Document Details
Uploaded by HilariousCornflower
International University of Africa
Tags
Related
- Final-Module-7-Statements-Related-to-Conditional-Statements-and-Logical-Equivalence.pdf
- Paper 2 - Logic and Proof (1) (1) PDF: UAT-UK University Admission Test
- Paper 2 - Logic and Proof (1) PDF
- Logic Module 2 PDF
- Chapter 3: Logic - A Brief History PDF
- Mathematics in the Modern World Lesson 2.1 Logic Statements and Quantifiers PDF
Full Transcript
א ول א ï™bíŠÛa@Õİä½a@ù…bjß @ @Principles of Mathematical Logic @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß א ول א @ @ï™bíŠÛa@Õİä½a@ù…bjß @ @...
א ول א ï™bíŠÛa@Õİä½a@ù…bjß @ @Principles of Mathematical Logic @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß א ول א @ @ï™bíŠÛa@Õİä½a@ù…bjß @ @ Principles of Mathematical Logic @ @Òa†çþa W א سא ن אא دא K!"# $ و# %&'א ! ( א K #*! א ! ( א+ ,دوא- 89!.. '!ن א.. 2 אJ. 5!6'!ن א.. 2 אF 1..*! !ن א.. 2 א3. / א0 !ن.. 2 אJ89!.. '!ن א.. 2 אJ; ( א= א @ @ò߆Ôß@H1M1I K.L# K !G#.5 D. >. !ن و.H$I א. ن- ن. א א. J @$A.5.B C אD. E F. VHU@ وא9د אQ زאدST& و א5 غ א F NO وא،!.. #..T !ن.. 2 א3../ א0 D. ( =.T א &..# !( د א.&6 א. وK@U!6^Q N %' وא,!#% '] \ א##:( وא، !ن2 א ، +.. א,دوא-! و.. "# $و !.. ( א..u ،..*! א3.. %&' א,!..* ;.... K !ن2 א3/ א0 D - وG ! 'א ! ( وא @ @ @Statements @HÝà¦aI@Ší‰bÔnÛaH2M1I W \ (w \:H< iQ # אa אJ :v אDH &U E ً!&# ًא2Y :n > f אF #/!L$I א:v אW ً>و- > v{ א- ! { ؟z : D9 { !#Y אKE!s { א5 אKE! U > W u E ً!&# ًא2Y :n f אF 2[ א:v אW ً!#$!^ K }مI!ن א9 - F F9 } { א2+ 4 >1 W u K !6 :HU G0!Y و- 6/!s !"$A !"# D m אF ~ 2Y { 9 KE( !6 :HU u9- و- ً> " F:T(U f א2[ א:vوא K. 69 ,! א..6 €. Y- و%#..H6 א,! א..6 א:..HU. # א. a אJ ,! א..6 z!..& و ،{ \&H אKh Cن אQ} u ً אEאً وא2Y :n f ! א6 א1 %#H6 ! א6 ! !. و. & D9.& !. } 2.Y F..u9-.:n f. ! א.6 א1" 69 '! א6 ! א- K{ !قC& א.G0!Y Α !.6 אƒ.$!9 ذאQ و، T ] !. !„ ] $ 6/!s Α !6 p- ƒ$!9 ذאQو KΑ !6 ق א:#< F { T F ً}9 1:HU وF ] ! !„ ] $ 17 @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß א ول א @ @ @Negation of Statement @ŠíŠÔnÛa@@óÐã@H3M1I !.H א. & א. } V.T$ p. (א & ً}u: (¬) ] ! & ] دא א Kp $ و- ، (¬p ) ً!t#ts 8# - و ( אא !م- Wً}u: KEFF !# … !"$- F #& א KE TF !# … !"$- F #& א8# W !"# $ E TF =c ! א ض8:L ‡ א KE FF =c ! א ض8:L > ‡ אW !"# $ !6 G0![! א6 א1 $ { وG0!Y !6 6/! ! א6 א1 $ ! و A.. %Y..:#<....:( (¬p ).. ( אN א..s..:#< ن- ˆ.. E} !.. :9 K 6/!.. s W‰ ذŠ* i!( אEN ول א אBF ولv وאK p (א P ¬P T F F T KEfalseF = 0!Y ( ن א- & U F !:&# ، EtrueF K/!s ( ن א- & U T l#E @ @ @Connectives @ÁiŠÛa@paë…cH4M1I + א. א א. ! و..:"&# +.. אiQ !ج..(o K.. !a א. €.Y-.{ V... { +...& #6.. !."& +. א,دوא- F. Xu. ‹ א# אa א و، + دא א- :H W U א m!ل > אu'א ?∧? ] ! @ ] ? ?وŒ% אc E J1 ?∨ ? ] ! @ ] ?و-? Œ% אc E J2 18 @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß א ول א ] ! !