Math 10 Book PDF

‫الدرس‬ ‫ُ‬ ‫ة تربيعي ٍ‬ ‫ة‬ ‫ة ومعادل ٍ‬ ‫ة خطِّي ٍ‬ ‫ن معادل ٍ‬ ‫...

‫الدرس‬ ‫ُ‬ ‫ة تربيعي ٍ‬ ‫ة‬ ‫ة ومعادل ٍ‬ ‫ة خطِّي ٍ‬ ‫ن معادل ٍ‬ ‫ونٍ م ْ‬ ‫مك َّ‬ ‫نظام ُ‬ ‫ٍ‬ ‫ح ُّل‬ ‫َ‬ ‫‪Solving a System of Linear and Quadratic Equations‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫معادلة خ ِّط ٍية‬ ‫ٍ‬ ‫كو ٍن م ْن‬ ‫تربيعية‪.‬‬ ‫ومعادلة‬ ‫ ح ُّل نظا ٍم ُم َّ‬ ‫َ‬ ‫الدرس‬ ‫ِ‬ ‫فكرة‬ ‫ُ‬ ‫ ‬ ‫ِ‬ ‫المدن‪،‬‬ ‫مستقيما َ‬ ‫داخل إحدى‬ ‫ تُم ِّث ُل المعادل ُة ‪ y = x - 3‬طري ًقا‬ ‫اليوم‬ ‫ِ‬ ‫ُ‬ ‫مسألة‬ ‫ ‬ ‫ً‬ ‫آخر منحن ًيا‬ ‫‪2‬‬ ‫في ِ‬ ‫حين تُم ِّث ُل المعادل ُة ‪ y = x - 3x -10‬طري ًقا َ‬ ‫ِ‬ ‫الطريقان أ ْم ال؟‬ ‫ِ‬ ‫هذان‬ ‫يتقاطع‬ ‫هل‬ ‫المدينة ِ‬ ‫نفسها‪ْ.‬‬ ‫ِ‬ ‫َ‬ ‫داخل‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ٍ‬ ‫معادلة خ ِّط ٍية و ُأخرى‬ ‫ٍ‬ ‫كــو ٍن م ْن‬ ‫ِ‬ ‫َ‬ ‫وذلك‬ ‫التعويض‪،‬‬ ‫طريقة‬ ‫باســتعمال‬ ‫تربيعية‬ ‫ُيمكنُني َح ُّل نظا ٍم ُم َّ‬ ‫وح ِّلها‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة الخ ِّط ِية‬ ‫ِ‬ ‫المتغ ِّير ْي ِن في‬ ‫ِ ِ‬ ‫ثم تعويضه في المعادلة التربيعية َ‬‫اآلخر‪َّ ،‬‬ ‫بداللة‬ ‫بكتابة أحد ُ‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫ِ ِ‬ ‫ِ‬ ‫الح ِّل‪:‬‬ ‫ثم َأتَح َّق ُق ْ‬ ‫من ص َّحة َ‬ ‫اآلتي‪َّ ،‬‬ ‫َ‬ ‫المعادالت‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم‬ ‫‪x–y=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +y =5‬‬ ‫‪y‬‬ ‫لتمثيل المعادلت ْي ِن بيان ًّيا‬ ‫ِ‬ ‫حاسبة ٍ‬ ‫بيانية‪،‬‬ ‫ٍ‬ ‫برمجية جيوجبرا )‪ْ ،(GeoGebra‬أو‬ ‫ِ‬ ‫ُ‬ ‫اســتعمال‬ ‫ي ِ‬ ‫مكنُني‬ ‫ُ‬ ‫‪x2 + y2 = 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أن منحن َي ِي المعادلت ْي ِن‬ ‫المجاور‪ُ.‬أ ِ‬ ‫الح ُظ َّ‬ ‫ِ‬ ‫البياني‬ ‫ِ‬ ‫التمثيل‬ ‫نفس ِه كما في‬ ‫على المستوى اإلحداثي ِ‬ ‫‪2‬‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫ِ‬ ‫‪1‬‬ ‫ذلك جبر ًّيا باســتعمالِ‬ ‫أن للنظا ِم َح َّل ْي ِن مختلف ْي ِن‪.‬أتَح َّق ُق م ْن َ‬ ‫يتقاطعــان في نقطت ْي ِن؛ ما يعنــي َّ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ِ‬ ‫التعويض‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫طريقة‬ ‫‪-1‬‬ ‫بالصورة القياس َّي ِة‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫‪x–y=1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫أكتب المعادل َة الخ ِّط َّي َة‬ ‫ُ‬ ‫ا ْلخُ ْط َ‬ ‫ــو ُة ‪1‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪x–y=1‬‬ ‫المعادل ُة الخ ِّطي ُة‬ ‫‪y=x–1‬‬ ‫ِ‬ ‫بداللة ‪x‬‬ ‫ِ‬ ‫بكتابة ‪y‬‬ ‫المعادلة التربيع َّي ِة‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة الخ ِّط َّي ِة في‬ ‫ِ‬ ‫ُأ ِّ‬ ‫عو ُض قيم َة ‪ y‬من‬ ‫ا ْلخُ ْط َ‬ ‫ــو ُة ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x + (x – 1) = 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ِ‬ ‫التربيعية‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة‬ ‫بتعويض ِ‬ ‫قيمة ‪ y‬في‬ ‫ِ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x + x – 2x + 1 = 5‬‬ ‫بفك القوس ْي ِن‬ ‫ِّ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x – 2x – 4 = 0‬‬ ‫ِ‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x –x–2=0‬‬ ‫ِ‬ ‫بالقسمة على ‪2‬‬ ‫‪10‬‬  ‫الوحدة ‪1‬‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫التحليل‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫باستعمال‬ ‫ُّ‬ ‫أحل المعادل َة الناتج َة‬ ‫ا ْلخُ ْط َ‬ ‫ــو ُة ‪3‬‬ ‫‪(x + 1) (x – 2) = 0‬‬ ‫ِ‬ ‫بالتحليل‬ ‫َأتذكَّ ُر‬ ‫‪x + 1 = 0   or x – 2 = 0‬‬ ‫الصفري‬ ‫ِّ‬ ‫ِ‬ ‫الضرب‬ ‫خاص َّي ُة‬ ‫طرائــق ِعــدَّ ٌة لِ َح ِّل‬ ‫ُ‬ ‫توجدُ‬ ‫ٍ‬ ‫تربيعيــة‪ ،‬منْهــا‪:‬‬ ‫ٍ‬ ‫معادلــة‬ ‫‪x = -1‬‬ ‫‪or    x = 2‬‬ ‫بحل المعادلت ِ‬ ‫َين‬ ‫ِّ‬ ‫ِ‬ ‫العوامــل‪،‬‬ ‫ُ‬ ‫التحليــل إلــى‬ ‫إليجاد ِ‬ ‫ِ‬ ‫قيمة ‪: y‬‬ ‫ُأ ِّ‬ ‫عو ُض قيم َة ‪x‬‬ ‫ا ْلخُ ْط َ‬ ‫ــو ُة ‪4‬‬ ‫ُ‬ ‫والقانون العا ُّم‪.‬‬ ‫الحال ُة األولى‪ :‬عندما ‪: x = –1‬‬ ‫‪y=x–1‬‬ ‫‪y = –1 –1 = −2‬‬ ‫المعادلة الخ ِّط ِية‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫بتعويض ‪ x = – 1‬في‬ ‫ُ‬ ‫األول‪. )x, y( = )− 1, − 2( :‬‬ ‫الح ُّل‬ ‫َ‬ ‫إرشاد‬ ‫ٌ‬ ‫المعادلة الخ ِّط ِية‬ ‫ِ‬ ‫َّب )‪ (−1, −2‬في ٍّ‬ ‫كل م َن‬ ‫المرت َ‬ ‫الزوج ُ‬ ‫َ‬ ‫األو ِل‪ُ ،‬أ ِّ‬ ‫عو ُض‬ ‫الح ِّل ّ‬ ‫ِ ِ‬ ‫ِ‬ ‫للتح ُّق ِق م ْن ص َّحة َ‬ ‫الح ِّل في كلتا‬ ‫تعويض َ‬ ‫ُ‬ ‫يجب‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫والتربيعية‪:‬‬ ‫َ‬ ‫يكون‬ ‫معادلت َِي النظا ِم؛ لكيال‬ ‫✓ ‪x − y = − 1 − (− 2) = 1‬‬ ‫المعادلة الخ ِّط ِية‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫بالتعويض في‬ ‫ُ‬ ‫بحيث‬ ‫ٍ‬ ‫صحيح‪،‬‬ ‫غيــر‬ ‫َ‬ ‫الح ُّل‬ ‫َ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫✓ ‪x + y = (− 1) + (− 2) = 1 + 4 = 5‬‬ ‫ِ‬ ‫التربيعية‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة‬ ‫ِ‬ ‫بالتعويض في‬ ‫ُيح ِّق ُق إحدى المعادلت ْي ِن م ْن‬ ‫ِ‬ ‫دون األُخرى‪.‬‬ ‫الحال ُة الثاني ُة‪ :‬عندما ‪: x = 2‬‬ ‫‪y=2–1=1‬‬ ‫المعادلة الخ ِّط ِية‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫بتعويض ‪ x = 2‬في‬ ‫الح ُّل الثاني‪. (x, y) = (2, 1) :‬‬ ‫َ‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة الخ ِّط ِية‬ ‫ِ‬ ‫ِ ِ‬ ‫ِ‬ ‫والتربيعية‪:‬‬ ‫َّب (‪ )2,1‬في ٍّ‬ ‫كل م َن‬ ‫المرت َ‬ ‫الزوج ُ‬ ‫َ‬ ‫عو ُض‬ ‫للتح ُّق ِق م ْن ص َّحة َ‬ ‫الح ِّل الثاني‪ُ ،‬أ ِّ‬ ‫✓ ‪x−y=2−1=1‬‬ ‫المعادلة الخ ِّط ِية‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫بالتعويض في‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫✓ ‪x + y = (2) + (1) = 4 + 1 = 5‬‬ ‫ِ‬ ‫التربيعية‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة‬ ‫ِ‬ ‫بالتعويض في‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫ِ ِ‬ ‫ِ‬ ‫الح ِّل‪:‬‬ ‫ثم َأتَح َّق ُق ْ‬ ‫من ص َّحة َ‬ ‫اآلتي‪َّ ،‬‬ ‫َ‬ ‫المعادالت‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم‬ ‫‪2x + y = 12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = x + 5x − 6‬‬ ‫ٍ‬ ‫معادالت ل ُه َح ٌّل‬ ‫ِ‬ ‫الســابق‪.‬ولك ْن‪ْ ،‬‬ ‫هل يوجدُ نظــا ُم‬ ‫ِ‬ ‫المثال‬ ‫ِ‬ ‫المعادالت في‬ ‫يوجــدُ َح ّاّل ِن لنظا ِم‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫اآلتي‪.‬‬ ‫َ‬ ‫َ‬ ‫المثال‬ ‫واحدٌ ؟ لمعرفة اإلجابة‪َ ،‬أ ُ‬ ‫درس‬ ‫‪11‬‬  ‫مثال ‪2‬‬ ‫اآلتي‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫المعادالت‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم‬ ‫َ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y - x = 7 - 5x‬‬ ‫‪4y - 8x = -21‬‬ ‫ٍ‬ ‫واحدة‬ ‫ــه‪ ،‬يالح ُظ وجود ِ‬ ‫نقطة تقاط ٍع‬ ‫ِ ِ‬ ‫ِ‬ ‫تمثيل معادلتَي النظا ِم في المســتوى‬ ‫ُ‬ ‫اإلحداثي نفس ُ َ‬‫ِّ‬ ‫عندَ‬ ‫‪9‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y-x 2 = 7-5x‬‬ ‫فقط‪.