رياضيات الصف الحادي عشر - الفصل الدراسي األول PDF

‫الريا ضيات‬ ‫ال صف الحادي ع شر ‪ -‬الم سار األأكاديمي‬ ‫الف صل الدرا سي األأول‬ ‫كتاب الطالب‬ ‫‪11‬‬ ‫فريـق الت أليـف‬ ‫(رئيسا)‬...

‫الريا ضيات‬ ‫ال صف الحادي ع شر ‪ -‬الم سار األأكاديمي‬ ‫الف صل الدرا سي األأول‬ ‫كتاب الطالب‬ ‫‪11‬‬ ‫فريـق الت أليـف‬ ‫(رئيسا)‬ ‫ً‬ ‫د‪.‬عمر محمد أبوغليون‬ ‫أ‪.‬د محمد صبح صبابحة‬ ‫يوسف سليمان جرادات‬ ‫هـبـه ماهـر التميمـي‬ ‫النا شر‪ :‬املركز الوطني لتطوير املناهج‬ ‫يرس املركز الوطني لتطوير املناهج استقبال آرائكم وملحوظاتكم عىل هذا الكتاب عن طريق العناوين اآلتية‪:‬‬ ‫‪06-5376262 / 237‬‬ ‫‪06-5376266‬‬ ‫‪P.O.Box: 2088 Amman 11941‬‬ ‫‪@nccdjor‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪www.nccd.gov.jo‬‬ ‫قـررت وزارة الرتبيـة والتعليـم تدريـس هذا الكتـاب يف مدارس اململكـة األردنية اهلاشـمية مجيعها‪ ،‬بنـا ًء عىل قـرار املجلس األعىل‬ ‫ّ‬ ‫للمركـز الوطنـي لتطويـر املناهـج يف جلسـته رقـم (‪ ،)2024/4‬تاريـخ ‪ 2024/6/6‬م‪ ،‬وقرار جملـس الرتبيـة والتعليم رقـم (‪)2024/64‬‬ ‫تاريـخ ‪ 2024/6/26‬م بـد ًءا من العـام الـدرايس ‪ 2025 / 2024‬م‪.‬‬ ‫‪© HarperCollins Publishers Limited 2024.‬‬ ‫‪- Prepared Originally in English for the National Center for Curriculum Development. Amman - Jordan‬‬ ‫‪- Translated to Arabic, adapted, customised and published by the National Center for Curriculum‬‬ ‫‪Development. Amman - Jordan‬‬ ‫‪ISBN: 978 - 9923 - 41 - 651 - 8‬‬ ‫اململكة األردنية اهلاشمية‬ ‫رقم اإليداع لدى دائرة املكتبة الوطنية‬ ‫(‪)2024/6/3446‬‬ ‫بيانات الفهرسة األولية للكتاب‪:‬‬ ‫الرياضيات (كتاب الطالب)‪ :‬الصف الحادي عشر‪ ،‬الفصل الدراسي األول‪.‬‬ ‫عنوان الكتاب‬ ‫األردن‪.‬المركز الوطني لتطوير المناهج‬ ‫إعداد‪ /‬هيئة‬ ‫ ‬ ‫عمان‪ :‬المركز الوطني لتطوير المناهج‪2024 ،‬‬ ‫ّ‬ ‫بيانات النشر‬ ‫‪373.19‬‬ ‫رقم التصنيف‬ ‫‪/‬تدريس الرياضيات‪//‬المناهج‪//‬التعليم الثانوي‪/‬‬ ‫الواصفات‬ ‫ ‬ ‫الطبعة األولى‬ ‫الطبعة‬ ‫ ‬ ‫يعبر هذا المصنف عن رأي دائرة المكتبة الوطنية‪.‬‬ ‫يتحمل المؤلف كامل المسؤولية القانونية عن محتوى مصنفه وال ّ‬ ‫التحرير اللغوي‪:‬‬ ‫التصميم الجرافيكي‪:‬‬ ‫التحكيم التربوي‪:‬‬ ‫نضال أحمد موسى‬ ‫راكان محمد السعدي‬ ‫أ‪.‬د‪.‬خالد أبو اللوم‬ ‫ميسرة عبد الحليم صويص‬ ‫‪All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, sorted in retrieval system, or‬‬ ‫‪transmitted in any form by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise ,‬‬ ‫‪without the prior written permission of the publisher or a license permitting restricted copying in the‬‬ ‫‪United Kingdom issued by the Copyright Licensing Agency Ltd, Barnard's Inn, 86 Fetter Lane, London,‬‬ ‫‪EC4A 1EN.‬‬ ‫‪British Library Cataloguing -in- Publication Data‬‬ ‫‪A catalogue record for this publication is available from the Library.‬‬ ‫‪ 1445‬هـ ‪ 2024 /‬م‬ ‫الطبعة األوىل (التجريبية)‬  ‫ّ‬ ‫المقدمة‬ ‫انطال ًقا من إيمان المملكة األردنية الهاشــمية الراســخ بأهمية تنمية قدرات اإلنسان األردني‪ ،‬وتسليحه بالعلم‬ ‫والمعرفة؛ سعى المركز الوطني لتطوير المناهج‪ ،‬بالتعاون مع وزارة التربية والتعليم‪ ،‬إلى تحديث المناهج الدراسية‬ ‫والمهاري‪ ،‬ومجاراة األقران في الدول المتقدمة‪.‬‬ ‫ّ‬ ‫وتطويرها‪ ،‬لتكون معينًا للطلبة على االرتقاء بمستواهم المعرفي‬ ‫وح ِّل المشكالت‪،‬‬ ‫تنمي لدى الطلبة مهارات التفكير َ‬ ‫ولما كان مبحث الرياضيات من أهم المباحث الدراسية التي ّ‬ ‫ّ‬ ‫فقد َأ ْولى المركز مناهجه عناي ًة كبير ًة وأعدها وفق أفضل الطرائق ُ‬ ‫الم َّت َبعة عالم ًّيا على أيدي خبرات أردن ّية؛ لضمان‬ ‫انسجامها مع القيم الوطنية الراسخة‪ ،‬وتلبيتها لحاجات الطلبة‪.‬‬ ‫وقــد روعي في إعداد كتــب الرياضيات للمرحلة الثانويــة تضمينها الموضوعات الرياضيــة األكثر أهمية‬ ‫واســتخدا ًما في التطبيقات العلمية المختلفة؛ ُبغية إعداد الطلبة للدراسة الجامع ّية إعدا ًدا ج ّيدً ا يتواءم مع مناهج‬ ‫الدول المتقدمة‪.‬كما ُح ِرص على تقديم هذه الموضوعات بطريقة بنائ ّية متدرجة تتيح للطلبة فرصة تعلمها بعمق‬ ‫من دون عناء أو جهد كبيرين‪.‬‬ ‫ومزودة بإرشــادات تعين‬ ‫ّ‬ ‫كما روعي تقديم الموضوعــات بطريقة منظمة جاذبة ومدعمة بتمثيالت بيانية‬ ‫الطلبة على مواصلة تعلمهم بسالســة مــن دون تعثر؛ فهي تذكرهم بالخبرات التعليم ّية التي امتلكوها ســاب ًقا‬ ‫وتســاعدهم على ربط الموضوعات الجديدة ببعضها رب ًطا وثي ًقا‪.