Mathematics Equations & Inequalities PDF

An equation is a mathematical statement with an equal between two side right hand side ( R.H.S ) and left hand side ( L.H.S) ّٖ‫ٍٕ تعبري زٓاضٕ ميثل جاىبني – أميً ّأٓسس – ّبٔيَنا عالمُ ٓسا‬ Degree of equation dependent on the highest power of equation...

An equation is a mathematical statement with an equal between two side right hand side ( R.H.S ) and left hand side ( L.H.S) ّٖ‫ٍٕ تعبري زٓاضٕ ميثل جاىبني – أميً ّأٓسس – ّبٔيَنا عالمُ ٓسا‬ Degree of equation dependent on the highest power of equation ٘‫تتحدد دزج٘ املعادلُ علٕ حسب أعلٕ أس يف املعادل‬ 3x – 5 = 14 First degree X2 + 2x – 48 = 0 Second degree 2x3 + 2x – 10 = 18 Third degree X4 – 2x2 + 5 = 17 Fourth degree ‫بعض المصطلحات الهامة لطلبة العزبي‬ ‫معياٍـــــــــا‬ ٘‫الكلنـــــــ‬ Equations ‫معادالت‬ Divided ÷ )‫قسمة (علي‬ Multiply ‫ضـــــزب‬ Nominator ‫بســـــط‬ dominator ‫مقـــــــام‬ fraction ‫كســــــــز‬ Power ‫أس‬ Square root ‫جذر تزبيعي‬ 1 It takes the form: a x2 + bx + c = 0. Where a, b and c are constants The best method for solving the equation is using the quadratic formula - b + b2 – 4ac X= 2a ax2 + bx +c = 0 Using the calculator a: coefficient of x2 1- Mode b: coefficient of x 2- EQN c: coefficient 3- ax21 + bx ÷ c = 0 2 3 Steps to the equation of straight line from two points 1- Find the slope using m= y2 – y1 x2 – x1 2- Find points slope using y – y1 = m (x – x1) 3- To get the equation y = mx + b An inequalities is a mathematical statement betweentwo side right hand side ( R.H.S ) and left hand side ( L.H.S) ُ‫ٍٕ تعبري زٓاضٕ ميثل جاىبني – أميً ّأٓسس – ّبٔيَنا عالم‬ ‫معياٍـــــــــا‬ ُ‫العالم‬ ‫اكبر من‬ > ‫اصغر من‬ < ‫اكبر من او يساوي‬ > ‫اصغر من او يساوي‬ < 4 ‫‪We have 2 types of determinates‬‬ ‫‪1. A determinate of order 2‬‬ ‫‪2. A determinate of order 3‬‬ ‫‪A determinate of order 3‬‬ ‫‪ ‬يتم إيجاد املفكوك باستخدام طريقة تسمى طريقة كرامر‪:‬‬ ‫‪ )1‬اختياس أحذ انصفىف أو أحذ األعًذة وتحذيذ عُاصش انصف أو انعًىد انًستخذو‪.‬‬ ‫‪ )2‬إيجاد يحيذد كم عُصش يٍ عُاصش انصف أو انعًىد انًختاس ورنك بشطب انصف وانعًىد انىاقع فيها انعُصش‪.‬‬ ‫حيث أن‬ ‫انًحيذد هى انًحذد انُاتج يٍ تجاهم انصف وانعًىد انىاقع بهًا هزا انعُصش‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-1‬بإختياس عُاصش انصف األول وهى (‪5 ,1 , 3‬‬ ‫‪َ-2‬قىو بشطب انصف وانعًىد انخاص بكم سقى إليجاد قيًت انًحيذد‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= فإٌ حمٔدد ‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= فإٌ حمٔدد ‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫= فإٌ حمٔدد ‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )3‬تطبٔل قاعدٗ اإلشازات‬ ‫– ‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪– +‬‬ ‫–‬ ‫– ‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫يعطييف فييف انتًييشيٍ يعييادنتيٍ بهًييا يجهييىنيٍ (‪ )X ، Y‬وانًطهييىإ إيجيياد قيًييتهى با ييتخذاو أ ييهىإ‬ ‫انًحذداث‪.