‬أتح َّق ُق م ْن َ‬ ‫ذلك جبر ًّيا‬ ‫حاًّل واحــدً ا ْ‬ ‫أن للنظا ِم ًّ‬ ‫ِ‬ ‫المجاور؛ ما يعني َّ‬ ‫البياني‬ ‫ِّ‬ ‫ِ‬ ‫التمثيل‬ ‫كَمــا في‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ِ‬ ‫التعويض‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫طريقة‬ ‫ِ‬ ‫باستعمال‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫بالصورة القياس َّي ِة (بداللة ‪.)y‬‬ ‫ِ‬ ‫‪4‬‬ ‫أكتب المعادل َة الخ ِّط َّي َة‬ ‫ُ‬ ‫ا ْلخُ ْط َ‬ ‫ــو ُة ‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4y - 8x = -21‬‬ ‫‪4y - 8x = -21‬‬ ‫المعادل ُة الخ ِّطي ُة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫بجم ِع ‪ 8x‬للطر َف ِ‬ ‫‪–2 –1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4y = 8x - 21‬‬ ‫ين‬ ‫‪–1‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫‪y = 2x - 5.25‬‬ ‫ين على ‪4‬‬ ‫ِ‬ ‫بقسمة الطر َف ِ‬ ‫‪–3‬‬ ‫المعادلة التربيع َّي ِة‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة الخ ِّط َّي ِة في‬ ‫ِ‬ ‫ُأ ِّ‬ ‫عو ُض قيم َة ‪ y‬م َن‬ ‫ا ْلخُ ْط َ‬ ‫ــو ُة ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y - x = 7 - 5x‬‬ ‫المعادل ُة التربيع َّي ُة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(2x - 5.25) - x = 7 - 5x‬‬ ‫المعادلة الخ ِّط َّي ِة‬ ‫ِ‬ ‫قيمة ‪ y‬م َن‬ ‫بتعويض ِ‬‫ِ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x - 7x + 12.25 = 0‬‬ ‫ِ‬ ‫بالتبسيط‬ ‫ُّ‬ ‫أحل المعادل َة الناتج َة‪:‬‬ ‫ا ْلخُ ْط َ‬ ‫ــو ُة ‪3‬‬ ‫َأتذكَّ ُر‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫لِ ِّ‬ ‫المعامالت ‪a = 1, b = –7, c = 12.25 :‬‬ ‫حل المعادلة باستعمال القانون العا ِّم‪ُ ،‬أحدِّ ُد َ‬ ‫قيم‬ ‫القانون العا َّم ِّ‬ ‫َ‬ ‫ُ‬ ‫لحل‬ ‫أستعمل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪–b ± √b – 4ac‬‬ ‫ِ‬ ‫=‪x‬‬ ‫ُ‬ ‫القانون العا ُّم‬ ‫ب‬ ‫المعــادالت التــي َيص ُع ُ‬ ‫‪2a‬‬ ‫تحلي ُلها‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪–(–7) ± √(–7) – 4(1)(12.25‬‬ ‫ِ‬ ‫=‬ ‫بالتعويض‬ ‫)‪2(1‬‬ ‫=‬ ‫‪7 ± √49-49‬‬ ‫‪= 3.5‬‬ ‫ِ‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪2‬‬ ‫إليجاد ِ‬ ‫ِ‬ ‫قيمة ‪: y‬‬ ‫ُأ ِّ‬ ‫عو ُض قيم َة ‪x‬‬ ‫ا ْلخُ ْط َ‬ ‫ــو ُة ‪4‬‬ ‫‪y = 2x - 5.25‬‬ ‫المعادل ُة الخ ِّطي ُة‬ ‫‪= 2(3.5) - 5.25‬‬ ‫بتعويض ‪x = 3.5‬‬ ‫ِ‬ ‫‪= 1.75‬‬ ‫ِ‬ ‫بالتبسيط‬ ‫َّب )‪(3.5, 1.75‬‬ ‫المرت ُ‬ ‫الزوج ُ‬ ‫ُ‬ ‫هو‬ ‫إذن‪ُّ ،‬‬ ‫حل النظا ِم َ‬ ‫ْ‬ ‫‪12‬‬  ‫الوحدة ‪1‬‬ ‫ُ‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫‪y = 2x + 1‬‬ ‫ِ ِ‬ ‫ِ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الح ِّل‪:‬‬ ‫ثم َأتَح َّق ُق ْ‬ ‫من ص َّحة َ‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم المعادالت المجاور‪َّ ،‬‬ ‫‪x + y = 10‬‬ ‫ِ‬ ‫المعادالت‪.‬ولك ْن‪ْ ،‬‬ ‫هل توجدُ أنظم ُة‬ ‫الح ْظ ُت في المثال ْي ِن السابق ْي ِن وجو َد َح ٍّل ْأو َح َّل ْي ِن لنظا ِم‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ٍ‬ ‫اآلتي‪.‬‬ ‫َ‬ ‫َ‬ ‫المثال‬ ‫درس‬ ‫ليس لها َح ٌّل؟ لمعرفة اإلجابة‪َ ،‬أ ُ‬ ‫معادالت َ‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫اآلتي‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫المعادالت‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم‬ ‫َ‬ ‫‪y+x=5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +y =9‬‬ ‫يتقاطعان في أي ٍ‬ ‫نقطة؛ ما يعني عد َم‬ ‫ِ‬ ‫أن منحن َي ِي المعادلت ْي ِن ال‬ ‫ِ‬ ‫المجاور َّ‬ ‫البياني‬ ‫ِ‬ ‫التمثيل‬ ‫َيتب َّي ُن م َن‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫‪y‬‬ ‫ِ‬ ‫التعويض‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫طريقة‬ ‫ِ‬ ‫باستعمال‬ ‫ِ‬ ‫المعادالت‪.‬أتَح َّق ُق م ْن َ‬ ‫ذلك جبر ًّيا‬ ‫ِ‬ ‫وجود َح ٍّل لنظا ِم‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y+x=5‬‬ ‫‪x2 + y2 = 9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y+x=5‬‬ ‫المعادل ُة الخ ِّطي ُة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x=5−y‬‬ ‫ِ‬ ‫بداللة ‪y‬‬ ‫ِ‬ ‫بكتابة ‪x‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1 0‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(5−y) + y = 9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ِ‬ ‫التربيعية‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة‬ ‫بتعويض ِ‬ ‫قيمة ‪ x‬في‬ ‫ِ‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪25 − 10y + y + y = 9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ِ‬ ‫المفكوك‬ ‫ِ‬ ‫بإيجاد‬ ‫ِ‬ ‫َأتذكَّ ُر‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2y − 10y + 16 = 0‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة‬ ‫ِ‬ ‫جذور‬ ‫يعتمدُ عد ُد‬ ‫المم ِّي ِز‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫وأنوا ُعها علــى قيمة ُ‬ ‫المم َّي ِز ‪Δ = b - 4ac‬‬ ‫بعدَ َ ِ‬ ‫الناتجة َح ٌّل أ ْم ال‪،‬‬ ‫التربيعية‬ ‫للمعادلة‬ ‫لتحديد إذا َ‬ ‫كان‬ ‫ذلك َأجدُ قيم َة ُ‬ ‫‪2‬‬ ‫بالرمز (∆)‪،‬‬ ‫ِ‬ ‫الذي يرم ُز ِ‬ ‫إليه‬ ‫ِ‬ ‫ُ َ‬ ‫المم َّي ِز ُ‬ ‫ينتج‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫وبالتعويض في صيغة ُ‬ ‫المعامالت‪،a = 2, b = –10, c = 16 :‬‬ ‫ُأحدِّ ُد َ‬ ‫قيم‬ ‫ُ‬ ‫حيث‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Δ =(–10) – 4(2)(16)= -28‬‬ ‫‪∆ = b – 4ac‬‬ ‫َأتذكَّ ُر‬ ‫ِ‬ ‫للمعادلة‪.‬ومن ُه ال يوجدُ َح ٌّل لهذا النظا ِم‪.‬‬ ‫المم َّي ِز سالب ٌة‪ْ.‬‬ ‫إذن‪ ،‬ال يوجدُ َح ٌّل‬ ‫قيم ُة ُ‬ ‫حقيقي مر َّب ُع ُه‬ ‫ٌّ‬ ‫ال يوجدُ عد ٌد‬ ‫سالب‪.‬‬ ‫ٌ‬ ‫عد ٌد‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫‪x−y=0‬‬ ‫ِ‬ ‫المعادالت المجاور‪:‬‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = x + 3x + 2‬‬ ‫‪13‬‬ ‫ة وأُخرى تربيعي ٍ‬ ‫ة‬ ‫ة خطِّي ٍ‬ ‫ن معادل ٍ‬ ‫ونٍ م ْ‬ ‫مك َّ‬ ‫عد ُد حلو ِ‬ ‫ل نظامٍ ُ‬ ‫ٌ‬ ‫نتيجة‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ُ‬ ‫ٍ‬ ‫معادلــة خ ِّط ٍية و ُأخرى‬ ‫ٍ‬ ‫يتكو ُن م ْن‬ ‫اآلتية‬ ‫العبارات‬ ‫تكون واحد ٌة مــ َن‬ ‫تربيعية‪،‬‬ ‫ألي نظــا ٍم َّ‬ ‫ِّ‬ ‫صحيح ًة‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫وجود َح ٍّل‪.‬‬ ‫عد ُم‬ ‫ٍ‬ ‫واحد ْ‬ ‫فقط‪.‬‬ ‫وجو ُد َح ٍّل‬ ‫وجو ُد َح َّل ْي ِن مختلف ْي ِن‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ٍ‬ ‫معادلة خ ِّط ٍية و ُأخرى‬ ‫ٍ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫تربيعية‪.‬‬ ‫تطبيقات حياتي ٌة كثير ٌة ل َح ِّل األنظمة التي َّ‬ ‫تتكو ُن م ْن‬ ‫ٌ‬ ‫توجدُ‬ ‫مثال ‪ :4‬من الحياة‬ ‫ـول ُق ْط ِرهــا ‪.5 m‬‬ ‫ـوع ُب ْعدَ ْيهــا ‪ ،7 m‬وطـ ُ‬ ‫ـجاد ٌة مســتطيل ُة الشـ ِ‬ ‫ـكل مصنوع ـ ٌة يدو ًّيــا‪ ،‬مجمـ ُ‬ ‫َسـ ّ‬ ‫ٌ‬ ‫معلومة‬ ‫ِ‬ ‫من طولِها‪،‬‬ ‫وعرضها‪.‬‬ ‫َأ ِجدُ ك ًُّاًّل ْ‬ ‫ثم َأ ُح ُّل ُه‪.‬‬ ‫ٍ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫الس ّجادة‪َ ،‬أ ُ‬ ‫كتب نظا َم معادالت ُيم ِّث ُل المسأل َة‪َّ ،‬‬ ‫إليجاد ُب ْعدَ ِي َّ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫َأ ُ‬ ‫هو‬ ‫ــجادة َ‬ ‫مجموع ُب ْعدَ ِي َّ‬ ‫الس ّ‬ ‫َ‬ ‫هو ‪ ، y‬وبما َّ‬ ‫أن‬ ‫عرضهــا َ‬ ‫وأن َ‬ ‫هو ‪َّ ، x‬‬ ‫ــجادة َ‬ ‫الس ّ‬ ‫أن َ‬ ‫طول َّ‬ ‫فترض َّ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫هو ‪َّ ،5 m‬‬ ‫ِ‬ ‫نظرية فيثاغورس)‪:‬‬ ‫(باستعمال‬ ‫فإن‬ ‫ــجادة َ‬ ‫الس ّ‬‫أن ُق ْط َر َّ‬ ‫فإن‪ ، x + y = 7 :‬وبما َّ‬ ‫‪َّ ،7 m‬‬ ‫ٍ‬ ‫تربيعية‪.‬‬ ‫معادلة خ ِّط ٍية و ُأخرى‬ ‫ٍ‬ ‫يتكو ُن م ْن‬ ‫‪ْ ، x2 + y2 = 25‬‬ ‫أصبح لد ْينا نظا ٌم َّ‬ ‫َ‬ ‫إذن‪،‬‬ ‫‪y+x=7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x + y = 25‬‬ ‫تســتغرق صناع ُة السج ِ‬ ‫ادة‬ ‫ُ‬ ‫قدْ‬ ‫ِ‬ ‫التعويض‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫طريقة‬ ‫ِ‬ ‫باستعمال‬ ‫واآلن‪َ ،‬‬ ‫سأ ُح ُّل النظا َم‬ ‫َ‬ ‫َّ ّ‬ ‫ٍ‬ ‫أشــهر م َن‬ ‫ِ‬ ‫الصغيرة ‪4‬‬ ‫ِ‬ ‫اليدوية‬ ‫‪x+y=7‬‬ ‫المعادل ُة الخ ِّطي ُة‬ ‫العمل الم ِ‬ ‫تواص ِل‪.‬‬ ‫ِ ُ‬ ‫‪y=7−x‬‬ ‫ِ‬ ‫بداللة ‪x‬‬ ‫ِ‬ ‫بكتابة ‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x + (7 − x) = 25‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ِ‬ ‫التربيعية‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة‬ ‫بتعويض ِ‬ ‫قيمة ‪ y‬في‬ ‫ِ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x − 14x + 24 = 0‬‬ ‫ِ‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x − 7x + 12 = 0‬‬ ‫ِ‬ ‫بالقسمة على ‪2‬‬ ‫ِ‬ ‫العوامل‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫بالتحليل إلى‬ ‫َأ ُح ُّل المعادل َة التربيعي َة‬ ‫َأتذكَّ ُر‬ ‫‪(x − 4)(x − 3) = 0‬‬ ‫ِ‬ ‫بالتحليل‬ ‫ِ‬ ‫التحليل‬ ‫َأتَح َّق ُق مــ ْن ِص َّح ِة‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫‪x − 4 = 0 or x − 3 = 0‬‬ ‫الصفري‬ ‫ِّ‬ ‫الضرب‬ ‫خاصي ُة‬ ‫خاصية التوزيعِ‪.‬‬ ‫باستعمال‬ ‫ٍ‬ ‫معادلة‬ ‫بح ِّل ِّ‬ ‫كل‬ ‫‪x = 4 or   x = 3‬‬ ‫َ‬ ‫‪14‬‬  ‫الوحدة ‪1‬‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة الخ ِّط ِية‬ ‫ِ‬ ‫إليجاد قي ِم ‪:y‬‬ ‫قيم ‪ x‬في‬ ‫ُأ ِّ‬ ‫عو ُض َ‬ ‫‪y=7−3‬‬ ‫المعادلة الخ ِّط ِية‬ ‫ِ‬ ‫بتعويض ِ‬ ‫قيمة ‪ x = 3‬في‬ ‫ِ‬ ‫‪y=4‬‬ ‫قيم ُة ‪ y‬األولى‬ ‫‪y=7−4‬‬ ‫المعادلة الخ ِّط ِية‬ ‫ِ‬ ‫بتعويض ِ‬ ‫قيمة ‪ x = 4‬في‬ ‫ِ‬ ‫‪y=3‬‬ ‫قيم ُة ‪ y‬الثاني ُة‬ ‫إذن‪َ ،‬ح ُّل النظا ِم َ‬ ‫هو‪َ )4, 3( :‬و (‪.)3, 4‬‬ ‫َ‬ ‫ادة أكبر من ِ‬ ‫طول السج ِ‬ ‫هو ‪3 m‬‬ ‫والعرض َ‬ ‫َ‬ ‫هو ‪،4 m‬‬ ‫الطول َ‬ ‫عرضها‪َّ ،‬‬ ‫فإن‬ ‫ُ ْ‬ ‫أن َ َّ ّ‬ ‫بما َّ‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫ِ‬ ‫المزرعة‪.