Principles of Mathematical Logic (..).pdf

‫א ول‬ ‫א‬ ï™bíŠÛa@Õİä½a@ù…bjß @ @Principles of Mathematical Logic  @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß ‫א ول‬ ‫א‬ @ @ï™bíŠÛa@Õİä½a@ù…bjß @ @...

‫א ول‬ ‫א‬ ï™bíŠÛa@Õİä½a@ù…bjß @ @Principles of Mathematical Logic  @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß ‫א ول‬ ‫א‬ @ @ï™bíŠÛa@Õİä½a@ù…bjß @ @ Principles of Mathematical Logic @ @Òa†çþa W ‫א سא‬ ‫ن‬ ‫אא‬ ‫دא‬ K!"# $‫ و‬# %&'‫א‬ ! (‫ א‬ K #*! ‫א‬ ! ( ‫ א‬+ ,‫دوא‬- 89!.. '‫!ن א‬.. 2 ‫ א‬J. 5!6'‫!ن א‬.. 2 ‫א‬F 1..*! ‫!ن א‬.. 2 ‫ א‬3. /‫ א‬0 ‫!ن‬.. 2 ‫ א‬J89!.. '‫!ن א‬.. 2 ‫ א‬J; ( א= א‬ @ @ò߆Ôß@H1M1I K.L# K !G#.5 D. >. ‫!ن و‬.H$I‫ א‬. ‫ن‬- ‫ ن‬. ‫ א א‬. J @$A.5.B C‫ א‬D. E F. VHU‫@ وא‬9‫د א‬Q ‫ زאد‬ST& ‫ و א‬5 ‫غ א‬ F NO‫ وא‬،!.. #..T ‫!ن‬.. 2 ‫ א‬3../‫ א‬0 D. ( =.T ‫א‬ &..# !( ‫ د א‬.&6 ‫ א‬. ‫ و‬K@U!6^Q N %'‫ وא‬,!#% '‫] \ א‬##:( ‫ وא‬، ‫ !ن‬2 ‫א‬ ، +.. ‫ א‬,‫دوא‬-‫! و‬.. "# $‫و‬ !.. ( ‫ א‬..u ،..*! ‫ א‬3.. %&'‫ א‬,!..* ;.... K‫ !ن‬2 ‫ א‬3/‫ א‬0 D -‫ و‬G ! '‫א‬ ! ( ‫وא‬ @ @ @Statements @HÝà¦aI@Ší‰bÔnÛaH2M1I W \ (w \:H< iQ # ‫ א‬a ‫ א‬J :v‫ א‬DH &U E ً!&# ً‫א‬2Y :n > f ‫א‬F #/!L$I‫ א‬:v‫ א‬W ً>‫و‬- > v‫{ א‬- ! { ‫ ؟‬z : D9 { !#Y ‫ א‬KE!s { ‫ א‬5 ‫ א‬KE! U > W u E ً!&# ً‫א‬2Y :n f ‫א‬F 2[‫ א‬:v‫ א‬W ً!#$!^ K ‫ }م‬I‫!ن א‬9 - F F9 } ‫{ א‬2+ 4 >1 W u K !6 :HU G0!Y ‫و‬- 6/!s !"$A !"# D m‫ א‬F ~ 2Y { 9 KE( !6 :HU u9- ‫و‬- ً> " F:T(U f ‫ א‬2[‫ א‬:v‫وא‬ K. 69 ,‫! א‬..6 €. Y-‫ و‬%#..H6 ‫ א‬,‫! א‬..6 ‫ א‬:..HU. # ‫ א‬. a ‫ א‬J ,‫! א‬..6 z!..& ‫و‬ ،{ \&H ‫ א‬Kh C‫ن א‬Q} u ً‫ א‬E‫אً وא‬2Y :n f ‫! א‬6 ‫ א‬1 %#H6 ‫! א‬6 ! !. ‫ و‬. & D9.& !. } 2.Y F..u9-.:n f. ‫! א‬.6 ‫ א‬1" 69 '‫! א‬6 ‫ ! א‬- K{‫ !ق‬C‫& א‬.G0!Y Α !.6 ‫ א‬ƒ.$!9 ‫ذא‬Q ‫ و‬، T ] !. !„ ] $ 6/!s Α !6 p- ƒ$!9 ‫ذא‬Q‫و‬ KΑ !6 ‫ق‬ ‫ א‬:#< F { T F ً}9 1:HU‫ و‬F ] ! !