MATLAB Lecture 3: Vectors and Matrices PDF

‫‪MATLAB‬‬ ‫المحاضرة الثالثة‬ ‫األشعة والمصفوفات‬ ‫و‬ ‫األعداد العقدية‬ ‫‪Mathworks‬‬  ‫األشعة والمصفوفات‬ ‫‪MATLAB ‬اختصار لكلمتين ‪ matrix laboratory‬وهي بيئة معتمدة‬ ‫على المصفوفات وعملياتها والتي تعتبر أساسا ً رئيسا ً في عمليات النمذجة‬...

‫‪MATLAB‬‬ ‫المحاضرة الثالثة‬ ‫األشعة والمصفوفات‬ ‫و‬ ‫األعداد العقدية‬ ‫‪Mathworks‬‬  ‫األشعة والمصفوفات‬ ‫‪MATLAB ‬اختصار لكلمتين ‪ matrix laboratory‬وهي بيئة معتمدة‬ ‫على المصفوفات وعملياتها والتي تعتبر أساسا ً رئيسا ً في عمليات النمذجة‬ ‫والتطبيقات الهندسية‪ ،‬وبالتالي عملية اإلدخال الرئيسة في ‪MATLAB‬‬ ‫هي إدخال المصفوفات‪ ،‬وإن األشعة وحتى األعداد هي حاالت خاصة‬ ‫من المصفوفة‪ ،‬فمثلً‪:‬‬ ‫‪ ‬الرقم ‪ 5‬هو مصفوفة بحجم (‪.)1x1‬‬  ‫تعريف األشعة‬ ‫األشعة حالة خاصة من المصفوفات‪ ،‬وهي نوعان‪:‬‬ ‫أ‪ -‬سطرية‪ :‬تعرف بوضع فاصلة عادية بين عناصرها ووضعها بين‬ ‫قوسين متوسطين [ ]‪.‬‬ ‫]‪>> X=[1,2,3,4,5‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫‪1 2 3 4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫كما يمكن كتابة عناصر الشعاع السطري بدون فاصلة‬ ‫]‪>> X=[1 2 3 4 5‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫‪1 2 3 4 5‬‬  ‫تعريف األشعة‬ ‫ب‪ -‬عمودية‪ :‬تعرف بوضع فاصلة نقطية بين عناصرها ووضعها بين‬ ‫قوسين متوسطين [ ]‪.‬‬ ‫]‪>> y=[1;2;3;4;5‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬  ‫تعريف األشعة‬ ‫كما يمكن تعريف األشعة السطرية ذات العناصر المتسلسلة وبتزايد‬ ‫ثابت باستخدام النقطتين (‪ ):‬كما في المثال‪:‬‬ ‫]‪>> t=[1:2:10‬‬ ‫=‪t‬‬ ‫‪1 3 5 7 9‬‬ ‫في هذا المثال تم تحديد القيمة االبتدائية للشعاع ‪ t‬ومن ثم مقدار التزايد‬ ‫(الخطوة)‪ ،‬وأخيرا ً القيمة النهائية ويفصل بين كل منها نقطتين‪.‬‬  ‫تعريف األشعة‬ ‫في حال لم يتم تحديد مقدار التزايد يعتبر ‪ MATLAB‬أن قيمة التزايد‬ ‫االفتراضية وهي ‪1‬‬ ‫]‪>> t=[1:10‬‬ ‫=‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫هذا في حالة أن الشعاع سطري‪ ،‬أما للحصول على الشعاع العمودي‬ ‫نستخدم المنقول (‘) كما يلي‪:‬‬  ‫تعريف األشعة‬ ‫‘‪>> t‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬  ‫التعامل مع األشعة‬ ‫‪ ‬استبدال عناصر الشعاع السطري (عمودي)‪ :‬يتم بوضع اسم الشعاع‬ ‫متبوعا بقوسين صغيرين () يتضمن ترتيب العنصر المراد استبداله‬ ‫ثم إشارة = وقيمة العنصر المطلوبة بالنسبة للمصفوفة ‪ x‬والتي‬ ‫سنستبدل الرقم ‪ 3‬بالرقم ‪ 6‬يتم باألمر‪:‬‬ ‫‪>> X(3)=6‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫‪1 2 6 4 5‬‬  ‫التعامل مع األشعة‬ ‫‪ ‬إضافة عناصر جديدة للشعاع السطري (عمودي)‪ :‬تتم بنفس طريقة‬ ‫االستبدال إال أن الترتيب يجب أن يكون أكبر من ترتيب أكبر عدد في‬ ‫الشعاع‪.