‬‬ ‫طول ُق ْط ِرها ‪ ،50 m‬ومحي ُطها ‪َ.140 m‬أ ِجدُ ُب ْعدَ ِي‬ ‫ِ‬ ‫الشكل‪ُ ،‬‬ ‫مزرع ٌة مستطيل ُة‬ ‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫ِ ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫الح ِّل‪:‬‬ ‫ثم َأتَح َّق ُق ْ‬ ‫من ص َّحة َ‬ ‫من أنظمة المعادالت اآلتية‪َّ ،‬‬ ‫َأ ُح ُّل ًّ‬ ‫كاًّل ْ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = x + 4x – 2‬‬ ‫  ‪1‬‬ ‫‪y = x + 6x − 3‬‬ ‫  ‪2‬‬ ‫‪y=x +4‬‬ ‫  ‪3‬‬ ‫‪y + 6 = 0‬‬ ‫‪y = 2x – 3‬‬ ‫‪x − y = –1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = x + 4x − 1‬‬ ‫  ‪4‬‬ ‫‪y = x + 4x + 7‬‬ ‫  ‪5‬‬ ‫‪y = x − 2x + 4‬‬ ‫  ‪6‬‬ ‫‪7x + 2 y = 6‬‬ ‫‪y–3=0‬‬ ‫‪y=x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +y = 34‬‬ ‫  ‪7‬‬ ‫‪8  y = x + 2x + 1‬‬ ‫‪x +y =4‬‬ ‫  ‪9‬‬ ‫‪2x - y = 1‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‪x+y=5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +y = 10‬‬ ‫  ‪10‬‬ ‫‪x + (y – 1) = 17‬‬ ‫  ‪11‬‬ ‫‪12  2x + 3y = 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x–y=2‬‬ ‫‪x=1‬‬ ‫‪2y + x y = 12‬‬ ‫والفرق بي َن مر َّب َع ْي ُب ْعدَ ْيها ‪َ.16 m2‬أ ِجدُ ُب ْعدَ ْيها‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫الشكل‪ ،‬ومحي ُطها ‪،16 m‬‬ ‫برك ٌة‪ :‬برك ُة ٍ‬ ‫ماء قاعدتُها مستطيل ُة‬ ‫‪13‬‬ ‫والفرق بي َن مر َّب َع ْي ِهما ‪24‬‬ ‫ُ‬ ‫‪ 14‬أعدا ٌد‪َ :‬أ ِجدُ العدد ْي ِن الموجب ْي ِن اللذ ْي ِن مجمو ُع ُهما ‪،12‬‬ ‫ومجموع مساح َت ْي ِهما ‪َ.20π cm2‬أ ِجدُ ُق ْط َر ٍّ‬ ‫كل من ُْهما‪.‬‬ ‫مجموع محي َط ْي ِهما ‪،12π cm‬‬ ‫ِ‬ ‫دائرتان‬ ‫هندس ٌة‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬  ‫ٍ‬ ‫سنوات م ْن ُع ْم ِر أخي ر ّي َ‬ ‫هو ‪ 346‬عا ًما»‪.‬ما ُع ْم ُر‬ ‫ومجموع ُمر َّب َع ْي ُع ْم َر ْينا َ‬ ‫ُ‬ ‫ان‪،‬‬ ‫ أعمار‪ :‬قا َل ْت شــيما ُء‪ُ « :‬ع ْمري ُ‬ ‫أكبر بأرب ِع‬ ‫ٌ‬ ‫‪16‬‬ ‫شيما َء؟‬ ‫الشــكل‪ ،‬طو ُلها يســاوي ِم ْث َل ْي‬ ‫ِ‬ ‫ لوحــ ٌة‪ :‬لوح ٌة مســتطيل ُة‬ ‫‪17‬‬ ‫إطار‪،‬‬ ‫َ‬ ‫وطول ُق ْط ِرهــا ‪ُ ، √1.25 m‬أ‬‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫حيــط بها ٌ‬ ‫عرضهــا‪،‬‬ ‫بالدينار ‪َ. 2.25‬أ ِجدُ تكلف َة‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫الواحد منْ ُه‬ ‫ِ‬ ‫الطولي‬ ‫تكلف ُة ِ‬ ‫المتر‬ ‫ِ‬ ‫اإلطار‪.‬‬ ‫ثم زر َع ُهما بمحصو َل ِي الطماط ِم والبطاطا‪.‬إذا زا َد‬ ‫ِ‬ ‫الشكل‪َّ ،‬‬ ‫فيصل ‪ 41m2‬م ْن مزرعتِ ِه إلى منطقت ْي ِن مر َّبعت َِي‬ ‫ٌ‬ ‫ زراع ٌة‪َّ :‬‬ ‫قس َم‬ ‫‪18‬‬ ‫ِ‬ ‫المزروعة ِّ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫المزروعة بالبطاطا‪ ،‬فما مساح ُة‬ ‫ِ‬ ‫مترا واحدً ا على ُب ْع ِد‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫بكل‬ ‫المنطقة‬ ‫المنطقة‬ ‫ُب ْعدُ المنطقة المزروعة بالطماط ِم ً‬ ‫ٍ‬ ‫محصول؟‬ ‫‪y‬‬ ‫مســار‬ ‫َ‬ ‫ــل المعادل ُة ‪y = 2 + 0.12x-0.002x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ تُم ِّث ُ‬ ‫‪19‬‬ ‫‪y = 2 + 0.12x - 0.002x2‬‬ ‫ات‬ ‫قذيفــة ِمدف ٍع تم إطال ُقهــا نحو ت َّل ٍة‪.‬أجــدُ إحداثي ِ‬ ‫ِ‬ ‫ّ‬ ‫َ‬ ‫َّ‬ ‫‪y = 0.15x‬‬ ‫بســفح الت َّل ِة؛ إذا‬ ‫ِ‬ ‫اصطدمت عندَ ها القذيف ُة‬ ‫ْ‬ ‫ِ‬ ‫النقطة التي‬ ‫‪x‬‬ ‫مستقيم ومعادل ُت ُه ‪.y = 0.15x‬‬ ‫ٌ‬ ‫علمت أ َّن ُه‬ ‫ُ‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫العالقة‪ ،y + x2 = 10 :‬إذا و ِضع ْت وحد ُة ٍ‬ ‫إنارة على المستقي ِم‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫بحسب‬ ‫يخرج منْها الما ُء‬ ‫ٍ‬ ‫بصورة‬ ‫ تبرير‪ُ :‬ص ِّم َم ْت نافور ٌة‬ ‫ُ َ‬ ‫ُ‬ ‫ٌ‬ ‫‪20‬‬ ‫ِ‬ ‫اإلنارة؟ ُأ ِّبر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫وحدة‬ ‫ِ‬ ‫النافورة إلى‬ ‫فهل ُ‬ ‫يصل ما ُء‬ ‫الذي معادل ُت ُه‪ْ ،y = 12 + x :‬‬ ‫ٍ‬ ‫واحدة ْ‬ ‫أن المســتقيم الذي معادل ُته‪ y = 3x + p :‬يقطع المنحنى‪ y = 2x2 + 3x −5 :‬في ٍ‬ ‫علم ُت َّ‬ ‫فقط‪،‬‬ ‫نقطة‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫َ‬ ‫ تحدٍّ ‪ :‬إذا ْ‬ ‫‪21‬‬ ‫فما قيم ُة ‪p‬؟‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ِ‬ ‫األزرق‬ ‫ِ‬ ‫باللون‬ ‫ِ‬ ‫المنحرف المرسوم‬ ‫ تحدٍّ ‪ :‬أجدُ مساح َة شب َه‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ِ‬ ‫الشكل المجاور‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫االقتران ‪ y = −0.3x2 + 4‬في‬ ‫َ‬ ‫أسفل ُمنحنى‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16‬‬  ‫الدرس‬ ‫ُ‬ ‫ونٍ م ْ‬ ‫ن معادلت ْينِ تربيعيت ْينِ‬ ‫مك َّ‬ ‫نظام ُ‬ ‫ٍ‬ ‫ح ُّل‬ ‫َ‬ ‫‪Solving a System of Two Quadratic Equations‬‬ ‫‪2‬‬ ‫بمتغ ِّير ْي ِن‪.‬‬ ‫ ح ُّل نظا ٍم م ٍ‬ ‫كون م ْن معادلت ْي ِن تربيعيت ْي ِن ُ‬ ‫ُ َّ‬ ‫َ‬ ‫الدرس‬ ‫ِ‬ ‫فكرة‬ ‫ُ‬ ‫ ‬ ‫ِ‬ ‫لتمثيل‬ ‫ــن اآلتيت ْي ِن‬ ‫ٍ‬ ‫تســويق المعادلت ْي ِن التربيعيت ْي ِ‬ ‫ اســتعم َل ْت خبير ُة‬ ‫اليوم‬ ‫ِ‬ ‫ُ‬ ‫مسألة‬ ‫ ‬ ‫تحديد ِ‬ ‫نقاط‬ ‫ِ‬ ‫ٍ‬ ‫تجاريــة؛ ُب ْغ َي َة‬ ‫ٍ‬ ‫لســلعة‬ ‫ِ‬ ‫والطلب‬ ‫ِ‬ ‫العرض‬ ‫كل م َن‬ ‫ِ‬ ‫مقدار ٍّ‬ ‫حيث‬‫السوق‪ُ ،‬‬‫ِ‬ ‫الطلب في‬ ‫ِ‬ ‫مع‬ ‫ِ‬ ‫العرض َ‬ ‫ُ‬ ‫التوازن التي يتســاوى عندَ ها‬ ‫هل ي ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫مكنُني‬ ‫سعر الوحدة‪ ،‬و ُيم ِّث ُل ‪ y‬عد َد الوحدات المبيعة‪ُ ْ.‬‬ ‫ُيم ِّث ُل ‪َ x‬‬ ‫ِ‬ ‫التوازن؟‬ ‫تحديد ِ‬ ‫نقاط‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫الخبيرة على‬ ‫مساعد ُة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = x + 6x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = –x + 24x‬‬ ‫ِ‬ ‫لتكوين‬ ‫ٍ‬ ‫ببعض‬ ‫بعض ُهما‬ ‫ِ‬ ‫المعادلتــان ُ‬ ‫يتكو ُن م ْن معادلت ْي ِن تربيعيت ْي ِن‪ ،‬تُســاوى َّأو ًاًل‬ ‫ــل نظا ٍم َّ‬‫لِ َح ِّ‬ ‫ٍ‬ ‫واحدة‪.‬‬ ‫ٍ‬ ‫تربيعية‬ ‫ٍ‬ ‫معادلة‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ِ ِ‬ ‫ِ‬ ‫‪4‬‬ ‫الح ِّل‪:‬‬ ‫ثم َأتَح َّق ُق ْ‬ ‫من ص َّحة َ‬ ‫اآلتي‪َّ ،‬‬ ‫َ‬ ‫المعادالت‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = x + 4x – 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y = –x + 2x – 3‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪y = –x2 + 2x – 3‬‬ ‫ِ‬ ‫ِ ِ‬ ‫‪-2‬‬ ‫يتقاطعان في‬ ‫أن منحني ْي ِهما‬ ‫الح ُظ َّ‬ ‫اإلحداثي نفسه‪ُ ،‬ي َ‬ ‫ِّ‬ ‫ِ‬ ‫تمثيل معادلت َِي النظا ِم على المســتوى‬ ‫عندَ‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫أن للنظا ِم َح َّل ْي ِن مختلف ْي ِن‪.