ریاضی هشتم PDF

‫ض‬ ‫ریا ی‬ ‫ــــم‬ ‫لــــی ُم َح َّمــــ ٍد َو آلِ ُم َح َّمــــ ٍد َو َع ِّج ْ‬ ‫ــــل َف َر َج ُه ْ‬ ‫ـــــل َع ٰ‬ ‫اَللّٰ ُه َّ‬ ‫ــــم َص ِّ‬...

‫ض‬ ‫ریا ی‬ ‫ــــم‬ ‫لــــی ُم َح َّمــــ ٍد َو آلِ ُم َح َّمــــ ٍد َو َع ِّج ْ‬ ‫ــــل َف َر َج ُه ْ‬ ‫ـــــل َع ٰ‬ ‫اَللّٰ ُه َّ‬ ‫ــــم َص ِّ‬ ‫پ ای ٔه ه ش مت‬ ‫ ‬ ‫دورۀ ّاول م ت وس طه‬  ‫وزارت آموزش و پرورش‬ ‫سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی‬ ‫اول متوسطه ـ ‪805‬‬ ‫ریاضی ـ پایۀ هشتم دورۀ ّ‬ ‫نام کتاب‪:‬‬ ‫سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی‬ ‫پدیدآورنده‪:‬‬ ‫دفتر تألیف کتاب های درسی عمومی و متوسطه نظری‬ ‫مدیریت برنامهریزی درسی و تألیف‪:‬‬ ‫حمید رضا امیری‪ ،‬علی ایرانمنش‪ ،‬سوسن پناهنده‪ ،‬طیبه حمزه بیگی‪ ،‬خسرو داودی‪،‬‬ ‫شناسه افزوده برنامهریزی و تألیف‪:‬‬ ‫محمدهاشم رستمی‪ ،‬ابراهیم ریحانی‪ ،‬محمد رضا سیدصالحی‪ ،‬هوشنگ شرقی‪ ،‬مریم‬ ‫شکری کُهی‪ ،‬میرشهرام صدر‪ ،‬محمد صادق عسگری‪ ،‬دیانا فردین‪ ،‬محمد مقاصدی‪ ،‬زهرا‬ ‫نیکنام و محبوبه یعقوبی (اعضای شورای برنامه ریزی)‬ ‫حمیدرضا امیری‪ ،‬زهره پندی‪ ،‬حسین خسروآبادی‪ ،‬خسرو داودی‪ ،‬ابراهیم ریحانی‪ ،‬محمد       رضا‬ ‫سیدصالحی و میرشهرام صدر (اعضای گروه تألیف) ـ افسانه حجتی طباطبایی و محمد‬ ‫دانشگر (ویراستار)‬ ‫کل نظارت بر نشر و توزیع مواد آموزشی‬ ‫اداره ّ‬ ‫مدیریت آماده‌سازی هنری‪:‬‬ ‫احمدرضا امینی (مدیر امور فنی و چاپ) ـ مجید ذاکری یونسی (مدیر هنری) ـ ندا عظیمی‬ ‫شناسه افزوده آماده سازی‪:‬‬ ‫(طراح گرافیک) ـ ندا عظیمی‪ ،‬زهره بهشتی شیرازی (صفحه آرا) ـ طاهره حسن زاده‬ ‫(طراح جلد) ـ فاطمه رئیسیان فیروزآباد و مریم دهقان زاده (رسام) ـ فاطمه باقریمهر‪،‬‬ ‫کبری اجابتی‪ ،‬علی نجمی‪ ،‬سیفالله بیکمحمد دلیوند‪ ،‬زینت بهشتی شیرازی و راحله‬ ‫ٰ‬ ‫زاد  فتح اله (امور آماده سازی)‬ ‫تهران‪ :‬خیابان ایرانشهر شمالی ـ ساختمان شمارۀ ‪ ٤‬آموزش و پرورش (شهید موسوی)‬ ‫نشانی سازمان‪:‬‬ ‫تلفن‪٩ :‬ـ‪ ،٨٨٨٣١١٦١‬دورنگار‪ ،٨٨٣٠٩٢٦٦ :‬کد پستی‪١٥٨٤٧٤٧٣٥٩ :‬‬ ‫وبگاه‪ www.chap.sch.ir :‬و ‪www.irtextbook.ir‬‬ ‫شرکت چاپ ونشر کتاب های درسی ایران‪ :‬تهران ـ کیلومتر ‪ ١٧‬جادۀ مخصوص کرج  ـ‬ ‫ناشر‪:‬‬ ‫خیابـان ‪(   ٦١‬داروپخش) تلفن‪  ٥ :‬ـ ‪ ،٤٤٩٨٥١٦١‬دورنگـار‪،44985160 :‬‬ ‫صندوق پستی‪١٣٩ :‬ـ  ‪٣٧٥١٥‬‬ ‫شرکت چاپ و نشر کتاب های درسی ایران «سهامی خاص»‬ ‫چاپخانه‪:‬‬ ‫چاپ یازدهم ‪1403‬‬ ‫سال انتشار و نوبت چاپ‪:‬‬ ‫کلیه حقوق مادی و معنوی این کتاب متعلق به سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی وزارت آموزش و‬ ‫پرورش است و هرگونه استفاده از کتاب و اجزای آن به صورت چاپی و الکترونیکی و ارائه در پایگاه های مجازی‪،‬‬ ‫نمایش‪ ،‬اقتباس‪ ،‬تلخیص‪ ،‬تبدیل‪ ،‬ترجمه‪ ،‬عکس برداری‪ ،‬نقاشی‪ ،‬تهیه فیلم و تکثیر به هر شکل و نوع بدون کسب‬ ‫مجوز از این سازمان ممنوع است و متخلفان تحت پیگرد قانونی قرار می گیرند‪.‬‬ ‫‪ISBN 978 -964 - 05 - 2379 - 7‬‬ ‫شابک ‪9٧٨-964-05 - 2379- 7‬‬  ‫انسان عصاره همه موجودات عالم است‪.‬‬ ‫با تربیت صحیح ممکن نیست که یک مملکتی تحت تأثیر استعمار باشد‪.‬‬ ‫اگر ملتی بخواهد به طرف سعادت پرواز کند باید با دو بال تهذیب نفس و علم باشد‪.‬‬ ‫امام خمینی​« ُق ِّد َ‬ ‫س سِ ُّر ُه»‬  ‫فهرست‬ ‫‪1‬‬ ‫عددهای صحیح و گویا‬ ‫فصل ‪1‬‬ ‫درس اول‪ :‬یادآوری عددهای صحیح ‪2.......................................‬‬ ‫درس دوم‪ :‬معرفی عددهای گویا ‪6...........................................‬‬ ‫درس سوم‪ :‬جمع و تفریق عددهای گویا ‪10....................................‬‬ ‫درس چهارم‪ :‬ضرب و تقسیم عددهای گویا ‪14.................................‬‬ ‫مرور فصل ‪18....................................................... ١‬‬ ‫‪19‬‬ ‫عددهای اول‬ ‫فصل ‪2‬‬ ‫درس اول‪ :‬یادآوری عددهای اول‪20..........................................‬‬ ‫درس دوم‪ :‬تعیین عددهای اول ‪24............................................‬‬ ‫مرور فصل ‪28......................................................... ٢‬‬ ‫‪29‬‬ ‫چند ضلعی ها‬ ‫فصل ‪3‬‬ ‫درس اول‪ :‬چند ضلعی ها و تقارن ‪30..........................................‬‬ ‫درس دوم‪ :‬توازی و تعامد ‪34...............................................‬‬ ‫درس سوم‪ :‬چهارضلعی ها ‪38...............................................‬‬ ‫درس چهارم‪ :‬زاویه های داخلی‪42............................................‬‬ ‫درس پنجم‪ :‬زاویه های خارجی‪46............................................‬‬ ‫مرور فصل ‪50......................................................... ٣‬‬ ‫‪51‬‬ ‫جبر و معادله‬ ‫فصل ‪4‬‬ ‫درس اول‪ :‬ساده کردن عبارت های جبری ‪52....................................‬‬ ‫درس دوم‪ :‬پیدا کردن مقدار یک عبارت جبری ‪56................................‬‬ ‫درس سوم‪ :‬تجزیه عبارت های جبری ‪60.......................................‬‬ ‫درس چهارم‪ :‬معادله ‪64....................................................‬‬ ‫مرور فصل ‪68......................................................... 