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# Riferimento cartesiano e distanza tra due punti - Obiettivo: stabilire un collegamento tra - Oggetti geometrici (rette, coniche) - Oggetti algebrici (equazioni e disequazioni) - Assegnare ad ogni oggetto geometrico almeno un oggetto algebrico. - Esempio: ad una retta una equazion...

# Riferimento cartesiano e distanza tra due punti - Obiettivo: stabilire un collegamento tra - Oggetti geometrici (rette, coniche) - Oggetti algebrici (equazioni e disequazioni) - Assegnare ad ogni oggetto geometrico almeno un oggetto algebrico. - Esempio: ad una retta una equazione. ## Sistema di ascisse sulle rette - Sappiamo che: ad ogni numero reale si può far corrispondere un punto di una retta e viceversa. Si può parlare indistintamente di numeri reali o di punti su una retta. - Per questo dobbiamo: - Scegliere sulle rette un senso di percorrenza: **retta orientata**. - Questo senso viene indicato con una freccia e viene chiamato senso positivo (quello contrario viene detto senso negativo). - Sulle rette orientate, dobbiamo fissare arbitrariamente un punto O, detto origine. - Questo punto divide la retta r in due semirette: - Una positiva (che contiene tutti i punti mecessi di O nel senso positivo). - Una negativa (che contiene i punti che precedono O). - Sulle retter, fissiamo un altro punto U ≠ 0 e scegliamo come unità di misura della lunghezza dei segmenti, la lunghezza del segmento OU. - OU = lunghezza del segmento OU, rappresenta la misura (unità di minima u = 0). - Ad ogni punto P sulle rette r è associato uno ed un solo numero reale x tale che: - X = OP = lunghezza del segmento OP misurata secondo l'unità di misura u. - X appartiene alle semirette positive - X = -OP (il suo opposto) se P appartiene alla semiretta negativa. - Vale anche il viceversa: ∀X ∈ ℝ ⇒ ∃P ∈ retta r, tale che: - X = 0 ⇒ P = 0 (origine) - X > 0 ⇒ P ∈ semiretta positiva: OP = X - X < 0 ⇒ P ∈ semiretta negativa: OP = -X ## Quando su una retta viene fissato - un punto origine - un zero - un'unità di misura si dice che si è fissato un **sistema di ascisse** e si è così stabilita una **corrispondenza biunivoca** tra i punti delle rette e l'insieme dei numeri reali; ad ogni punto sulle rette corrisponde uno ed un solo numero reale e viceversa. - La retta viene pertanto elinetamente anche detta **retta reale** o **asse reale**. ## Relazione d'ordine dei numeri reali - La relazione d'ordine dei numeri reali equivale ad un preciso significato geometrico. - a < b ⇒ significa che il punto A di ascissa pari ad a, precede il punto B di ascissa pari a b, nella direzione positivo delle retta r. - Esempio: - A < b - |a| < |b| - a < b ## Grazie alla corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei numeri reali IR e la retta reale r, quando descriviamo un sottoinsieme di IR, in volte stiamo anche descrivendo un sottoinsieme delle rette r. - Particolari sottoinsiemi di R: - **Intervalli** sulle rette reali r ## Sono A e B i punti della retta che hanno ascissa a e b, con a < b. Consideriamo i seguenti sottoinsiemi dei numeri reali: - [a, b] insieme dei numeri reali x tali che: a ≤ x ≤ b - (a, b] insieme dei numeri reali x tali che: a < x ≤ b - [a, b) similmente. - (a, b) simimente. - A questi sottoinsiemi di numeri reali corrisponde il segmento di estremi A e B: - Estremi compresi - Escluso il primo estremo - Escluso il secondo estremo - Esclusi entrambi gli estremi. - [a, b] viene detto **intervallo chiuso**. - (a, b) viene detto **intervallo aperto**. - [a, b) viene detto **intervallo aperto a sinistra**. - (a, b] viene detto **intervallo aperto a destra**. - Tutti vengono detti **intervalli limitati**. - Altri insiemi di uso frequante sono: - (-∞, a] insieme di numeri reali x: x ≤ a - (-∞, a) similmente. - [a, +∞) similmente. - (a, +∞) similmente. - Se a = 0: - R+ = (0, +∞) - R+ = [0, +∞) - R_ = (-∞, 0) - R_ = (-∞, 0] ## Definizione di intervallo - Un sottoinsieme I di IR è detto intervallo se, ∀ X1, X2 ∈ IR e al sottoinsieme I, con X1 < X2 ⇒ I contiene anche tutti gli elementi x ∈ R tali che: X1 ≤ x ≤ X2. - Es. I = [0, 2] ∪ [4, 6] non è un intervallo, infatti se scegliamo X1 = 1 e X2 = 5 abbiamo che: - X1 < X2 / X1, X2 ∈I - ma: X = 3 ∈ R con X1 < X < X2 => X = 3 ∉ I, quindi I non è un intervallo. ## Valore Assoluto - Sia P un punto di ascisse x, abbiamo che: - la misura del segmento OP = x, se x > 0 - la misura del segmento OP = -x, se x < 0 - la misura del segmento OP = 0, se P = 0. - Viene definito **valore assoluto** del numero reale x e viene indicato con |x| - |x| = OP = { x, se x ≥ 0; -x, se x < 0 ## Osservazione 1 - Fissato un numero reali positivo a (a > 0, a ∈ R), la condizione |x| ≤ a è equivalente a x ∈ [-a, a] ovvero: - -a ≤ x ≤ a - Infatti: - Se x > 0: |x| ≤ a => x ≤ a => -a ≤ x ≤ a - Se x < 0: |x| ≤ a => -x ≤ a => x ≥ -a => -a ≤ x ≤ a ## Osservazione 2 - Dati i punti P e Q delle rette reali di ascisse x e y, rispettivamente, la misura del segmento PQ viene detta **distanza di P dal Q**. - d(P, Q) = |x - y| - d(O, P) = |x| - d(P, Q) = d(Q, P) - Esempio: - d(P, Q) = |2 - 5| = |-3| = 3 - d(P, Q) = |-2 - (-5)| = |-2 + 5| = |3| = 3 - d(P, Q) = |-2 - 1| = |-3| = 3 ## Punto Medio - Il punto M di ascissa (x + y) / 2 soddisfa la condizione: d(P, M) = d(M, Q) ⇒ M punto medio del segmento PQ. - Infatti: - d(P, M) = |x - (x + y) / 2| = |(2x - x - y) /2| = |(x - y) / 2| - d(M, Q) = |(x + y) / 2 - y| = |(x + y - 2y) / 2| = |(x - y) / 2| ## Proprietà del valore assoluto - |x| ≥ 0, ∀x ∈ ℝ e |x| = 0 <=> x = 0. - |x · y| = |x| · |y|, ∀x ∈ R e y ∈ R. - Disuguaglianza triangolare: |x + y| ≤ |x| + |y|, ∀x, y ∈ IR. ## Dimostrazione della disuguaglianza triangolare - Se x, y ∈ R, possiamo scrivere: - -|x| ≤ x ≤ |x| - -|y| ≤ y ≤ |y| - Sommando membro a membro: - - |x| - |y| ≤ x + y ≤ |x| + |y| - -(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ (|x| + |y|) - -a ≤ z ≤ a - Dalla Osservazione 1 segue che: |z| ≤ a, ossia |x + y| ≤ |x| + |y| ## Piano cartesiano - Trecciamo su un piano Euclideo π due rette r_x e r_y perpendicolari: r_x ⟂ r_y - E fissiamo su ciascuna di esse un sistema di ascisse tali che: - l'origine O sia il punto di intersezione di r_x e r_y - abbiano la stessa unità di misura - le loro orientazioni siano tali che le semirette positive r_x e r_y, in senso antiorario, si sovrappongano alle semirette positive r_y. - Le ascisse dei punti della retta r_x (dette