‬‬ ‫‪>> y(8)=12‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪12‬‬ ‫مالحظة ‪ :‬كل قيمة غير موجودة في الشعاع يعتبرها ‪ MATLAB‬صفرا‬  ‫التعامل مع األشعة‬ ‫‪ ‬استدعاء عنصر من الشعاع السطري (عمودي)‪ :‬يتم بطريقة تشبه‬ ‫االستبدال ولكن بدون = والرقم الذي يليها‪.‬‬ ‫)‪>> y(3‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ‬استدعاء أكثر من عنصر بترتيب متتالي‪:‬‬ ‫)‪>> y(3:6‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫العمليات والتوابع األساسية الخاصة باألشعة‬ ‫لدينا الشعاع ‪ X‬كما يلي‪:‬‬ ‫‪X=[ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫]‪4 5‬‬ ‫‪ ‬التابع ‪ max‬يرجع أكبر عنصر في الشعاع‬ ‫)‪>> max(X‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ ‬التابع ‪ min‬يرجع أصغر عنصر في الشعاع‬ ‫)‪>> min(y‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪0‬‬ ‫العمليات والتوابع األساسية الخاصة باألشعة‬ ‫‪ ‬التابع ‪ length‬يرجع عدد عناصر الشعاع‬ ‫)‪>> length(X‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ‬التابع ‪ sum‬يقوم بحساب مجموع عناصر الشعاع‪.‬‬ ‫)‪>> sum(y‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪27‬‬ ‫العمليات والتوابع األساسية الخاصة باألشعة‬ ‫‪ ‬التابع ‪ sort‬يقوم بترتيب عناصر الشعاع ترتيبا تصاعديا‬ ‫)‪>> sort(y‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫العمليات والتوابع األساسية الخاصة باألشعة‬ ‫‪ ‬التابع ‪ range‬يقوم بحساب الفرق بين أكبر عنصر‬ ‫وأصغر عنصر من عناصر الشعاع‬ ‫)‪>> range(X‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪5‬‬  ‫العمليات الحسابية على األشعة‬ ‫نعرف الشعاعين التاليين‪:‬‬ ‫]‪>> a=[1 2 3 4 5‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫‪1 2 3 4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫]‪>> b=[6 7 8 9 10‬‬ ‫=‪b‬‬ ‫‪6 7 8 9‬‬ ‫‪10‬‬  ‫العمليات الحسابية على األشعة‬ ‫‪ -1‬الجمع‪:‬‬ ‫‪>> a+b‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪15‬‬  ‫العمليات الحسابية على األشعة‬ ‫‪ -2‬الطرح‪:‬‬ ‫‪>> a-b‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-5‬‬  ‫العمليات الحسابية على األشعة‬ ‫‪ -3‬الجداء‪:‬‬ ‫‪>> a*b‬‬ ‫* ‪Error using‬‬ ‫‪Inner matrix dimensions must agree.‬‬ ‫هنا خصوصية المصفوفات فإلجراء عملية الجداء البد من االلتزام بجبر المصفوفات‬ ‫حيث يجب أن يتم الجداء بين شعاع سطري وشعاع عمودي‪.