4‬‬ ‫‪69‬‬ ‫بردار و مختصات‬ ‫فصل ‪5‬‬ ‫درس اول‪ :‬جمع بردارها‪70.................................................‬‬ ‫درس دوم‪ :‬ضرب عدد در بردار ‪74...........................................‬‬ ‫درس سوم‪ :‬بردارهای واحد مختصات ‪78......................................‬‬ ‫مرور فصل ‪82......................................................... 5‬‬ ‫‪83‬‬ ‫مثلث‬ ‫فصل ‪6‬‬ ‫درس اول‪ٔ :‬‬ ‫رابطه فیثاغورس‪84..............................................‬‬ ‫درس دوم‪ :‬شکل های هم نهشت ‪88...........................................‬‬ ‫درس سوم‪ :‬مثلث های هم نهشت ‪92...........................................‬‬ ‫درس چهارم‪ :‬هم نهشتی مثلث های قائم الزاویه ‪96.................................‬‬ ‫مرور فصل ‪100........................................................ 6‬‬ ‫‪101‬‬ ‫توان و جذر‬ ‫فصل ‪7‬‬ ‫درس اول‪ :‬توان‪102......................................................‬‬ ‫درس دوم‪ :‬تقسیم اعداد توان دار ‪106.........................................‬‬ ‫درس سوم‪ :‬جذر تقریبی ‪110................................................‬‬ ‫درس چهارم‪ :‬نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد ‪114........................‬‬ ‫درس پنجم‪ :‬خواص ضرب و تقسیم رادیکال ها‪115...............................‬‬ ‫مرور فصل ‪118........................................................ 7‬‬ ‫‪119‬‬ ‫آمار و احتمال‬ ‫فصل ‪8‬‬ ‫درس اول‪ :‬دسته بندی داده ها ‪120............................................‬‬ ‫درس دوم‪ :‬میانگین داده ها ‪124..............................................‬‬ ‫درس سوم‪ :‬احتمال یا اندازه گیری شانس ‪128...................................‬‬ ‫درس چهارم‪ :‬بررسی حالت های ممکن ‪132.....................................‬‬ ‫مرور فصل ‪136........................................................ 8‬‬ ‫‪137‬‬ ‫دايره‬ ‫فصل ‪9‬‬ ‫درس اول‪ :‬خط و دایره ‪138................................................‬‬ ‫درس دوم‪ :‬زاویه های مرکزی ‪142............................................‬‬ ‫درس سوم‪ :‬زاویه های محاطی‪146....................................‬‬ ‫مرور فصل ‪150........................................................ 9‬‬  ‫سخنی با معلّم‬ ‫ادامه تغییر کتاب درسی هفتم‬ ‫برنامه درسی ملّی و در ٔ‬ ‫کتاب ریاضی هشتم در راستای ٔ‬ ‫تألیف شده است‪.‬یکی از اهداف مهم و اصلی این کتاب درگیرشدن دانش آموزان در فرایند‬ ‫طراحی شدهاند‪.‬بهطور معمول‬ ‫ّ‬ ‫حل مسئله است‪ّ.‬فعالیتهای کتاب بهطور عمده به این منظور ّ‬ ‫دانش آموزان در این ّفعالیت ها با دشواری و چالش روبه رو خواهند شد و این موضوع‬ ‫نهتنها نگرانکننده نیست بلکه هنگامی که با کمک و راهنمایی معلّم همراه باشد‪ ،‬نتیجهای مناسب به‬ ‫دنبال دارد‪.‬مواجه کردن دانش آموزان با مسئله‪ ،‬امری هدفمند و آگاهانه در این کتاب به شمار‬ ‫حل مسئله یکسان تلقی شود‪.‬کمک ها‬ ‫می رود‪.‬کمک به دانش آموز نباید با دراختیارگذاشتن ّ‬ ‫و راهنمایی ها باید تا جایی باشد که شوق کشف و ّلذت حل کردن را از دانش آموز نگیرد‪.‬در‬ ‫طی این مسیر‪ ،‬گفت وگوی دانش آموزان با معلّم و نیز با یکدیگر‪ ،‬توضیح افکار و دفاع از آنها‪،‬‬ ‫ّ‬ ‫قضاوت در مورد افکار ریاضی دیگر دانش آموزان‪ ،‬بررسی و آزمایش حدس ها و نقد راه حل ها‬ ‫جزئی از فرایند یادگیری ریاضی است‪.‬در این راستا معلّم ریاضی به یقین میتواند نقشی‬ ‫بیبدیل ایفا کند‪.‬معلّم در گفتوگوی ریاضیوار در کالس درس‪ ،‬که از آن به گفتمان ریاضی‬ ‫درباره‬ ‫ٔ‬ ‫نیز یاد می شود با بسیاری از دیدگاه ها‪ ،‬افکار و مشکالت و بدفهمی های دانش آموزان‬ ‫مفاهیم درسی آشنا می شود و امکان برطرف کردن آنها را در کالس و احتماال ً با مشارکت دیگر‬ ‫دانش آموزان پیدا می کند‪.‬این کار‪ ،‬مستلزم تمرکز و بازتاب بر فرایند ّ‬ ‫حل مسئله و به ویژه پس‬ ‫ارائه پاسخ از سوی دانش آموزان است‪.‬به همین دلیل حجم زیاد و فراوانی مسائل‪ ،‬خود‪،‬‬ ‫از ٔ‬ ‫مانعی به شمار می آید‪.‬تعداد مسائلی که در بیشتر کتاب های کمک آموزشی مطرح است به طور‬ ‫معمول از نیاز دانش آموزان بیشتر است‪.‬اگر تعداد کمتری مسئله ولی با عمق بیشتر در کالس‬ ‫درس و با مشارکت دانش آموزان حل و بررسی شود‪ ،‬نسبت به حالتی که تعداد زیادی مسئله و‬ ‫نتیجه به مراتب بهتری به دست می آید‪.‬در ادبیات پژوهشی این‬ ‫شیوه تکرار و تمرین حل شود‪ٔ ،‬‬ ‫به ٔ‬ ‫فکر با عنوان «کم بیشتر است!» ذکر می شود‪.‬‬ ‫درحالی که امروزه بر یادگیری مفهومی به ظاهر تأکید زیادی می شود‪ ،‬پژوهش ها بر‬ ‫رعایت تعادل و توازن بین آموزش مفهومی و آموزش روش ها و قواعد تکیه دارند‪.‬در این‬ ‫کتاب نیز سعی شده است این تناسب و هماهنگی رعایت شود‪.‬مؤل ّفان اطمینان دارند که بدون‬ ‫همت همکاران عزیز اهداف کتاب برآورده نخواهد شد و صد البته‪ ،‬پشتیبانی‬ ‫تالش‪ ،‬اراده و ّ‬ ‫و آموزش معلّمان برای ما وظیفه و برای آنان حق است‪.‬در این راستا مؤل ّفان از طریق واحد‬ ‫تحقیق‪ ،‬توسعه و آموزش ریاضی دفتر تألیف کتابهای درسی عمومی و متوسطه نظری و نیز ٔ‬ ‫ارائه‬ ‫جامعه محترم معلّمان ریاضی‬ ‫ٔ‬ ‫بسته های آموزشی پشتیبان کالس درس‪ ،‬آمادگی همکاری با‬ ‫کشور را دارند‪.