‬إضافة إلى صلة كثير من أمثلتها ومســائلها‬ ‫بسياقات حيات ّية تح ِّفز الطلبة على تع ّلم الرياض ّيات بشغف وتجعله ذا معنى‪.‬‬ ‫ناجع في ترسيخ المفاهيم الرياضية لديهم وتعزيز طالقتهم‬ ‫ٌ‬ ‫تدرب الطلبة على َح ِّل المسائل ٌ‬ ‫نهج‬ ‫َّ‬ ‫وألن كثرة ُّ‬ ‫تضمن كتابا الطالــب والتمارين عد ًدا كاف ًيا من التدريبات؛ بهدف توثيق عالقة الطلبة بالكتاب‬ ‫اإلجرائ ّية فقد ّ‬ ‫المدرسي بصفته مرج ًعا موثو ًقا ورصينًا يغنيهم عن البحث عن أ ّية مراجع أو مصادر إضاف ّية‪ ،‬ويح ّقق العدالة‬ ‫ّ‬ ‫في التع ّلم‪.‬‬ ‫ونحن إذ نُقدِّ م هذا الكتاب‪ ،‬نؤ ّمل أن ينال إعجاب طلبتنا والكوادر التعليمية‪ ،‬ويجعل تعليم الرياضيات‬ ‫نستمر في تطويره في ضوء ما يصلنا من مالحظات سديدة‪.‬‬‫َّ‬ ‫وتع ُّلمها أكثر متع ًة وسهول ًة‪ ،‬ون َِعدُ ْ‬ ‫بأن‬ ‫المركز الوطني لتطوير المناهج‬  ‫قائمة المحتويات‬ ‫الوحدة ‪ 1‬االقترانات والمتتاليات والمتسلسالت ‪6‬‬ ‫الدرس ‪ 1‬االقترانات المتش ّعبة ‪8‬‬ ‫الدرس ‪ 2‬التحويالت الهندسية لالقترانات ‪20‬‬ ‫الدرس ‪ 3‬المتتاليات والمتسلسالت ‪31‬‬ ‫اختبار نهاية الوحدة ‪48‬‬ ‫ّ‬ ‫والمشتقات ‪48‬‬ ‫الوحدة ‪ 2‬النهايات‬ ‫الدرس ‪ 1‬النهايات واالتّصال ‪50‬‬ ‫الدرس ‪ 2‬مشت ّقة اقتران ّ‬ ‫القوة ‪66‬‬ ‫الدرس ‪ِ 3‬‬ ‫الق َيم العظمى والصغرى ‪77‬‬ ‫‪4‬‬  ‫قائمة المحتويات‬ ‫الدرس ‪ 4‬المشت ّقة الثانية وتطبيقاتها ‪86‬‬ ‫الدرس ‪ 5‬تطبيقات ِ‬ ‫الق َيم القصوى ‪96‬‬ ‫الدرس ‪ 6‬قاعدة السلسلة ‪108‬‬ ‫اختبار نهاية الوحدة ‪118‬‬ ‫الوحدة ‪ 3‬االحتماالت ‪120‬‬ ‫الدرس ‪ 1‬التباديل والتوافيق ‪122‬‬ ‫الدرس ‪ُ 2‬‬ ‫المتغ ِّيرات العشوائية ‪135‬‬ ‫اختبار نهاية الوحدة ‪146‬‬ ‫‪5‬‬ ‫االقترانات والمتتاليات والمتسلسالت‬ ‫الوحدة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Functions, Sequences, and Series‬‬ ‫ّ‬ ‫أهمية هذه‬ ‫ما‬ ‫الوحدة؟‬ ‫تُســتعمل االقترانات المتشــ ّعبة واقترانــات القيمة‬ ‫المطلقــة؛ لنمذجة مواقــف حياتية كثيرة‪ ،‬مثل حســاب‬ ‫أثمان المياه والكهرباء وفق شــرائح االستهالك المختلفة‪،‬‬ ‫أو حســاب ضريبة الدخل تب ًعا لشــرائح الدخل المتعدّ دة‪.‬‬ ‫مكــن نمذجة كثير من المواقــف الحياتية والعلمية‬‫وي ِ‬ ‫ُ‬ ‫باســتعمال المتتاليات والمتسلسالت؛ ما يساعد‬ ‫على تحليل تلك المواقف وفهمها‪.‬‬ ‫‪6‬‬  ‫ّ‬ ‫سأتعلم في هذه الوحدة‪:‬‬ ‫ً‬ ‫سابقا‪:‬‬ ‫ّ‬ ‫تعلمت‬ ‫◂  االقتران المتشــ ّعب واقتــران القيمة‬ ‫✔ تمثيل اقترانات كثيرات الحدود واالقترانات النسبية بيان ًّيا‪.‬‬ ‫المطلقة وتمثيلهما بيان ًّيا‪.‬‬ ‫✔  تمثيل منحنيات االقترانات التربيعية الناتجة عن تطبيق‬ ‫◂  تمثيــل االقترانــات بيان ًّيا باســتعمال‬ ‫تحويل هندسي أو أكثر على منحنى االقتران الرئيس‪.‬‬ ‫تحويــات االنســحاب والتمــدّ د‬ ‫✔ إكمال نمط عددي معطى‪.‬‬ ‫واالنعكاس‪.‬‬ ‫✔  إيجــاد الحــدّ العــام لـ ّ‬ ‫ـكل مــن‪ :‬المتتاليــة التربيعيــة‪،‬‬ ‫◂ المتسلسالت‪ ،‬وعالقتها بالمتتاليات‪.‬‬ ‫والمتتاليــة التكعيبيــة‪.‬‬ ‫◂ المتتاليات والمتسلسالت الحسابية‪.‬‬ ‫✔  التعبير عن األنماط الهندسية بمتتاليات عددية‪.‬‬ ‫أســتعمل تدريبات (أســتعد لدراســة الوحدة) في الصفحات )‪ (6-13‬من كتاب‬ ‫التمارين؛ لمراجعة هذه الموضوعات قبل البدء بدراسة الوحدة‪.‬‬ ‫‪7‬‬  ‫الدرس‬ ‫ّ‬ ‫المتشعبة‬ ‫االقترانات‬ ‫‪Piecewise Functions‬‬ ‫‪1‬‬ ‫تعرف االقتران المتش ّعب واقتران القيمة المطلقة وتمثيلهما بيان ًّيا‪ ،‬وتحديد مجال ّ‬ ‫كل منهما ومداه‪.‬‬ ‫ّ‬ ‫فكرة الدرس‬ ‫ ‬ ‫االقتران المتش ّعب‪ ،‬اقتران القيمة المطلقة‪ ،‬رأس االقتران‪.‬‬ ‫المصطلحات‬ ‫ ‬ ‫التعرفة‬ ‫شرائح االستهالك‬ ‫  ُيب ّيــن الجــدول المجــاور تعرفــة ثمــن الميــاه‬ ‫مسألة اليوم‬ ‫ ‬ ‫مقربة إلى أقرب ‪m‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ّ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪JD/m‬‬ ‫لالســتهالك المنزلــي فــي الــدورة الواحــدة‬ ‫‪0.361‬‬ ‫‪0 – 18‬‬ ‫لبعــض شــرائح االســتهالك‪.‬كــم تدفــع أســرة‬ ‫‪0.450‬‬ ‫‪19 - 36‬‬ ‫‪0.550‬‬ ‫‪37 - 54‬‬ ‫اســتهلكت ‪ 42 m3‬مــن المــاء؟‬ ‫‪1.000‬‬ ‫‪55 - 72‬‬ ‫‪1.200‬‬ ‫أكثر من ‪72‬‬ ‫االقتران المتشعب‬ ‫ُأالحظ في المسألة الســابقة‪ ،‬أنّه ال ُيمكن كتابة معادلة واحدة بداللة ّ‬ ‫كمية المياه المستهلكة ‪x‬‬ ‫خاصة ّ‬ ‫بكل واحدة من‬ ‫ِ‬ ‫يمكن من خاللها حساب ثمن المياه ألي ق َيم ‪x‬؛ لذا‪ ،‬نحتاج إلى معادلة ّ‬ ‫شرائح االستهالك‪.‬‬ ‫المعرف بقواعــد مختلفة عند أجــزاء مختلفة فــي مجاله اقترانًا متشــ ّع ًبا‬ ‫ّ‬ ‫ســمى االقتــران‬ ‫ُي ّ‬ ‫)‪.