‬‬ ‫'‪>> a*b‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪130‬‬  ‫العمليات الحسابية على األشعة‬ ‫يمكن استخدام العملية *‪.‬لتنفيذ عملية الجداء لكل عنصر في الشعاع‬ ‫األول بالعنصر المقابل في الشعاع اآلخر‪ ،‬ويكون الشعاعان من‬ ‫نفس الحجم والشعاع الناتج أيضا من نفس الحجم‪.‬‬ ‫‪>> a.*b‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪6 14 24 36 50‬‬  ‫تعريف األشعة‬ ‫األشعة حالة خاصة من المصفوفات‪ ،‬وهي نوعان‪:‬‬ ‫أ‪ -‬سطرية‪ :‬تعرف بوضع فاصلة عادية بين عناصرها ووضعها بين‬ ‫قوسين متوسطين ] [‪.‬‬ ‫]‪>> X=[1,2,3,4,5‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫‪1 2 3 4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫كما يمكن كتابة عناصر الشعاع السطري بدون فاصلة‬ ‫]‪>> X=[1 2 3 4 5‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫‪1 2 3 4‬‬ ‫‪5‬‬  ‫تعريف األشعة‬ ‫ب‪ -‬عمودية‪ :‬تعرف بوضع فاصلة نقطية بين عناصرها ووضعها بين‬ ‫قوسين متوسطين ] [‪.‬‬ ‫]‪>> y=[1;2;3;4;5‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬  ‫تعريف األشعة‬ ‫‪ ‬يمكن تعريف األشعة السطرية والتي عناصرها متسلسلة وبتزايد‬ ‫ثابت باستخدام النقطتين (‪ ):‬كما في المثال‪:‬‬ ‫]‪>> t=[1:2:10‬‬ ‫=‪t‬‬ ‫‪1 3 5 7 9‬‬ ‫يظهر في المثال أنه تم تحديد القيمة األدنى للشعاع ‪ t‬وبعد النقطتين‬ ‫األوليتين مقدار التزايد (الخطوة)‪ ،‬وبعد النقطتين الثانيتين توضع‬ ‫القيمة النهائية‪.‬‬  ‫تعريف األشعة‬ ‫ملحظة‪ :‬في حال لم يتم تحديد مقدار التزايد يعتبر ‪ MATLAB‬أن‬ ‫التزايد بقيمة ‪ 1‬افتراضيا ً‬ ‫]‪>> t=[1:10‬‬ ‫=‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ ‬يمكن الحصول على الشعاع العمودي بهذه الطريقة عن طريق ايجاد‬ ‫المنقول (‘)‬  ‫تعريف األشعة‬ ‫‘‪>> t‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬  ‫التعامل مع األشعة‬ ‫‪ ‬استبدال عناصر الشعاع السطري (أو العمودي) بقيم أخرى‪ :‬يتم‬ ‫ذلك بوضع اسم الشعاع متبوعا ً بقوسين صغيرين () يتضمنان‬ ‫ترتيب العنصر المراد استبداله ثم إشارة = وقيمة العنصر‬ ‫المطلوبة‪.‬‬ ‫‪ ‬مثال‪ :‬نعتبر المصفوفة ‪ x‬والتي سنستبدل فيها الرقم ‪ 3‬بالرقم ‪6‬‬ ‫يتم ذلك باألمر‪:‬‬ ‫‪>> X(3)=6‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫‪1 2 6 4 5‬‬  ‫التعامل مع األشعة‬ ‫‪ ‬إضافة عناصر جديدة للشعاع السطري (عمودي)‪ :‬يتم بنفس طريقة‬ ‫االستبدال إال أن الترتيب يجب أن يكون أكبر من ترتيب أكبر عدد‬ ‫في الشعاع‪.‬‬ ‫‪>> y(8)=12‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ملحظة ‪ :‬كل قيمة غير معرفة القيمة في الشعاع يعتبرها ‪MATLAB‬‬ ‫صفرا ً‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪12‬‬  ‫التعامل مع األشعة‬ ‫‪ ‬استدعاء عنصر من الشعاع السطري (عمودي)‪ :‬يتم بنفس طريقة‬ ‫اإلستبدال بدون إشارة = والرقم الذي بعدها‪.