{ ∅ }‪.} ∅ { ⊆.‬‬ ‫د‪.‬‬ ‫خ‪.} {1} ، }0{ { ∈ {0{.‬‬ ‫الحل‬ ‫ت‪.‬‬ ‫ب‪.‬‬ ‫أ‪.‬‬ ‫ألن العالقة بين العنصر ألن العالقة بين مجموعتين عالقة ألن العالقة بين مجموعتين‬ ‫عالقة جزئية‪.‬‬ ‫جزئية‪.‬‬ ‫والمجموعة انتماء‪.‬‬ ‫ح‪.‬‬ ‫ج‪.‬‬ ‫ث‪X.‬‬ ‫ألن العالقة بين مجموعتين ألن العالقة بين مجموعتين عالقة ألن المجموعتان اللتان لديهما‬ ‫نفس العناصر عالقتها تساوي‪.‬‬ ‫جزئية‪.‬‬ ‫عالقة جزئية‪.‬‬ ‫ذ‪X.‬‬ ‫د‪.‬‬ ‫خ‪.‬‬ ‫ألنها نفس المجموعة فنقول‬ ‫مجموعة‬ ‫فنقول‬ ‫المجموعة‬ ‫نفس‬ ‫ألنهما‬ ‫العنصر‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ ‫ألن‬ ‫مجموعة جزئية وليس‪،‬‬ ‫جزئية‪.‬‬ ‫والمجموعة انتماء‪.‬‬ ‫مجموعة جزئية فعلية‪.‬‬ ‫(‪ )3‬أوجد المجموعات الجزئية لكل من المجموعات التالية‪:‬‬ ‫أ‪.‬س = { ‪.} 2 ، 1‬‬ ‫ب‪.‬ص = { ر ‪ ،‬ص ‪ ،‬ع }‪.‬‬ ‫ت‪.‬ز = ∅ ‪.‬‬ ‫ث‪.‬ف = { ل }‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫‪22‬‬‫أ‪ ∵.‬ن(س) = ‪ ⟸ 2‬عدد المجموعات الجزئية =‬ ‫= ‪ 4‬مجموعات جزئية‪.‬‬ ‫∴ ق(س) = { {‪.} ∅ ، }2{ ، }1{ ، }2 ، 1‬‬ ‫‪32‬‬ ‫ب‪ ∵.‬ن(ص) = ‪ ⟸ 3‬عدد المجموعات الجزئية =‬ ‫= ‪ 8‬مجموعات جزئية‪.‬‬ ‫∴ ق(ص) = { {ر ‪ ،‬ص ‪ ،‬ع} ‪{ ،‬ر ‪ ،‬ص} ‪{ ،‬ر ‪ ،‬ع} ‪{ ،‬ص ‪ ،‬ع} ‪{ ،‬ر} ‪{ ،‬ص} ‪{ ،‬ع} ‪.} ∅ ،‬‬ ‫‪02‬‬ ‫ت‪ ∵.‬ن(ز) = ‪ ⟸ 0‬عدد المجموعات الجزئية =‬ ‫= ‪ 1‬أي مجموعة جزئية واحدة‪.‬‬ ‫∴ ق(ز) = { ∅ }‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ث‪ ∵.‬ن(ف) = ‪ ⟸ 1‬عدد المجموعات الجزئية =‬ ‫= ‪ 2‬أي مجموعتين جزئيتين‪.‬‬ ‫∴ ق(ف) = { {ل} ‪.} ∅ ،‬‬ ‫‪8‬‬  ‫(‪ )4‬بين أيا من العبارات متساوية وأيا ا منها متكافئة‪:‬‬ ‫أ‪.}3 ، 2 ، 1 {.‬‬ ‫ب‪.} 2 {.‬‬ ‫ت‪.‬حروف كلمة قلب‪.‬‬ ‫ث‪ }.‬س‪ :‬س عدد أولي أقل من ‪.{ 10‬‬ ‫ج‪.} 7 ، 5 ، 3 ، 2 {.‬‬ ‫ح‪ }.‬س‪ :‬س ∈ ط ‪ ،‬محصورة بين ‪.{ 3 ، 1‬‬ ‫خ‪ }.‬س‪ :‬س حروف كلمة لبق {‪.‬‬ ‫د‪ }.‬س‪ :‬س ∈ ط ‪ ≥1 ،‬س ≥‪.