(piecewise function‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫‪⎧ -2x + 1   , -3 ≤ x < 1‬‬ ‫‪f(x) = ⎨ 2‬‬ ‫إذا كان‬ ‫‪⎩ x       , x ≥ 1‬‬ ‫‪ُ 1‬أحدّ د مجال )‪f(x‬‬ ‫معرف بالقاعدتين؛ األولى ‪ f(x) = -2x+1‬وتُســتعمل لحســاب ِق َيم‬ ‫ُأالحــظ ّ‬ ‫أن االقتران ّ‬ ‫االقتــران عندما تكون ‪ ،-3 ≤ x < 1‬والثانية ‪ f(x) = x2‬وتُســتعمل لحســاب ِق َيم االقتران‬ ‫عندما تكون ‪. x ≥ 1‬إذن‪ :‬مجال )‪ f(x‬هو الفترة )∞ ‪[-3 ,‬‬ ‫‪8‬‬  ‫الوحدة ‪1‬‬ ‫أجد قيمة )‪. f(-2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ُ‬ ‫أستعمل القاعدة األولى‪.‬‬ ‫بما ّ‬ ‫أن ‪-3 < -2 < 1‬؛ إذن‪:‬‬ ‫‪f(x) = -2x + 1‬‬ ‫القاعدة األولى‬ ‫‪f(-2) = -2(-2) +1‬‬ ‫بتعويض ‪x =-2‬‬ ‫‪=5‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫أجد قيمة )‪. f(1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ُ‬ ‫أستعمل القاعدة الثانية‪.‬‬ ‫بما ّ‬ ‫أن ‪1 ≤ 1‬؛ إذن‪:‬‬ ‫‪f(x) = x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫القاعدة الثانية‬ ‫بتعويض ‪x = 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪f(1) = (1‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫ُأم ّثل االقتران )‪ f(x‬بيان ًّيا‪ُ ،‬‬ ‫وأحدّ د مداه‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫الخطوة ‪ُ : 1‬أم ّثل ‪ f(x)= -2x + 1‬عندما ‪-3 ≤ x < 1‬‬ ‫أجد قيمة االقتران ‪ ،f(x)= -2x + 1‬عندما ‪ ،x = 1‬وعندما ‪ x = -3‬كما في الجدول اآلتي‪:‬‬ ‫ّ‬ ‫أتذكر‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫بما ّ‬ ‫أن ‪f(x) = -2x+1‬‬ ‫‪y = f(x)= -2x +1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫اقتران خ ّطي؛ لذا‪ ،‬تكفي‬ ‫)‪(x, y‬‬ ‫)‪(-3, 7‬‬ ‫)‪(1, -1‬‬ ‫نقطتان لتمثيله بيان ًّيا‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ُأع ّين النقطتين )‪ (-3, 7), (1, -1‬في المستوى اإلحداثي‬ ‫‪8‬‬ ‫أن العــدد )‪ُ (-3‬يح ّقــق المتباينة‬ ‫وأصــل بينهما‪ ،‬وبمــا ّ‬ ‫ّ‬ ‫أتذكر‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-3 ≤ x < 1‬؛ أبــدأ التمثيل بدائــرة مظ ّللة عنــد النقطة‬ ‫ُيم ّثل االقتران‬ ‫)‪ ،(-3, 7‬أ ّما العــدد )‪ (1‬فهو ال ُيح ّقق المتباينة؛ لذا‪ُ ،‬أنهي‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f(x) = ax +bx+c‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫مفتوحا إلى‬ ‫ً‬ ‫قط ًعــا مكاف ًئا‬ ‫‪-2‬‬ ‫التمثيل بدائرة غير مظ ّللة عند النقطة )‪.(1, -1‬‬ ‫األعلــى إذا كانــت قيمة‬ ‫ومفتوحــا إلــى‬ ‫ً‬ ‫‪،a > 0‬‬ ‫الخطوة ‪ُ : 2‬أم ّثل ‪ f(x) = x‬عندما ‪x ≥ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫األســفل إذا كانت قيمة‬ ‫منحنى االقتران ‪ f(x) = x‬عندما ‪ x ≥ 1‬هو جزء من منحنى قطع مكافئ مفتوح إلى األعلى‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ،a < 0‬و ُيمكــن إيجاد‬ ‫ِ‬ ‫أنشئ جدول ق َيم؛ ألرسم الجزء من منحنى القطع المكافئ‪ ،‬الذي يقع يمين العدد ‪1‬‬ ‫إحداث َيــي رأس القطــع‬ ‫المكافــئ علــى النحــو‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اآلتي‪:‬‬ ‫‪y = f(x) = x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫)‪(x, y‬‬ ‫)‪(1, 1‬‬ ‫)‪(2, 4‬‬ ‫)‪(3, 9‬‬ ‫)) ‪(-b , f( -b‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪9‬‬  ‫‪10‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ُأع ّيــن النقــاط )‪ (3, 9), (2, 4), (1, 1‬فــي المســتوى‬ ‫‪8‬‬ ‫أن العدد ‪ُ 1‬يح ّقق‬ ‫ٍ‬ ‫منحن‪ ،‬وبما ّ‬ ‫اإلحداثي‪ ،‬ثم أصل بينها بخط‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫المتباينة ‪ ،x ≥ 1‬إذن‪ :‬أبدأ التمثيل بدائرة مظ ّللة عند )‪.(1, 1‬‬ ‫بالنظر إلى التمثيل البياني؛ ُأالحظ ّ‬ ‫أن مدى هذا االقتران هو‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪ y > -1‬و ُيمكن التعبير عنه بالفترة )∞ ‪.(-1,‬‬ ‫ّ‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫‪⎧ 3x + 2   , x < 2‬‬ ‫⎪‬ ‫‪: f(x) = ⎨ 5     , x = 2‬‬ ‫إذا كان‬ ‫⎪‬ ‫‪⎩ 2x - 1   , x > 2‬‬ ‫)‪ b‬أجد قيمة ّ‬ ‫كل من )‪َ ،f(5‬و )‪f(2‬‬ ‫)‪ُ a‬أحدّ د مجال )‪f(x‬‬ ‫ ‬ ‫ُأم ّثل االقتران )‪ f(x‬بيان ًّيا‪ ،‬و ُأحدّ د مداه‪.‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫عطيت تمثيله البياني‪ ،‬كما يتّضح من المثال‬ ‫ُ‬ ‫أيضا أن أجد قاعدة االقتران المتش ّعب؛ إذا ُأ‬ ‫ُيمكنني ً‬ ‫اآلتي‪.‬‬ ‫ّ‬ ‫أتذكر‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫ميل المستقيم المار بالنقطتين‬ ‫أكتب قاعدة االقتران المتش ّعب )‪ f(x‬المم ّثل بيان ًّيا‬ ‫‪y‬‬ ‫ُ‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪ (x1, y1), (x2, y2‬هو‪:‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫في الشكل المجاور‪.‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫أكتــب االقتران الذي ُيم ّثــل ّ‬ ‫كل جزء في التمثيل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ُ‬ ‫ومعادلته بصيغــة الميل‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫البياني‪.‬‬ ‫والمقطع هي‪:‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪ ،y = mx + b‬حيــث‬ ‫أكتب القاعدة التي ُيم ّثلها الجزء األيسر في التمثيل البياني‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫الخطوة ‪: 1‬‬ ‫‪ m‬ميل المســتقيم‪ ،‬و ‪b‬‬ ‫الجزء األيســر في التمثيل البياني هــو اقتران خطي مقطعه مع المحــور ‪ y‬هو ‪ -1‬وميله ‪-1‬‬ ‫المقطــع ‪ ،y‬ومعادلتــه‬ ‫وباســتعمال صيغة الميل والمقطع فإن قاعدة هذا الجزء هي‪ ،f(x) = -x -1 :‬ووجود دائرة‬ ‫بصيغة الميل ونقطة هي‪:‬‬ ‫)‪y-y1 = m(x-x1‬‬ ‫مظ ّللة عند النقطة )‪ ،(0,-1‬يعني ّ‬ ‫أن هذه القاعدة تقابل الفترة ]‪ (-∞, 0‬من مجال )‪.f(x‬‬ ‫‪10‬‬  ‫الوحدة ‪1‬‬ ‫أكتب القاعدة التي ُيم ّثلها الجزء األوسط في التمثيل البياني‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫الخطوة ‪: 2‬‬ ‫الجزء األوسط في التمثيل البياني هو االقتران الثابت ‪ ،f(x) = 2‬ووجود دائرة مظ ّللة عند )‪،(2, 2‬‬ ‫أن هذه القاعدة تقابل الفترة ]‪ (0, 2‬من مجال )‪.f(x‬‬ ‫ودائرة غير مظ ّللة عند )‪ ،(0, 2‬يعني ّ‬ ‫ّ‬ ‫أتعلم‬ ‫أكتب القاعدة التي ُيم ّثلها الجزء األيمن في التمثيل البياني‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫الخطوة ‪: 3‬‬ ‫بما أن المقطــع ‪ y‬للجزء‬ ‫الجــزء األيمن في التمثيــل البياني اقتران خطي ميله ‪ 0.5‬وباســتعمال صيغــة الميل ونقطة‪،‬‬ ‫األيمــن مــن االقتران ال‬ ‫فإن قاعدة هــذا الجزء هي‪ ،f(x) - 4 = 0.5 (x – 4) :‬ويمكن إعــادة كتابتها على الصورة‪:‬‬ ‫يظهر في التمثــل البياني‬ ‫‪ ،f(x) = 0.5x + 2‬ووجود دائرة غير مظ ّللة عنــد )‪ ،(2, 3‬يعني ّ‬ ‫أن هذه القاعدة تقابل الفترة‬ ‫مثل الجزء األيســر‪ ،‬أبدأ‬ ‫)∞ ‪ (2,‬من مجال االقتران )‪.f(x‬‬ ‫بكتابة قاعــدة هذا الجزء‬ ‫إذن‪ :‬تكون قاعدة هذا االقتران المتش ّعب على النحو اآلتي‪:‬‬ ‫من التمثيل بصيغة الميل‬ ‫ونقطــة ً‬ ‫أواًل‪ ،‬ثــم أعيد‬ ‫‪⎧ -x - 1   , x ≤ 0‬‬ ‫كتابتــه بصــورة الميــل‬ ‫⎪‬ ‫‪f(x) = ⎨ 2      , 0 < x ≤ 2‬‬ ‫والمقطع‪.‬‬ ‫⎪‬ ‫‪⎩ 0.5x + 2   , x > 2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ّ‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫‪5‬‬ ‫أكتــب قاعدة االقتــران )‪ f(x‬المم ّثل بيان ًّيا في الشــكل‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ُ‬ ‫‪2‬‬ ‫المجاور‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-2 -1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ُيمكن نمذجة كثير من المواقف الحياتية باستعمال االقترانات المتش ّعبة‪.‬‬ ‫مثال ‪ : 3‬من الحياة‬ ‫أجرة ســاعة العمل الواحــدة في إحدى الشــركات ‪ 4‬دنانير خالل‬ ‫أوقات العمل النظامية المعتادة ضمن ‪ 40‬ســاعة عمل في األسبوع‪.‬‬ ‫وتدفع الشركة ّ‬ ‫لكل ساعة عمل إضافي فوق ذلك أجرة ساعة ونصف من‬ ‫ّ‬ ‫أتعلم‬ ‫أكتب اقترانًا لحساب األجرة األسبوعية لعامل اشتغل ‪ x‬ساعة في أسبوع‪.‬‬ ‫ساعات العمل المعتاد‪ُ.‬‬ ‫أجــرة ســاعة العمــل‬ ‫اإلضافي تســاوي أجرة‬ ‫يوجد في المسألة قاعدتان لحساب األجرة؛ تب ًعا لعدد ساعات العمل‪.‬‬ ‫ساعة ونصف من العمل‬ ‫عدد الساعات‬ ‫األجرة‬ ‫النظامي‪.‬‬ ‫‪0 ≤ x ≤ 40‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪4 × 1.5 = 6‬‬ ‫‪x > 40‬‬ ‫)‪4(40) + 6(x - 40‬‬ ‫‪11‬‬  ‫إذن‪ :‬اقتران األجرة هو‪:‬‬ ‫‪⎧ 4x     , 0 ≤ x ≤ 40‬‬ ‫⎨ = )‪f(x‬‬ ‫‪⎩ 6x-80 , x > 40‬‬ ‫ّ‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫زادت شــركة رواتب موظفيها الشهرية وفق األســس اآلتية‪ :‬الرواتب التي ّ‬ ‫تقل عن ‪ 400‬دينار‬ ‫زيدت بنســبة ‪ ،15%‬والرواتب من ‪ 400‬دينار إلى ّ‬ ‫أقل من ‪ 600‬دينار زيدت بنسبة ‪ ،10%‬مع‬ ‫أكتب اقترانًا‬ ‫ُ‬ ‫دينارا‪.‬‬ ‫دينارا‪ ،‬والرواتب من ‪ 600‬دينار وأكثر زيــدت ‪ً 80‬‬ ‫عالوة ثابتة بقيمــة ‪ً 20‬‬ ‫متش ّع ًبا لحساب الراتب الجديد لمو ّظفي الشركة‪.