‬‬ ‫)‪>> y(3‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ‬استدعاء أكثر من عنصر بترتيب متتالي‪:‬‬ ‫)‪>> y(3:6‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫العمليات والتوابع الحسابيةالخاصة باألشعة‬ ‫‪ ‬التابع ‪ :length‬يرجع عدد عناصر الشعاع‪.‬‬ ‫فمثلً بالنسبة للمصفوفة ‪:X‬‬ ‫)‪>> length(X‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ‬التابع ‪ :sum‬يقوم بحساب عناصر الشعاع‪.‬‬ ‫)‪>> sum(y‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪27‬‬ ‫العمليات والتوابع الحسابيةالخاصة باألشعة‬ ‫‪ ‬التابع ‪ :max‬يرجع أكبر عنصر في الشعاع‪ ,‬فمثلً بالنسبة للمصفوفة‬ ‫‪:X‬‬ ‫)‪>> max(X‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪6‬‬ ‫التابع ‪ :min‬يرجع أصغر عنصر في الشعاع‬ ‫)‪>> min(y‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪0‬‬ ‫العمليات والتوابع الحسابيةالخاصة باألشعة‬ ‫‪ ‬التابع‪ :sort‬يقوم بترتيب عناصر الشعاع ترتيبا ً تصاعديا ً‬ ‫)‪>> sort(y‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫العمليات والتوابع الحسابيةالخاصة باألشعة‬ ‫‪ ‬التابع ‪ :range‬يقوم بحساب الفرق بين أكبر عنصر وأصغر عنصر‬ ‫من عناصر الشعاع‬ ‫)‪>> range(X‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪5‬‬  ‫العمليات الحسابية على األشعة‬ ‫ليكن لدينا الشعاعين التاليين‪:‬‬ ‫]‪>> a=[1 2 3 4 5‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫‪1 2 3 4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫]‪>> b=[6 7 8 9 10‬‬ ‫=‪b‬‬ ‫‪6 7 8 9‬‬ ‫‪10‬‬  ‫العمليات الحسابية على األشعة‬ ‫‪ -1‬الجمع‪:‬‬ ‫‪>> a+b‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪15‬‬  ‫العمليات الحسابية على األشعة‬ ‫‪ -2‬الطرح‪:‬‬ ‫‪>> a-b‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-5‬‬  ‫العمليات الحسابية على األشعة‬ ‫‪ -3‬الجداء‪:‬‬ ‫‪>> a*b‬‬ ‫* ‪Error using‬‬ ‫‪Inner matrix dimensions must agree.‬‬ ‫هنا خصوصية المصفوفات فإلجراء عملية الجداء البد من االلتزام بجبر‬ ‫المصفوفات حيث يجب أن يتم الجداء بين شعاع سطري وشعاع عمودي‪.‬‬ ‫'‪>> a*b‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪130‬‬  ‫العمليات الحسابية على األشعة‬ ‫يمكن استخدام العملية *‪.‬لتنفيذ عملية الجداء الجبري حيث يتم الجداء‬ ‫لكل عنصر من الشعاع بمقابله من الشعاع اآلخر والنتيجة بشعاع‬ ‫من نفس القياس‪.‬‬ ‫‪>> a.