Régimes dynamiques machines électriques PDF

Régimes dynamiques machines électriques [email protected] H. Menana - Université de Lorraine - GREEN 1  Sommaire I. Généralités sur les régimes transitoires en électrotechnique II. Modèle dynamique d’u...

Régimes dynamiques machines électriques [email protected] H. Menana - Université de Lorraine - GREEN 1  Sommaire I. Généralités sur les régimes transitoires en électrotechnique II. Modèle dynamique d’une MCC III. Modèles dynamiques de machines à courant alternatif Transformation de Park Modèle dynamique de la machine asynchrone Modèle dynamique de la machine synchrone 20h CM , 10h TD 2h CM , 4h TD faits par F. W. H. Menana - Université de Lorraine - GREEN 2 I- Généralités sur les régimes transitoires en électrotechnique Introduction Rappel des équations électriques Paramètres électriques et mouvement Rappels Mathématiques 3 H. Menana - Université de Lorraine - GREEN Introduction Toute variation de l’état d’un système (alimentation, charge, variation des paramètres, défauts… ) s’accompagne d’un régime transitoire avant d’atteindre le régime établi Etude du comportement dynamique des machines électriques est crucial Etude de stabilité Commande Gestion de l’énergie Sécurité aux transitoires Etude de défauts Dimensionnement des protections …. Régime transitoire Étude temporelle Equations différentielles (EDP, EDO) Notion de constante de temps Verrous : Non-linéarités des paramètres Mouvements (dépendance des paramètres de la position) 4 H. Menana - Université de Lorraine - GREEN  Rappel des équations électriques 𝑅 𝐿 𝐶 𝑖1 𝑖2 𝑖 𝑖 𝑖 𝑀 𝑑𝜑1 𝑑𝑖1 𝑑𝑖2 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣1 = = 𝐿1 +𝑀 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑣1 𝐿1 𝐿2 𝑣2 𝑑𝜑2 𝑑𝑖2 𝑑𝑖1 𝑑𝜑 𝑑𝑖 𝑑𝑞 𝑑𝑣 𝑣2 = = 𝐿2 +𝑀 𝑣= =𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑣 = 𝑅𝑖 𝑖= =𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 La perméabilité magnétique du fer dépend de l’induction en raison de la saturation Dans ce cas, la définition d’une inductance n’est en principe pas possible puisqu’il n’y a plus de proportionnalité entre le flux et le courant Néanmoins, dans le cadre d’une modélisation par des circuits électriques équivalents, il est possible d’utiliser une « inductance saturable » - Ls : Inductance statique - Ld: Inductance dynamique Dans le cadre de ce cours, on ne considéreras que des matériaux linéaires 5 H. Menana - Université de Lorraine - GREEN Paramètres électriques et mouvement Dans le cas des actionneurs électriques, les inductances et mutuelles présentent des variations avec la position Bobine (N spires) Réluctance du circuit magnétique (→) : 𝟐𝒙 → 𝓡 𝒙 = 𝝁𝟎 𝑺 S Inductance de la bobine de N spires : 𝑵𝟐 𝝁𝟎 𝑵𝟐 𝑺 𝑳 𝒙 = = 𝓡 𝒙 𝟐𝒙 x → Armature mobile  (t ) Dépendent, de ce fait, du temps lors du mouvement L  L( ) → L(t )  (t ) Cela conduit à des ED non-linéaires M  M ( ) → M (t ) Les solutions analytiques ne sont possibles que dans certains cas (linéarisation autour d’un point …) 6 H. Menana - Université de Lorraine - GREEN Rappels mathématiques Résolution d’une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants dy (t )  +  y (t ) =  En utilisant la transformée de Laplace dt   𝛼, 𝛽 𝑒𝑡 𝛾 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 connues   p Y ( p ) − y (0) +  Y ( p ) =  p Y ( p) +  Y ( p) = +  y (0) p p   y (0) y (t ) = yh (t ) + y p (t ) Y ( p) = p ( p +  ) + ( p +  ) 1 → e − at ( p + a)  y (0) 1 1 − e − at  dyh (t )  Y ( p) =  + → + yh (t ) = 0 p ( p +  ) ( p +  ) p ( p + a) a   dt     y p (t ) =   y p (t ) =  ( )  1 − e−  t        −t  −  t −  t y (t ) =   + y (0) e  y (t ) = 1− e + y (0) e          − t      −  t y (t ) = Ke  + y (t ) = +  y (0) − e      7 H. Menana - Université de Lorraine - GREEN Rappels mathématiques Exemple : Circuit RL série E : Tension constante t=0 → i=0 On ferme l’interrupteur K Formuler l’équation différentielle en fonction de i(t) Donner les expressions de i(t) et de uL(t) Tracer i(t) et uL(t) 8 H. Menana - Université de Lorraine - GREEN Rappels mathématiques E Exemple : Circuit RL série Solution particulière i p (t ) = R t=0 → i=0 E = u R (t ) + u L (t ) Solution homogène dih (t ) On ferme l’interrupteur K di (t ) ih (t ) +  =0 E = Ri (t ) + L dt t dt − → ih (t ) = Ke  t E L di (t ) − E = i (t ) + → i (t ) = Ke  + R R dt R t=0 → i=0 E di (t ) = i (t ) +  E −  t R dt → i (t ) = 1 − e   u R (t ) = Ri (t ) R  L di  = di − t u L (t ) = L R u L (t ) = L = Ee  dt dt 9 H. Menana - Université de Lorraine - GREEN Rappels mathématiques Exemple : Circuit RL série en alimentation sinusoïdale di (t ) Ri (t ) + L = Vm sin(t +  ) i (0) = 0 dt  cos( ) + p sin( ) ( R + Lp ) I ( p ) = Vm a cos(b) + p sin(b) p2 +  2 sin( at + b) → p2 + a2 Vm I ( p) =  cos( ) + p sin( ) L( p + R L )( p 2 + 2 )    cos( ) p sin( )   I ( p ) = Vm  + 2  L ( L ( )  ) ( L ( )  )   = tan ( −1   L p + R p 2 + 2 L p + R p 2 + ) R Vm  − t R i (t ) = sin(t +  −  ) − sin( −  ) e L  R 2 + ( L ) 2   10 H. Menana - Université de Lorraine - GREEN Rappels mathématiques Résolution d’une équation différentielle du second ordre à coefficients constants d 2 y (t ) + dy (t ) + c y (t ) =  y (t ) = yh (t ) + y p (t ) a b  y p (t ) = 2 dt dt c 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑒𝑡 𝛾 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 connues Solutions homogène et particulière Solution homogène Si Δ >0 yh (t ) = K1e x1t + K 2 e x2 t d 2 yh (t ) dyh (t ) a + b + c yh (t ) = 0 −b yh (t ) = ( K1 + K 2 t )e x0 t x0 = 2 dt dt Si Δ =0 2a Polynôme caractéristique Si Δ