‬‬ ‫ّ‬ ‫أتذكر‬ ‫اقتران القيمة المطلقة‬ ‫ألي عدد‬ ‫القيمة المطلقة ّ‬ ‫اقتــران القيمة المطلقــة )‪ (absolute value function‬هو اقتران يحتــوي على قيمة مطلقة‬ ‫حقيقــي ‪ x‬والتــي ُيرمز‬ ‫لمقدار جبري‪ ،‬ومن أمثلته‪:‬‬ ‫إليها بالرمز |‪ |x‬تســاوي‬ ‫بعده عن الصفر على خط‬ ‫‪f(x) = 2|x| + 3 ,   f(x) = |x - 2x-3| ,   f(x) = x + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫|‪|2x - 6‬‬ ‫األعداد‪ ،‬وبما ّ‬ ‫أن البعد ال‬ ‫ومن أبسط اقترانات القيمة المطلقة االقتران |‪ ، f(x) = |x‬و ُيمكن كتابته بصورة اقتران متش ّعب‬ ‫يكون ســال ًبا‪ ،‬فإنه توجد‬ ‫كما يأتي‪:‬‬ ‫حالتان‪:‬‬ ‫‪|x|= x , x ≥ 0‬‬ ‫‪⎧ -x , x < 0‬‬ ‫⎨ = |‪f(x) = |x‬‬ ‫‪|x|= -x , x < 0‬‬ ‫‪⎩ x    , x ≥ 0‬‬ ‫مثال عددي‪:‬‬ ‫أي اقتران قيمة مطلقة على صورة اقتران متشــ ّعب‪ ،‬من دون استعمال رمز‬ ‫ُســمى إعادة كتابة ّ‬ ‫ت ّ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪|- 2 | = |+ 2 | = 2‬‬ ‫القيمة المطلقة‪ ،‬إعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة‪.‬‬ ‫مثال ‪4‬‬ ‫أعيد تعريف اقتران القيمة المطلقة‪f(x) = |2x + 4| :‬‬ ‫ُأساوي ما في داخل رمز القيمة المطلقة بالصفر‪ ،‬ثم ّ‬ ‫أحل المعادلة الناتجة‪:‬‬ ‫الخطوة ‪: 1‬‬ ‫‪2x + 4 = 0‬‬ ‫بمساواة ما في داخل رمز القيمة المطلقة بالصفر‬ ‫‪2x + 4 -4 = 0 - 4‬‬ ‫بطرح ‪4‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫بالقسمة على ‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x = -2‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪12‬‬  ‫الوحدة ‪1‬‬ ‫ُأع ّين صفر المعادلة على خط األعداد‪ ،‬ثم ُأحدّ د اإلشارة على جانبيه‪.‬‬ ‫الخطوة ‪: 2‬‬ ‫ثم ُأحدّ د اإلشــارة على جان َبيه‪ ،‬وذلك بتعويض‬ ‫ُأع ّين صفر المعادلة )‪ (-2‬على خط األعداد‪ّ ،‬‬ ‫ّ‬ ‫أتعلم‬ ‫دائما‪ ،‬ما يعني ّ‬ ‫أي قيمة ّ‬ ‫أقل من ‪ -2‬في ‪ 2x + 4‬ألجد ّ‬ ‫يأخــذ االقتــران الخ ّطي‬ ‫أن اإلشــارة‬ ‫أن ناتج التعويض ســالب ً‬ ‫ّ‬ ‫يمين صفره إشارة معامل‬ ‫أي قيمة أكبر من ‪ -2‬في ‪ 2x + 4‬ألجد ّ‬ ‫أن ناتج التعويض موجب‬ ‫يسار ‪ -2‬ســالبة‪.‬و ُأ ّ‬ ‫عوض ّ‬ ‫‪ x‬نفسها‪ ،‬ويســار صفره‬ ‫دائما‪ ،‬ما يعني ّ‬ ‫أن اإلشارة يمين ‪ -2‬موجبة‪.‬‬ ‫ً‬ ‫عكس إشارة معامل ‪.x‬‬ ‫‪--------‬‬ ‫‪++++++++‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫∞‬ ‫أكتب قاعدتَي االقتران حسب إشارة يمين صفر المعادلة ويساره‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫الخطوة ‪: 3‬‬ ‫وأكتب في الجزء‬ ‫ُ‬ ‫أكتب ما في داخل رمز القيمة المطلقة كما هو دون تغيير في الجزء الموجب‪،‬‬ ‫ُ‬ ‫السالب ما في داخل رمز القيمة المطلقة مضرو ًبا في ‪-1‬‬ ‫)‪-(2x + 4‬‬ ‫‪2x + 4‬‬ ‫‪--------‬‬ ‫‪++++++++‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫∞‬ ‫ّ‬ ‫أتعلم‬ ‫أكتب قاعدة االقتران المتش ّعب‪.‬‬ ‫أيضا كتابة االقتران‬ ‫يمكن ً‬ ‫ُ‬ ‫الخطوة ‪: 4‬‬ ‫)‪ f(x‬بالصورة اآلتية‪:‬‬ ‫‪⎧ -2x - 4   , x < -2‬‬ ‫⎨ = )‪f(x‬‬ ‫‪⎧ -2x - 4 , x ≤ -2‬‬ ‫⎨ = )‪f(x‬‬ ‫‪⎩ 2x + 4    , x ≥ -2‬‬ ‫‪⎩ 2x + 4 , x > -2‬‬ ‫ّ‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫ُأعيد تعريف اقتران القيمة المطلقة‪f(x) = |3x - 9| :‬‬ ‫تمثيل اقتران القيمة المطلقة بيان ًّيا‬ ‫يتكــون التمثيل البياني القتران القيمة المطلقة الذي علــى الصورة ‪،f(x) = a|mx+b|+c‬‬ ‫ّ‬ ‫حيث ‪ ،m ≠ 0, a ≠ 0‬من شــعاعين على شــكل حرف ‪ V‬متماثلين حول المحور ‪،x = -b‬‬ ‫‪m‬‬ ‫ورأس االقتــران )‪ (function vertex‬هو النقطة التي يصل عندها إلى أعلى قيمة أو ّ‬ ‫أقل قيمة‬ ‫وإحداثياها )‪.(-b , c‬‬ ‫‪m‬‬ ‫ُيمكن تمثيل اقتران القيمة المطلقة بيان ًّيا باستعمال محور التماثل والرأس‪.‬‬ ‫‪13‬‬  ‫مثال ‪5‬‬ ‫مما يأتي‪ ،‬وأحدّ د مجاله ومداه‪:‬‬ ‫ُأم ّثل بيان ًّيا ّ‬ ‫كل اقتران ّ‬ ‫‪1‬‬ ‫|‪f(x) = |x‬‬ ‫الخطوة ‪ : 1‬أجد إحداث َيي نقطة رأس االقتران‪ ،‬ومعادلة محور التماثل‪.‬‬ ‫)‪ ( -b , c‬‬ ‫إحداث ّيا نقطة الرأس‬ ‫‪m‬‬ ‫(=‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪, 0‬‬ ‫بتعويض ‪b = 0, m = 1, c = 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪= (0,0‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫إذن‪ ،‬إحداثيا نقطة الرأس )‪ ،(0, 0‬ومعادلة محور التماثل ‪( x = 0‬المحور ‪.)y‬‬ ‫الخطوة ‪ُ :2‬أحدّ د قيمتين للمتغ ّير ‪ x‬حول محور التماثل‪ ،‬ثم أجد صورتيهما‪.‬‬ ‫(مثاًل ‪ )1‬وقيمة أخرى ّ‬ ‫أقل‬ ‫أن محور التماثل ‪ ،x = 0‬أختار قيمة للمتغ ّير ‪ x‬أكبر من ‪ً 0‬‬ ‫بمــا ّ‬ ‫من ‪ً 0‬‬ ‫(مثاًل ‪ ،)-1‬ثم أجد صورتيهما في االقتران‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫|‪f(x) = |x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(x, y‬‬ ‫)‪(-1, 1‬‬ ‫)‪(1, 1‬‬ ‫ﳏﻮر اﻟﺘﲈﺛﻞ‬ ‫الخطوة ‪ُ :3‬أم ّثل النقطتين والرأس بيان ًّيا‪.‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ُأم ّثل النقطتين والرأس في المستوى اإلحداثي‪ ،‬وأصل‬ ‫|‪f(x) = |x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫بين النقاط الثالث بشكل ‪.V‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ُيالحظ من التمثيــل البياني ّ‬ ‫أن المجــال هو مجموعة‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫األعداد الحقيقية‪ ،‬وأن المدى )∞ ‪.