*b‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪6 14 24 36 50‬‬  ‫العمليات الحسابية على األشعة‬ ‫يمكن استخدام العملية *‪.‬لتنفيذ عملية الجداء الجبري حيث يتم الجداء‬ ‫لكل عنصر من الشعاع بمقابله من الشعاع اآلخر والنتيجة بشعاع‬ ‫من نفس القياس‪.‬‬ ‫‪>> a.*b‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪6 14 24 36 50‬‬  ‫المصفوفات‬ ‫‪ ‬المصفوفات هي مجموعة من البيانات والتي يتم وضعها في صورة أسطر‬ ‫وأعمدة‪ ،‬وتأخذ الشكل التالي ‪:‬‬ ‫‪ ‬وتستخدم المصفوفات في حل كثيرات الحدود ‪ Polynomials‬وفي حل‬ ‫مجموعة من المعادالت وغيرها من التطبيقات‪.‬‬ ‫)‪Matrixname (m,n‬‬ ‫‪ ‬ويرمز عادة للمصفوفة في الرياضيات‪:‬‬ ‫‪ m‬عدد األسطر (الصفوف) و ‪ n‬عدد األعمدة‬ ‫حيث ‪:‬‬  ‫كتابة المصفوفات في ‪MATLAB‬‬ ‫‪ ‬يتم إدخال المصفوفة بكتابة عناصر السطراألول ثم الثاني ‪...‬إلخ‪،‬‬ ‫فمثلً لكتابة المصفوفة التالية في ‪:MATLAB‬‬ ‫‪ ‬يتم الفصل بين أرقام السطر األول إما بفاصلة )‪ Comma (,‬أو‬ ‫بترك فراغ بين األرقام‪.‬‬ ‫‪ ‬يتم فصل عناصر السطر األول عن عناصر السطر الثاني بالضغط‬ ‫على مفتاح ‪ Enter‬أو باستخدام الفاصلة المنقوطة ‪Semicolon‬‬ ‫) ;) كما يلي‪:‬‬ ‫كتابة المصفوفات في ‪MATLAB‬‬  ‫مصفوفات خاصة‬ ‫‪ – 1 ‬المصفوفة الواحدية‪ :‬هي مصفوفة من ‪ m‬سطر و‪ n‬عمود‬ ‫كل عناصرها واحدات )‪.ones(m,n‬‬ ‫‪ -2 ‬المصفوفة الصفرية‪ :‬هي مصفوفة من ‪ m‬سطر و‪ n‬عمود كل‬ ‫عناصرها أصفار )‪.zeros(m,n‬‬ ‫‪ -3 ‬مصفوفة الهوية ‪ :I‬وهي مصفوفة جميع عناصرها أصفار ما‬ ‫عدا عناصر القطر الرئيسي واحدات )‪.eye(m,n‬‬  ‫العمليات األساسية على المصفوفات‬ ‫‪ ‬هناك العديد من العمليات األساسية التي يمكن تطبيقها على المصفوفات في‬ ‫‪ MATLAB‬وذلك لجعل التعامل مع المصفوفات مرنا ً‪.‬‬ ‫‪-1 ‬االستدعاء‪:‬‬ ‫يمكن استدعاء عنصر من المصفوفة ‪ a‬عن طريق‪:‬‬ ‫أ‪ -‬رقم السطر ورقم العمود‪ a(2,3) :‬يستدعي العنصر في السطر ‪ 2‬والعمود ‪ 3‬من‬ ‫المصفوفة ‪.a‬‬ ‫ب‪ -‬ترتيب العنصر‪ a(8) :‬استدعاء العنصر الذي ترتيبه ‪ 8‬في المصفوفة ويحسب‬ ‫هذا الترتيب من العنصر (‪ )1x1‬باتجاه اليمين‪.‬‬ ‫كما يمكن استدعاء عناصر سطر أو عناصر عمود معين أو حتى مصفوفة جزئية‬ ‫من خلل استخدام المؤثر (‪.):‬‬ ‫‪ ‬مثال‪ a(2:4,1:2) :‬استدعاء مصفوفة جزئية عناصرها هي األسطر ‪ 2,3,4‬واألعمدة ‪1,2‬‬  ‫العمليات األساسية على المصفوفات‬ ‫‪ -2‬اإلضافة‪ :‬يمكن إضافة أعمدة أو أسطر أو مصفوفة جزئية للمصفوفة‬ ‫من خلل تحديد الموقع المراد إضافته وتحديد قيم اإلضافة مثال‪:‬‬ ‫]‪ A(:,5)=[1;2;3;4;5‬إضافة عمود خامس للمصفوفة ‪.A‬‬ ‫‪ -3‬التعديل على العناصر في المصفوفة ويتم من خلل تحدي موقع‬ ‫العنصر بنفس آليات االستدعاء وإسناد القيمة الجديدة لهذا العنصر‪.