‬‬ ‫با توجه به رویکرد آموزشی کتابهای ریاضی‪ ،‬استفاده از ماشینحساب توسط دانشآموزان‬ ‫مجاز است؛ ّاما هیچگونه اجباری در استفاده یا عدم استفاده از ماشینحساب در ارزشیابی‪ ،‬وجود‬ ‫عهده دبیر محترم است‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫ندارد و تشخیص استفاده از آن به ٔ‬  ‫عددهای صحیح وگویا فصل ‪1‬‬ ‫عددهای گویا در زندگی واقعی و نیز در علومی چون ریاضیات و فیزیک کاربردهای زیادی دارند‪.‬ما‬ ‫بسیاری از اندازه ها را با عددهای کسری و اعشاری بیان می کنیم‪.‬‬  ‫یادآوری عددهای صحیح‬ ‫ف ّعالیت‬ ‫درباره عددهای صحیح یادگرفته اید‪،‬‬ ‫ٔ‬ ‫با انجام دادن تمرین های زیر‪ ،‬آنچه را در سال گذشته‬ ‫مرور کنید‪.‬‬ ‫‪1‬ــ برای هر حرکت روی محور‪ ،‬یک عدد بنویسید‪.‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-20 -10 0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪20 30‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪2‬ــ جدول زیر را مانند نمونه کامل کنید‪.‬‬ ‫عدد صحیح‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪-٤‬‬ ‫)‪-(-٧‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫قرینه آن‬ ‫‪-٨‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪-٣‬‬ ‫‪3‬ــ حاصل عبارت های زیر را به دست آورید‪.‬‬ ‫= ‪-16+12‬‬ ‫= ‪8-12‬‬ ‫= ‪-3+9‬‬ ‫= ‪-4-8‬‬ ‫= ‪-3*7‬‬ ‫= )‪-8÷(-4‬‬ ‫= ‪-12÷2‬‬ ‫= )‪-4*(-3‬‬ ‫‪4‬ــ حاصل عبارت ها را با توجه به ترتیب عملیات به دست آورید‪.‬‬ ‫= ‪-8-3 * 5 = -8 -15‬‬ ‫=‪-16÷2*3-4‬‬ ‫=))‪1-2*(1-(8-9‬‬ ‫=‪-4÷4-4*3‬‬ ‫‪2‬‬  ‫‪  5‬ــ عبارت ‪ -43+37-29‬را چهار دانشآموز محاسبه کردهاند‪.‬راه حل هریک را توضیح دهید‪.‬‬ ‫‪-43+37-29= -43-29+37=-72+37= -35‬‬ ‫حل علی‪:‬‬ ‫راه ّ‬ ‫توضیح‪___________________________________________________________________________________________ :‬‬ ‫‪-٤٣+37-29=  -43+ 8 = -35‬‬ ‫ ‬ ‫حل مجتبی‪:‬‬ ‫راه ّ‬ ‫توضیح‪___________________________________________________________________________________________ :‬‬ ‫  ‪-43+37-29=  -6-29=  -35‬‬ ‫حل مرتضی‪:‬‬ ‫راه ّ‬ ‫توضیح‪___________________________________________________________________________________________ :‬‬ ‫د‬ ‫ی‬ ‫حل مصطفی‪:‬‬ ‫راه ّ‬ ‫‪-40 -3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫توضیح‪+30 +7 _______________________________________________ :‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪-20 -9‬‬ ‫___________‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪-30 - 5 = -35‬‬ ‫شما کدام راه حل را می پسندید؟ چرا؟‬ ‫حل دیگری برای پیداکردن حاصل این عبارت سراغ دارید؟‬ ‫آیا راه ّ‬ ‫کار در کالس‬ ‫‪1‬ــ حاصل عبارت های زیر را با روش مورد نظر خود به دست آورید‪.‬‬ ‫=‪-(-17)+14-13-19‬‬ ‫= )‪-(-٧)  -2 +(-٩‬‬ ‫=)‪-18-(-4)-(-19‬‬ ‫=‪-24-97+100-23‬‬ ‫‪2‬ــ حاصل عبارت ‪ 10+3-7-2‬را به دو روش حساب کرده ایم‪.‬کدام درست وکدام نادرست‬ ‫است؟ توضیح دهید‪.‬‬ ‫‪10+3-7-2=13- 5  =8‬‬ ‫‪10+3-7-2=13- 9  =4‬‬ ‫‪3‬ــ قبل از انجام دادن محاسبات در عبارت های داده شده خوب دقت‪ ،‬و با دسته بندی مناسب‪،‬‬ ‫راه ساده ای پیدا کنید‪.‬راه ّ‬ ‫حل خود را با راه حل های دوستانتان مقایسه کنید و آن گاه با ماشین حساب‪،‬‬ ‫درستی پاسخ های خود را بررسی کنید‪.‬‬ ‫=‪-40+35+80-17-40‬‬ ‫=‪-32-21+12+3*7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬ــ یکی از ریاضی دانان بزرگ درکودکی جمع عددهای از ‪ 1‬تا ‪ 100‬را با روشی ابتکاری‬ ‫=‪1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100‬‬ ‫محاسبه کرد‪.‬‬ ‫‪101‬‬ ‫‪101‬‬ ‫چند جفت عدد با هم جمع شده اند؟‬ ‫‪101‬‬ ‫حاصل جمع هر جفت عدد چند است؟‬ ‫حاصل عبارت چند می شود؟‬ ‫‪  5‬ــ حاصل عبارت های زیر را به دست آورید‪.‬روش کار را توضیح دهید‪.‬‬ ‫=‪-2+4-6+8-10+12‬‬ ‫=)‪(10-1)(9-١)(8-1)…(-٩-١)(-١٠-١‬‬ ‫‪  6‬ــ ابتدا در مربع های خالی عالمت های «‪ »+‬یا «‪ » -‬بگذارید؛ سپس‪ ،‬عبارت داده شده را‬ ‫همه عددهای صحیح ممکن را که به دست می آیند از کوچک به بزرگ مر ّتب کنید‪.‬‬ ‫محاسبه کنید و ٔ‬ ‫   ‪-3‬‬ ‫   )‪(+7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ف ّعالیت‬ ‫در جاهای خالی عالمت «‪ »+‬یا «‪ »-‬را طوری قرار دهید که حاصل عبارت زیر‪ ،‬بزرگ ترین‬ ‫مقدار ممکن شود‪.‬‬ ‫‪-٥‬‬ ‫(‪)-٦‬‬ ‫(‪)+٣‬‬ ‫ (‪)-٩‬‬ ‫در زیر‪ ،‬چهار پاسخ به این مسئله داده شده که فقط یکی از آنها درست است‪.‬آن را مشخص‬ ‫کنید و دلیل نادرست بودن پاسخ های دیگر را هم توضیح دهید‪.‬‬ ‫‪-٥ + )-٦( + )+٣( + )-٩(=-٥-٦+٣-٩=-11-6 = -17‬‬ ‫پاسخ اول‪:‬‬ ‫‪-٥ + )-٦( - )+٣( + )-٩(=-٥-٦-٣-٩=-23‬‬ ‫پاسخ دوم‪:‬‬ ‫‪-٥ - )-٦( + )+٣( - )-٩(=-٥+٦+٣+٩=1+12 =13‬‬ ‫پاسخ سوم‪:‬‬ ‫‪-٥ + )-٦( + )+٣( - )-٩(=-٥-٦+٣+٩=-11+12 =1‬‬ ‫پاسخ چهارم‪:‬‬ ‫‪4‬‬  ‫تمرین‬ ‫‪1‬ــ عددهای خواسته شده را بنویسید‪.‬‬ ‫الف) عددهای صحیح بین ‪ 3‬و ‪ -5‬را بنویسید‪.‬‬ ‫ب) عددهای صحیح کوچک تر از ‪ -4‬را بنویسید‪.‬‬ ‫ج) عددهای صحیح بزرگ تر از ‪ -3‬را بنویسید‪.