{ 3‬‬ ‫الحل‬ ‫سنكتب المجموعات بطريقة القائمة لتَميِيزها‪.‬‬ ‫أ = { ‪.}3 ، 2 ، 1‬‬ ‫ب = { ‪.} 2‬‬ ‫ت = { ق ‪ ،‬ل ‪ ،‬ب}‪.‬‬ ‫ث = { ‪.} 7 ، 5 ، 3 ، 2‬‬ ‫ج = { ‪.} 7 ، 5 ، 3 ، 2‬‬ ‫ح = { ‪.} 2‬‬ ‫خ = { ل ‪ ،‬ب ‪ ،‬ق}‪.‬‬ ‫د = { ‪.}3 ، 2 ، 1‬‬ ‫العبارات المتساوية‪:‬‬ ‫‪ ،‬ث = ج‪.‬‬ ‫ت=خ‬ ‫‪،‬‬ ‫أ=د ‪ ،‬ب=ح‬ ‫العبارات المتكافئة‪:‬‬ ‫خ ≡ د‪.‬‬ ‫ت≡د ‪،‬‬ ‫أ≡ت ‪ ،‬أ≡خ ‪،‬‬ ‫(‪ )5‬إذا كانت أ = { ‪ ، } 4 ، 3 ، 2 ، 1‬ب = { ‪ ،} 6 ، 5 ، 4 ، 3‬ش = } س‪ :‬س ∈ ط ‪ ≥1 ،‬س ≥‪{ 10‬‬ ‫فأوجد اآلتي‪:‬‬ ‫أ‪.‬أ ⋂ ب ‪ ،‬أ ⋃ ب ‪ ،‬ب – أ‪.‬‬ ‫ب‪.‬أ‪ ، /‬ب‪./‬‬ ‫ت‪.‬ش – (أ ⋃ ب)‪.‬‬ ‫ث‪.‬ش – (أ ⋂ ب)‪.‬‬ ‫ج‪(.‬أ ⋂ ب) ⋃ (أ ⋂ ب)‪.‬‬ ‫ومن ثم ظلل المنطقة التي بشكل ڨن في كل فقرة‪.‬‬ ‫‪9‬‬  ‫الحل‬ ‫أ={‪،}4،3،2،1‬ب={‪}6،5،4،3‬‬ ‫ش= { ‪.} 10 ، 9 ، 8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1‬‬ ‫أ‪.‬‬ ‫ب–أ‬ ‫أ⋃ب‬ ‫أ⋂ب‬ ‫{‪}2،1‬‬ ‫{‪}6،5،4،3،2،1‬‬ ‫{‪}4،3‬‬ ‫ب‪.‬‬ ‫ب‪/‬‬ ‫أ‪/‬‬ ‫ب‪ = /‬ش – ب = { ‪}10 ، 9 ، 8 ، 7 ، 2 ، 1‬‬ ‫أ‪ = /‬ش ‪ -‬أ = { ‪} 10 ، 9 ، 8 ، 7 ، 6 ، 5‬‬ ‫ت‪.‬ش – (أ ⋃ ب) = { ‪} 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 { - } 10 ، 9 ، 8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1‬‬ ‫= { ‪.} 10 ، 9 ، 8 ، 7‬‬ ‫ث‪.‬ش – (أ ⋂ ب) = { ‪} 4 ، 3 { - } 10 ، 9 ، 8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1‬‬ ‫= { ‪.} 10 ، 9 ، 8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 2 ، 1‬‬ ‫‪10‬‬  ‫ج‪(.‬أ ⋂ ب) ⋃ (أ ⋂ ب) = { ‪.} 4 ، 3 { = } 4 ، 3 { ⋃ } 4 ، 3‬‬ ‫(‪ )6‬إذا كانت أ = { ‪ } 0 ، 7 ، 1 ، 5‬و ب = { ‪ ، 0 ، 5 ، 7‬س } وأن أ = ب فأوجد قيمة س‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫شرط تساوي المجموعات يجب أن تكون المجموعات لها نفس العناصر بالضبط‪.‬‬ ‫ومن الشكل نجد أن س = ‪.1‬‬ ‫(‪ )7‬ي‬ ‫‪11‬‬