‬‬ ‫مثال‪ a(1,2)=5 :‬تعديل العنصر ذي الترتيب ‪1x2‬بالعدد ‪5‬‬ ‫‪ -4‬الحذف‪ :‬يمكن حذف عناصر من المصفوفة من خلل استدعائها‬ ‫وإسنادها للمؤثر ] [‬ ‫مثال ] [=(‪ a):,5‬يحذف عناصر العمود الخامس‬  ‫العمليات األساسية على المصفوفات‬ ‫‪ -5 ‬منقول المصفوفة والذي يعني استبدال أسطر المصفوفة‬ ‫بأعمدتها ويستخدم المؤثر (‘) إليجاد المنقول‪.‬‬ ‫‪ -6 ‬مقلوب المصفوفة‪ :‬يتم إيجاده من خلل التعليمة )‪.inv(a‬‬  ‫بعض التوابع المستخدمة مع المصفوفات‬ ‫‪ ‬يوجد في ‪ MATLAB‬العديد من التوابع التي تستخدم مع المصفوفات‬ ‫والتي تساعد في استخدام المصفوفات بشكل فعال لحل مختلف‬ ‫المسائل العلمية منها‪:‬‬ ‫‪.1‬التابع )‪ :size(a‬يستخدم هذا التابع للحصول على أبعاد المصفوفة‬ ‫‪.a‬‬ ‫‪.2‬التابع )‪ :diag(a‬يستخدم إليجاد القطر الرئيسي للمصفوفة المربعة‬ ‫‪.a‬‬ ‫‪.3‬التابع )‪ :max(a‬يعيد شعاع يحتوي على العنصر األكبر لكل عمود‬ ‫في المصفوفة ‪.a‬‬  ‫بعض التوابع المستخدمة مع المصفوفات‬ ‫‪.4‬التابع )‪ :min(a‬يعيد شعاع يحتوي على العنصر األصغر لكل‬ ‫عمود في المصفوفة ‪.a‬‬ ‫‪.5‬التابع )‪ :sum(a‬يعيد شعاع يحتوي على مجموع عناصر كل عمود‬ ‫في المصفوفة ‪.a‬‬ ‫‪.6‬التابع )‪ :prod(a‬يعيد شعاع يحتوي على جداء عناصر كل عمود‬ ‫في المصفوفة ‪.a‬‬  ‫العمليات الحسابية على المصفوفات‬ ‫‪ ‬الجمع والطرح‪:‬‬ ‫شرط جمع مصفوفتين وطرحهما‪ :‬شرط جمع (طرح) مصفوفتين‬ ‫أن يكون لكليهما نفس عدد الصفوف ‪ m‬وكذلك نفس عدد األعمدة‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ ‬وتتم عملية الجمع (الطرح) بجمع (طرح) كل عنصرين متقابلين‬ ‫ووضعهما بالمصفوفة الناتجة‪.‬‬ ‫‪ ‬مثال المصفوفتان التاليتان يمكن‬ ‫جمعهما (طرحهما) ألنها يحملن نفس‬ ‫عدد الصفوف واألعمدة ‪.‬‬  ‫العمليات الحسابية على المصفوفات‬ ‫يستخدم مؤثرا الجمع (‪ )+‬والطرح (‪ )-‬لتنفيذ عمليتي الجمع والطرح على‬ ‫التوالي كما في المثال التالي‪:‬‬  ‫العمليات الحسابية على المصفوفات‬ ‫‪ ‬ضرب المصفوفات ‪:‬‬ ‫‪ ‬شرط ضرب أي مصفوفتين هو أن يكون عدد أعمدة المصفوفة‬ ‫األولى ‪ n1‬مساويا ً لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية ‪ m2‬وتكون‬ ‫النتيجة مصفوفة لها عدد سطور األولى ‪ m1‬وأعمدة الثانية ‪n2‬‬ ‫مثال‪ :‬ضرب المصفوفتين التاليتين‪:‬‬ ‫‪ ‬ينتج‪:‬‬ ‫العمليات الحسابية على المصفوفات‬ ‫العمليات الحسابية على المصفوفات‬ ‫‪ ‬يتم تنفيذ الضرب في ‪MATLAB‬‬ ‫بمؤثر الضرب (*) مع االنتباه لتحقق‬ ‫شرط الضرب‪.‬‬ ‫‪ ‬هناك المؤثر السلمي للضرب (*‪).‬‬ ‫والذي يقوم بضرب كل عنصر من‬ ‫المصفوفة األولى بمقابله من المصفوفة‬ ‫الثانية‪.‬‬ ‫‪ ‬إن ضرب عدد سلمي بالمصفوفة هو‬ ‫مصفوفة ناتجة عن ضرب كل عنصر‬ ‫من عناصرها بهذا العدد‪.