„ ] ? نKKK ذאQ ? طL دא א- J3 /!.. 5 X.. א دאW.. و، ] !.. !.. „ ].. ذא? وQ +.. ذא وQ? ط..L دא א- J4..#E!& אF....#: א.... ! ل.. !.. „ F.. و..# א..a א.. !ل: (.. >א K #*! א @ @ZÁiŠÛa@paë…a@óÜÇ@òÜrßc ( A ∧ B) :s! ! د وאH א:s! א !ضG ( A ∨ B) 3 !&'و א- 2 (' אB א &!س אKh > G ( A → B) , ~ @$ !نH$I אK < Œ< U ذאQ G ( A ↔ B) D ! , Y- ذאQ + ذא وQ D ( م אU G \(6/!.s B وΑ ن. U !.& +..E وא. !E J 6/!.s ( A ∧ B) !6 ن אU W ( A ∧ B) !6 אN אs ولB و، E وאƒ F~ אc % ن א# x− y = y−x K 6/!s x − y ≠ y − x W !6 ن אUو Proof by Contradiction @@œÓbänÛbi@æbçÛaH3M6M1I. (k' א,!#.*! وع א. J ,!. & אF... א,!..6^I. % אW. مk(..HU. ً! !.. -. % אW. :.. ( U وKp. “( א2.. v وא1..*! א. # t( א. s!Y ,!.#% 'ن א- (&(!ج. אiQ !$ د. c. ‰ ن ذ- ƒ6u$ D^ F وN %' אA%Y אضO א iQ !..& p_د.. !... و.E …ن وאJ ً!.G0!Y!ً و6/!..s ن. !..„ $.. 'א !.. ( א.E- و- ن. D..^ F.. وW!$-. p. אض אO.. > אA..% D..H$ !..&$ א. „ وK; ‰ ن ذ، n = 1,2,3,..., 20 nد (w D# ; ( אم אk( אJ א:( > > ~ &&! אƒ< א8 $ J و، 30 @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß א ول א F -. 6 iQ. s ( אJ ن#..*! אŠ..‹. אF =( א.. > אF.. c. „ن אQ W ل. $. 5 0!..H6 و Š#.* ( وK!. د.. :.H א.6 U !.6 و- ، !وא.H ن. U.< ، !. !.6 ts W # !( אu א% $ ‰ ذ @ @H11M1I@Þbrß.. # !( ! א..6 אt..s ƒ..6^- 1..*! אE(&(!ج.. >אF=( א.. > א-. 6 אمk(.. ! n∈Z + n(n + 1) 1 + 2 + 3 +... + n = 2 mא !.. :&# ، ود..m ع א..: F.. !.. 6.. وF.. ~ א،\..0 F....$ !وא.. H' אW.. K ودm אu~ H אc % א 32 @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß א ول א W ن# p (1) = 1, p (2) = 3, p (3) = 6, p ( n) = n K א ولm و א1 o F~ אc % אJ n = 1 V* א ولF.. m ع א.. :.. و3.... o F.. ~ אc.. % אJ n = 2 V.. * و K1$!u وא..^}u ود א..m ع א..:.. و6.... o F.. ~ אc..% אJ n = 3 V.. * و Kiא و J ، F..~ אc.% ود א.E.E- e.. U !.. د. n.:#< F.. ;. ( ن א. @..# و n.:# ود.m אF. د. ع.:.:#<.u~.H אc.% אJ ; ( ن א- \E ;. ( אSU!..$ ن- \.E J F..~ אc.% אJ V.. א א.m אe. n = 4 ƒ..$!9 ذא. KF~ אc % אF i ود א وE V אV{ SU!$ H אc % אJ !"& W1U¢ אV6($ !6 אts ,!6^Iو K n =1 & !6 אts F 9A($ E1 n = r + 1 !E J t#ts !"$ n = r !E J t#ts !6 אƒ$!9 ذאQ E2 n = 1 V* 6 1= H אc % א 1(1 + 1) 2 = =1 F~ אc % א 2 2 ‰.... ذK... ( $ وn = 1... !E J t#t....s !....6 ن א- p- ، !و !ن....H( !ن.... % א E1F KKKKKKKK t#ts p(1) ً( ! אYא Wن- p- t#ts n = r ض r (r + 1) E2F KKKKKKKKKKK t#ts !6 1 + 2 + 3 +... + r = 2 W ن- ,!6^Q N %'وא 33 @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß א ول א (r + 1)(r + 2) 1 + 2 + 3 +... + (r + 1) = 2 W!& نE2F א' !دr + 1 m *! א r (r + 1) 1 + 2 + 3 +... + r + (r + 1) = + (r + 1) 2 r (r + 1)... m! א....* 6 t#t....s 1 + 2 + 3 +... + r =... א, א.%Y F. i א و. %[ن א- !.& E> Wò@ àèß@òÃìzÜß @..6&$ ن- !..&# 1..a6& @.$> אQ ، n = 1 ن. !.. & ن. $! و א-. & א. ts ,!6^Q ;.. J @..$ ‰.. وذ1 د. ! n..:#< F.. ;. ( !