‬‬ ‫‪2‬ــ مانند نمونه‪ ،‬جدول را كامل كنید‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫عدد‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪-(-2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0/7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫طبیعی‬ ‫صحیح‬ ‫‪3‬ــ حاصل عبارت های زیررا به دست آورید‪.‬‬ ‫= ‪-8+6-12+14-20+22‬‬ ‫=‪-8+7-6+8-7+6‬‬ ‫=‪12-22+32-42‬‬ ‫=)‪3-(2-(1-7)-1‬‬ ‫= ‪3-4*  5‬‬ ‫=‪-8-4÷2‬‬ ‫‪4‬ــ هریک از عبارت های زیر چه عددی را نشان می دهد؟‬ ‫___________‬ ‫کوچک ترین عدد  طبیعی‪:‬‬ ‫___________‬ ‫بزرگ ترین عدد صحیح منفی‪:‬‬ ‫___________‬ ‫کوچک ترین عدد زوج طبیعی‪:‬‬ ‫___________‬ ‫کوچک ترین عدد صحیح مثبت‪:‬‬ ‫___________‬‫بزرگ ترین عددزوج طبیعی سه  رقمی‪:‬‬ ‫کوچک ترین عدد فردطبیعی دو رقمی‪___________ :‬‬ ‫‪   5‬ــ جدول زیر را کامل کنید؛ طوری که حاصل جمع عددهای هر ردیف با مجموع عددهای‬ ‫هر ستون و هر قطر مساوی باشد‪.‬‬ ‫‪-٨‬‬ ‫‪-٢‬‬ ‫‪-٦‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪5‬‬  ‫معرفی عددهای گویا‬ ‫ف ّعالیت‬ ‫‪1‬ــ نقطه هایی که روی محور مشخص شده اند‪ ،‬چه عددهایی را نشان می دهند؟‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫قرینه هر عدد را روی محور پیدا‪ ،‬و تساوی ها را مانند نمونه‪ ،‬کامل کنید‪.‬‬ ‫‪2‬ــ ٔ‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫___‬ ‫‪1‬‬ ‫___ ‪ = -‬قرینه‬ ‫‪1‬‬ ‫=قرینه ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=قرینه‬ ‫=قرینه‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫همه کسرهایی را که با آنها آشنا شده اید بنویسید‪:‬‬ ‫قرینه ٔ‬ ‫‪3‬ــ به این ترتیب‪ ،‬می توانید ٔ‬ ‫‪1‬‬ ‫=قرینه صفر‬ ‫ٔ‬ ‫قرینه‬ ‫= ٔ‬ ‫قرینه ‪- 1 9‬‬ ‫=‬ ‫قرینه ‪0/01‬‬ ‫= ٔ‬ ‫ٔ ‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬ــ کسرها را به عدد مخلوط و عدد مخلوط را به کسر تبدیل کنید‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫= ‪= − 7 = + 14 = −2 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬ــ نقطه هایی که روی محور مشخص شده اند‪ ،‬چه عددهایی را نمایش می دهند؟ از این عددها‪،‬‬ ‫کدام صحیح و کدام غیرصحیح اند؟‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫عددهای صحیح‪:‬‬ ‫عددهای غیر صحیح‪:‬‬ ‫‪6‬‬  ‫شده روی محورها چه کسرهایی را نشان می دهند؟ آیا این سه کسر‬ ‫‪٦‬ــ الف) نقطه های مشخص ٔ‬ ‫با هم مساوی اند؟ نتیجه را به صورت تساوی کسرها بنویسید‪.‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب) تساوی کسرهای زیر را روی‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫محور نمایش دهید‪3.‬‬ ‫‪− =− =−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬ــ مقدار ‪ x‬را به دست آورید‪.‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪− =−‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪15‬‬ ‫کار در کالس‬ ‫تاحد امکان ساده کنید‪.‬‬ ‫‪1‬ــ کسرهای زیر را ّ‬ ‫‪108‬‬ ‫‪66‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪126‬‬ ‫‪2‬ــ عقربه چه عددی را نشان می دهد؟ بنویسید‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+ -‬‬ ‫‪+ -‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪٣‬ــ به کمک محور‪ ،‬عددهای زیر را از کوچک به بزرگ و از چپ به راست مرتب کنید‪.‬‬ ‫‪3 3 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪, ,‬‬ ‫‪, 0, 2 , − , −‬‬ ‫‪7 5 10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪٤‬ــ در جای خالی عالمت مناسب < یا > یا = بگذارید‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪  0 / 25‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪   − 5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪   −0 / 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪  ٥‬ــ هریک از عددها را در جدول زیر در جای خود قرار دهید و جدول را کامل کنید‪.‬‬ ‫‪17 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪, −1 , − 3 / 5 , −‬‬ ‫‪, +3 , 2 , −3 , −7‬‬ ‫‪7 15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7 10‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪10‬‬ ‫بین ‪ -١‬و ‪٠‬‬ ‫بین ‪ ٠‬و ‪١‬‬ ‫بین ‪ ١‬و ‪٢‬‬ ‫بزرگ تر از ‪٢‬‬ ‫بین ‪ -٢‬و ‪ -١‬بین ‪ -٣‬و ‪ -٢‬کوچک تر از ‪-٣‬‬ ‫‪-1 2‬‬ ‫>‬ ‫‪4‬‬ ‫الف)‬ ‫>‪١‬‬ ‫‪2‬‬ ‫>‬ ‫پس‪:‬‬ ‫فاصله ‪ 1‬تا ‪ 2‬روی محور‪ ،‬عدد ‪ 1/5‬را آزمایش می کنیم‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫اکنون با نصف کردن‬ ‫چون‪ ،)1/5(2 =2/25‬پس مقدار ‪ 2‬حتماً کمتر از ________ است‪.‬‬ ‫عدد‬ ‫‪1/3‬‬ ‫‪1/4‬‬ ‫‪1/5‬‬ ‫مجذور‬ ‫‪1/69‬‬ ‫‪1/96‬‬ ‫‪2/25‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫به کمک جدول باال می توان نوشت‪________________________ :‬‬ ‫‪196 > 200‬‬ ‫>‬ ‫ب)‬ ‫>‬ ‫بنابراین‪200 >15 :‬‬ ‫‪111‬‬ ‫اکنون با نصف کردن فاصله __________ تا ‪15‬روی محور اعداد‪ ،‬عدد ‪ 14/5‬را‬ ‫آزمایش می کنیم‪.‬چون ‪ ،)14/5(2=210/25‬بنابراین ‪ 200‬حتماً کمتر از ‪ 14/5‬است‪.