Le rendement et le risque PDF

Le rendement et le risque Attitude rationnelle vis-à-vis du risque Par Prof. Daname KOLANI, PhD [email protected] ENCG-Casablanca Chapitre 2 du Cours S7 en Gestion de Portefeuille 25 octobre 2024  In...

Le rendement et le risque Attitude rationnelle vis-à-vis du risque Par Prof. Daname KOLANI, PhD [email protected] ENCG-Casablanca Chapitre 2 du Cours S7 en Gestion de Portefeuille 25 octobre 2024  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Plan 1 Introduction 2 Crière de l'espérance d'utilité 3 L'aversion vis-à-vis du risque 4 Aversion absolue pour le risque Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 2/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Critères de décision en situation risquée Les individus face au risque : En situation risquée, les individus utilisent divers critères pour leurs décisions. Les critères les plus utilisés : Pascal : Évaluation basée sur l'espérance mathématique. Bernoulli : Estime l'espérance d'utilité des scénarios. Critère généralisé par Von Neumann et Morgenstern. Introduction de concepts clés : Paradoxe de Saint-Petersbourg. Courbure de la fonction d'utilité : aversion au risque. Notions d'équivalent certain et de prime de risque. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 3/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Objectifs de ce chapitre Les objectifs de ce chapitre sont : Mesurer l'aversion vis-à-vis du risque via la prime de risque ; Appréhender l'attitude des investisseurs face au risque ; Compléter l'aversion vis-à-vis du risque par la prudence ; Mesurer le rendement par l'espérance et le risque par la variance ou l'écart-type. Le fait que des individus puissent implicitement se référer à des fonctions d'utilité sous-tend l'hypothèse de leur rationalité. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 4/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Le paradoxe de Saint-Pétersbourg Contexte Historique : L'espérance d'utilité a été introduit par Daniel Bernoulli en 1738. Généralisé par von Neumann et Morgenstern (1947). Met en lumière les limites de l'espérance mathématique pour les décisions sous incertitude. Principe du Paradoxe : Un individu est confronté à deux options avec des valeurs et probabilités diérentes. L'espérance mathématique semble favoriser une option, mais l'individu fait un choix opposé. Problématique : Comment expliquer ce choix qui alors allait à l'encontre du paradigme de l'espérance mathématique ? Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 5/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Espérance Mathématique et Jeu équitable Qu'est-ce que l'Espérance Mathématique ? Dénition Un jeu propose des gains x1 , x2 ,... , xn avec des probabilités p1 , p2 ,... , pn. L'espérance mathématique (ou espérance) E de ce jeu est donnée par : E(r) = x1 × p1 + x2 × p2 + · · · + xn × pn L'espérance de gain est utilisée pour concevoir un jeu équitable. Jeu équitable Un jeu est équitable, d'un point de vue actuariel, lorsque le coût de participation au jeu est égal à l'espérance de gain. Ainsi, la valeur nette du jeu est égale à zéro. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 6/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Exemple Illustratif : Le Mendiant et le Marchand Le Mendiant à Saint-Pétersbourg Un mendiant possède un billet de loterie pouvant lui faire gagner 10 000 UM avec une probabilité de 0,5. Un riche marchand lui propose immédiatement 4 500 UM pour racheter son billet. Analyse des Espérances : Conserver le billet : Espérance = 0, 5 × 10000 + 0, 5 × 0 = 5000 UM Vendre le billet : Espérance = 1, 0×4500 = 4500 UM (proposition du marchand) Résultat Paradoxal : Le mendiant accepte l'ore du marchand, malgré l'espérance mathématique plus élevée de la première option. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 7/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Le Paradoxe de Saint-Pétersbourg : Explications de Bernoulli Daniel Bernoulli a proposé deux explications pour lever le paradoxe de Saint-Pétersbourg : La notion d'utilité : Ce qui importe aux individus, ce ne sont pas les résultats des multiples situations auxquels ils font face, mais l'utilité qu'ils retirent de ces diérents résultats. Le principe de l'utilité marginale décroissante : L'utilité augmente de moins en moins vite à mesure que les individus s'enrichissent. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 8/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Comparaison des Niveaux d'Utilité Utilité dérivée du ticket de loterie : Avec le ticket de loterie : le mendiant atteint un niveau d'utilité de 0, 5u(10 000) + 0, 5u(0). Avec les 4 500 UM : il obtient un niveau d'utilité de u(4 500). Résultat : 0, 5u(10 000) + 0, 5u(0) ≤ u(4 500) Le mendiant choisit 4 500 UM car son utilité espérée est plus élevée. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 9/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Fonction d'Utilité Logarithmique Le Jeu proposé par Bernoulli Bernoulli imagine un jeu où un joueur lance une pièce jusqu'à ce que le côté face apparaisse. Le nombre de jets de la pièce détermine le gain : si face apparaît après n jets, le joueur remporte 2n UM. Le joueur doit alors décider combien il est prêt à miser pour participer à ce jeu. Règles du jeu : Le joueur lance une pièce jusqu'à ce que face apparaisse. Chaque jet est indépendant, avec une probabilité de 12 pour que face apparaisse à chaque tour. Si face apparaît au n-ième jet, le joueur reçoit un gain de 2n unités monétaires (UM). Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 10/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Fonction d'Utilité Logarithmique L'espérance mathématique du gain est innie : 1 11 1 Gain espéré = ×2+ ×4+ ×8+· · ·+ ×2n = 1+1+1+· · · = ∞ 2 48 2n ∞  n ∞ X 1 X 2n = 1. 2 n=1 n=1 Conclusion : Selon la règle de l'espérance mathématique, le joueur devrait être prêt à payer une somme innie pour participer à ce jeu. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 11/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Solution de Bernoulli avec Utilité Logarithmique L'espérance d'utilité avec fonction logarithmique : ∞  n X 1 u(2n ) 2 n=1 Dans le cas d'une fonction d'utilité logarithmique : ∞  n X 1 ln(2n ) = ln(4). 2 n=1 Conclusion : Le jeu procure à l'individu la même utilité que 2 UM. L'individu ne misera pas plus de 2 UM pour participer au jeu. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 12/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque L'axiomatique de von Neumann et Morgenstern Le critère de l'espérance d'utilité repose sur un ensemble d'axiomes qui régissent la prise de décision dans des situations incertaines. Comparabilité Transitivité Continuité Indépendance Monotonie Ces axiomes permettent de garantir qu'une fonction d'utilité existe pour représenter les préférences d'un décideur rationnel. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 13/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Axiome de Comparabilité Principe : Entre deux loteries L et L , on peut toujours dire ′ laquelle est préférée ou s'il y a indiérence. Expression mathématique : ∀L, L′ , soit L ≻ L′ ou L′ ≻ L ou L ∼ L′ Exemple numérique : Loterie 1 : Gagner 100 UM avec probabilité 0,5. Loterie 2 : Gagner 80 UM avec probabilité 0,5. Si un individu préfère la Loterie 1, on a L1 ≻ L2. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 14/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Axiome de Transitivité Principe : Si L est préférée à L ′ et L′ est préférée à L′′ , alors L est préférée à L′′. Expression mathématique : ∀L, L′ , L′′ si L ≻ L′ et L′ ≻ L′′ alors L ≻ L′′ Exemple numérique : L1 : Gagner 100 UM avec probabilité 0,5. L2 : Gagner 80 UM avec probabilité 0,5. L3 : Gagner 50 UM avec probabilité 0,5. Si L1 ≻ L2 et L2 ≻ L3 , alors L1 ≻ L3. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 15/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Axiome de Continuité Principe : Une loterie intermédiaire peut être exprimée comme une combinaison de deux autres loteries. Expression mathématique : ∀L, L′ , L′′ si L ≻ L′ ≻ L′′ alors ∃p ∈ [0, 1] tel que L′ ≈ Lote Exemple numérique : L1 : Gagner 100 UM. L2 : Gagner 80 UM. L3 : Gagner 50 UM. Si L1 ≻ L2 ≻ L3 , alors L2 peut être exprimée comme une combinaison de L1 et L3 , par exemple L2 ≈ Loterie(L1 , L3 ; 0, 7, 0, 3). Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 16/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Axiome d'Indépendance Principe : Si deux loteries sont équivalentes, elles peuvent être échangées à l'intérieur d'une autre loterie sans aecter l'équilibre. Expression mathématique : ∀L, L′ , L′′ , L′′′ si L ≈ L′ et L′′ ≈ L′′′ alors Loterie(L, L′′ ; p, 1− Exemple numérique : Si L 1 ≈ L2 et L3 ≈ L4 , alors Loterie(L1 , L3 ; 0, 5, 0, 5) est équivalente à Loterie(L2 , L4 ; 0, 5, 0, 5). Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 17/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Axiome de Monotonie Principe : Si deux loteries sont composées des mêmes résultats, celle avec la plus grande probabilité pour le meilleur résultat sera préférée. Expression mathématique : ∀L, L′ , L′′ , L′′′ si L = Loterie(L′ , L′′′ ; q, 1−q) et L′ ≻ L′′ ≻ L′′′ Exemple numérique : L1 : Gagner 100 UM avec probabilité p = 0, 6. L2 : Gagner 100 UM avec probabilité q = 0, 4. L1 est préféré à L2 car p > q. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 18/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Remarque Notation : ≻ désigne la préférence stricte. ≈ désigne l'équivalence entre loteries. Loterie(L, L′ ; p, 1 − p) signie qu'on obtient L avec probabilité p et L′ avec probabilité 1 − p. Conclusion : L'existence d'une fonction d'utilité permet de représenter les préférences à travers l'espérance d'utilité. L ≻ L′ si et seulement si Eu(L) > Eu(L′ ). Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 19/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Contexte Les agents économiques prennent leurs décisions en faisant face à diverses formes de risques. Objectif : Comprendre l'attitude des individus face au risque et mesurer la quantité de risque perçue dans une situation. Hypothèse : Un individu possède une richesse sûre w0 et une loterie x̃. La richesse nale est w0 + x̃. Proposition : Remplacer la loterie par son espérance mathématique w0 + E(x̃). La décision prise permet de connaître l'attitude face au risque. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 20/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Types d'attitude face au risque Trois comportements possibles : Préférence pour la situation risquée. Indiérence entre la situation risquée et la situation non risquée. Préférence pour la situation non risquée (aversion pour le risque). Catégorisation : Riscophile: Rejette la proposition et préfère le risque. Neutre au risque : Indiérent face à la proposition. Riscophobe : Accepte l'échange et préfère la sécurité. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 21/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Exemple Numérique : Portefeuille et Action XYZ Hypothèse : Un portefeuille de 500 000 UM avec une action XYZ. Résultats de l'action : 100 000 UM, 50 000 UM ou -75 000 UM. Probabilités associées : 0,5 ; 0,3 ; 0,2. Proposition : Remplacer l'action XYZ par des bons du Trésor de 50 000 UM. Richesse sûre après échange : 550 000 UM. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 22/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Résultats et Interprétation Situation Risquée : Probabilités et montants : 0, 5 × 600000 + 0, 3 × 550000 + 0, 2 × 425000 = 550000 UM en moyenne Décision : Si l'individu accepte l'échange pour des bons du Trésor : Riscophobe. Si l'individu rejette l'échange : Riscophile. Si l'individu est indiérent à l'échange : On dit qu'il est risque neutre Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 23/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Expression via la fonction d'utilité Critères selon la fonction d'utilité : Aversion au risque : L'utilité de la situation moyenne excède celle de la situation aléatoire : u(w0 + E(x̃)) > Eu(w0 + x̃). Neutre au risque : L'utilité des deux situations est égale : u(w0 + E(x̃)) = Eu(w0 + x̃). Attirance pour le risque : L'utilité de la situation moyenne est inférieure à celle de la situation aléatoire : u(w0 + E(x̃)) < Eu(w0 + x̃). Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 24/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Exemple avec la fonction d'utilité I Fonction d'utilité utilisée : 1 u(w) = w − × 10−7 × w2 2 Richesse nale : L'individu détient un portefeuille avec trois résultats possibles : 600 000 UM avec probabilité 0,5. 550 000 UM avec probabilité 0,3. 425 000 UM avec probabilité 0,2. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 25/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Représentation de la Loterie Arbre de décision : 600 000 UM u(600 000) = 582 000 P = 0.5 P = 0.3 500 000 UM 550 000 UM u(550 000) = 534 875 P = 0.2 425 000 UM u(425 000) = 415 968.75 Tableau : Scénario Probabilité Richesse nale Utilité Optimiste 0.5 600 000 UM u(600 000) = 582 000 Réaliste 0.3 550 000 UM u(550 000) = 534 875 Péssimiste 0.2 425 000 UM u(425 000) = 415 968.75 Espérance 1.0 E(x̃) = 550 000 E(u(x̃)) = 534 656.25 Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 26/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Inégalité de l'utilité espérée u(w0 + E(x̃)) > E(u(w0 + x̃)) Où : w0 = 500 000 est la richesse initiale, E(x̃) = 50 000 est l'espérance des gains possibles. Estimation de u(w0 + E(x̃)) La fonction d'utilité utilisée est : 1 u(w) = w − × 10−7 × w2 2 Calculons : w0 + E(x̃) = 500 000 + 50 000 = 550 000 1 u(550 000) = 550 000 − × 10−7 × (550 000)2 2 = 550 000 − 15 125 = 534 875 Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 27/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Utilité apportée par le Cash et Bons du Trésor Utilité du Cash et Bons du Trésor : u(E(550 000)) = 519 750 UM. est le même que : E(u(550 000)) = 519 750 UM. 1 u(550 000) = 550 000 − × 10−7 × (550 000)2 2 = 550 000 − 15 125.0 = 534 875.0 Conclusion : L'individu aurait probablement une préférence pour les bons du Trésor, puisque l'utilité espérée de ceux-ci est supérieure à l'utilité du portefeuille. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 28/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Exemple avec la fonction d'utilité II Considérons cette fonction d'utilité : 1 u(w) = × w2 106 600 000 UM u(600 000) = 360 000.00 P = 0.5 P = 0.3 500 000 UM 550 000 UM u(550 000) = 302 500.00 P = 0.2 425 000 UM u(425 000) = 180 625.00 Scénario Probabilité Richesse nale Utilité Optimiste 0.5 600 000 UM u(600 000) = 360 000 Réaliste 0.3 550 000 UM u(550 000) = 302 500 Péssimiste 0.2 425 000 UM u(425 000) = 180 625 Espérance 1.0 E(x̃) = 550 000 E(u(x̃)) = 306 875 Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 29/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Inégalité de l'utilité espérée u(w0 + E(x̃)) < E(u(w0 + x̃)) Où : w0 = 500 000 est la richesse initiale, E(x̃) = 50 000 est l'espérance des gains possibles. Estimation de u(w0 + E(x̃)) La fonction d'utilité utilisée est : 1 u(w) = × w2 106 Calculons : w0 + E(x̃) = 500 000 + 50 000 = 550 000 1 u(550 000) = × (550 000)2 = 302 500 106 Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 30/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Utilité apportée par le Cash et Bons du Trésor Utilité du Cash et Bons du Trésor : 1 u(E(550 000)) = × (550 000)2 = 302 500 UM. 106 est le même que : E(u(550 000)) = 302 500 UM. Conclusion : L'individu aurait probablement une préférence pour le portefeuille risqué, puisque l'utilité de celui-ci est supérieure à celle des bons du Trésor. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 31/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Prol de risque et Fonction d'utilité Considérons un individu détenant une richesse sûre et certaine w0 et possédant en outre une loterie x̃. w̃, une variable aléatoire décrivant la richesse nale, soit : w̃ = w0 + x̃ w′, correspondant au cas où l'individu subit une perte maximale xmin dans la loterie, soit : w′ = w0 + xmin w′′, correspondant au cas où l'individu reçoit le gain maximal xmax dans la loterie, soit : w′′ = w0 + xmax w, correspondant à l'espérance mathématique des gains : w = E[x̃] Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 32/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Fonction d'utilité concave Rendements marginaux décroissants. La fonction est concave, si u′′(w) < 0 L'utilité d'une unité additionnelle de richesse diminue avec l'augmentation de la richesse. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 33/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Fonction d'utilité linéaire Rendements marginaux constants. Si u′′(w) = 0, la fonction est linéaire. L'utilité d'une unité additionnelle de richesse ne change pas. Une variation de 1 à 10 ou de 100 à 110 est équivalent en termes d'utilité. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 34/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Fonction d'utilité convexe Rendements marginaux croissants. Si u′′(w) > 0, la fonction est convexe. L'utilité d'une unité additionnelle de richesse augmente avec l'augmentation de la richesse. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 35/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Inégalité de Jensen et Fonction d'Utilité Si la fonction d'utilité est concave : l'espérance d'utilité de la richesse nale est inférieure à l'utilité de la richesse moyenne : u(w0 + E(x̃)) > Eu(w0 + x̃) L'individu présente une aversion pour le risque Si la fonction d'utilité est linéaire, l'individu est risque neutre u(w0 + E(x̃)) = Eu(w0 + x̃) Si la fonction d'utilité est convexe (dérivée seconde positive), l'espérance d'utilité de la richesse nale est supérieure à l'utilité de la richesse moyenne : u(w0 + E(x̃)) < Eu(w0 + x̃) L'individu présente une attirance pour le risque. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 36/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Remarque sur la Fonction d'Utilité dans la Réalité Ceci a été mise en évidence par la théorie des perspectives (ou Prospect theory), développée par Daniel Kahneman et Amos Tversky en 1979. Elle remet en cause la théorie de l'utilité espérée développée par John von Neumann et Oskar Morgenstern en 1944. Cette théorie est fondatrice de l'économie comportementale et de la nance comportementale Aversion aux pertes : Les individus ressentent plus fortement les pertes que les gains. Cela est modélisé en utilisant des coecients diérents pour les gains et les pertes. La théorie des perspectives part de l'aversion à la perte, une forme asymétrique d'aversion au risque. Sensibilité décroissante : L'utilité est concave pour les gains (aversion au risque) et convexe pour les pertes (recherche du risque). Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 37/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 38/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Introduction aux concepts L'appréhension du risque repose sur trois concepts fondamentaux : L'équivalent certain Le prix de vente La prime de risque Ces notions permettent d'évaluer l'attitude des individus face à l'incertitude. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 39/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Dénition : L'équivalent certain Il s'agit ici de déterminer le montant sûr et certain par lequel on peut remplacer la richesse nale et la loterie sans pour autant modier le niveau d'utilité. u(EQC) = Eu(w0 + x̃) Dénition On appelle équivalent certain, la richesse sûre et certaine qui procure le même niveau d'utilité que la richesse initiale et la loterie Le meilleur choix est celui qui présente l'équivalent certain le plus élevé, permettant de choisir des options sans risque de manière plus éclairée. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 40/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Exemple : Fonction concave En résolvant : 1 EQC − × 10−7 × EQC 2 = 534 656.25 2 −10−7 EQC 2 + 2EQC − 1069312.5 = 0 On obtient : EQC1 = 549 768.52 ((( EQC =(19 ((2( (450 ((231.48 ( Cela signie que la détention du portefeuille est équivalente en utilité à un montant de 549 768.52 UM en cash. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 41/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Exemple : Fonction convexe Pour une fonction d'utilité convexe : 1 2 u(w) = w 106 L'équivalent certain est donné par : 1 EQC 2 = 306 875.0 106 On obtient : EQC = 553 963 Cela signie que la détention du portefeuille est équivalente en utilité à un montant de 553 963 UM en cash. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 42/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Dénition : Le prix de vente Dénition On appelle prix de vente de la loterie la valeur qu'un individu accorde à cette loterie Le prix de vente est la valeur qu'un individu accorde à une loterie. Il est donné par : pv(w0 , x̃) = EQC − w0 Ce prix représente le montant que l'individu est prêt à payer pour se débarrasser du risque ou à accepter pour l'assumer. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 43/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Exemple : Fonction concave et convexe Fonction concave : pv(w0 , x̃) = 549 768.52 − 500 000 = 49 768.52 Fonction convexe : pv(w0 , x̃) = 553 963 − 500 000 = 53 963 Ces prix de vente indiquent la valeur que l'individu accorde à la loterie en fonction de son aversion au risque. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 44/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Dénition : La prime de risque Dénition La prime de risque est la quantité de risque perçue par un individu. c'est le montant maximal d'argent qu'un individu accepte de perdre pour éviter le risque : Π(w0 , x̃) = E(x̃) − pv(w0 , x̃) Elle quantie l'écart entre l'espérance mathématique de la richesse et le prix de vente, mesurant ainsi le risque. La prime de risque est positive dans le contexte d'un comportement avers au risque La prime de risque est négative dans le contexte d'un comportement attiré par le risque Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 45/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Exemple : Prime de risque Fonction concave : Π(w0 , x̃) = 50 000 − 49 768.52 = 231.47 Fonction convexe : Π(w0 , x̃) = 50 000 − 53 963 = −3 963 La prime de risque est positive pour les individus averses au risque ou riscophobe et négative pour les individus attirés par le risque ou riscophile. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 46/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Développement de la Prime de Risque Relation entre l'équivalent certain et la prime de risque En remplaçant le prix de vente dans la relation de la prime de risque, on obtient : Π(w0 , x̃) = E(x̃) − EC + w0 D'où l'expression de l'équivalent certain : EC = w0 + E(x̃) − Π(w0 , x̃) Cela conduit à la relation fondamentale : Eu(w0 + x̃) = u(w0 + E(x̃) − Π(w0 , x̃)) Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 47/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Approche de Pratt pour les Petits Risques Pour de petits risques (inférieurs à 20% de la richesse initiale), J. Pratt (1964) a obtenu l'approximation suivante, grâce à un développement limité de Mc Laurin (au degré 2 du développement) u′′ (w0 + E(x̃)) σ 2 Π(w0 , x̃) ≈ − u′ (w0 + E(x̃)) 2 ′′ Où uu′ (w) (w) , une composante subjective liée à l'individu qu'on appelle le coecient d'aversion absolue Ra Où σ2 est la composante objective qui mesure le risque de 2 la loterie et qui est la motié de la variance de la loterie. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 48/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Coecient d'Aversion Absolue pour le Risque Les composantes de la prime de risque La prime de risque se compose de : ′′ Une composante subjective − uu′ (w) (w) liée à l'individu : coecient d'aversion absolue Ra. Une composante objective σ2 , qui mesure le risque. 2 Proposition : 1 Ra est positif, négatif, ou nul selon l'attitude face au risque. 2 Plus Ra est élevé, plus l'aversion au risque est forte. 3 Ra mesure la courbure de la fonction d'utilité. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 49/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque La notion de variance Dénition La variance d'une variable aléatoire V (X) ou σ 2 est l'espérance mathématique du carré de l'écart à l'espérance mathématique. C'est un paramètre de dispersion qui correspond au moment centré d'ordre 2 de la variable aléatoire X ou x̃. V (X) = E (X − E(X))2   Autre notation : V (X) = E (X − E(X))2   V (X) = E(X 2 ) − 2E(X)2 + E(X)2 = E(X 2 ) − [E(X)]2 Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 50/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Calcul de la Variance et de la Richesse Espérée Les résultats de la loterie sont : 600 000 UM avec une probabilité de 0.5, 550 000 UM avec une probabilité de 0.3, 425 000 UM avec une probabilité de 0.2. Richesse espérée : E(w̃) = 550 000 UM Variance de la loterie : σ 2 = (0, 5 × 600 0002 + 0, 3 × 550 0002 + 0, 2 × 425 0002 ) − 5500002 σ 2 = 4 375 000 000 Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 51/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Décomposition de la Prime de Risque de Pratt - Fonction Concave Pour une fonction d'utilité concave : 1 u(w) = w − × 10−7 × w2 2 Composante subjective : −10−7 Ra = ≈ −1.05 × 10−7 1 − 10−7 × 500 000 Composante objective : σ2 4 375 000 000 = = 2 187 500 000 2 2 Prime de risque : Π(w0 , x̃) = −(−1.05 × 10−7 × 2 187 500 000) = 229.69 UM Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 52/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Décomposition de la Prime de Risque de Pratt - Fonction Convexe Pour une fonction d'utilité convexe : 1 2 u(w) = w 106 Composante subjective : 1 Ra = = 2 × 10−6 500 000 Composante objective : σ2 = 2 187 500 000 2 Prime de risque : Π(w0 , x̃) = −(2 × 10−6 × 2 187 500 000) = −4 375 UM Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 53/54  Introduction Crière de l'espérance d'utilité L'aversion vis-à-vis du risque Aversion absolue pour le risque Lien entre Équivalent Certain et Markowitz Maximisation de l'espérance d'utilité et critères de Markowitz L'équivalent certain se calcule par : 1 u′′ (w) 2 EC ≈ µ − σ 2 u′ (w) Cela est équivalent à la maximisation selon Markowitz pour des distributions normales : 1 EC = µ − σ 2 2 Similaire à la recherche de la frontière eciente. Daname K. - 25 octobre 2024 Gestion de Portefeuille 54/54