asse x) vengono chiamate **ascisse** - Le ascisse dei punti della retta r_y (dette asse y) vengono chiamate **ordinate** - Asse x ⇒ asse delle ascisse - Asse y ⇒ asse delle ordinate - sono detti **assi cartesiani**. - Le coppie di ascisse e ordinate sono dette **coordinate**. - Il piano cartesiano è detto **riferimento cartesiano ortogonale**. ## Il piano dotato di un sistema di riferimento cartesiano può essere messo in corrispondenza biunivoca con il prodotto cartesiano ℝ², come con le coppie ordinate di numeri reali (x, y), tramite le seguenti costruzione: - Consideriamo un punto P nel piano π e trecciamo le rette s_x e s_y passanti per Pe parallele rispettivamente all'asse x e all'asse y. - Retta r_x ⇒ incontra l'asse x in un punto P₁, la cui ascissa è il numero reale x. - Retta r_y ⇒ incontra l'asse y in un punto Q₁, la cui ascissa sulla rette corrispondente all'asse y è il numero reale y. - Al punto P del piano abbiamo con associato la coppia ordinata di numeri reali (x, y) ∈ ℝ². ## Viceversa, data una coppia di numeri reali (x, y) ⇒ individuiamo sull'asse x il punto P₁ di ascissa x e sull'asse y il punto Q₁ di ascissa y. - Trecciamo la retta r_x passante per P₁ e parallela all'asse x. - Trecciamo la retta s_y passante per Q₁ e parallela all'asse y. - L'intersezione di queste due rette r_x e s_y individua il punto P del piano, che risulta con associato alla coppia ordinata (x, y) ∈ ℝ². - In queste costruzione: - Il numero reale x è detto **ascissa** di P. - Il numero reale y è detto **ordinata** di P. ## Quadranti - I = {(x, y) | x ∈ R⁺ e y ∈ R⁺} - II = {(x, y) | x ∈ R^- e y ∈ R⁺} - III = {(x, y) | x ∈ R^- e y ∈ R^-} - IV = {(x, y) | x ∈ R⁺ e y ∈ R^-} ## Distanza tra due punti - Siano P₁ = (x₁, y₁) e P₂ = (x₂, y₂). - La distanza tra P₁ e P₂, o d(P₁, P₂), è la misura del segmento P₁P₂. - Applicando il teorema di Pitagora al triangolo P₁P₂H si ha: - d(P₁, P₂) = √d(P₁, H)² + d(P₂, H)² = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)². ## Punto medio - Il punto M di ascissa (x₁ + x₂) / 2 è il punto medio del segmento P₁P₂. - Applicando i teoremi di similitudine ai triangoli P₁HM₂, P₂HM₂, P₁P₂H: - M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2 ) ## Alcuni sottoinsiemi del piano - Descrizione di un sottoinsieme del piano euclideo: - Fissato un sistema di riferimento cartesiano: dare informazioni sull'ascisse e sull'ordinata dei punti che costituiscono il sottoinsieme. ## Semipiano superiore / inferiore - L'asse x divide il piano euclideo in due semipiani: superiore / inferiore. - Il semipiano superiore è l'insieme dei punti che hanno ordinata maggiore o uguale a zero: - A = {(x, y) | (x, y) ∈ R² e y ≥ 0} - Il semipiano inferiore è l'insieme dei punti che hanno ordinata minore o uguale a zero: - B = {(x, y) ∈ R² | y ≤ 0} ## Equazione delle rette - Collegamento oggetti geometrici <=> oggetti algebrici. - L'insieme delle soluzione dell'oggetto algebrico (per es. equazione) rappresentato nel piano cartesiano, è l'insieme dell'oggetto geometrico collegato (per es. retta). ## Osservazioni - Ad ogni oggetto geometrico possiamo associare tante equazioni (anche infinite). - Le equazioni saranno spesso parametriche. ## Rette parallele