„ ] $ 17  @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß ‫א ول‬ ‫א‬ @ @ @Negation of Statement @ŠíŠÔnÛa@@óÐã@H3M1I !.H ‫ א‬. & ‫ א‬. } V.T$ p. (‫א‬ & ً}u: (¬) ] ! & ‫] دא א‬ Kp $ ‫و‬- ، (¬p ) ً!t#ts 8# - ‫و‬ ( ‫אא‬ ‫ !م‬- Wً}u: KEFF !# … !"$- F #& ‫א‬ KE TF !# … !"$- F #& ‫ א‬8# W !"# $ E TF =c ! ‫ א ض‬8:L ‫‡ א‬ KE FF =c ! ‫ א ض‬8:L ‫ > ‡ א‬W !"# $ !6 G0![‫! א‬6 ‫ א‬1 $‫ { و‬G0!Y !6 6/! ‫! א‬6 ‫ א‬1 $ ! ‫و‬ A.. %Y..:#<....:( (¬p ).. ( ‫ א‬N‫ א‬..s..:#< ‫ن‬- ˆ.. E} !.. :9 K 6/!.. s W‰ ‫ ذ‬Š* i!( ‫ א‬EN‫ ول א א‬BF‫ ول‬v‫ وא‬K p (‫א‬ P ¬P T F F T KEfalseF = 0!Y ( ‫ن א‬- & U F !:&# ، EtrueF K/!s ( ‫ن א‬- & U T l#E @ @ @Connectives @ÁiŠÛa@paë…cH4M1I + ‫ א‬. ‫ א א‬. ‫! و‬..:"&# +.. ‫ א‬iQ ‫!ج‬..(o K.. !a ‫ א‬. €.Y-.{ V... { +...& #6.. !."& +. ‫ א‬,‫دوא‬- F. Xu. ‫ ‹ א‬# ‫ א‬a ‫א‬ ‫ و‬، + ‫دא א‬- :H W U ‫א‬ m‫!ل > א‬u'‫א‬ ?∧? ] ! @ ] ?‫ ?و‬Œ% ‫ א‬c E J1 ?∨ ? ] ! @ ] ?‫و‬-? Œ% ‫ א‬c E J2 18  @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß ‫א ول‬ ‫א‬ ] ! !„ ] ? ‫ ن‬KKK ‫ذא‬Q ? ‫ ط‬L ‫دא א‬- J3 /!.. 5 X.. ‫ א دא‬W.. ‫ و‬، ] !.. !.. „ ].. ‫ذא? و‬Q +.. ‫ذא و‬Q? ‫ ط‬..L ‫دא א‬- J4..#E!& ‫ א‬F....#: ‫ א‬.... ! ‫ل‬.. !.. „ F.. ‫ و‬..# ‫ א‬..a ‫ א‬.. ‫!ل‬: (.. >‫א‬ K #*! ‫א‬ @ @ZÁiŠÛa@paë…a@óÜÇ@òÜrßc ( A ∧ B) :s! ! ‫ د وא‬H ‫ א‬:s! ‫ א !ض‬G ( A ∨ B) 3 !&'‫و א‬- 2 ('‫ א‬B ‫ א &!س א‬Kh > G ( A → B) , ~ @$ ‫!ن‬H$I‫ א‬K < Œ< U ‫ذא‬Q G ( A ↔ B) D ! , Y- ‫ذא‬Q + ‫ذא و‬Q D ‫( م א‬U G \(6/!.s B ‫ و‬Α ‫ ن‬. U !.& +..E‫ وא‬. !E J 6/!.s ( A ∧ B) !6 ‫ ن א‬U W ( A ∧ B) !6 ‫ א‬N‫ א‬s ‫ ول‬B‫ و‬، E‫ وא‬ƒ F~ ‫ א‬c % ‫ ن א‬# x− y = y−x K 6/!s x − y ≠ y − x W !6 ‫ ن א‬U‫و‬ Proof by Contradiction @@œÓbänÛbi@æbçÛaH3M6M1I. (k'‫ א‬,!#.*! ‫ وع א‬. J ,!. & ‫ א‬F... ‫ א‬,!..6^I. % ‫ א‬W. ‫ م‬k(..HU. ً! !.. -. % ‫א‬W. :.. ( U‫ و‬Kp. “( ‫ א‬2.. v‫ وא‬1..*! ‫ א‬. # t( ‫ א‬. s!Y ,!.#% '‫ن א‬- ‫(&(!ج‬. ‫ א‬iQ !$‫ د‬. c. ‰ ‫ن ذ‬- ƒ6u$ D^ F ‫ و‬N %'‫ א‬A%Y ‫אض‬O ‫א‬ iQ !..