Matrix 3.5A Hoofdstuk 4 Vergelijkingen en Ongelijkheden PDF

# Vergelijkingen en ongelijkheden ## 4.1 Vergelijkingen van de eerste graad in één onbekende ### 1 Van gelijkheid naar vergelijking - De uitspraken 3.5-8=7 en 8-3=12 noem je een gelijkheid. - Een gelijkheid is een uitspraak bestaande uit twee getallenuitdrukkingen, gescheiden door het gelijkheids...

# Vergelijkingen en ongelijkheden ## 4.1 Vergelijkingen van de eerste graad in één onbekende ### 1 Van gelijkheid naar vergelijking - De uitspraken 3.5-8=7 en 8-3=12 noem je een gelijkheid. - Een gelijkheid is een uitspraak bestaande uit twee getallenuitdrukkingen, gescheiden door het gelijkheidsteken. - Vervang je in de gelijkheid 3.5-8=7 de factor 5 door de letter x, dan bekom je de uitspraak 3x-8=7. - Dit is geen propositie omdat je de waarheidswaarde van de uitspraak niet kent. - De waarheidswaarde van de uitspraak hangt af van de waarde van x. - Een dergelijke uitspraak noem je een predicaat. - Stelt x een reëel getal voor, dan noem je het predicaat 3x-8 = 7 een vergelijking in de onbekende x. - Neemt x de waarde 5 aan, dan is de uitspraak 3.x - 8 = 7 waar. - Je zegt: 5 is een oplossing van de vergelijking 3.x-8=7. - Neemt x de waarde 6 aan, dan is de uitspraak 3.x-8 = 7 niet waar, want 3.6-8 = 10 ≠ 7. - Je zegt: 6 is geen oplossing van de vergelijking 3x-8=7. - De oplossingenverzameling van de vergelijking x² = 49 bevat de getallen -7 en 7. - Geen enkel reëel getal voldoet aan de vergelijking x² = -25 omdat het linkerlid steeds positief is en het rechterlid steeds negatief. - De oplossingenverzameling bevat geen enkel reëel getal. ### 2 Een vergelijking van de eerste graad in één onbekende oplossen - Als je de vergelijking 5.(x+3)-6 = 2x + 1 herleidt naar nul en het linkerlid uitwerkt, bekom je na vereenvoudiging: 3x+8 = 0. - Je noemt daarom de vergelijking 5.(x+3)-6 = 2x + 1 een vergelijking van de eerste graad in x. - Een vergelijking van de eerste graad in één onbekende x is een vergelijking die te herleiden is tot de basisvorm ax + b = 0 met a ∈ R, b ∈ R. - Een vergelijking van de eerste graad in één onbekende oplossen betekent alle waarden zoeken van de onbekende die voldoen aan de vergelijking. ### 3 Bijzondere vergelijkingen van de vorm ax + b = 0 (a, b ∈ R) - Bekom je na het herleiden een vergelijking van de vorm ax + b = 0 met a ∈ R, b≠0, dan bekom je een vergelijking van de eerste graad in de onbekende x. - Deze vergelijking heeft juist één oplossing. - Bekom je na het herleiden een vergelijking van de vorm 0.x + b = 0, dan is deze vergelijking vals of strijdig. - Een valse of strijdige vergelijking is een vergelijking die te herleiden is tot de vorm 0.x = c, c ≠ 0. - Een valse vergelijking heeft geen oplossing. - Een onbepaalde of identieke vergelijking in x is een vergelijking die te herleiden is tot de vorm 0.x = 0. - Een onbepaalde vergelijking heeft elk reëel getal als oplossing. ### 4 Vergelijkingen in de vorm van een evenredigheid - Als de vergelijking een onbekende in de noemer heeft, dan moet je de voorwaarde opstellen waaraan die onbekende moet voldoen zodat die noemer niet nul zou zijn. - Anders gezegd: elke waarde voor de onbekende die voor een nul in de noemer zorgt, moet je uitsluiten. - Je stelt de bestaansvoorwaarde (BV) van de vergelijking op. - De bestaansvoorwaarde van een vergelijking is de voorwaarde waaraan de onbekende van de vergelijking moet voldoen zodat de vergelijking betekenisvol is. - Een vergelijking in de vorm van een evenredigheid los je op door de hoofdeigenschap bij evenredigheden (kruisproducten) toe te passen: a.d = b.c (b ≠ 0 ∧ d ≠ 0). ### 5 Bespreken van een vergelijking met een parameter - De oplossingenverzameling van de vergelijking ax + b = 0 verschilt naargelang de waarden van de coëfficiënten a en b. - Je kunt wel de verschillende mogelijkheden onderzoeken a.d.h.v. verschillende waarden van m. - Je noemt m de parameter van de vergelijking. - Een parameter stelt een variabel getal voor