[0,‬‬ ‫‪14‬‬  ‫الوحدة ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f(x) = -|x + 2| + 3‬‬ ‫الخطوة ‪ :1‬أجد إحداث َيي نقطة رأس االقتران‪ ،‬ومعادلة محور التماثل‪.‬‬ ‫إذن‪ ،‬إحداثيا نقطة الرأس )‪ ،(-2, 3‬ومعادلة محور التماثل ‪.x = -2‬‬ ‫ّ‬ ‫أتعلم‬ ‫الخطوة ‪ُ : 2‬أحدّ د قيمتين للمتغ ّير ‪ x‬حول محور التماثل‪ ،‬ثم أجد صورتيهما‪.‬‬ ‫يكــون اقتــران القيمــة‬ ‫(مثاًل ‪ )-1‬وقيمة أخرى ّ‬ ‫أقل‬ ‫أن محور التماثل ‪ ،x = -2‬أختار قيمة للمتغ ّير ‪ x‬أكبر من ‪ً -2‬‬ ‫بما ّ‬ ‫المطلقــة علــى الصورة‬ ‫من ‪ً -2‬‬ ‫(مثاًل ‪ ،) -3‬ثم أجد صورتيهما في االقتران‪.‬‬ ‫‪، f(x) = a|mx+b|+c‬‬ ‫حيــث ‪،m ≠ 0, a ≠ 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫مفتوحا إلــى األعلى إذا‬ ‫ً‬ ‫‪f(x) = -|x + 2| + 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ومفتوحا‬ ‫ً‬ ‫كانــت ‪،a > 0‬‬ ‫إلــى األســفل إذا كانت‬ ‫)‪(x, y‬‬ ‫)‪(-3, 2‬‬ ‫)‪(-1, 2‬‬ ‫‪.a < 0‬‬ ‫ﳏﻮر اﻟﺘﲈﺛﻞ‬ ‫الخطوة ‪ُ : 3‬أم ّثل النقطتين والرأس بيان ًّيا‪.‬‬ ‫‪x = -2‬‬ ‫ُأم ّثل النقطتين والرأس في المســتوى اإلحداثي‪ ،‬وأصل‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪(-2, 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(-1, 2‬‬ ‫بين النقاط الثالث بشكل ‪ V‬مقلوب‪.‬‬ ‫)‪(-3, 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ُأالحــظ من التمثيــل البياني ّ‬ ‫أن المجــال هو مجموعة‬ ‫‪-6 -5 -4 -3 -2 -1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫األعداد الحقيقية‪ّ ،‬‬ ‫وأن المدى ]‪.(-∞, 3‬‬ ‫ّ‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫مما يأتي‪ ،‬وأحدّ د مجاله ومداه‪:‬‬ ‫ُأم ّثل بيان ًّيا ّ‬ ‫كل اقتران ّ‬ ‫|‪a) f(x) = |2x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b) f(x) = |2 -‬‬ ‫|‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ُيمكن إيجاد قاعدة اقتران القيمة المطلقة لمقدار خ ّطي؛ إذا ُأعطي تمثيله البياني‪.‬‬ ‫‪15‬‬  ‫مثال ‪6‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ـب قاعــدة اقتــران القيمــة المطلقــة )‪ f(x‬المم ّثــل بيان ًّيــا‬ ‫أكتـ ُ‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫فــي الشــكل المجــاور‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫يظهر من الشــكل ّ‬ ‫أن التمثيل البياني القتــران القيمة المطلقة‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪ f(x‬على شــكل حرف ‪V‬؛ لــذا‪ُ ،‬يمكن كتابــة قاعدته على‬ ‫‪-2‬‬ ‫الصورة ‪.f(x) = a|mx + b| + c‬حيث ‪ m‬ميل المستقيم‬ ‫‪ ،y = mx + b‬وإحداثيا الرأس )‪.(-b , c‬‬ ‫‪m‬‬ ‫الخطوة ‪ :1‬أجد ميل المعادلة الخ ّطية داخل رمز القيمة المطلقة‪.‬‬ ‫يمر في النقطتين )‪ (5, 4‬و)‪ ،(3, 0‬ومنه ّ‬ ‫فإن ميله‪:‬‬ ‫ُأالحظ من التمثيل البياني ّ‬ ‫أن الشعاع األيمن ّ‬ ‫‪y2 - y1 4 - 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪= =2‬‬ ‫‪x2 - x1 5 - 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الخطوة ‪ :2‬أجد إحداث َيي نقطة الرأس‪ ،‬ثم ُأ ّ‬ ‫عوض الميل وإحداث َيي نقطة الرأس في قاعدة االقتران‪.‬‬ ‫يظهر من التمثيل البياني أن النقطــة )‪ (3, 0‬تمثل رأس التمثيل البياني القتران القيمة المطلقة‪،‬‬ ‫إذن‪ُ :‬يمكن إيجاد قيمة ‪ b‬من اإلحداثي ‪ x‬للرأس كما يأتي‪:‬‬ ‫‪-b‬‬ ‫اإلحداثي ‪ x‬للرأس‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪-b‬‬ ‫بتعويض ‪ m = 2‬و ‪x = 3‬‬ ‫=‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-b = 6‬‬ ‫بالضرب التبادلي‬ ‫‪b = -6‬‬ ‫بالقسمة على ‪-1‬‬ ‫وبتعويض إحداث َيي نقطة الرأس والميل وقيمة ‪ b‬في قاعدة االقتران؛ ّ‬ ‫فإن‪:‬‬ ‫‪f(x) = a|2x - 6| + 0‬‬ ‫|‪f(x) = a|2x - 6‬‬ ‫‪16‬‬  ‫الوحدة ‪1‬‬ ‫أجد قيمة ‪.a‬‬ ‫الخطوة ‪:3‬‬ ‫ّ‬ ‫أتعلم‬ ‫عوض في قاعــدة االقتران إحداث َيي نقطة تقع علــى منحنى االقتران ( ً‬ ‫مثاًل‪:‬‬ ‫إليجــاد قيمة ‪a‬؛ ُأ ّ‬ ‫مــن الســهل تعويــض‬ ‫ّ‬ ‫وأحل المعادلة الناتجة‪.‬‬ ‫)‪،)(0, 6‬‬ ‫نقطة تقاطــع االقتران مع‬ ‫المحور ‪ y‬إليجاد قيمة ‪a‬؛‬ ‫|‪f(x) = a|2x - 6‬‬ ‫قاعدة االقتران‬ ‫ّ‬ ‫ألن قيمة ‪ x‬فيها تســاوي‬ ‫|‪6 = a|2(0) - 6‬‬ ‫بتعويض )‪(0, 6‬‬ ‫صفرا‪.