& p‫_د‬.. !... ‫ و‬.E‫ …ن وא‬J ً!.G0!Y‫!ً و‬6/!..s ‫ ن‬. !..„ $.. '‫א‬ !.. ( ‫ א‬.E- ‫و‬- ‫ ن‬. D..^ F.. ‫ و‬W!$-. p. ‫אض א‬O.. >‫ א‬A..% D..H$ !..&$ ‫ א‬. „‫ و‬K; ‰ ‫ ن ذ‬، n = 1,2,3,..., 20 n‫د‬ (w D# ; ( ‫ אم א‬k( ‫ א‬J ‫ א‬:( >‫ > ~ &&! א‬ƒ< ‫ א‬8 $ J‫ و‬، 30  @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß ‫א ول‬ ‫א‬ F -. 6 iQ. s ( ‫ א‬J ‫ ن‬#..*! ‫ א‬Š..‹. ‫א‬F =‫( א‬.. >‫ א‬F.. c. „‫ن א‬Q W‫ ل‬. $. 5 0!..H6 ‫و‬ Š#.* ( ‫ و‬K!. ‫ د‬.. :.H ‫ א‬.6 U !.6 ‫و‬- ، ‫!وא‬.H ‫ ن‬. U.< ، !. !.6 ts W # !( ‫ א‬u ‫ א‬% $ ‰ ‫ذ‬ @ @H11M1I@Þbrß.. # !( ‫! א‬..6 ‫ א‬t..s ƒ..6^- 1..*! ‫ א‬E‫(&(!ج‬.. >‫א‬F=‫( א‬.. >‫ א‬-. 6 ‫ אم‬k(.. ! n∈Z + n(n + 1) 1 + 2 + 3 +... + n = 2 m‫א‬ !.. :&# ، ‫ ود‬..m‫ ع א‬..: F.. !.. 6.. ‫ و‬F.. ~ ‫ א‬،\..0 F....$ ‫!وא‬.. H'‫ א‬W.. K‫ ود‬m‫ א‬u~ H ‫ א‬c % ‫א‬ 32  @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß ‫א ول‬ ‫א‬ W‫ ن‬# p (1) = 1, p (2) = 3, p (3) = 6, p ( n) = n K‫ א ول‬m‫ و א‬1 o F~ ‫ א‬c % ‫ א‬J n = 1 V* ‫ א ول‬F.. m‫ ع א‬.. :.. ‫ و‬3.... o F.. ~ ‫ א‬c.. % ‫ א‬J n = 2 V.. * ‫و‬ K1$!u ‫وא‬..^}u ‫ ود א‬..m‫ ع א‬..:.. ‫ و‬6.... o F.. ~ ‫ א‬c..% ‫ א‬J n = 3 V.. * ‫و‬ Ki‫א و‬ J ، F..~ ‫ א‬c.% ‫ ود א‬.E.E- e.. U !.. ‫ د‬. n.:#< F.. ;. ( ‫ ن א‬. @..# ‫و‬ n.:# ‫ ود‬.m‫ א‬F. ‫ د‬. ‫ ع‬.:.:#<.u~.H ‫ א‬c.% ‫ א‬J ; ( ‫ن א‬- \E ;. ( ‫ א‬SU!..$ ‫ن‬- \.E J F..~ ‫ א‬c.% ‫ א‬J V.. ‫ א א‬.m‫ א‬e. n = 4 ƒ..$!9 ‫ ذא‬. KF~ ‫ א‬c % ‫ א‬F i‫ ود א و‬E V ‫ א‬V{ SU!$ H ‫ א‬c % ‫ א‬J !"& W1U¢‫ א‬V6($ !6 ‫ א‬ts ,!6^I‫و‬ K n =1 & !6 ‫ א‬ts F 9A($ E1 n = r + 1 !E J t#ts !"$ n = r !E J t#ts !6 ‫ א‬ƒ$!9 ‫ذא‬Q E2 n = 1 V* 6 1= H ‫א‬c % ‫א‬ 1(1 + 1) 2 = =1 F~ ‫ א‬c % ‫א‬ 2 2 ‰.... ‫ ذ‬K... ( $‫ و‬n = 1... !E J t#t....s !....6 ‫ن א‬- p- ، ‫!و !ن‬....H( ‫!ن‬.... % ‫א‬ E1F KKKKKKKK t#ts p(1) ً‫( ! א‬Y‫א‬ W‫ن‬- p- t#ts n = r ‫ض‬ r (r + 1) E2F KKKKKKKKKKK t#ts !6 1 + 2 + 3 +... + r = 2 W ‫ن‬- ,!6^Q N %'‫وא‬ 33  @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß ‫א ول‬ ‫א‬ (r + 1)(r + 2) 1 + 2 + 3 +... + (r + 1) = 2 W!