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Introduzione Il valore attuale Il concetto di valore attuale (o valore attuale scontato) si basa I tassi d’inte...

Introduzione Il valore attuale Il concetto di valore attuale (o valore attuale scontato) si basa I tassi d’interesse sono tra le variabili più seguite nell’economia perché sulla nozione di buon senso che un dollaro pagato tra un anno ha in‡uenzano le decisioni personali come se consumare o risparmiare, se meno valore di un un dollaro pagato oggi. comprare una casa, e se acquistare obbligazioni o mettere fondi in un Questa nozione è vera perché si può depositare un dollaro oggi in un conto di risparmio. conto di risparmio che guadagna interessi e avere più di un dollaro tra I tassi di interesse inoltre in‡uenzano le decisioni economiche delle un anno. imprese e delle famiglie, come ad esempio se usare i loro fondi per Guardiamo il tipo più semplice di strumento di debito, ovvero un investire in nuove attrezzature per le fabbriche o per risparmiare semplice prestito. In questo prestito, il prestatore (lender ) fornisce al piuttosto che spendere il loro denaro. mutuatario una quantità di fondi (chiamata principal) che deve essere Diversi strumenti di debito hanno di¤erenti ‡ussi di pagamenti (noti restituita al prestatore alla data di scadenza, insieme ad un ulteriore come cash ‡ows) al detentore, con tempistiche molto diverse. Quindi pagamento degli interessi. dobbiamo capire come possiamo confrontare il valore di un tipo di Esempio: se prestiamo 100$ ad un anno e richiediamo un pagamento strumento di debito con il valore di un altro prima di vedere come si addizionale di 10$, il tasso di interesse semplice è calcolato come: misurano i tassi d’interesse. Per fare questo, usiamo il concetto di valore attuale (present value). 10$ i= = 0.1 = 10%. 100$ Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 2 / 26 Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 3 / 26 Il valore attuale Il valore attuale Se fate questo prestito di 100$, alla …ne dell’anno avrete 110$, ovvero 100$ (1 + 0.1) = 110$. Gli importi che si avrebbero alla …ne di ogni anno facendo il prestito Se poi prestate i 110$ allo stesso tasso di interesse, alla …ne del di 100$ oggi possono essere visti nella seguente linea temporale: secondo anno avrete 110$ (1 + 0.1) = 121$, o, equivalentemente, 100$ (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 100$ (1 + 0.1)2 = 121$. Questa linea temporale indica chiaramente che siete indi¤erenti tra Continuando ancora con il prestito, alla …ne del terzo anno si avrebbe avere 100$ oggi o avere 110$ tra un anno. Allo stesso modo siete indi¤erenti tra avere 100$ oggi oppure 121 dollari tra due anni, o 133 121$ (1 + 0.1) = 100$ (1 + 0.1)3 = 133$. dollari tra tre anni, o 100$ (1 + i )n dollari n anni da oggi. Generalizzando, possiamo vedere che alla …ne di n anni, i 100$ si trasformerebbero in 100$ (1 + i )n. Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 4 / 26 Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 5 / 26 Attualizzazione Il valore attuale La linea del tempo indica che possiamo anche lavorare all’indietro da importi futuri al presente. Per esempio, 100$ (1 + 0.1)3 = 133$ tre anni da oggi valgono 100$ oggi La precedente equazione ci dice che se vi viene promesso 1$ di ‡usso di cassa, per certo, tra dieci anni, questo dollaro non avrebbe per voi 133$ lo stesso valore di 1$ oggi perché, se aveste 1$ oggi, potreste 100$ =. (1 + 0.1)3 investirlo e ritrovarvi con più di 1$ tra dieci anni. Il concetto di valore attuale è estremamente utile, perché ci permette Il processo di calcolare il valore odierno di dollari ricevuti in futuro si di capire il valore (prezzo) odierno di uno strumento del mercato del chiama attualizzazione. Possiamo generalizzare questo processo credito (debito) ad un dato tasso di interesse semplicemente scrivendo il valore odierno (presente) di 100$ come PV e il ‡usso di sommando i singoli valori attuali di tutti i pagamenti futuri ricevuti. cassa futuro (pagamento) di 133$ come CF , e poi sostituendo 0.10 (il Questa informazione ci permette di confrontare i valori di due o più tasso di interesse del 10%) con i. Questo porta alla seguente formula: strumenti che hanno tempi di pagamento molto diversi. CF PV =. (1 + i )n Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 6 / 26 Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 7 / 26 Esempio Quattro tipi di strumenti del mercato del credito 1) Prestito semplice: il prestatore