‬‬ ‫بنابراین ________________ ‪200 ‬‬ ‫عدد‬ ‫‪14/1‬‬ ‫‪14/2 14/3 14/4‬‬ ‫‪ 198/81 201/64‬مجذور‬ ‫‪2‬ــ ابتدا مقدار تقریبی هر عددی را که در جدول آمده است‪ ،‬حدس بزنید؛ سپس به کمک‬ ‫ماشین حساب‪ ،‬حاصل را تا دو رقم اعشار پیداکنید و با مقداری که حدس زده اید‪ ،‬مقایسه کنید‪.‬‬ ‫عدد‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10 / 3‬‬ ‫‪18 / 5‬‬ ‫‪68‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪140‬‬ ‫مقدار‬ ‫حدس زده شده‬ ‫ماشین حساب‬ ‫تمرین‬ ‫‪1‬ــ به کمک روشی که در درس یاد گرفته اید‪ ،‬مقدارهر یک از عددهای زیر را تا یک‬ ‫رقم اعشار به دست آورید‪.‬‬ ‫‪19 ، 40 ، 150 ، 385‬‬ ‫‪2‬ــ در جاهای خالی عالمت مناسب قرار دهید‪.‬از ماشین حساب کمک بگیرید‪.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪4/03‬‬ ‫‪6 / 25‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪( 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪20 -2‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪112‬‬  ‫‪3‬ــ جاهای خالی روی محور را با عددهای مناسب پرکنید‪.‬‬ ‫‪- 36‬‬ ‫‪34 - 25‬‬ ‫‪34 ) ( ) ( - 34‬‬ ‫‪4 - 34‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪34‬‬ ‫( )‬ ‫( )‬ ‫( )‬ ‫( )‬ ‫( )‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫( )‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫( )‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬ــ در هر یک از تمرین های زیر‪ ،‬یک محور اعداد رسم‪ ،‬و نقطه ای روی آن مشخص شده‬ ‫نقطه مشخص شده روی محور به کدام یک از عددهای داده شده نزدیک تر‬ ‫است (نقاط ‪ٔ.)A,B,C‬‬ ‫است؟ دلیل بیاورید‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪79 ، 98 ، 81 ، 85‬‬ ‫دلیل‪_____________________________________________________ :‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪-6 -5 -4 -3 -2 -1‬‬ ‫‪− 12 ، − 17 ، − 15 ، − 28‬‬ ‫دلیل‪_____________________________________________________ :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪140 ، 116 ، 121 ، 126‬‬ ‫دلیل‪_____________________________________________________ :‬‬ ‫‪113‬‬  ‫نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد‬ ‫ف ّعالیت‬ ‫را هم به صورت تقریبی و هم به کمک ماشین حساب‬ ‫‪2‬‬ ‫در درس گذشته مقدار‬ ‫محاسبه کردید‪.‬‬ ‫در این ّفعالیت با نمایش ‪ 2‬روی محور اعداد آشنا می شویم‪.‬محور عددهای زیر را‬ ‫الزاویه متساوی الساقین به ضلع ‪ 1‬است‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫در نظر بگیرید‪.‬مثلث ‪ OAB‬یک مثلث قائم‬ ‫نقطه ‪ C‬قطع کند‪.‬طول‬ ‫به مرکز ‪ O‬و شعاع ‪ OB‬کمانی می زنیم تا محور اعداد را در ٔ‬ ‫نقطه ‪ ،C‬عدد ‪ 2‬را نمایش می دهد؟‬‫پاره خط ‪ OC‬چقدر است؟ _______ چرا ٔ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O 1A C‬‬ ‫‪-3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫به همین روش‪ ،‬نقطه ای را روی محور باال معین کنید که عدد ‪ - 2‬را نمایش دهد‪.‬‬ ‫در شکل زیر‪ ،‬تعدادی مثلث قائم الزاویه رسم شده است‪.‬در هر یک از این مثلث ها طول‬ ‫زاویه قائمه ‪ 1‬واحد است‪.‬طول وترهای این مثلث ها به ترتیب ‪5 ، 4 ، 3 ، 2‬‬ ‫یک ضلع ٔ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫است‪.‬چرا؟‬ ‫آیا می توانید به همین ترتیب پاره خطی به طول ‪ 6‬و ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 7‬رسم کنید؟ چگونه؟‬ ‫‪1‬‬ ‫و ‪ 5‬باز کنید و عددهای‬ ‫‪3‬‬ ‫اندازه‬ ‫ٔ‬ ‫دهانه پرگار را به‬ ‫از شکل داده شده استفاده کنید‪ٔ.‬‬ ‫‪ 1 +‬و ‪ 2 + 5‬را روی محور اعداد نمایش دهید‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫کار در کالس‬ ‫عدد ‪ 3 -2‬را روی محور اعداد نمایش دهید‪.‬‬ ‫برای نمایش عدد ‪ 3 -2‬روی محور از تساوی ‪ 3 − 2 = −2 + 3‬استفاده کنید‪.‬‬ ‫‪114‬‬  ‫خواص ضرب و تقسیم رادیکال ها‬ ‫ف ّعالیت‬ ‫مقایسه‬ ‫ٔ‬ ‫شده ‪ a‬و ‪ ،b‬مانند نمونه جدول زیر را کامل کنید‪.‬با‬ ‫با توجه به عددهای داده ٔ‬ ‫دو ستون آخر جدول‪ ،‬چه حدسی می زنید؟‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪a. b‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪4‬‬ ‫آیا می توانید حدس خود را به صورت یک عبارت کالمی بیان کنید؟ ____________‬ ‫) = ‪ab‬‬ ‫( )(‬ ‫اگر ‪ b‬و ‪ a‬دو عدد مثبت باشند‪ ،‬داریم‪:‬‬ ‫به کمک جدول باال‪ ،‬درستی یا نادرستی رابطه را بررسی کنید‪.‬‬ ‫‪a +b= a + b‬‬ ‫کار در کالس‬ ‫‪١‬ــ در تساوی های زیر‪ ،‬جاهای خالی را پر کنید‪.‬‬ ‫=‬ ‫*∗ ‪14 = 7‬‬ ‫*‬ ‫= ‪16 × 25 = 16 × 25‬‬ ‫*‬ ‫‪٢‬ــ کدام یک از عبارت های زیر‪ ،‬درست و کدام نادرست است؟‬ ‫‪50 =25‬‬ ‫‪50 =5* 2‬‬ ‫‪٣‬ــ مانند نمونه‪ ،‬تساوی های زیر را کامل کنید‪.‬‬ ‫‪20 = 4 × 5 = 2 5‬‬ ‫=‪8‬‬ ‫= ‪18‬‬ ‫= ‪12‬‬ ‫= ‪75‬‬ ‫‪115‬‬  ‫ف ّعالیت‬ ‫جدول زیر را برای عددهای مثبت ‪ a‬و ‪ b‬کامل کنید‪.‬مقدارهای دو سطر آخر را با هم‬ ‫مقایسه کنید و تساوی به دست آمده را به شکل یک قانون کلی بنویسید‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪16 4‬‬ ‫‪49‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪9 3‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪16 4‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪9 3‬‬ ‫کار در کالس‬ ‫‪ 1‬واحد‬ ‫رابطه‬ ‫‪1‬ــ با استفاده از شکل روبه رو‪ ،‬درستی ٔ‬ ‫‪ 1‬واحد‬ ‫‪9‬‬ ‫را بررسی کنید‪.‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫? واحد‬ ‫‪2‬ــ در جاهای خالی عدد مناسب بنویسید‪.‬‬ ‫______ =‬ ‫______=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪144‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪______ = 3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪_____ = - 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬ــ به صورت تقریبی مشخص کنید که عددهای داده شده نظیر کدام یک از نقاط مشخص شده‬ ‫روی محورند؟‬ ‫‪‍C‬‬ ‫‪E F‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪-5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪6 / 25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪− 5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪− 12 / 5‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪116‬‬  ‫تمرین‬ ‫‪1‬ــ نزدیک ترین عدد طبیعی به هر یک از عددهای زیر را پیدا کنید‪.‬‬ ‫‪401‬‬ ‫‪310‬‬ ‫‪9999‬‬ ‫‪280‬‬ ‫‪175‬‬ ‫درستی پاسخ خود را به کمک ماشین حساب بیازمایید‪.‬‬ ‫‪2‬ــ یک محور اعداد رسم کنید و عددهای زیر را به صورت تقریبی روی آن مشخص کنید‪.‬‬ ‫‪14 ، 10 ،‬‬ ‫‪24 ، − 3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪− 8 ، − 17‬‬ ‫‪3‬ــ مجموع عددهای واقع بر هر سطر‪ ،‬هر ستون و نیز هر قطر مربع زیر ‪ -٦‬است‪.‬‬ ‫جاهای خالی را با چه عددهایی می توان پر کرد؟‬ ‫) ‪− ( 4 + 22‬‬ ‫‪-5°‬‬ ‫‪-22‬‬ ‫‪°‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪− 9‬‬ ‫‪15+12‬‬ ‫‪4‬ــ حاصل هر یک از عبارت های زیر را به دست آورید‪.‬‬ ‫=)‪(a5*a9)*(b17÷b3‬‬ ‫‪49 × 25‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪5‬ــ جذر ‪ 700‬را تا یک رقم اعشار به دست آورید و نتیجه را به کمک ماشین حساب بررسی کنید‪.‬‬ ‫پیدا کنید‪.‬‬ ‫‪17‬‬ ‫و‬ ‫‪6‬ــ دو عدد طبیعی بین ‪5‬‬ ‫پیدا کنید‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫و‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬ــ پنج عدد بین‬ ‫‪  ٨‬ــ اعداد رادیکالی زیر را به صورت ضرب یک عدد طبیعی در یک رادیکال بنویسید‪.‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪50‬‬ ‫ ‬ ‫‪200‬‬ ‫ ‬ ‫‪117‬‬  ‫مرور فصل ‪7‬‬ ‫مفاهیم و مهارت ها‬ ‫در این فصل اصطالحات زیر به کار رفته اند‪.‬مطمئن شوید که می توانید با جمله های خود‪ ،‬آنها‬ ‫را توصیف کنید و برای هر کدام مثالی بزنید‪.‬‬ ‫جذر حاصل ضرب و حاصل تقسیم‬ ‫توان جذر تقریبی ریشه های دوم یک عدد‬ ‫در این فصل‪ ،‬روش های اصلی زیر مطرح شده اند‪.‬هر کدام را با یک مثال توضیح دهید و در‬ ‫خالصه درس را بنویسید‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫دفتر خود‬ ‫محاسبه حاصل یک عدد توان دار به توان عدد دیگر‬ ‫ٔ‬ ‫محاسبه تقسیم دو عدد توان دار با پایه های مساوی‬ ‫ٔ‬ ‫محاسبه تقریبی تقسیم دو عدد توان دار با نماهای مساوی‬ ‫ٔ‬ ‫محاسبه یک عبارت توان دار‬ ‫ٔ‬ ‫محاسبه جذر یک عدد‬‫ٔ‬ ‫پیدا کردن عددهای رادیکالی روی محور‬ ‫ساده کردن یک عبارت توان دار‬ ‫محاسبه جذر حاصل ضرب و حاصل تقسیم‬ ‫ٔ‬ ‫کاربرد‬ ‫کاربرد این درس عالوه بر درس های دیگر ریاضی مثل جبر در بیان عددهای بسیار بزرگ و یا‬ ‫بسیار کوچک است‪.‬نماد علمی نحوه ای از بیان این عددها به صورت توان دار است‪.‬‬ ‫تمرین های ترکیبی‬ ‫(‪)-3‬‬ ‫‪*2 * 8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫___________‬ ‫‪1‬ــ حاصل عبارت مقابل را به دست آورید‪.‬‬ ‫‪-2 *)-9(2*18‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 10‬‬ ‫‪1 3  4‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪3 × ( 27 )  ÷ 5 × ( 25 ) ‬‬ ‫‪٢‬ــ حاصل تقسیم مقابل را به دست آورید‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬ــ با تهیه جدول مناسب‪ ،‬جذر عدد ‪ 93‬را تا دورقم اعشار به دست آورید‪.‬‬ ‫‪4‬ــ عددهای زیر را به ترتیب صعودی و از چپ به راست مرتب کنید‪.‬‬ ‫‪ -24‬و ‪ 23‬و ‪ 25‬و ‪ 47‬و ‪ 6‬و ‪ )-2/5(4‬و ‪)-2(4‬‬ ‫‪  5‬ــ به کمک رسم‪ ،‬مکان متناظر با عددهای زیر را روی محور اعداد مشخص کنید‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ 20− 16‬و ‪ 13‬و‬ ‫ِ‬ ‫عددی عبارت زیر را به ازای ‪ x=-2‬و ‪ y=6‬و ‪ a=-1‬و ‪ b = 1‬به  دست آورید‪.‬‬ ‫‪6‬ــ مقدار‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ax − b(x − y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2axy + ( )3 − 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪118‬‬  ‫فصل      ‪8‬‬ ‫آمار و احتمال‬ ‫بررسی خواص هر گاز با استفاده از آمار و احتمال‪ ،‬هم کاری ساده است و هم به نتایج قابل قبول و عملی‬ ‫منجر می شود؛ مث ًال با استفاده از آمار و احتمال می توان تعداد دفعاتی را برآورد کرد که باید مقداری گاز دارای‬ ‫اورانیوم را غنی کنیم تا به درجه خلوص مورد نیاز برسد‪.