all'asse y - r₁ = {(x, y) ∈ ℝ²: x = 3} - r₂ = {(x, y) ∈ ℝ²: x = -4} - Quindi le rette parallele all'asse y sono costituite dai punti del piano che hanno tutti la stessa ascissa: - r = {(x, y) ∈ ℝ²: x = a}, con a ∈ R generico. ## Rette parallele all'asse x - r₁ = {(x, y) ∈ ℝ²: y = 2} - r₂ = {(x, y) ∈ ℝ²: y = -3} - Le rette parallele all'asse x sono costituite dai punti del piano che hanno tutti la stessa ordinata: - r = {(x, y) ∈ ℝ²: y = a}, con a ∈ R. - Nei due casi precedenti: - x = a - y = a sono le equazioni che descrivono i due tipi di rette. ## Esercizio - Determinare l'equazione delle rette r₁ passante per P = (1, -4) e parallela all'asse y e delle rette r₂ passante per P₁ e parallela all'asse x. - Soluzione: - r₁: x = 1 - r₂: y = -4 ## Rette in posizione generica ## Retta passante per due punti - Siano P₁ = (x₁, y₁) e P₂ = (x₂, y₂) due punti del piano, tali che x₁ ≠ x₂ e y₁ ≠ y₂ (questa condizione ci serve per non ricadere nei casi precedenti di rette parallele agli assi). - Supponiamo di dover determinare l'equazione delle rette passante per essi. - Consideriamo un punto generico P = (x, y) appartenente alla retta r: - PP₂K - PHP₁ - P₂KP₁ sono simili ⇒ - P₁H: P₂K = HP₂: KP₁ - Il punto P del piano, che risulta con associato alla coppia ordinata (x, y) ∈ ℝ². ## Equazione della retta passante per due punti - x - x₁ / x₂ - x₁ = y - y₁ / y₂ - y₁ ## Ponendo: - a = y₂ - y₁ - b = x₂ - x₁ - c = x₂y₁ - x₁y₂ - otteniamo l'equazione delle rette in forma implicita: ax + by + c = 0 ## Un generico punto P = (x_p, y_p) appartiene alle rette r di equazione ax + by + c = 0, se x_p e y_p soddisfano l'equazione di r. - In pratica, noi andiamo a sostituire le coordinate di P nelle equazioni di r. ## Esempi - Verificare se P = (1, 2) appartiene alla retta r di equazione 3x - y - 1 = 0 - P = (1, 2) ∈ r ⇒ 3.1 - 2 - 1 = 0 <=> 0 = 0. SI, perché P = (1, 2) appartiene alle rette r. - Stabilire se P = (1, 2) appartiene alla retta r di equazione 3x - 2y - 1 = 0. - P = (1, 2) ∈ r ⇒ 3.1 - 2.2 - 1 = 0 ⇔ -2 = 0. NO, perché P = (1, 2) non appartiene alla retta r. ## Equazioni della retta in forma esplicita - ax + by + c = 0 ⇒ by = -ax - c ⇒ y = (-a / b)x - c / b - Ponendo: - m = -a / b - q = -c / b ⇒ y = mx + q. - La forma esplicita: - m = coefficiente angolare - q = termine noto / intercetta - (m = tan α) <start_of_image> Where α is the angle between the axis x and the line. ## Consideriamo il coefficiente angolare - La retta solita, l'angolo acuto ⇒ m > 0, retta crescente - La retta solita, l'angolo ottuso ⇒ m < 0, retta decrescente - m = 0 ⇒ y = mx + q ⇒ y = q: retta parallele all'asse x - m ≠ 0 ⇒ retta propria / non orizzontale. ## Riscriviamo l'equazione delle rette passante per due punti: - P₁ = (x₁, y₁) + P₂ = (x₂, y₂): - x - x₁ / x₂ - x₁ = y - y₁ / y₂ - y₁ - Rendiamolo in forma esplicita - y - y₁ = (y₂ - y₁ / x₂ - x₁) · (x - x₁) - y = (y₂ - y₁ / x₂ - x₁) · (x - x₁) + y₁ ⇒ m = y₂ - y₁ / x₂ - x₁. - q = y₁ - (y₂ - y₁ / x₂ - x₁) · x₁ ## Equazione delle rette dato un punto e il coefficiente angolare - Sia P₁ = (x₁, y₁) un punto della retta r e m = il coefficiente angolare di r. - L'equazione della retta r è data da: y -y₁ = m(x - x₁). - Infatti dalla relazione: - y = mx + y₁ - m.x₁ ⇒ - y - y₁ = mx - mx₁ ⇒ - y - y₁ = m(x - x₁) ## Esempio - Determinare l'equazione della retta passante per A = (2, 1) sapendo che il suo coefficiente angolare è m = 1/2. - y - 1 = 1/2(x - 2) ⇒ y = 1/2x + 1 - 1 ⇒ y = 1/2x. ## Osservazione - Se il punto P = (x_p, y_p) è assegnato e il coeff. angolare m può variare ⇒ fascio di rette per P: - y - y_p = m(x - x_p) - Se invece conosciamo solo il coefficiente angolare m e non è fissato alcun punto ⇒ fascio di rette parallele: - m = coefficiente angolare indica l'inclinazione di una retta. - Retta con le stesse inclinazioni sono parallele. ## Rette parallele - Teorema: due rette non parallele all'asse y sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare. ## Esercizio - Stabilire se la retta - r₁: y = 2x + 1 - r₂: 3x - 2y + 4 = 0 sono parallele. - m₁ = 2 - m₂: -2y = -3x -4 ⇒ y = 3/2x + 2 = m₂ = 3/2 ⇒ r₁ // r₂ ## Esercizio - Determinare l'equazione della retta r passante per il punto P = (1, 2) e parallela alla retta s di equazione y = -3x + 9. - m = -3 ⇒ - r: y - 2 = -3(x - 1) ⇒ - y = -3x + 3 + 2 ⇒ - y = -3x + 5 ## Rette perpendicolari - Teorema: due rette non parallele agli ami cartesiani sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è pari a -1. ## Esercizio - Determinare l'equazione delle rette r passente per il punto P = (1, 2) e perpendicolare alle rette s di equazione y = -3x + 9. - s: y = -3x + 9 - m_s = -3 - r: y - 2 = m_r(x - 1) ⇒ - m_r · m_s = -1 ⇒ m_r · (-3) = -1 ⇒ -3m_r = -1 ⇒ m_r = 1/3 - r: y - 2 = 1/3(x - 1) ⇒ 3y - 6 = x - 1 ⇒ x - 3y + 5 = 0 ## Distanza di un punto P = (x_o, y_o) dalla retta r - Sia r: y = mx + q - Trecciamo le rette s e l_r e passante per P₁: - s: y - y_o = -1/m(x - x_o) - Calcoliamo le coordinate del punto H di intersezione tra s e r: - y = mx + q - y - y_o = -( x - x_o) / m - mx + q - y_o = -(x - x_o) / m - (m² + 1)x = x_o + my_o - mq - y = mx + q - quindi x = (x_o + my_o - mq) / (m² + 1). - y = m(x_o + my_o - mq) / (m² + 1) + q ⇒ (coordinate di H) - d(P, r) = d(P, H) = √ (x_H - x_o)² + (y_H - y_o)² - = √ (x_o + my_o - mq - x_o)² + (m(x_o + my_o - mq) / (m² + 1) + q - y_o)² - = √1 / (m² + 1) · [(x_o + my_o - mq - m²x_o)² + (m(x_o + my_o - mq) + q(m² + 1) - y_o(m² + 1))²] - = √1 / (m² + 1) · [m²(y_o - q)² + m⁴x_o² - 2m³x_o(y_o - q) + m²x_o² + (y_o - q)² - 2mx_o(y_o - q) - 2m²y_o(y_o - q) + (m² + 1)(y_o - q)²] - = √1 / (m² + 1) · [(m² + 1)(y_o - q)² + (m² + 1)m²x_o² - 2mx_o(y_o - q)(m² + 1)] - = √(m² + 1) · [(y_o - q)² + m²x_o² - 2mx_o(y_o - q)] / (m² + 1)² - = √(m² + 1)² [(y_o - q)² + m²x_o² - 2mx_o(y_o - q)] / (m² + 1)² - = √[(m² + 1)(y_o - q)² + m²(m² + 1)x_o² - 2m(m² + 1)x_o(y_o - q)] / (m² + 1)² - = √(m² + 1)[(y_o - q)² + m²x_o² - 2mx_o(y_o - q)] / (m² + 1) - = √[(m² + 1)(y_o - q)² + m²(m² + 1)x_o² - 2m(m² + 1)x_o(y_o - q)] / (m² + 1) - = √(m² + 1)[(y_o - q)² + m²x_o² - 2mx_o(y_o - q)] / (m² + 1) - = √(m² + 1)[(y_o - q)² + m²x_o² - 2mx_o(y_o - q)] / (m² + 1) - d(P, r) = √m²x_o² - 2mx_o(y_o - q) + (y_o - q)² / (m² + 1) - d(P, r) = √(mx_o - (y_o - q))² / (m² + 1) - d(P, r) = |mx_o - (y_o - q)| / √(m² + 1) - d(P, r) = |mx_o - y_o + q| / √(m² + 1) ## Se retta in forma implicita: r: ax + by + c = 0 ⇒ - d(P, r) = |ax_o + by_o + c| / √(a² + b²)