‬‬ ‫‪ -1‬ترتيب املعادالت جبل (‪ )X‬ثم (‪ )Y‬يف الطرف األيسر ‪ L.H.S‬والجوابت يف الطرف األمين ‪R.H.S‬‬ ‫‪ -2‬تكوين احملدد العام‪:‬‬ ‫عنْد‬ ‫عنْد‬ ‫= ‪‬‬ ‫ّىْجد قٔنتُ‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪ -3‬تكوين حمدد (‪)X ، Y‬‬ ‫نقوم بإيجاد محدد ‪ X‬وذلك بحرف قيم عمود ‪ X‬من المحدد العام ونوضع مكانه قيم الثوابت‬ ‫عنْد‬ ‫عنْد‬ ‫الثْابت‬ ‫‪( x ‬حمدد ‪= )X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫نقوم بإيجاد محدد ‪ Y‬وذلك بحرف قيم عمود ‪ Y‬من المحدد العام ونوضع مكانه قيم الثوابت‬ ‫عنْد‬ ‫عنْد‬ ‫الثْابت‬ ‫‪( ‬حمدد ‪= ) Y‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ -4‬إيجاد قيم المجاهيل (‪... )X ، Y‬كاآلتي‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫‪,‬‬ ‫=‪Y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫) تساوٍ صفر نتىقف وال نكمل احلل‪‬إذا كانت قًمة احملدد العام (‬ ‫واإلجابة هٌ ال يىجد حل هلره املعادالت‬ ‫‪6‬‬ It is determined according to the no. of rows & columns, where no. of rows is m & no. of columns is n. ِ‫املصفْفُ ٍٕ جمنْعُ مً العياصس بني قْسني ّال ٓصرتط عدد الصفْف ٓساّٖ عدد االعند‬  Size of matrix is m x n 2 -1 7 A = 5 6 3 A → (2 x 3) B=[1 2 4 6] B → (1 x 4) called row matrix 3 C = 4 -5 C → (3 x 1) called column matrix a) Square Matrix : No. of rows = No. column 5 3 3 6 2 a = 4 1 , a = 1 6 7 8 4 3 (2 x 2) (3 x 3) b) rectangular Matrix : No. of rows not equal No. column 3 6 2 , a = 1 6 7 (3 x 3) 7 c) Column vector: all the elements in one column 3 a = 1 8 (3 x 1) d) Row vector: All the elements in one row a= 1 6 7 (1 x 3) e) Zero Matrix all the elements = zero 0 0 0 0 0 a = 0 0 , a = 0 0 0 0 0 0 (2 x 2) (3 x 3) f) Identity Matrix : All the elements on its diagonal are equal to 1 and equal zero 1 0 1 0 0 a = 0 ,1 a = 0 1 0 0 0 1 f) Transpose A (A T): The row become the column of ( A T) 5 2 5 3 1 a = 3 4 , at = 2 4 6 1 6 (2 x 3) (3 x 2) 8  ‫الجمع والطرح‪:‬‬ ‫‪ ‬انششط األ ا ى نهجًع أو انطشح أٌ تكىٌ انًصفىفاث يٍ َفس انذسجت (يتساويت)‪.‬‬ ‫يقال أٌ يصفىفتاٌ يتساويتاٌ إرا كاٌ نهى َفس انشتبت وجًيع انعُاصش انًتُاظشة يتساويت‪.‬‬ ‫‪ ‬يتى عٍ طشيق جًع (طشح) كم عُصش فى انًصفىفت األونى عهى انعُصش انًقابم نها فى انًصفىفت‬ ‫انثاَيت‪.‬‬ ‫‪ ‬انششط األ ا ف نكف تتى عًهيت انضشإ هى‬ ‫عدد أعمدة املصفوفة األولى = عدد صفوف املصفوفة الثانية‬ ‫)‪(X‬‬ ‫)‪, (y‬‬ ‫إذا كاٌ لدٓيا مصفْفتاٌ‬ ‫)‪(3 x 3‬‬ ‫)‪(3 x 2‬‬ ‫نالحظ أنه يجوز ضرب‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫) ‪(2 x 3‬‬ ‫)‪(3 x 2‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ىأخر الصف األّل ف‪ ٙ‬املصفْف٘ األّىل ّىكْو بضسبُ ف‪ ٙ‬كل عنْد مً أعندٗ املصفْف٘ الثاىٔ٘ مع مساعاٗ‬ ‫ضسب السقه األّل ف‪ ٙ‬صف املصفْف٘ األّىل مع السقه األّل ف‪ ٙ‬العنْد األّل ّكرلك ضسب السقه الثـاى‪ٙ‬‬ ‫ف‪ ٙ‬الصف األّل مع السقه الثاى‪ ٙ‬ف‪ ٙ‬العنْد األّل مع مساعاٗ مجع اليتائج مً حاصل الضـسب مـه تتكـسز‬ ‫ٍرِ العنلٔ٘ مع باق‪ ٙ‬األعندٗ‬ ‫‪9‬‬  1. Find ∆ = │A│ 2. Find co-factor of matrix A │A1│by cancel row & column. + - + - + With signs - + Or - + - + - + 3. Find and-joint of matrix A by transpose of the co-factor matrix [Ahj], where [Aadj = Aco-factor T] 1 4. A – 1 = [Aadj] ∆ N.B: Check → A-t A = I → "identity matrix" For 2 equations: A11x + a12y = c1 A21x + a22y = c2 a11 a12 x C1 Matrix form → = a21 a22 y C2  -1 x = a11 a12 C1 10