ً א. :/ دאe.. > ‰.. ن ذ- iQ ,>!.m אW u J وK n ≥ r D#. !ً t#ts. א אV* ن$! ن א,>!mא ن. !.. & ن. $! و א-. & אt..s ,!..6^Q. i א و.%[ אJ N. %' ن א. 41 @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß א ول א K k > r ن-. E} €. X#..aU p- دون.u !u وא.#$!u !ن אU %[ אU و، n = r W1 !( !ل א.u: !&~ U }لY F ‰ ذŠT( c. و @ @H17M1I@Þbrß..:#!.H¦ و- ,>! mא F.. ~ f.. אV.. א% د א.. α و،! ¥ א. 5 N. %' אV.. א% א. :#<. n ن- ض.. G F.. ! ¥ א. 5 F.. ~ f.. אV.. א% د א.. β ،,>!... א. G F.. ! ¥ א. 5 Wن- ,!6^Q !لu'א א J N %' אŠ6 ،,>! H:[א n = 4 α + 5 β ∀ n > 11 ن- ˆ..E}$ !..& وK 6 !.. X.. t#t..s אد. - α , β و،K..B Š#t..s د. n l..#E ن- ‹ و„ אK12 د ! - 6U f אn D# ن$! אts ,!6^Q N %'א ن- ˆE}$ n = 12 & EiF 12 = 4 (3) + 5 (0) , K n = 12 !E J Š#ts ن$! ن א- p- ن- p- ، n = k (E Š#ts ن$! ن א- ض$ EiiF r = 4 αr + 5βr ∀ r = 12, 13,..., k ن- ,!6^Q 1a6& @$ n = k + 1 !E J ن$! אts ,!6^I EiiiF k + 1 = 4 α k +1 + 5 β k +1 ن- ‹ و„ א 42 @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß א ول א k + 1 = (k − 3) + 4 = (4 α k −3 + 5 β k −3 ) + 4 = 4 (α k −3 + 1) + 5 β k −3 = 4 α k +1 + 5 β k +1 V א.. % د א.. ن- e.. !..... و, α k +1 = α k −3 + 1 β k +1 = β k −3 l.. #E W¥ א..5 F.. ~ p. د א. א8.. $. !ل.. (k+1) p!و..HU :#.. ! ¥ א..5 F.. ~ f. א , ذאV.. א% א. G F.. +... E وאV !..0 !د.. ز. !ل.. (k − 3) p!و.. HU. :# K n = k + 1 ! & Š#ts ن$! ن א- p- K,>! א K n ≥ 12 D#< V#:v Š#ts ن$! ن א- ‹ (i), (ii), (iii) F F.. ~ f.. אV א..% د א. ن- ,!...6^Q ¨ !.. אV#%(.. H ^!.. ©.. % W.§ t. :# W¥ א..5 F.. ~ p. د א. א8.. $.. !ل.. (k+1) p!و.. HU :#.. ! ¥ א.. 5. H:[ א, ذאV א..% א.G F. +.. E وאV !.0 ز !د. !ل. (k − 4) p!و..HU K,>! 43 @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß א ول א 44 @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß א ول א @ @H1M1Iåí‰b· ن. U > !. & K6..H א. 9 ذV... # !( א. :v א. E,! א..6 אF !.. ( \ א.. E1F Wًא U :vא KK/! ' & א2 אFHE- ! E-F K‰H $ z!E ! D^I وא،3 [ אFHE 2 אENF K !عU >א ! אŒ $ €!وHU l u' אE!H EجF K #60 د x ، 5 x + 3 = 2 E دF Kiد אو 7د אE. F K 6 − 2 = 4 EوF KEجF ENF ، EאF ,א א א א د,! א6 אŒ$Q E2F W !:# 6/! א,! א6 \ אE3F K,!# : ¡}^ 3 !H א !"( د אª ( א# !Hm א,!# : אE-F K,!#*! وع אF ] != ع# אENF K a6 != وא'& وאLt אF "&U } אE جF KŠ#ts د x ، 5 x + 3 = 2 E دF Kً!# و- ًدא 8# 19 د אE. F K1 # E د x x2 + 2 = 0 א' !دEوF K ] s KEجF ENF ، EאF ,א א א אد ! ( אK(9- E4F W # !( א ! ( ق אول אB L$- E5F K ¬p ∨ q E-F 45 @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß א ول א K ( p ∨ p ) ∧ q ENF ¬( p ∨ p ) EجF ( p ∧ p ) ∨ q E دF ¬ p → p E. F K p → ¬ p EوF (!ن؟G ! ( !:"$- A, B \U !6 !ل ( E6 F W ! ,!6^I 5!6' !ن א2 א 0 مk( אE7F 2 K x = 25 ن، x = 5 !ن9 ذאQ E-F 3 K y = −27 ن، y = −3 !ن9 ذאQ ENF KKB 1 # E د z 2 ن אc}Y ً!# # E ًدא z !ن9 ذאQ EجF. 0 ً! k(..H 6/!..s אم. G0!Y !.."$ 9 l..#E F... # !( א,! א..6 אŸ