‬‬  ‫العمليات الحسابية على المصفوفات‬ ‫‪ ‬قسمة المصفوفات‪:‬‬ ‫قسمة المصفوفات ‪ a/b‬عمليا ً هو ضرب المصفوفة ‪ a‬بمقلوب المصفوفة ‪.b‬‬ ‫‪‬‬ ‫وبالتالي فإن شرط القسمة هو عدد أعمدة المصفوفتين متساويتين‪.‬‬ ‫هناك نوعين من القسمة في ‪ MATLA‬هما القسمة من اليمين ‪ a/b‬وهنا يتم قسمة‬ ‫‪‬‬ ‫المصفوفة ‪ a‬على المصفوفة ‪ ،b‬والقسمة من اليسار ‪ a\b‬ويعني قسمة المصفوفة‬ ‫‪b‬على ‪.a‬‬ ‫يجب االنتباه إلى أن المصفوفة المقسوم عليها والتي سيستخدم مقلوبها يجب أن‬ ‫‪‬‬ ‫تكون مربعة‪.‬‬ ‫وبشكل مشابه للضرب فإن استخدام المؤثر السلمي للقسمة (‪ ).\,./‬والعدد السلمي‬ ‫‪‬‬ ‫سينفذ كما في الضرب أي قسمة كل عنصر من المصفوفة األولى على العنصر‬ ‫المقابل له في المصفوفة الثانية أو قسمة عناصر المصفوفة على العدد السلمي‪.‬‬  ‫العمليات الحسابية على المصفوفات‬ ‫‪ )^( ‬مؤثر الرفع إلى قوة‪:‬‬ ‫لمؤثر الرفع إلى قوة معاملن‪.‬ويعمل مع األعداد السلمية عمل المعامل )^‪(.‬‬ ‫‪‬‬ ‫والذي يعني رفع كل عنصر من عناصر المصفوفة لألس المحدد‪.‬‬ ‫لكن إن كان أحد معامليه عدد سلمي واآلخر مصفوفة فإنه ينجز عملية مختلفة‬ ‫‪‬‬ ‫حسب ترتيب معامليه‪.‬‬ ‫إن كان المعامل اليساري مصفوفة واليميني عدد فإنه يرفع المصفوفة للقوة العدد‬ ‫‪o‬‬ ‫بضرب المصفوفة بنفسها عدد من المرات يساوي العدد (إذا كانت القوة عدد‬ ‫صحيح موجب) وهنا يجب أن تكون المصفوفة مربعة‪.‬وإن كانت القوة عدداً‬ ‫صحيحا ً سالبا ً تقلب المصفوفة ثم تنجز عملية الرفع للقيمة المطلقة للقوة‪.‬ويمكن أن‬ ‫تكون القوة عدد حقيقي أو عقدي‪.‬‬ ‫كما يمكن رفع عدد للقوة مصفوفة ويشترط أيضا ً أن تكون المصفوفة مربعة‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫ال يمكن استخدام مؤثر الرفع إلى قوة إن كان معامليه مصفوفة‪.‬‬ ‫‪o‬‬  ‫األعداد العقدية‬ ‫‪ ‬يحتوي ‪ MATLAB‬على العديد من التوابع المخصصة للتعامل مع األعداد‬ ‫العقدية‪ ،‬والتي تتكون كما هو معلوم من قسم حقيقي وقسم عقدي‪.‬‬ ‫‪ ‬مثلً العدد العقدي ‪ 3+i5‬يتكون من جزأين حقيقي ‪ 3‬وتخيلي (عقدي) ‪ 5‬إلدخال‬ ‫هذا العدد في ‪ MATLAB‬نستخدم أسلوبين‪:‬‬ ‫‪.1‬اإلدخال المباشر باستخدام الرمز ‪ i‬أو ‪ j‬الدال على القسم التخيلي في‬ ‫‪ MATLAB‬كما في المثال‪:‬‬ ‫‪ >>a = 5+3*i‬أو ‪>>a = 5 + 3i‬‬ ‫‪.2‬باستخدام التابع )‪ comlex (Re,Im‬كما في المثال‪:‬‬ ‫)‪>>a = complex(5,3‬‬ ‫الذي يعطي الخرج التالي‪:‬‬ ‫‪>>a = 5.0000 + 3.0000i‬‬  ‫األعداد العقدية‬ ‫‪ ‬إن التمثيل السابق للعدد العقدي يدعى بالتمثيل الديكارتي حيث يمثل‬ ‫بمستوي محوره األفقي هو المحور الحقيقي والمحور الشاقولي هو‬ ‫المحور التخيلي‪.‬‬ ‫‪ ‬هناك تمثيل آخر للعدد العقدي هو التمثيل القطبي والذي يستخدم‬ ‫الزاوية ونصف القطر(‪ No)r,θ‬والذي يمكن أن نسمي مركباته‬ ‫بطويلة وزاوية‪.