dat je niet moet berekenen, maar dat wel de oplossing of het aantal oplossingen van de vergelijking bepaalt. - Een vergelijking met een parameter bespreken betekent dat je voor elke waarde van de parameter vertelt hoe de oplossingenverzameling eruitziet. ## 4.2 Vraagstukken oplossen met vergelijkingen - Lees het vraagstuk aandachtig en onderstreep de gegevens. - Noteer wat je als onbekende x kiest. - Zet het vraagstuk om in wiskundetaal. - Je bekomt een vergelijking of ongelijkheid. - Los de vergelijking of ongelijkheid op. - Formuleer een antwoordzin. - Controleer je antwoord. ## 4.3 Omvormen van formules - Noteer alle termen die de onbekende bevatten links, alle andere termen rechts. - Deel beide leden door de coëfficiënt van de onbekende. - Vul de gekende gegevens in en bereken. - Formuleer een antwoordzin. ## 4.4 Ongelijkheden van de eerste in één onbekende ### 9 Ongelijkheid - definities - De uitspraken 2-3-8<7, 8<9, 3.5≤12, 6>4 en 3+2≥4 noem je een ongelijkheid. - Een ongelijkheid is een uitspraak bestaande uit twee getallenuitdrukkingen, gescheiden door een ongelijkheidsteken. - Een ongelijkheid kan waar of onwaar zijn. - Ongelijkheden in dezelfde zin: de ongelijkheden hebben hetzelfde ongelijkheidsteken. - Ongelijkheden in tegengestelde zin: de ene ongelijkheid heeft het omgekeerde ongelijkheidsteken van de andere. - Vervang je in de ongelijkheid 2.3-8<7 de factor 3 door de letter x, dan bekom je de uitspraak 2x-8 <7. - Dit is geen propositie omdat je de waarheidswaarde van de uitspraak niet kent. - De waarheidswaarde van de uitspraak hangt af van de waarde van x. - Een dergelijke uitspraak noem je een predicaat. - Stelt x een reëel getal voor, dan noem je het predicaat 2x-8 <7 een ongelijkheid in de onbekende x. ### 10 Eigenschappen van een ongelijkheid - Vermeerder of verminder je beide leden van een ongelijkheid met eenzelfde reëel getal, dan bekom je een gelijkwaardige ongelijkheid in dezelfde zin. - Vermenigvuldig je (deel je) beide leden van een ongelijkheid met (door) eenzelfde strikt positief reëel getal, dan bekom je een gelijkwaardige ongelijkheid in dezelfde zin. - Vermenigvuldig je (deel je) beide leden van een ongelijkheid met (door) eenzelfde strikt negatief reëel getal, dan bekom je een gelijkwaardige ongelijkheid in tegengestelde zin. ### 11 Een ongelijkheid van de eerste graad in één onbekende - Als je de ongelijkheid 5.(x+3)-6< 2x + 1 herleidt naar nul en het linkerlid uitwerkt, bekom je na vereenvoudiging: 3x+8< 0. - Je noemt daarom de ongelijkheid 5.(x+3)-6 < 2x + 1 een ongelijkheid van de eerste graad in x. - Een ongelijkheid van de eerste graad in één onbekende x is een ongelijkheid die te herleiden is tot de basisvorm ax + b ≤ 0 met a ∈ R, b ∈ R. - Neemt x de waarde 4 aan, dan is de uitspraak x - 3 ≤ 7 waar. - Je zegt: 4 is een oplossing van de ongelijkheid x - 3 ≤ 7. - Neemt x de waarde 15 aan, dan is de uitspraak x - 3 ≤ 7 niet waar want 15-3 = 12 12 ≥ 7. - Je zegt: 15 is geen oplossing van de ongelijkheid x - 3 ≤ 7. - Elk getal kleiner dan of gelijk aan 10 voldoet aan de ongelijkheid x - 3 ≤ 7. - Je zegt: De oplossingenverzameling van de ongelijkheid x - 3 ≤ 7 is een interval. ### 12 Een ongelijkheid van de eerste graad in één onbekende oplossen - Werk de haakjes weg. - Maak alle termen uit beide leden gelijknamig, werk dan deze noemers weg en vereenvoudig beide leden. - Breng alle termen met de onbekende naar het LL en alle andere termen naar het RL. - Vereenvoudig beide leden. - Deel beide leden door de coëfficiënt van de onbekende. - Vereenvoudig. - Noteer de oplossingsverzameling en stel ze grafisch voor. ## 4.5 Vraagstukken oplossen met ongelijkheden van de eerste graad in één onbekende - Lees het vraagstuk aandachtig en onderstreep de gegevens. - Maak indien nodig een figuur. - Noteer wat je als onbekende x kiest. - Zet het vraagstuk om in wiskundetaal. - Je bekomt een ongelijkheid. - Los de ongelijkheid op. - Formuleer een antwoordzin. - Controleer je antwoord. ---