fornisce al mutuatario una somma di Qual è il valore attuale di 250$ da pagare in due anni se il tasso di denaro che deve essere restituita al mutuante alla scadenza insieme a interesse è del 15%? un pagamento aggiuntivo per l’interesse. Molti strumenti del mercato monetario sono di questo tipo, per esempio i prestiti commerciali a Soluzione breve termine alle imprese. CF 2) Prestito a pagamento …sso (chiamato anche prestito PV = (1 + i )n completamente ammortizzato): il prestatore fornisce al mutuatario 250$ una quantità di fondi che il mutuatario deve ripagare facendo lo stesso = = 189.04$. (1 + 0.15)2 pagamento, che consiste in una parte del capitale e degli interessi, ogni periodo (per esempio un mese) per un certo numero di anni. I prestiti a rate e i mutui sono spesso del tipo a pagamento …sso. Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 8 / 26 Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 9 / 26 Quattro tipi di strumenti del mercato del credito Yield to maturity Questi quattro tipi di strumenti e¤ettuano pagamenti in tempi diversi: 3) Obbligazione con cedola (coupon bond): paga al proprietario I prestiti semplici e le obbligazioni a sconto e¤ettuano pagamenti solo dell’obbligazione un interesse …sso (cedola) ogni anno …no alla data di alle loro date di scadenza, mentre i prestiti a pagamento …sso e le scadenza, quando un importo …nale speci…cato (valore facciale) obbligazioni con cedola e¤ettuano i pagamenti periodicamente …no viene rimborsato. Un’obbligazione con cedola è identi…cata da alla scadenza. quattro informazioni: il valore facciale; la società o l’agenzia governativa che emette l’obbligazione; data di scadenza Come possiamo capire quale di questi strumenti fornisce il maggior dell’obbligazione; tasso della cedola dell’obbligazione. Gli strumenti reddito? del mercato dei capitali come le obbligazioni del Tesoro e le Sembrano tutti così diversi perché e¤ettuano i pagamenti in momenti obbligazioni societarie sono esempi di obbligazioni con cedola. diversi. Per risolvere questo problema, usiamo il concetto di valore 4) Obbligazione a sconto (zero-coupon bond): viene acquistata a un attuale, spiegato in precedenza, per fornirci una procedura per prezzo inferiore al suo valore facciale e il valore facciale viene misurare i tassi di interesse su questi diversi tipi di strumenti. rimborsato alla data di scadenza. A di¤erenza di un coupon bond, Dei vari modi comuni di calcolare i tassi di interesse, il più importante un’obbligazione a sconto non e¤ettua alcun pagamento di interessi; è il rendimento alla scadenza (yield to maturity), che è il tasso di paga solo il valore facciale. I Treasury Bills sono zero-coupon bond. interesse che equipara il valore attuale dei pagamenti di ‡ussi di cassa ricevuti da uno strumento di debito con il suo valore odierno. Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 10 / 26 Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 11 / 26 Prestito semplice Prestito a pagamento …sso Per il prestito di un anno di cui abbiamo parlato, il valore odierno è di Per calcolare il rendimento alla scadenza per un prestito a pagamento 100$, e i pagamenti tra un anno sarebbero 110$ (il rimborso di 100$ …sso, seguiamo la stessa strategia che abbiamo usato per il prestito più il pagamento degli interessi di 10$). semplice - eguagliamo il valore odierno del prestito con il suo valore Possiamo usare queste informazioni per calcolare il rendimento alla attuale. scadenza (i) riconoscendo che il valore attuale dei pagamenti futuri Poiché il prestito a pagamento …sso comporta più di un pagamento di deve essere uguale al valore odierno del prestito. ‡usso di cassa, il valore attuale del prestito a pagamento …sso è CF calcolato come la somma dei valori attuali di tutti i pagamenti dei PV = (1 + i )n ‡ussi di cassa. + La formula che utilizziamo è la seguente 110$ 100$ = CF CF CF (1 + i ) PV = + +...+ , + (1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )n 110$ in forma compatta (1 + i ) = =) i = 0.1 n 100$ CF Per i prestiti semplici, il tasso d’interesse è uguale al rendimento alla PV = ∑ ( 1 + i )k. k =1 scadenza. Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 12 / 26 Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 13 / 26 Obbligazione a cedola Yield to maturity per di¤erenti prezzi Per calcolare il rendimento alla scadenza di un coupon bond, seguiamo la la stessa strategia usata per il prestito a pagamento …sso: uguagliamo il valore odierno dell’obbligazione con il suo valore attuale. Rendimenti …no alla scadenza su un’obbligazione con tasso di Poiché le obbligazioni con cedola e¤ettuano più di un pagamento di interesse del 10% e scadenza a dieci anni (valore facciale = 1000$). ‡usso di cassa, il valore attuale dell’obbligazione è calcolato come la somma dei valori attuali di tutti i pagamenti (CF ) più il valore attuale del pagamento …nale (F ) del valore facciale dell’obbligazione. La formula è la seguente CF CF CF F PV = + +...+ + , (1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )n (1 + i )n in forma compatta " # n CF F PV = ∑ (1 + i )k + (1 + i )n. k =1 Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 14 / 26 Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 15 / 26 Yield to maturity per di¤erenti prezzi Obbligazione a sconto Il calcolo del rendimento a scadenza per un’obbligazione a sconto è simile a quello di un semplice prestito. Quando l’obbligazione con cedola è prezzata al suo valore facciale, il Consideriamo un’obbligazione a sconto come un Treasury Bill di un rendimento alla scadenza è uguale al tasso della cedola. anno che paga un valore facciale di 1000$ tra un anno, ma che oggi ha un prezzo di 900$. ll prezzo di un’obbligazione con cedola e il rendimento alla scadenza Per calcolare il rendimento a scadenza (i) di uno zero-coupon bond sono correlati negativamente, cioè se il rendimento alla scadenza con valore facciale F e prezzo P utilizziamo la seguente formula aumenta, il prezzo dell’obbligazione scende. Quando il rendimento alla scadenza scende, il prezzo dell’obbligazione sale. F F P P = =) i = Il rendimento alla scadenza è maggiore del tasso della cedola quando (1 + i ) P il prezzo dell’obbligazione è inferiore al suo valore facciale ed è + inferiore al tasso cedolare quando il prezzo dell’obbligazione è 100$ 900$ = superiore al suo valore facciale. (1 + i ) + 1000$ 900$ i = = 11.1% 900$ Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 16 / 26 Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 17 / 26 Distinzione tra tasso d’interesse e rendimento Calcolo del tasso di rendimento Per calcolare quanto stiamo guadagnando detenendo un’obbligazione o qualsiasi altro titolo in un particolare periodo di tempo dobbiamo Avrete notato qualcosa di abbastanza sorprendente nel rendimento introdurre il concetto di tasso di rendimento. che abbiamo appena calcolato: è pari al 30%, eppure, inizialmente il Per qualsiasi titolo, il tasso di rendimento è de…nito come l’importo di rendimento alla scadenza era solo il 10%. ogni pagamento al proprietario più il cambiamento nel valore del Questa discrepanza dimostra che il rendimento di un’obbligazione non titolo, espresso come una frazione del suo prezzo di acquisto. sarà necessariamente uguale al rendimento alla scadenza di Per rendere più chiara questa de…nizione, vediamo quale sarebbe il quell’obbligazione. rendimento di un coupon bond con 1000$ dollari di valore facciale e Più in generale, il rendimento di un’obbligazione detenuta dal tempo con un tasso cedolare del 10% che viene acquistato per 1000$, tenuto t al tempo t + 1 può essere scritto come per un anno e poi venduto per 1200$. I pagamenti al proprietario sono la cedola annuale di 100$, e il C + Pt +1 Pt R= cambiamento nel valore dell’obbligazione è di 1200$ 1000$ = 200$. Pt Sommando questi valori, ed esprimendoli come frazione del prezzo di con R = rendimento del possesso dell’obbligazione dal tempo t al acquisto di 1000$, otteniamo il rendimento di questa obbligazione: tempo t + 1, C = cedola, Pt = prezzo dell’obbligazione al tempo t, 100$ + 200$ Pt +1 = prezzo dell’obbligazione al tempo t + 1. = 0.3 = 30%. 1000$ Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 18 / 26 Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 19 / 26 Calcolo del tasso di rendimento Tassi di rendimento per diversi prezzi Un modo conveniente di riscrivere la formula per il calcolo del rendimento consiste nel dividere il rendimento in due termini separati: Rendimenti a un anno su obbligazioni a scadenza diversa con tasso di C Pt +1 Pt R= +. interesse del 10% quando i tassi di interesse aumentano dal 10% al Pt Pt 20%. Il primo termine è il rendimento corrente (ic , il pagamento della cedola sul prezzo di acquisto), mentre il secondo termine è il capital gain (g ), o la variazione del prezzo dell’obbligazione rispetto al prezzo iniziale. La precedente equazione può essere riscritta come: R = ic + g. Questa formula riscritta illustra il punto che abbiamo appena descritto: anche per un’obbligazione per la quale il rendimento corrente ic è una misura accurata del rendimento alla scadenza, il rendimento può di¤erire sostanzialmente dal tasso di interesse. Tale di¤erenza si osserva se il prezzo dell’obbligazione subisce notevoli ‡uttuazioni che producono sostanziali guadagni o perdite di capitale. Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 20 / 26 Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 21 / 26 Tassi di rendimento per diversi prezzi Distinzione tra tassi d’interesse nominali e reali La precedente tabella calcola i rendimenti a un anno su diverse Finora abbiamo ignorato gli e¤etti dell’in‡azione sul costo del prestito. obbligazioni con tasso di interesse del 10% quando i tassi di interesse Il tasso d’interesse considerato …nora non tiene conto dell’in‡azione su tutte queste obbligazioni aumentano dal 10% al 20%. ed è più precisamente chiamato tasso di interesse nominale. Le uniche obbligazioni con rendimenti uguali a quelli iniziali …no alla Dobbiamo distinguere il tasso di interesse nominale dal tasso di scadenza sono quelle con maturity uguale al periodo di detenzione. interesse reale, che è il tasso di interesse che viene aggiustato Un aumento dei tassi d’interesse è associato a un calo dei prezzi dei sottraendo i cambiamenti previsti nel livello dei prezzi (in‡azione) in bond, con conseguenti perdite di capitale sui bond i cui termini di modo da ri‡ettere più accuratamente il vero costo del prestito. scadenza sono più lunghi dei periodi periodi di detenzione. Il tasso d’interesse reale è più accuratamente de…nito dall’equazione Più lontana è la data di scadenza di un’obbligazione, maggiore è la di Fisher. dimensione della variazione percentuale del prezzo associata a una L’equazione di Fisher ci dice che il tasso di interesse nominale (i) è variazione del tasso d’interesse. uguale al tasso di interesse reale (r ) più il tasso di in‡azione previsto Più lontana è la data di scadenza di un’obbligazione, minore è il tasso πe : di rendimento che si veri…ca come conseguenza di un aumento del i = r + πe , tasso d’interesse. da cui otteniamo il tasso di interesse reale Il rendimento di un bond può essere negativo se i tassi d’interesse aumentano. r =i πe. Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 22 / 26 Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 23 / 26 L’importanza del tasso d’interesse reale Tassi d’interesse nominali e reali Consideriamo innanzitutto una situazione in cui avete fatto un La distinzione tra tassi di interesse reali e nominali è importante semplice prestito di un anno con un tasso di interesse del 5% perché il il tasso d’interesse reale, che ri‡ette il costo reale del (i = 5%), e vi aspettate che il livello dei livello dei prezzi aumenti del prestito, è probabilmente un indicatore migliore degli incentivi a 3% nel corso dell’anno (π e = 3%). prendere e prestare denaro. Come risultato di aver fatto il prestito, alla …ne dell’anno vi aspettate La precedente …gura presenta le stime dal 1953 al 2017 dei tassi di avere il 2% in più in termini reali, cioè in termini di beni e servizi d’interesse reali e nominali sui Treasury Bills a tre mesi e ci mostra reali che potete comprare. che i tassi nominali e reali non sempre si muovono insieme (questo è Ulteriore esempio: assumiamo che il tasso di interesse nominale sia vero anche per i tassi nominali e reali nel resto del mondo). dell’8% e il tasso d’in‡azione atteso del 10%. In questo caso il tasso In particolare, quando i tassi nominali negli Stati Uniti erano alti negli di interesse reale è negativo e pari al 2%. anni ’70, i tassi reali erano in realtà estremamente bassi, spesso Un prestatore è meno desideroso di fare un prestito in questo caso, negativi. perché in termini di beni e servizi reali supporta una perdita del 2%. Secondo lo standard dei tassi d’interesse nominali, si potrebbe Al contrario, un mutuatario dovrà restituire un importo inferiore del pensare che le condizioni del mercato del credito fossero strette 2% in termini di beni e servizi reali, ovvero il mutuatario avrà durante questo periodo perché era costoso prendere in prestito. guadagnato il 2% in termini reali. Con tassi d’interesse reale bassi ci Tuttavia, le stime dei tassi reali indicano che vi sareste sbagliati. In sono maggiori incentivi a prendere in prestito e meno a prestare. termini reali, il costo del prestito era in realtà abbastanza basso. Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 24 / 26 Marco Di Pietro () Economia e Politica Monetaria 26 / 26