‬تستخدم التوابع التالية للتمثيل القطبي للعدد العقدي‪:‬‬ ‫‪ :abs(No) -1‬تستخدم لحساب طويلة العدد العقدي‪.‬‬ ‫‪ :angle(No) -2‬تستخدم لحساب زاوية العدد العقدي بالراديان‪.‬‬  ‫األعداد العقدية‬ ‫طويلة العدد العقدي ‪a‬‬ ‫)‪>> abs(a‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪5.8310‬‬ ‫زاوية العدد العقدي ‪a‬‬ ‫)‪>> angle(a‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪1.0304‬‬  ‫األعداد العقدية‬ ‫‪ ‬برنامج ‪ MATLAB‬مزود بالعديد من التوابع التي تستخدم مع‬ ‫األعداد العقدية من هذه التوابع‪:‬‬ ‫‪ :real(No)-1‬يستخدم إلخراج الجزء الحقيقي من العدد العقدي‪.‬‬ ‫‪ :imag(No) -2‬يستخدم إلخراج الجزء التخيلي من العدد العقدي‪.‬‬ ‫‪ :conj(No) -3‬إليجاد المرافق العقدي للعدد العقدي‪ ،‬كما يمكن‬ ‫استخدام الرمز (‘) إليجاد المرافق العقدي بالشكل ’‪.No‬‬ ‫‪ :isreal(No)-4‬يستخدم لتحديد فيما إذا كان المتحول الموجود عقديا ً أم‬ ‫ال‪ ،‬حيث يرجع القيمة ‪ 1‬إذا كان العدد حقيقي‪ ،‬و ‪ 0‬إذا كان العدد عقديا ً‪.‬‬  ‫األعداد العقدية‬ ‫‪ MATLAB ‬مزود بالعديد من التوابع التي تستخدم مع األعداد‬ ‫العقدية من هذه التوابع‪:‬‬ ‫‪ :real(No)-1 ‬يستخدم الستخراج الجزء الحقيقي من العدد‬ ‫العقدي‪.‬‬ ‫‪ :imag(No) -2 ‬يستخدم الستخراج الجزء التخيلي من العدد‬ ‫العقدي‪.‬‬ ‫)‪>> real(a‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪>> imag(a‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪3‬‬  ‫األعداد العقدية‬ ‫‪ :conj(No) -3 ‬إليجاد المرافق العقدي للعدد العقدي‪ ,‬كما يمكن‬ ‫استخدام الرمز (‘) إليجاد المرافق العقدي بالشكل ’‪.No‬‬ ‫‪ :isreal(No)-4 ‬يستخدم لتحديد فيما إذا كان المتحول الموجود‬ ‫عقديا أم ال‪ ,‬حيث يرجع القيمة ‪ 1‬إذا كان العدد حقيقي‪ ,‬و ‪ 0‬إذا كان‬ ‫العدد عقديا‪.‬‬ ‫)‪>> conj(a‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪5.0000 - 3.0000i‬‬ ‫)‪>> isreal(a‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪0‬‬  ‫األعداد العقدية‬ ‫إدخال العدد العقدي بشكل مباشر‬ ‫‪>> a=5+3i‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫‪5.0000 + 3.0000i‬‬ ‫استخدام التابع ‪ complex‬لتعريف العدد العقدي‬ ‫)‪>> a=complex(3,5‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫‪5.0000 + 3.0000i‬‬ ‫إيجاد مرافق العدد العقدي‬ ‫‘‪>> a‬‬ ‫= ‪ans‬‬ ‫‪5.0000 - 3.0000i‬‬  ‫األعداد العقدية‬ ‫‪ ‬التحويل من االحداثيات الديكارتية إلى القطبية‬ ‫)‪[theta,rho] = cart2pol(x,y‬‬ ‫‪ ‬التحويل من اإلحداثيات القطبية إلى اإلحداثيات الديكارتية‬ ‫)‪[x,y] = pol2cart(theta,rho‬‬