‬‬  ‫دسته بندی داده ها‬ ‫در سال های پیش با علم آمار‪ ،‬که علم جمع آوری‪ ،‬سازماندهی و تحلیل و تفسیر اطالعات‬ ‫(داده ها) است‪ ،‬آشنا شدید‪.‬داده ها را با چوب خط‪ ،‬سرشماری و در جدول سازماندهی کردید؛ سپس‪،‬‬ ‫با توجه به موضوع و هدف آمارگیری‪،‬نمودار آن اطالعات را رسم کردید‪.‬در زیر‪ ،‬چهار نوع نمودار و‬ ‫کاربرد هر کدام یادآوری شده است‪.‬‬ ‫دما‬ ‫تعداد‬ ‫‪18‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫نوع کتاب‬ ‫زمان (ساعت)‬ ‫‪8 10 12 14 16 18 20‬‬ ‫مذهبی‬ ‫سرگرمی‬ ‫داستان‬ ‫علمی‬ ‫تغییرات دما در یک روز‬ ‫نمودارمیله ای برای مقایسۀ داده های تقریبی تعداد کتاب های کتابخانۀ‬ ‫نمودار خط شکسته برای نشان دادن تغییرات در مدتی مشخص‬ ‫یک مسجد‬ ‫هندوانه‬ ‫نشان دهندۀ ‪ ٥٠٠‬رأس است‪.‬‬ ‫هر‬ ‫گوجه فرنگی‬ ‫خربزه‬ ‫کرفس‬ ‫خیار‬ ‫سطح زیر کشت کشاورزی یک مزرعه‬ ‫ گوسفند‬ ‫ گاو‬ ‫بز‬ ‫اسب‬ ‫نمودار دایره ای برای نشان دادن تعداد داده ها نسبت به کل‬ ‫نمودار تصویری تعداد حیوانات یک روستا‬ ‫اگر داده های جمع آوری شده زیاد و پراکنده باشند‪ ،‬بررسی آنها طوالنی می شود‪.‬برای اینکه‬ ‫بتوانیم آسان تر و بهتر نتیجه بگیریم‪ ،‬داده ها را متناسب با موضوع آماری دسته بندی و سازماندهی‬ ‫می کنیم‪.‬‬ ‫‪120‬‬  ‫ف ّعالیت‬ ‫اندازه قد ‪ 40‬نفر از مردان ساکن یک‬ ‫ٔ‬ ‫درباره‬ ‫ٔ‬ ‫در زیر‪ ،‬داده های جمع آوری شده‬ ‫شهر کوچک برحسب سانتی متر مشخص شده است‪)n=40(.‬‬ ‫‪164 168 173 185 153 174 178 192 150 175 167 184 147 181‬‬ ‫‪151 162 167 173 142 163 138 165 137 171 193 168 170 130‬‬ ‫‪165 183 157 179 176 159 170 205 158 173 190 143‬‬ ‫کمترین و بیشترین داده را مشخص کنید‪.‬‬ ‫دامنه تغییرات داده ها را پیدا کنید‪.‬‬ ‫دامنه تغییرات می گویند‪ٔ.‬‬ ‫فاصله بین این دو عدد ٔ‬‫ٔ‬ ‫به‬ ‫در یک تولیدی شلوار مردانه میخواهیم با توجه به دادههای جمعآوری شده باال اندازههای مختلف‬ ‫را طراحی کنیم‪.‬برای این کار‪ ،‬دادهها را دستهبندی میکنیم‪.‬هر دسته یک معنای مشخصی دارد؛ برای مثال‪،‬‬ ‫افراد مختلف را میتوانیم بهصورت زیر تقسیمبندی کنیم‪:‬‬ ‫قد بلند‪ ،‬بلندتر از متوسط‪ ،‬متوسط‪ ،‬کوتاهتر از متوسط و قد کوتاه‬ ‫به این ترتیب‪ ،‬دادههای ما به ‪ ٥‬دسته تقسیم میشوند‪.‬میتوانیم طول این دستهها را مساوی درنظر بگیریم؛ به‬ ‫دامنه تغییرات را بر ‪ ٥‬تقسیم میکنیم تا طول دستهها بهطور تقریبی‬ ‫همین دلیل‪ ،‬برای رسیدن به حدود دستهها ٔ‬ ‫محدوده دستهها را مشخص کنیم و در یک جدول بنویسیم‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫معلوم شود‪.‬به این ترتیب‪ ،‬میتوانیم‬ ‫در جدول زیر معنای ‪ 130 ≥ x> 145‬را توضیح دهید‪ >.‬و ≥ چه تفاوتی دارند؟‬ ‫با توجه به حدود دسته ها با استفاده از چوب خط‪ ،‬تعداد داده های هر دسته را که به آن فراوانی‬ ‫می گویند‪ ،‬تعیین کنید‪.‬‬ ‫فراوانی‬ ‫‪18‬‬ ‫حدود دسته ها‬ ‫چوب خط‬ ‫فراوانی‬ ‫‪16‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪130≥ x>145‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪145≥ x>160‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪160≥ x>175‬‬ ‫‪2‬‬ ‫قد‬ ‫‪175≥ x>190‬‬ ‫قد کوتاه‬ ‫کوتاه تر از متوسط‬ ‫متوسط‬ ‫بلندتر از متوسط‬ ‫قد بلند‬ ‫‪190≥ x≥205‬‬ ‫‪121‬‬  ‫صفحه قبل به سؤال های زیر پاسخ دهید‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫با توجه به ّفعالیت‬ ‫‪1‬ــ قد بیشتر افراد در چه محدوده ای است؟‬ ‫‪٢‬ــ با توجه به نمودار میله ای‪ ،‬متوجه چه چیزی می شوید؟‬ ‫‪٣‬ــ فکر می کنید میانگین قد مردان این شهر در کدام دسته قرار می گیرد؟‬ ‫‪٤‬ــ به نظر شما این آمار و اطالعات و نمودار چه کاربردهای دیگری دارد؟‬ ‫کار در کالس‬ ‫‪1‬ــ میانگین دمای هوا در روزهای مختلف یک منطقه به صورت زیر گزارش شده است‪.‬‬ ‫‪+٢‬‬ ‫‪+٢‬‬ ‫‪+٤‬‬ ‫‪+٥‬‬ ‫‪+٦‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪-١‬‬ ‫‪-٢‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪-٣‬‬ ‫‪-٧‬‬ ‫‪-٢‬‬ ‫‪-١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪-١‬‬ ‫‪-٣‬‬ ‫‪-٦‬‬ ‫‪-٧‬‬ ‫‪-٨‬‬ ‫‪+٨‬‬ ‫‪+٧‬‬ ‫‪+٨‬‬ ‫‪+٧‬‬ ‫‪+٦‬‬ ‫‪+٣‬‬ ‫‪+١‬‬ ‫‪+٢‬‬ ‫‪+٣‬‬ ‫‪+٤‬‬ ‫‪+٢‬‬ ‫‪+٢‬‬ ‫‪-٤‬‬ ‫‪-٢‬‬ ‫‪-١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪-٥‬‬ ‫‪-٣‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪+١‬‬ ‫‪+١‬‬ ‫‪+٤‬‬ ‫‪+٦‬‬ ‫‪+٧‬‬ ‫جدول فراوانی داده ها را براساس سؤال های زیر مشخص‪ ،‬و نموداری میله ای رسم کنید‪.‬‬ ‫دامنه تغییرات چقدر است؟‬ ‫ٔ‬ ‫داده ها را به چهار دسته تقسیم می کنیم؛ طول هر دسته چقدر است؟‬ ‫دامنه تغییرات‪،‬‬ ‫‪2‬ــ نمره های ریاضی دانش آموزان یک کالس به صورت زیر است‪.‬با توجه به ٔ‬ ‫آنها را به ‪ 5‬دسته با طول مساوی دسته بندی کنید‪.‬پس از رسم جدول‪ ،‬نمودار میله ای را رسم کنید و‬ ‫با توجه به نمودار‪ ،‬وضعیت این کالس را توصیف کنید‪.‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪9/5 12/5 13‬‬ ‫‪12 13/5 14‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪19 18/5 17 15/5 16/5 11‬‬ ‫‪8/5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪14 10/5 11/5 15‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪12/5 20‬‬ ‫‪122‬‬  ‫تمرین‬ ‫‪١‬ــ در یک کارگاه تولید المپ‪ 30 ،‬المپ به صورت تصادفی انتخاب‪ ،‬و طول عمر‬ ‫آنها بر حسب ساعت اندازه گیری شده است‪.