‬‬ ‫ً‬ ‫‪6 = 6a‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪a=1‬‬ ‫بالقسمة على ‪6‬‬ ‫إذن‪ :‬قاعدة االقتران هي‪. f(x) = |2x-6| :‬‬ ‫ّ‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫أكتب قاعدة اقتــران القيمة المطلقة )‪ f(x‬المم ّثل بيان ًّيا في‬ ‫ُ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الشكل المجاور‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫وأحل المسائل‬ ‫ّ‬ ‫أتدرب‬ ‫ّ‬ ‫‪⎧ 3x2   , x < -1‬‬ ‫⎪‬ ‫‪ ، f(x) = ⎨ 4x - 3   , -1 ≤ x ≤ 4‬فأجد ًّ‬ ‫كاًّل من‪:‬‬ ‫إذا كان‬ ‫⎪‬ ‫‪⎩ 2    , x > 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f(-2) 2‬‬ ‫ )‪f(-1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪f(0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪f(4) 5‬‬ ‫ )‪f(8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪f(5‬‬ ‫ُأعيد تعريف ّ‬ ‫كل من االقترانات اآلتية‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪f(x) = |3x - 6| 8‬‬ ‫‪f(x) = |7x - 5| + 3‬‬ ‫‪17‬‬  ‫ال من االقترانات اآلتية بيان ًّيا‪ُ ،‬‬ ‫وأحدّ د مجالها ومداها‪:‬‬ ‫ُأم ّثل ك ًّ‬ ‫   ‪⎧ 3-2x‬‬ ‫‪, x < -1‬‬ ‫⎪‬ ‫‪⎧ 3    ,x = 1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ ‪f(x) = ⎨ 6    , -1 ≤ x ≤ 3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫⎨ = )‪f(x‬‬ ‫‪⎪ 2‬‬ ‫‪⎩ -x + 2 , x ≠ 1‬‬ ‫‪⎩ x     , x > 3‬‬ ‫‪⎧ x+2 , x ≠ 2‬‬ ‫‪⎧ 2  , x ≤ 3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫⎨ = )‪f(x‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫⎨ = )‪f(x‬‬ ‫‪⎩ 6    , x = 2‬‬ ‫‪⎩ -2 , x > 3‬‬ ‫ |‪13 f(x) = -|2x - 4‬‬ ‫‪14 f(x) = |x - 4| + 1‬‬ ‫أكتب قاعدة االقتران المتش ّعب المم ّثل بيان ًّيا في ّ‬ ‫كل من األشكال اآلتية‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ ‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪   17‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫أكتب قاعدة اقتران القيمة المطلقة المم ّثل بيان ًّيا في ّ‬ ‫كل من األشكال اآلتية‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫  ‬ ‫‪20‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-2 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫خيمة‪ُ :‬يم ّثــل منحنــى االقتــران ‪ f(x) = -1.4 |x - 2.5| + 3.5‬حافتَي الوجه‬ ‫األمامي لخيمة‪ ،‬و ُيم ّثل العمود الذي ّ‬ ‫يتوســط الوجه األمامي للخيمة محور التماثل‪،‬‬ ‫ّأما المحور ‪ x‬ف ُيم ّثله سطح األرض‪.‬‬ ‫‪ 22‬أجد مجال االقتران ومداه‪.‬‬ ‫‪ُ 21‬أم ّثل االقتران بيان ًّيا‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪18‬‬  ‫الوحدة ‪1‬‬ ‫عاصفة‪ :‬تبدأ العاصفة المطرية بالهطل على شكل رذاذ ثم يزداد معدل الهطل‪ ،‬ثم‬ ‫تعود ثانية للهطل على شكل رذاذ‪ ،‬و ُيم ّثل االقتران ‪،r(t) = -0.5|t-1| + 0.5‬‬ ‫معدل الهطل ‪( r‬باإلنش ّ‬ ‫لكل ساعة)‪ ،‬حيث ‪ t‬الزمن بالساعات منذ بداية الهطل‪.‬‬ ‫‪ُ 23‬أم ّثل اقتران معدّ ل الهطل بيان ًّيا‪.‬‬ ‫‪ 24‬أجد كم ساعة استمر الهطل‪.‬‬ ‫‪ 25‬بعد كم ساعة كان أعلى معدل هطل؟ ُأ ّبرر إجابتي‪.‬‬ ‫كمية مستهلكة‪.‬‬ ‫ألي ّ‬ ‫وأكتب االقتران المتش ّعب الذي ُيمكنني استعماله لحساب ثمن المياه ّ‬ ‫ُ‬ ‫‪ 26‬أعود إلى مسألة اليوم‪،‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫أي اآلتية تُم ّثل منحنى االقتران |‪f(x) = |2x-5‬؟ ُأ ّبرر إجابتي‪:‬‬ ‫‪ 27‬تبرير‪ّ :‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪–6 –4 –2 0‬‬ ‫‪2 4 6 8‬‬ ‫‪–8 –6 –4 –2 0‬‬ ‫‪2 4 6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪–3 –2 –1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫‪–4‬‬ ‫‪–2 –1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫تحدٍّ ‪ُ :‬يمكن كتابة المقدار ‪ x + px - q‬على الصورة ‪(x-2.5) - 0.25‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 28‬أجد قيمة ّ‬ ‫كل من ‪ ،p‬و ‪.q‬‬ ‫‪  29‬أجد إحداث َيي ّ‬ ‫كل من نقطتَي تقاطع منحنى |‪ f(x) = |x2 + px - q‬مع محور ‪.x‬‬ ‫‪19‬‬  ‫الدرس‬ ‫التحويالت الهندسية لالقترانات‬ ‫‪Transformations of Functions‬‬ ‫‪2‬‬ ‫رسم منحنيات اقترانات باستعمال التحويالت الهندسية‪ ،‬وكتابة معادلة التحويل لمنحنى معطى‪.‬‬ ‫فكرة الدرس‬ ‫ ‬ ‫ عائلة االقترانات‪ ،‬االقتران الرئيس‪ ،‬االنســحاب الرأســي‪ ،‬االنســحاب األُفقي‪ ،‬االنعكاس‪ ،‬التمدّ د‬ ‫المصطلحات‬ ‫ ‬ ‫‪16 y‬‬ ‫الرأسي‪ ،‬التمدّ د األُفقي‪.