& ‫ ن‬E2F ‫ א' !د‬r + 1 m‫ *! א‬ r (r + 1) 1 + 2 + 3 +... + r + (r + 1) = + (r + 1) 2 r (r + 1)... m‫! א‬....* 6 t#t....s 1 + 2 + 3 +... + r =... ‫ א‬,‫ א‬.%Y F. i‫ א و‬. %[‫ن א‬- !.& E> Wò@ àèß@òÃìzÜß @..6&$ ‫ن‬- !..&# 1..a6& @.$‫> א‬Q ، n = 1 ‫ ن‬. !.. & ‫ ن‬. $! ‫و א‬-. & ‫ א‬. ts ,!6^Q ;.. J @..$ ‰.. ‫ وذ‬1 ‫ د‬. ! n..:#< F.. ;. ( ‫!ً א‬. :/‫ دא‬e.. > ‰.. ‫ن ذ‬- iQ ,>!.m‫ א‬W u J‫ و‬K n ≥ r D#. !ً t#ts. ‫ א א‬V* ‫ ن‬$! ‫ ن א‬,>!m‫א‬ ‫ ن‬. !.. & ‫ ن‬. $! ‫و א‬-. & ‫ א‬t..s ,!..6^Q. i‫ א و‬.%[‫ א‬J N. %'‫ ن א‬. 41  @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß ‫א ول‬ ‫א‬ K k > r ‫ن‬-. E} €. X#..aU p- ‫ دون‬.u !u ‫ وא‬.#$!u ‫!ن א‬U %[‫ א‬U‫ و‬، n = r W1 !( ‫!ل א‬.u: !&~ U ‫}ل‬Y F ‰ ‫ ذ‬ŠT( c. ‫و‬ @ @H17M1I@Þbrß..:#!.H¦ ‫و‬- ,>! m‫א‬ F.. ~ f.. ‫ א‬V.. ‫ א‬% ‫ د א‬.. α ‫ و‬،! ¥‫ א‬. 5 N. %'‫ א‬V.. ‫ א‬% ‫ א‬. :#<. n ‫ن‬- ‫ ض‬.. G F.. ! ¥‫ א‬. 5 F.. ~ f.. ‫ א‬V.. ‫ א‬% ‫ د א‬.. β ،,>!... ‫ א‬. G F.. ! ¥‫ א‬. 5 W‫ن‬- ,!6^Q ‫!ل‬u'‫א א‬ J N %'‫ א‬Š6 ،,>! H:[‫א‬ n = 4 α + 5 β ∀ n > 11 ‫ن‬- ˆ..E}$ !..& ‫ و‬K 6 !.. X.. t#t..s ‫ אد‬. - α , β ‫ و‬،K..B Š#t..s ‫ د‬. n l..#E ‫ن‬- ‹ ‫ و„ א‬K12 ‫د‬ ! - 6U f ‫ א‬n D# ‫ ن‬$! ‫ א‬ts ,!6^Q N %'‫א‬ ‫ن‬- ˆE}$ n = 12 & EiF 12 = 4 (3) + 5 (0) , K n = 12 !E J Š#ts ‫ ن‬$! ‫ن א‬- p- ‫ن‬- p- ، n = k (E Š#ts ‫ ن‬$! ‫ن א‬- ‫ ض‬$ EiiF r = 4 αr + 5βr ∀ r = 12, 13,..., k ‫ن‬- ,!6^Q 1a6& @$ n = k + 1 !E J ‫ ن‬$! ‫ א‬ts ,!6^I EiiiF k + 1 = 4 α k +1 + 5 β k +1 ‫ن‬- ‹ ‫و„ א‬ 42  @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß ‫א ول‬ ‫א‬ k + 1 = (k − 3) + 4 = (4 α k −3 + 5 β k −3 ) + 4 = 4 (α k −3 + 1) + 5 β k −3 = 4 α k +1 + 5 β k +1 V ‫ א‬.. % ‫ د א‬.. ‫ن‬- e.. !..... ‫ و‬, α k +1 = α k −3 + 1 β k +1 = β k −3 l.. #E W¥‫ א‬..5 F.. ~ p. ‫ د א‬. ‫ א‬8.. $. ‫!