‬أتَح َّق ُق م ْن َ‬ ‫ذلك جبر ًّيا‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫المجاور؛ ما يعني َّ‬ ‫ِ‬ ‫الشكل‬ ‫نقطت ْي ِن كما في‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ثم َح ُّل‬ ‫بداي ًة‪ُ ،‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫الناتجة‪:‬‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫يجب مساوا ُة معادلت َِي النظا ِم المعطى‪َّ ،‬‬ ‫‪y = x2+ 4x – 3‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫ِ‬ ‫بمساواة المعادلت ْي ِن‬ ‫‪-9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x + 4x – 3 = –x + 2x – 3‬‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫والتبسيط‬ ‫المتشابهة‪،‬‬ ‫الحدود‬ ‫بجم ِع‬ ‫َأتذكَّ ُر‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x + 2 x = 0‬‬ ‫ِ‬ ‫التحليل‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫باستعمال‬ ‫َأ ُح ُّل المعادل َة التربيعي َة الناتج َة‬ ‫ِ‬ ‫ي ِ‬ ‫مكنُنــي َح ُّ‬ ‫المعادلــة‬ ‫ــل‬ ‫ُ‬ ‫‪2x (x + 1) = 0‬‬ ‫ِ‬ ‫الناتجة‬ ‫ِ‬ ‫التربيعية‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة‬ ‫ِ‬ ‫بتحليل‬ ‫ِ‬ ‫باستعمال‬ ‫ِ‬ ‫الناتجة‬ ‫ِ‬ ‫التربيعية‬ ‫‪x = 0   or  x = -1‬‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة‬ ‫َح ّاّل‬ ‫أيضا‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫القانون العا ِّم ً‬ ‫ِ ِ‬ ‫أي م ْن معادلت َِي النظا ِم‪:‬‬ ‫إليجاد قيمة ‪ُ ، y‬أ ِّ‬ ‫عو ُض قيمت َْي ‪ x‬في ٍّ‬ ‫‪17‬‬  ‫الحال ُة األولى‪ :‬إذا كان ْ‬ ‫َت ‪:x = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = – (0) + 2(0) – 3‬‬ ‫بتعويض ‪ x = 0‬في إحدى المعادلت ْي ِن‬ ‫ِ‬ ‫‪y = –3‬‬ ‫ِ‬ ‫بالتبسيط‬ ‫هو‪. (x, y) = (0, –3) :‬‬ ‫ُ‬ ‫األول للنظام َ‬ ‫الح ُّل‬ ‫ْ‬ ‫إذن‪َ ،‬‬ ‫الحال ُة الثاني ُة‪ :‬إذا كان ْ‬ ‫َت ‪:x = –1‬‬ ‫بتعويض ‪ x = –1‬في إحدى المعادلت ْي ِن‬ ‫ِ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = –(–1) + 2(–1) –3‬‬ ‫‪y = –6‬‬ ‫ِ‬ ‫بالتبسيط‬ ‫إرشاد‬ ‫ٌ‬ ‫الح ُّل الثاني للنظام َ‬ ‫هو‪. (x, y) = (-1, –6) :‬‬ ‫ْ‬ ‫إذن‪َ ،‬‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫للتح ُّق ِق م ْن ص َّحــة َ‬ ‫الح ِّل‪،‬‬ ‫إذن‪ُّ ،‬‬ ‫حل النظا ِم َ‬ ‫هو‪.(–1 , –6) , (0 , –3) :‬‬ ‫ْ‬ ‫َــي ‪َ x‬و ‪y‬‬ ‫ُأ ِّ‬ ‫عــو ُض قيمت ْ‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫في ٍّ‬ ‫كل م ْن معادلت َِي النظا ِم‪.‬‬ ‫ِ ِ‬ ‫ِ‬ ‫الح ِّل‪:‬‬ ‫ثم َأتَح َّق ُق ْ‬ ‫من ص َّحة َ‬ ‫اآلتي‪َّ ،‬‬ ‫َ‬ ‫المعادالت‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = -x –2x + 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = x + 2x –3‬‬ ‫ِ‬ ‫المعادالت‬ ‫ُ‬ ‫يكون لنظا ِم‬ ‫ٍ‬ ‫وعندئذ‬ ‫ْ‬ ‫فقــط‪،‬‬ ‫ٍ‬ ‫واحدة‬ ‫قــدْ يتقاطع منحنيا معادلتي ِن تربيعيتي ِن في ٍ‬ ‫نقطة‬ ‫ْ‬ ‫ْ‬ ‫ُ‬ ‫المعادلتان ح ٌّل ِ‬ ‫واحدٌ ‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫هاتان‬ ‫ُكو ُن ُه‬ ‫َ‬ ‫الذي ت ِّ‬ ‫مثال ‪ :2‬من الحياة‬ ‫ِ‬ ‫سباقات‪ :‬في ِ‬ ‫حين َ‬ ‫سلك‬ ‫سلك ُمتسابِ ٌق ً‬ ‫مسارا تُم ِّث ُل ُه المعادل ُة التربيعي ُة‪ y = x2 :‬في ِ‬ ‫ِ‬ ‫المراحل‪َ ،‬‬ ‫سباقات‬ ‫أحد‬ ‫ٌ‬ ‫ٌ‬ ‫معلومة‬ ‫المتسابِق ْي ِن‪.‬‬ ‫مسار ِي ُ‬ ‫بين َ‬‫مسارا تُم ِّث ُل ُه المعادل ُة‪َ.x + 3x = y + 2 :‬أ ِجدُ نقط َة التقاط ِع َ‬ ‫آخر ً‬‫ُمتسابِ ٌق ُ‬ ‫‪2‬‬ ‫ِ‬ ‫(بداللة ‪. )y‬‬ ‫بالصورة القياس َّي ِة‬ ‫ِ‬ ‫أكتب المعادل َة ‪x +3x = y + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ُ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x + 3x-2 = y‬‬ ‫بطرح ‪ 2‬م َن الطر َف ِ‬ ‫ين‬ ‫ِ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = x +3x-2‬‬ ‫باستعمال الخاص َّي ِة التبديل َّي ِة‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