‬‬ ‫‪14‬‬ ‫  ُيم ّثــل االقتران ‪x +1, x ≥ 0‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= )‪ C(x‬درجة الحرارة‬ ‫‪2‬‬ ‫مسألة اليوم‬ ‫ ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ ˚C‬في أحد أيام الشــتاء في مدينة الشوبك‪ ،‬و ُيم ّثل االقتران‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ T(x) = x2, x ≥ 0‬درجــة الحرارة في مدينة الســلط في‬ ‫‪C(x) = 1 x 2+ 1, x ≥ 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اليوم نفســه‪ ،‬حيث ‪ x‬عدد الســاعات بعد شروق الشمس‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪T(x) = x 2, x ≥ 0‬‬ ‫‪-4 -2 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫بالنظر إلى التمثيل البيانــي لالقترانين الذي يظهر جان ًبا‪ ،‬ما‬ ‫‪-2‬‬ ‫العالقة بين منحنيي االقترانين )‪ C(x‬و)‪T(x‬؟‬ ‫االقترانات الرئيسة‬ ‫عائلــة االقترانــات (‪ )family of functions‬هــي مجموعــة االقترانــات التي تتشــابه‬ ‫ســمى أبســط اقترانات هذه العائلــة االقتران الرئيس‬ ‫منحنياتهــا في صفة واحدة أو أكثر‪ ،‬و ُي ّ‬ ‫فمثاًل‪ ،‬االقتران الرئيس لعائلة االقترانات الخ ّطية هو ‪ ،f(x) = x‬ومن‬ ‫(‪ً.)parent function‬‬ ‫أمثلة اقترانات هذه العائلة االقترانات اآلتية‪:‬‬ ‫‪h(x) = x + 3 ,  g(x) = 5x ,  j(x) = -7x + 1‬‬ ‫وفي ما يأتي بعض االقترانات الرئيسة األكثر شيو ًعا‪:‬‬ ‫اقتران القيمة المطلقة الرئيس‬ ‫اقتران الجذر التربيعي الرئيس‬ ‫االقتران التكعيبي الرئيس‬ ‫االقتران التربيعي الرئيس‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫|‪f(x) = |x‬‬ ‫‪f(x) = √x‬‬ ‫‪f(x) = x‬‬ ‫‪f(x) = x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y f(x) = √x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f(x) = x 3 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2 -1‬‬ ‫‪1 2 x‬‬ ‫‪-2 -1‬‬ ‫‪1 2 x‬‬ ‫‪-2 -1‬‬ ‫‪1 2 x‬‬ ‫‪-2 -1‬‬ ‫‪1 2 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪f(x) = x 2‬‬ ‫|‪-2 f(x) = |x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪20‬‬  ‫الوحدة ‪1‬‬ ‫تساعد معرفة شكل منحنى االقتران الرئيس على تحليل وتمثيل منحنيات اقترانات أكثر تعقيدً ا‬ ‫ناتجة عن تطبيق تحويل هندسي أو أكثر على منحنى االقتران الرئيس‪ ،‬فبعض هذه التحويالت‬ ‫ُيغ ّير موقع المنحنى فقط وال ُيغ ّير في شــكله وأبعاده‪ ،‬مثل تحويالت االنعكاس واالنسحاب‪.‬‬ ‫وبعضها ُيغ ّير شــكل المنحنى بحيث يبدو أوسع من منحنى االقتران الرئيس أو أضيق منه‪ ،‬مثل‬ ‫تحويالت التمدد‪.‬‬ ‫االنسحاب الرأسي‬ ‫االنسحاب الرأسي (‪ )vertical shift‬هو تحويل هندســي ينقل منحنى االقتران إلى األعلى‬ ‫عند إضافة ثابت موجب إلى االقتران‪ ،‬وإلى األسفل عند طرح ثابت موجب من االقتران‪.‬‬ ‫ّ‬ ‫أتعلم‬ ‫االنسحاب الرأسي‬ ‫مفهوم أساسي‬ ‫في االنســحاب الرأسي‪،‬‬ ‫إذا كان ‪ f‬اقترانًا وكان ‪ c‬عد ًدا حقيق ًّيا موج ًبا؛ ّ‬ ‫فإن‪:‬‬ ‫يزيــد اإلحداثــي ‪ّ y‬‬ ‫لكل‬ ‫نقطــة علــى منحنــى‬ ‫مزاحا إلى األعلى ‪ c‬وحدة‪.‬‬ ‫·منحنى ‪ g(x) = f(x) + c‬هو منحنى )‪ً f(x‬‬ ‫‪g(x) = f(x) + c, c >0‬‬ ‫مزاحا إلى األسفل ‪ c‬وحدة‪.‬‬ ‫·منحنى ‪ g(x) = f(x) - c‬هو منحنى )‪ً f(x‬‬ ‫بمقــدار ‪ c‬وحــدة على‬ ‫‪y‬‬ ‫‪g(x) = f(x)+ c‬‬ ‫‪y‬‬ ‫اإلحداثــي ‪ y‬للنقطــة‬ ‫المقابلــة لهــا علــى‬ ‫‪c‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫منحنــى )‪ ،f(x‬وبالمثــل‬ ‫‪c‬‬ ‫فــإن اإلحداثــي ‪ّ y‬‬ ‫لكل‬ ‫ّ‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫نقطــة علــى منحنــى‬ ‫‪g(x)=f(x)-c, c > 0‬‬ ‫‪g(x) = f(x)-c‬‬ ‫يقل بمقــدار ‪ c‬وحدة عن‬ ‫ّ‬ ‫اإلحداثي ‪ y‬للنقطة المقابلة‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫لها على منحنى )‪f(x‬‬ ‫أستعمل منحنى االقتران الرئيس ‪ f(x) = x2‬لتمثيل ّ‬ ‫كل من االقترانات اآلتية بيان ًّيا‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪g(x) = x + 3‬‬ ‫منحنــى ‪ g(x) = x + 3‬هــو منحنــى ‪f(x) = x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪g(x)=x 2+3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(-2, 7‬‬ ‫)‪(2, 7‬‬ ‫مزاحــا ‪ 3‬وحدات إلى األعلى؛ لذا‪ّ ،‬‬ ‫فإن اإلحداثي ‪y‬‬ ‫ً‬ ‫‪5‬‬ ‫ّ‬ ‫لكل نقطة على منحنى ‪ g‬يزيد بمقدار ‪ 3‬وحدات على‬ ‫)‪(-2, 4‬‬ ‫)‪(2, 4‬‬ ‫)‪(0, 3‬‬ ‫اإلحداثــي ‪ y‬للنقطة المقابلة لها على منحنى ‪ ، f‬كما‬ ‫‪2‬‬ ‫في الشكل المجاور‪.‬‬ ‫‪f(x) = x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪21‬‬  ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪g(x) = x - 4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪f(x)=x 2‬‬ ‫منحنــى ‪ g(x) = x - 4‬هو منحنــى ‪f(x) = x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(-2, 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫مزاحا ‪ 4‬وحدات إلى األسفل؛ لذا‪ّ ،‬‬ ‫)‪(2, 4‬‬ ‫فإن اإلحداثي ‪y‬‬ ‫ً‬