ل‬.. (k+1) p‫!و‬..HU :#.. ! ¥‫ א‬..5 F.. ~ f. ‫א‬ ,‫ ذא‬V.. ‫ א‬% ‫ א‬. G F.. +... E‫ وא‬V !..0 ‫!د‬.. ‫ ز‬. ‫!ل‬.. (k − 3) p‫!و‬.. HU. :# K n = k + 1 ! & Š#ts ‫ ن‬$! ‫ن א‬- p- K,>! ‫א‬ K n ≥ 12 D#< V#:v Š#ts ‫ ن‬$! ‫ن א‬- ‹ (i), (ii), (iii) F F.. ~ f.. ‫ א‬V ‫ א‬..% ‫ د א‬. ‫ن‬- ,!...6^Q ¨ !.. ‫ א‬V#%(.. H ^!.. ©.. % W.§ t. :# W¥‫ א‬..5 F.. ~ p. ‫ د א‬. ‫ א‬8.. $.. ‫!ل‬.. (k+1) p‫!و‬.. HU :#.. ! ¥‫ א‬.. 5. H:[‫ א‬,‫ ذא‬V ‫ א‬..% ‫ א‬.G F. +.. E‫ وא‬V !.0 ‫ ز !د‬. ‫!ل‬. (k − 4) p‫!و‬..HU K,>! 43 @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß ‫א ول‬ ‫א‬ 44  @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß ‫א ول‬ ‫א‬ @ @H1M1Iåí‰b· ‫ ن‬. U > !. & K6..H ‫ א‬. 9‫ ذ‬V... # !( ‫ א‬. :v‫ א‬. E,‫! א‬..6 ‫א‬F !.. ( ‫\ א‬.. E1F Wً‫א‬ U :v‫א‬ KK/! '‫ & א‬2 ‫ א‬FHE- ! E-F K‰H $ z!E ! D^I‫ وא‬،3 [‫ א‬FHE 2 ‫ א‬ENF K‫ !ع‬U >‫א‬ ! ‫ א‬Œ $ €‫!و‬HU l u'‫ א‬E!H E‫ج‬F K #60 ‫د‬ x ، 5 x + 3 = 2 E‫ د‬F Ki‫د אو‬ 7‫د‬ ‫ א‬E. F K 6 − 2 = 4 E‫و‬F KE‫ج‬F ENF ، E‫א‬F ,‫א‬ ‫א‬ ‫ א א د‬,‫! א‬6 ‫ א‬Œ$Q E2F W !:# 6/! ‫ א‬,‫! א‬6 ‫ \ א‬E3F K,!# : ¡}^ 3 !H ‫א‬ !"( ‫ د א‬ª ( ‫ א‬# !Hm‫ א‬,!# : ‫ א‬E-F K,!#*! ‫ وع א‬F ‫] != ع‬# ‫ א‬ENF K a6 ‫!= وא'& وא‬Lt ‫ א‬F "&U } ‫ א‬E‫ ج‬F KŠ#ts ‫د‬ x ، 5 x + 3 = 2 E‫ د‬F Kً!# ‫و‬- ً‫دא‬ 8# 19 ‫د‬ ‫ א‬E. F K1 # E ‫د‬ x x2 + 2 = 0 ‫ א' !د‬E‫و‬F K ] s KE‫ج‬F ENF ، E‫א‬F ,‫א‬ ‫א‬ ‫א אد‬ ! ( ‫ א‬K(9- E4F W # !( ‫א‬ ! ( ‫ق‬ ‫ אول א‬B L$- E5F K ¬p ∨ q E-F 45  @ @ó™bíŠÛa@Õİä½a@õô…bjß ‫א ول‬ ‫א‬ K ( p ∨ p ) ∧ q ENF ¬( p ∨ p ) E‫ج‬F ( p ∧ p ) ∨ q E‫ د‬F ¬ p → p E. F K p → ¬ p E‫و‬F ‫(!ن؟‬G ! ( !:"$- A, B \U !6 ‫!ل‬ ( E6 F W ! ,!6^I 5!6'‫ !ن א‬2 ‫א‬ 0 ‫ م‬k( ‫א‬E7F 2 K x = 25 ‫ ن‬، x = 5 ‫!ن‬9 ‫ذא‬Q E-F 3 K y = −27 ‫ ن‬، y = −3 ‫!ن‬9 ‫ذא‬Q ENF KKB 1 # E ‫د‬ z 2 ‫ ن‬ ‫ א‬c}Y ً!# # E ً‫دא‬ z ‫!ن‬9 ‫ذא‬Q E‫ج‬F. 0 ً! k(..H 6/!..s ‫ אم‬. G0!Y !.."$ 9 l..#E F... # !( ‫ א‬,‫! א‬..6 ‫ א‬Ÿ