‬داده ها را به ‪ ٥‬دسته تقسیم‪ ،‬و جدول‬ ‫فراوانی و نمودار میله ای آن را رسم کنید‪.‬‬ ‫‪156 159 165 163 161 157 154 157 168 172 163 158 157 161 171‬‬ ‫‪163 168 167 159 152 153 158 157 169 170 153 169 158 165 156‬‬ ‫تعداد دانش آموزان‬ ‫درباره مدت‬ ‫ٔ‬ ‫‪٢‬ــ از دانش آموزان یک کالس‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫زمانی که طول می کشد تا آنها از خانه به مدرسه بروند‪،‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫سؤال شده و پس از دسته بندی این داده ها نمودار‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫میله ای مقابل‪ ،‬رسم شده است‪.‬چند دانش آموز‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫فاصله خانه تا مدرسه را در ‪ ١٠‬یا بیشتر از ‪ 10‬دقیقه‬ ‫ٔ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫مدت زمان (دقیقه)‬ ‫طی می کنند؟ این کالس چند دانش آموز دارد؟‬ ‫‪0-5‬‬ ‫‪5-10 10-15 15-20‬‬ ‫تعداد دانش آموزان‬ ‫‪18‬‬ ‫‪٣‬ــ در اینجا نمودار نمره های دانش آموزان یک‬ ‫‪16‬‬ ‫‪14‬‬ ‫کالس را می بینید‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ــ این کالس چند دانش آموز دارد؟‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ــ آیا این دسته بندی مناسب است؟ چرا؟‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ــ آیا این کالس وضعیت خوبی دارد؟ چرا؟‬ ‫‪0‬‬ ‫نمره‬ ‫‪0-4 4-8 8-12 12-16 16-20‬‬ ‫‪123‬‬  ‫میانگین داده ها‬ ‫پس از اینکه داده های آماری در جدول سازماندهی می شوند و به کمک نمودارها‬ ‫درک بهتری از داده ها به دست می آید‪ ،‬می توان از میانگین داده ها نیز برای کامل تر شدن‬ ‫دوره ابتدایی با میانگین‬ ‫ٔ‬ ‫نتایج داده ها و تحلیل و تفسیر بهتر آنها استفاده کرد‪.‬شما در‬ ‫داده عددی از تقسیم مجموع آنها بر تعدادشان به‬ ‫گرفتن آشنا شده اید‪.‬میانگین تعدادی ٔ‬ ‫دست می آید‪.‬‬ ‫ف ّعالیت‬ ‫‪1‬ــ نمره های ریاضی یک دانش آموز ‪ 17 ،15 ،18 ،17‬و ‪ 19‬است‪.‬میانگین نمره های‬ ‫او را حساب کنید‪.‬‬ ‫مجموع داده ها‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪S‬‬ ‫___________ = میانگین یا به صورت جبری‬ ‫‪n‬‬ ‫تعداد داده ها‬ ‫‪٢‬ــ نمره های یک دانش آموز به صورت زیر است‪:‬‬ ‫‪١٦ 15/5 16 15 17 19 18/5 14 16/5 17/5‬‬ ‫میانگین نمره های او را پیدا کنید‪.‬چند نمره باالتر از میانگین و چند نمره پایین تر از میانگین قرار‬ ‫می گیرند؟ آیا این دو تعداد مساوی است؟‬ ‫اختالف نمره های باالی میانگین را با میانگین حساب کنید‪.‬حاصل جمع آنها را پیدا کنید؛ به‬ ‫همین ترتیب‪ ،‬مجموع اختالف نمره های پایین تر از میانگین با میانگین را هم پیدا کنید‪.‬نتایج باال را با‬ ‫هم مقایسه کنید‪.‬‬ ‫‪٣‬ــ میانگین نمره های ‪ 7‬درس یک دانش آموز ‪ 16/5‬است‪.‬اگر نمره های دو درس دیگر او‪ ،‬که‬ ‫‪ 17‬و ‪ 15‬است به این داده ها اضافه شود‪ ،‬میانگین جدید را پیدا کنید‪.‬‬ ‫نمره ‪ 15‬و ‪ 17‬را پیدا کرد (‪ 16‬می شود) و سپس میانگین ‪ 16‬و ‪16/5‬‬ ‫آیا می توان میانگین دو ٔ‬ ‫را حساب کرد؟ چرا؟‬ ‫فاصله‬ ‫ٔ‬ ‫‪٤‬ــ میانگین نمره های زیر را به دست آورید‪.‬بین این عددها چه رابطه ای وجود دارد؟‬ ‫هر عدد تا میانگین چقدر است؟‬ ‫‪11 12 12 13 13 13 14 14 15‬‬ ‫‪124‬‬  ‫کار در کالس‬ ‫با توجه به رابطه ای که پیدا کرده اید‪ ،‬میانگین عددهای زیر را به دست آورید‪.‬‬ ‫‪17 14 11 15 ١٢ 19 18 13 16‬‬ ‫اگر تعداد داده ها زیاد باشد و داده ها دسته بندی شده باشند‪ ،‬می توان میانگین‬ ‫داده ها را با تقریب بسیار خوب به دست آورد‪.‬‬ ‫ف ّعالیت‬ ‫‪1‬ــ به کمک ماشین حساب‪ ،‬میانگین قد ‪ 40‬نفر را که در درس قبل مطرح شده‬ ‫است‪ ،‬پیدا کنید‪.‬‬ ‫دسته ‪ ،130 ≥ x > 145‬ابتدا مجموع عددهای‬ ‫‪2‬ــ برای به دست آوردن مرکز دسته ای مانند ٔ‬ ‫‪ ١٣٠‬و ‪ ١٤٥‬را به دست می آوریم و سپس‪ ،‬حاصل را بر ‪ ٢‬تقسیم می کنیم‪.‬‬ ‫‪3‬ــ اکنون تمام داده ها را در این قسمت می بینید‪.‬مرکز هر دسته را به جای داده های آن دسته‬ ‫دسته ‪ 190≥x≥٢٠٥‬قرار دارد به جای آن عدد ‪ 197/5‬را‪،‬‬ ‫قرار دهید؛ برای مثال‪ ،‬چون عدد ‪ 192‬در ٔ‬ ‫که مرکز این دسته است‪ ،‬قرار دهید‪.‬‬ ‫‪197/5‬‬ ‫‪164 168 173 185 153 174 178 192 150 175 167 184 147 181‬‬ ‫‪151 162 167 173 142 163 138 165 137 171 193 168 170 130‬‬ ‫‪165 183 157 179 176 159 170 205 158 173 190 143‬‬ ‫‪4‬ــ چرا در عددهای تغییر یافته ‪ 4‬تا ‪ 197/5‬وجود دارد؟‬ ‫‪ ٥‬ــ با توجه به عددهای باال‪ ،‬میانگین ‪ ٤٠‬عدد جدید را پیدا کنید‪.‬‬ ‫چگونه برای پیدا کردن مجموع داده ها از ضرب استفاده می کنید؟ این ضرب ها چه رابطه ای با‬ ‫فراوانی های جدول دارند؟‬ ‫‪ ٦‬ــ میانگین به دست آمده را با میانگین واقعی‪ ،‬که با ماشین حساب پیدا کردید‪ ،‬مقایسه کنید‪.‬‬ ‫مقدار خطای این روش چقدر است؟‬ ‫‪125‬‬  ‫کار در کالس‬ ‫صفحه قبل با کامل کردن جدول زیر‪ ،‬میانگین داده ها را دوباره محاسبه کنید‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫با توجه به ّفعالیت‬ ‫حدود دسته ها‬ ‫فراوانی‬ ‫مرکز دسته‬ ‫مرکز دسته * فراوانی‬ ‫‪130≤ x